位置矢量运动方程轨迹方程位移新乡学院
DXWL01--第一章质点运动学
第一章
质点运动学
重点和难点：
本章重点是：运用运动方程求质点的位置、 速度和加速度；以及已知质点运动的加速度和初 始条件求速度和运动方程的方法. 本章难点是：圆周运动中切向加速度的理解.
教学手段和方法：
教师（课堂）讲授、多媒体辅助教学
教学时间安排：
青岛科技大学
大学物理教案 WXJ-V2.0
平均速度 v
与r 同方向.
§1-1 质点运动的描述
2.瞬时速度: 当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向.
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当 t 0 时, dr ds ds v et dt
6
t 2s
-6 -4 -2
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4 2 0
t0
2 4
t 2s
x/m
6
大学物理教案 WXJ-V2.0
§1-1 质点运动的描述 [例2] 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚
性细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行. 如 物体A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体 B的速率为多少？
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§1-1 质点运动的描述
v v 吗？ 讨论 b v a v v(t t ) v(t ) c v(t ) v v(t t ) v(t ) v(t t )
解 （1）由题意可得速度分量分别为
1 1 t 3 s 时速度为 v (1m s )i (1.5m s ) j
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3、角加速度 为了描述角速度变化的快慢，引进角 加速度概念。 （1）平均角加速度： 设在 t 内，质点角速度增量为 定义： （2-12） t 称为时间间隔内质点的平均角加速度 瞬时角加速度： d d 定义： lim lim t dt dt （2-13） 称为 t 时刻质点的瞬时角加速度，简称 角加速度。 d d （2-14） dt dt
y B , t t
O
A, t
x
图 1-11
2、角速度 平均角速度： 定义： （2-9） t 称为平均角速度。平均角速度粗略地描述 了物体的运动。为了描述运动细节，需要引 进瞬时角速度。 d lim lim t dt 定义： （ 2-10 ） d （2-11） dt 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导 数 说明：角速度是矢量,方向与角位移 方向一致。
此时0?nar????????????000000dvdvdvdtdvat匀速曲线运动减速曲线运动加速曲线运动?????????????????????斜抛平抛竖直下抛抛体运动匀速圆周运动减速圆周运动加速圆周运动圆周运动曲线运动特例1角坐标如图111t时刻质点在a处tt时刻质点在b处是oa与x轴正向夹角是ob与x轴正向夹角称为t时刻质点角坐标为t时间间隔内角坐标增量称为在时间间隔内的角位移
加速圆周运动 圆周运动 减速圆周运动 匀速圆周运动 曲线运动特例 竖直下抛 抛体运动 平抛 斜抛
⑷
三、圆周运动的角量描述
1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt 时刻质点在B处，θ是OA与x轴正向 夹角， θ+ Δ θ是OB与x轴正向夹角， 称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ为Δt时 间间隔内角坐标增量，称为在时间 间隔内的角位移。
00大学物理(A1)知识点、重点、难点
《大学物理》（上）知识点、重点及难点质点运动学知识点：1．参考系为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。
要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。
2．位置矢量与运动方程位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r表示。
位矢用于确定质点在空间的位置。
位矢与时间t的函数关系：称为运动方程。
位移矢量：是质点在时间△t内的位置改变，即位移：3．速度与加速度速率，是质点路程对时间的变化率：dtυ=加速度，是质点速度对时间的变化率：dtv d a =4． 法向加速度与切向加速度加速度 τˆa n ˆa dt vd a t n +== 法向加速度ρ=2n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。
切向加速度dt dva t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。
在圆周运动中，角量定义如下： 角速度 dtd θ=ω角加速度 dt d ω=β而R v ω=，22n R Rv a ω==，β==R dt dv a t5． 相对运动对于两个相互作平动的参考系，有 'kk 'pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a +=重点：1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。
2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。
3. 理解伽利略坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。
难点：1．法向和切向加速度 2．相对运动问题牛 顿 运 动 定 律知识点：1． 牛顿定律 第一定律：任何物体都保持静止的或沿一直线作匀速运动的状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。
第二定律：运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿的直线方向上。
大学物理智慧树知到课后章节答案2023年下仲恺农业工程学院
大学物理智慧树知到课后章节答案2023年下仲恺农业工程学院仲恺农业工程学院第一章测试1.某质点的运动学方程x=6+3t-5t3，则该质点作（）。
A:变加速直线运动，加速度为正值 B:变加速直线运动，加速度为负值 C:匀加速直线运动，加速度为正值 D:匀加速直线运动，加速度为负值答案:变加速直线运动，加速度为负值2.质点以速度作直线运动，沿质点运动直线作Ox轴，并已知t=3s时，质点位于x=9m处，则该质点的运动学方程为（）。
A: B: C: D:答案:3.半径的飞轮缘上一点A的运动学方程为（t以s为单位，S以m为单位）,则当A点的速度大小时，A点的切向加速度和法向加速度大小为（）。
A:5；1000 B:6；1000 C:5；1500 D:6；1500答案:6；15004.根据瞬时加速度矢量的定义，其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小可表示为（）。
A: B: C: D:答案:5.一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度大小为（）。
A: B: C: D:答案:6.一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度，瞬时加速度，则一秒钟后质点的速度（）。
A:等于零 B:等于-2m/s C:等于2m/s D:不能确定。
答案:不能确定。
7.质点作曲线运动，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，表示切向加速度，下列表达式中，（）。
① ，② ，③ ，④ ．（）A:只有②是对的． B:只有①、④是对的． C:只有③是对的． D:只有②、④是对的．答案:只有③是对的．8.（）。
A:B:C:D:答案:9.某质点沿直线运动，其加速度是，那么下述结论正确者为（）。
A:B:因为导数有无穷多个原函数，按题给条件，无法确定此质点的速度公式 C:答案:因为导数有无穷多个原函数，按题给条件，无法确定此质点的速度公式10.质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，经过时间T转动一圈，那么在2T的时间内，其平均速度的大小和平均速率分别为（）。
理论力学(第7版)第五章 点的运动学
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y
第二章 质点运动学
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。
大学物理简明教程矢量基础知识
引言概述：在研究物理学时，矢量是一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将以大学物理为基础，介绍矢量的基础知识，包括矢量的定义、性质以及运算法则等。
通过学习这些知识，读者将能够更好地理解和应用矢量概念。
正文内容：1.矢量的定义和性质1.1定义：矢量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并且满足平行四边形法则。
1.2强调大小和方向：矢量的大小由模和单位来表示，方向由箭头指向表示。
1.3矢量的分类：自由矢量和定向矢量。
1.4坐标系：在空间中表示矢量，一般采用直角坐标系、极坐标系等。
1.5矢量的性质：平移性、相等性、零矢量等。
2.矢量的运算法则2.1矢量的加法法则：满足三角形法则和平行四边形法则。
2.2矢量的减法法则：将减法转化为加法，即AB=A+(B)。
2.3矢量与标量的乘法：数乘，即矢量的模与数的乘积。
2.4矢量的数量积：点乘，模乘以夹角的余弦值。
2.5矢量的向量积：叉乘，模乘以夹角的正弦值。
3.极坐标表示下的矢量3.1极坐标系：用极径和极角来表示矢量。
3.2极坐标系下的加法法则：将加法转化为直角坐标系下的加法。
3.3极坐标系下的减法法则：将减法转化为直角坐标系下的减法。
3.4极坐标系下的数量积和向量积：类似于直角坐标系下的计算方法。
4.平面矢量的应用4.1矢量和标量的关系：矢量可以表示位移、速度、加速度等。
4.2位移矢量：表示物体从一个位置到另一个位置的矢量。
4.3速度矢量：表示物体在单位时间内位移的矢量。
4.4加速度矢量：表示物体在单位时间内速度的变化率的矢量。
4.5矢量和矢量的关系：矢量可以相加、相减、求量积和向量积等。
5.矢量的应用实例5.1力的分解与合成：将力分解为两个矩形方向上的力，合成为一个合力。
5.2刚体平衡问题：通过矢量的平衡条件，求解物体的平衡问题。
5.3物体运动问题：通过矢量的运算法则，分析物体在平面运动中的速度、加速度等。
5.4牛顿定律问题：利用矢量的知识，解决物体的牛顿定律问题。
Lecture02
v v r = rer
注意：与直角坐标的单位矢量不同， 注意：与直角坐标的单位矢量不同，沿位矢方向的单 v 是一个变化的量。 位矢量 er 是一个变化的量。 2. 速度与加速度的表示+ r v= = dt dt dt v v 2v 2 d er dr der v dv d r v a= = 2 er + 2 +r 2 dt dt dt dt dt
于是有： 于是有：
r A ∆r v v r1 r2
∆s
B
o
x
v 2 2 2 | dr |= dx + dy + dz ds = dx + dy + dz v | dr |= ds
2 2 2
在高等数学中， 在高等数学中，我们知道曲线弧长的微分元为
得
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大学物理讲义
当质点运动时， 而变化。 当质点运动时，其位置矢量也随时间 t 而变化。位矢对 时间 t 的微分 v ：位矢变 ev v v dr dr ds v v 化方向的 = ⋅ = ev ⋅ v = v 单位矢量
2
加速度也可以分为切向分量(tangential component)和 加速度也可以分为切向分量 和 法向分量(normal component)，如何分？ 法向分量 ，如何分？ 速度能不能分为切向分量和法向分量？有没有必要？ 速度能不能分为切向分量和法向分量？有没有必要？
青岛科技大学 大学物理讲义
v ∆r ≠| ∆r |
青岛科技大学
大学物理讲义
位移与路程的区别 （A）位移是矢量 路程是标量。 ）位移是矢量, 路程是标量。 （B） 一般情况 ） 一般情况,
v 位移大小不等于路程。 位移大小不等于路程。 ∆r ≠ ∆s
大学物理 位置矢量 位移
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六下午 1时18 分5秒13 :18:052 0.12.12
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月下午 1时18 分20.12. 1213:1 8December 12, 2020
•
dt
0
两端积分得到运动方程
x
x0
d
x
0t(v0
at) d t
x x v t 1 at 2
0
02
消去时间，得到
v2 v2 2a(x x )
0
0
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。13:1 8:0513: 18:0513 :1812/ 12/2020 1:18:05 PM
2020 1:18:05 PM13:18:052020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
运动方程
2. 运动方程
坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，
位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。
x x(t) y y(t) z z(t)
f (x, y, z) 0
z
将运动方程中的时间消去，得到质点运动轨迹方程。
f (x, y, z) 0
例： x x0 v0t
y
y0
1 2
gt 2
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 1时18 分5秒13 :18:051 2 December 2020
简谐振动的动力学特征
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
9
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
y2 A22
2 xy A1 A2
cos2
1
sin2 2
1
（5）
此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅 A1和
A2 以及初位相差 2 1所决定。
34
讨论：
1. 分振动相位相同或相反时
① 相位相同，即：2 1 0或 2k 。
则⑸式成为：
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
因此，
mga 0
I
02 0，
0
mga I
5
4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 （x 例：长度，角度，电量等）的变化规律
满足方程⑴式，且常量 理量作简谐振动。
决0定于系统本身的性质，则该物
判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
6
§9.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
02
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数， 故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
7
二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
02位置矢量运动学方程
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。 质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。 即质点运动时，位置矢量是时间的函数。 即质点运动时，位置矢量是时间的函数。
3
r r r = r ( t ) 称为运动方程（位矢方程） 称为运动方程 位矢方程） 运动方程（
质点的运动轨迹质点运动时在空间所经历的实际路径叫做轨道或轨迹相应的曲线方程称为轨迹方程
位置矢量 运动学方程
1
一、位置矢量
1.位置矢量 1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。 描写质点空间位置的物理量。 在直角坐标系中，可以从原点O向质点P所在位置画 在直角坐标系中，可以从原点O向质点P r 来表示质点位置。 一矢量 r 来表示质点位置。 r z P ( x, y , z ) 称为位置矢量，简称位矢。 位置矢量 位矢 r 称为位置矢量，简称位矢。 位矢的端点代表质点的位置， 位矢的端点代表质点的位置， r 位矢的大小表示质点到原点的距离， 位矢的大小表示质点到原点的距离， r z y 位矢的方向由原点指向质点P。 位矢的方向由原点指向质点P o y x 位矢可表示为： 位矢可表示为：
它给出任一时刻质点的位置。 它给出任一时刻质点的位置。 在直角坐标系中，运动方程常写为： 在直角坐标系中，运动方程常写为： r r r r 强调：运动方程描 强调： r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k 述的是质点运动的 x = x (t ) 全过程， 全过程，而位矢描 亦可置。 时刻的位置。 z = z (t ) 注意：在直线运动中，常取直线为x 注意：在直线运动中，常取直线为x轴，此时质点运动只 有一个空间方向，可用标量表示，记作x=x(t) x=x(t)。 有一个空间方向，可用标量表示，记作x=x(t)。 3.质点的运动轨迹 3.质点的运动轨迹 质点运动时在空间所经历的实际路径叫做轨道或轨 相应的曲线方程称为轨迹方程。 迹，相应的曲线方程称为轨迹方程。 在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。 在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
大物上册复习内容
第一章复习一、描述运动的物理量1、描写质点运动的基本物理量（线量）（1）位置矢量：k z j y i x r++=。
（2）位移12r r r-=∆，注意与路程的区别。
（3）速度：dt r d v =，平均速度：t r v ∆∆= ，速率：||||dtrd dt dS v v ===（4）加速度直角坐标系：22dtrd dt v d a ==；平面自然坐标系：n v dt dv n a a a n ρτττττ2+=+= 2、描写刚体定轴转动的基本物理量（角量） （1）角位置θ（2）角位移12θθθ-=∆ （3）角速度dtd θω=（4）角加速度22dtd dt d θωβ==3、圆周运动角量与线量的关系：θ∆=∆R s ； R v ω=； R dtdva βτ==； R R v a n 22ω==。
二、运动方程1、直角坐标系中的运动方程：)(t r r=；2、定轴转动刚体的运动方程：)(t θθ=；3、自然坐标系中的运动方程：)(t s s =；三、轨迹方程四、可能出现的题型：1、根据运动方程求：位移，路程，速度，平均速度，速率，加速度，平均加速度等。
注意判别所求的物理量是矢量还是标量！2、根据加速度或速度以及初始条件求运动方程等。
可能用到的方法：图形面积法；矢量积分法（注意式中各物理量之间的变换，如：dxvdvdx dx dt dv dt dv a ===）。
3、根据运动方程求轨迹方程——消去运动方程中的时间即可。
4、利用匀变速直线运动公式或匀变速转动公式求解有关量。
匀变速直线运动公式：恒量=a ，at v v +=0，20021at t v x x ++=，)(20202x x a v v -=-匀变速转动公式：恒量=β，t βωω+=0，20021t t βωθθ++=，)(20202θθβωω-=-5、n a a a ,,τ的求解（1）直角坐标系中一般可由22dt r d dt v d a ==求出总加速度a，再根据||||dtr d v v ==求出速率，再根据dtdv a =τ求τa ，然后根据22n a a a +=τ求n a ，进而求曲率半径。
理论力学第五章 点的运动和刚体的基本运动 [同济大学]
![理论力学第五章 点的运动和刚体的基本运动 [同济大学]](https://img.taocdn.com/s3/m/9038a70db52acfc788ebc909.png)
dv v2 τ n dt
a
r
O
`
v vτ
r
dv 2 v2 ) ( )2 dt ρ
tan
aτ an
1
例5-2 汽车以匀速度v=10m/s过拱桥，桥面曲线 y=4fx(L–x)/L2, f=1m,求车到桥最高点时的加速度。
解： aτ
例5-3 销钉A由导杆B带动沿固定圆弧槽运动。导杆B沿轴螺旋 立柱以不变的速度v0 =2m/s向上运动。试计算当θ=30° 时，销钉 A的切向和法向加速度。 解: 建立弧坐标s和直角坐标Oxy如图。 因 s=Rθ,
销钉A的加速度为
aτ v sin θ v0 θ cos θ
2 2 sin θ v0 12.32m/s 2 R cos3 θ
an
2 v2 v0 21.33m/s 2 R R cos 2 θ
例5-4
判别下图示曲线中加速度、速度矢量是否正确。
§5-4 刚体的基本运动平动，转动
则vＤ＝vＡ＝２rω
aＤn＝aＡn＝２rω２ aＤτ＝aＡτ＝２ra
0 dt
0
t
y x
θ θ0 ω0t
t
0 0
t
αdtdt
角加速度为常量：
两个独立方程
0 t,
1 θ θ0 ω0 t t 2 2
1 θ θ0 (ω0 ω)t , 2
t 0
'2 1 1 y " k y
切线
v r S M* + M
dτ s v lim n d t lim t 0 t t 0 s t
an
一、位移、速度、加速度dtrdv...
I = ∫ Fdt = P2 − P1
t1
t2
合外力为零时, P = 常矢量
三、质心及质心运动定理： rc
∑m r =
m
i i
F = Mac
四、角动量定理
dL d ( r × p ) M = r×F = = dt dt
五、角动量守恒定律
M = 0 ⇒ L = 常矢量
例3.1 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径 为r的小圆盘，两部分中心O和O′相距为d，且 （d + r）< R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在 x 轴上。 用挖补法 1) 先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
at = an ⇒ − c
(
(b − ct ) =
2
)
b 2 b R ⎛ b ⎞ < R, ∴ t = + ∵⎜ ⎟ ∴t = ± c ⎝ c⎠ c c
R c
3.一质点沿 X 轴作直线运动，其 v − t曲线
如图所示。当 t = 0时，质点位于坐标原点 ，
则 t = 4.5s时，质点在 X轴上的位置为：
质点力学习题课
质点运动学
一、位移、速度、加速度
dr v = dt
dv 二、圆周运动 a τ = τ dt
三、相对运动
v = v′ + u
v2 a n = vω n = R ω 2 n = n R
dv d r a= = 2 dt dt
2
a = a ′ + a0
运动学中的两类问题：
1、已知运动方程，求轨迹方程(消t)、速度及加速度(求导) --------微分法 2、已知加速度 a (t ) 及初始条件，求运动方程、轨迹方程 --------积分法
位置矢量和运动方程概述
地球自转的周期
地球公转的周期
人类的寿命
人类文明史
古人类出现至今
地球的年龄
宇宙的年龄
10-22s 10-19s 10-16s 10-6s 100s 103s 105s 107s 109s 1011s 1014s 1017s 1018s
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
一、时间和空间
1.人类的“时空观念”
即人类对时间和空间的认识。
牛顿的绝对时空观
三个历史发展阶段
爱因斯坦的相对论时空观
新宇宙学的宇宙时空观
2.时间：时间本身具有单方向性，是一维的。
时间的单位是秒，符号为s。
3.空间：空间反映物质运动的广延性。
空间中两点之间的距离称为长度。
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
四、运动方程
r(t)
x(t)i
y(t)
j
z(t)k
y
x x(t)
y(t)
r(t)
分量式 y y(t)
o
x(t)
z z(t)
z(t)
z
x
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) 0
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国际单位制 （SI）
量的名称 长度
单位名称 米
单位符 号
m
质量
千克
Kg
时间
秒
s
电流
安培
A
热力学温度 开尔文
K
物质的量 摩尔
mol
大学物理(上)课后习题答案之欧阳法创编
第1章质点运动学 P21时间：2021.03.09创作：欧阳法1.8一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y =21t 2+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。
⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。
解：（1）j t t i t r)4321()53(2-+++=m⑵1=t s,2=t s 时，j i r5.081-=m ；2114r i j =+m∴213 4.5r r r i j∆=-=+m⑶0t =s 时，054r i j =-；4t =s 时，41716r i j =+ ∴140122035m s 404r r r i ji j t --∆+====+⋅∆-v ⑷1d 3(3)m s d ri t j t-==++⋅v ，则：437i j =+v 1s m -⋅(5) 0t =s 时，033i j =+v ；4t =s 时，437i j =+v (6)2d 1 m s d a j t-==⋅v这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。
1.9质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为226a x =+，a 的单位为m/s2，x 的单位为m 。
质点在x=0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。
解：由d d d d d d d d x a t x t x===v v vv得：2d d (26)d a x x x ==+v v两边积分210d (26)d xx x=+⎰⎰vv v 得：2322250x x =++v∴1m s -=⋅v1.11一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：⑴t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解：t tt t18d d ,9d d 2====ωβθω ⑴s 2=t 时，2s m 362181-⋅=⨯⨯==βτR a⑵当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a τ︒==即：βωR R =2，亦即t t 18)9(22=，解得：923=t 则角位移为：322323 2.67rad 9t θ=+=+⨯=1.13一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为α=0.2 rad/s2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。
新乡学院试卷结构力学(一)B卷
新乡学院2013―2014学年度第二学期《结构力学（一）》期末试卷B卷课程归属部门：土木工程与建筑系试卷适用范围：2012级土木工程、交通工程专业考试形式：闭卷考试时间：110分钟1．如图1所示连续梁用力法求解时，简便的基本结构是（）A．拆去B、C两支座B．将A支座改为固定铰支座，拆去B支座C．将A支座改为滑动支座，拆去B支座D．将A支座改为固定铰支座，B处改为完全铰2．如图2所示的两超静定梁有如下关系（）A．内力相同，变形不相同B．内力相同，变形相同C．内力不相同，变形不相同D．内力不相同，变形相同图1 图23．如图3中最左边所示的结构在M作用下，选取一半结构时正确的是（）图3A．图a B．图b C．图c D．图d4．用力法解出结构M图后，取任意一对应静定基本结构，相应有单位1M图，则dsEIMM∑⎰1的结果（）A．恒大于零B．恒小于零C．恒等于零D．不一定为零5．如图4所示，结点角位移的个数与线位移的个数分别为（）。
A．3，2 B．5，4 C．4，2 D．4，1(a)(b)图4 图56．如图5中a的超净定次数与b的超静定次数分别是（）A．3，2 B．4，4 C．4，2 D．4，37．在位移法基本方程中，系数ijr代表（）A.只有1=∆j时，由于1=∆j在附加约束i处产生的约束力B.只有1=∆i时，由于1=∆i在附加约束j处产生的约束力C.1=∆j时，在附加约束j处产生的约束力D.1i∆=时，在附加约束i处产生的约束力1．力法的典型方程是沿基本未知量方向的方程。
2．几何可变体系可进一步分为和两类。
3．图6所示带拉杆拱中拉杆的轴力N a= 。
图6 图7一、选择题（每题2分，共14分）二、填空题（每空2分，共10分）院系:________班级:__________姓名:______________学号:_____________…….……………………….密…………………封…………………线…………………………4．图7所示的结构体系为几何体系。
位置矢量运动方程位移速度加速度.ppt
代入初始条件
代入初始条件
P.24
z
cos x r cos y r cos z r
y
r
P
o
x
x(t )
x
P.9
质点运动学
质点的运动方程
r 随时间变化的函数 r (t ) 称为
2 运动方程
y
r r (t )
z
r
P
P
在直角坐标系中，质点运动方程的具 体形式为：
o
y (t )
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
P.13
质点运动学
二、速度
1、平均速度
P
Q
r x y v i j t t t
注意 r、 r 、r及s区别
2、瞬时速度
单位：ms-1
P Q
r dr v lim t 0 t dt
单位：ms-1
速度等于位矢对时间的一阶导数
2. 瞬时加速度
令 t 0
2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
加速度的方向？
dv x dv y dv z i j k dt dt dt d 2 x d 2 y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
行星
子弹
P.5
质点运动学
2 参考系 参考系 —— 为了描述一个物体的运动而选定的 另一个作为参考的物体，叫参考系。
1）描述运动的相对性决定描述物体的运动必须选取参考系。 2）运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式（如轨 迹、速度等）可以不同。 3）常用参考系: a:太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系）； b:地球参考系（地球 ─ 行星参考系）； c:质心参考系；
大学物理：1-3 曲线运动方程的矢量形式
一.圆周运动方程的矢量形式 二.抛体运动方程的矢量形式
一. 圆周运动方程的矢量形式
在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的坐标x、 y、z 为时间t函数：
x x(t), y y(t), z z(t)
这就是r运动r方(x程, y的, 分z)量形r式(t，) 写成矢量形式为
1 2
gt 2
j
v0t
1 2
gt
2
j
这种分解方法可用 下图说明
y
v0t
1 gt2 2
r
x
O
还可用子弹打猴子的古老演 示来证实： 猎人瞄准树上的猴
子射击，猴子一见火光就跳下自 由下落），却不能避开子弹。
这种分解方法可用 下图说明
y
v0t
1 gt2 2
r
x
O
v0 y
y
v0
v
故任意时刻的速度为：
g O v0x
x
v (v0 cos )i (v0 sin gt) j
将上式积分，得到运动方程的矢量形式为
t
r 0 (v0 cos )i d t (v0 sin gt) j d t
(v0t
cos )i
(v0t sin
1 2
gt2 ) j
消去此方程中的时间参数t，得到抛体运动的轨迹方 程为
以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂 直方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个 相互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。
运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自独 立进行的运动的叠加。
以匀速圆周运动为例： 1.运动方程
两种形式的运动方程可分别写 出为：
x R cost, y R sin t, z 0
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1、切向加速度
如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质点速
度 V=vet v为速率。
v
et
A,t
en r
O
图 1-7
加速度为 a=dv/dt=dv/dtet+vdet/dt（2-2）
式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引 起的，方向与et共线，称该项为切向加速度， 记为 at= dv/dtet =atet（2-3）
t t t t
vxi vy j vzk
大小： v r 方向：r
t
的方向；
2.瞬时速度
v lim r dr t0 t dt
v
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
vxi vy j vzk
A
B6B5B4
r
B3
B2B1B
r(t)
r(t t)
0
大 方小 向： ：drv的v方 向v-x2--轨vy道2 切vz线2 方向；
t
t
（见图1-4）
称为Δt时间间隔内质点的平 均加速度
y
A, t
1
（2 平移） r1
r2
o
B,t t
2
x
图 1-4
2、瞬时加速度
为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加
速度。 定义：
a
lim
v
t0 t
dv
dt
d 2r dt 2
称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。
结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢
说明：
（1）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量； 前者为标量，后者为矢量。
（2）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为 标量，后者为矢量。
（3）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速 率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快
慢，从而引进加速度的概 念。
1、平均加速度
定义a：平v均(t加速t度) v(t) v
可有det= en
d
式（2-2）中第二项为：
v
det dt
v
d dt
en
v r
ds dt
en
v2 r
en
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。
称此项为法向加速度，记为
an
v2 r
en
（2-5）
大小为
an
v2 r
（2-6）
是加速度的法向分量。
et
det
d
et
图 1-9
结论：法向加速度分量等于速率平方除
一、自然坐标系
图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A
点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切 向和en法向为坐标轴，由此构成 的参照系为自然坐标系（可推广 到三维）
C e（n 法向）
et (切向）
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及法向加速度
讨论：⑴如图1-10，a总是指向曲线的凹侧。 ⑵an 0 时，r ，质点做直线运动。此时
0,加速直线运动（dv 0)
xi yj zk
❖ 讨论：
❖ a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度；
❖ b. 路程是标量，大小与位移的大小一般 ❖ 不 c. 相在等极，限即情；况r下s；dr ds ❖ d. 单方向直线运动时；r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量；
1.平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
矢量形式：
r(t)
x(t)i
y(t)
j
z(t)k
分量形式：
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
消去t 可得轨迹方程： f (x,y,z) = 0
3.位移 位移：质点一段时间内位置的改变；
r r(t t) r(t)
(xBi
yB
j
z
B
k
)
(
xAi
yA
j
zAk )
(xB xA )i ( yB y A ) j (zB z A )k
对时间的二阶导数。 说明：一般情况下与 力的斜上抛运动）。
v方向不同（如不计空气阻
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线；
位矢： r xi直线运动中，用坐标x(代数量)可表示质
点的位置；
运动方程： x x(t)
P2 x2 0
P1 x
x1
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。
at为加速度的切向分量。 结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导
数。
2、法向加速度
B,t dt et
ds A,t
d r
O
式（2-2）中，第二项是由质点运
动方向改变引起的。
图 1-8
如e等t图夹于1角-8为，。质（因点见为由图ddeA1td点垂-8运直）动e当t，到所B趋点以于d，由0时有A点d，e指t有=向ed’圆te-et 心t的, eO大’t，与小
以曲率半径 。
3、总加速度
a
at
an
at et
an en
dv dt
et
v2 r
en
大小：
a
at2 an2
dv dt
2
v2 r
2
方向：a与et夹角（见图1-10）满足
a
at
O
A,t
an
图 1-10
（2-7） （2-8）
4、一般曲线运动
圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于 一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的 参考物体叫参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运 动，要选择一个与 参考系相 对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任 意选择的，视处理问题方便 而定。
z
参考系
o
y
坐标系
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质 量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。 说明： ⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中 有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3） 无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研 究问题的性质和精确度而定.
3、平均速率与瞬时速率
定义：平均速率=Δs/Δt
称为质点在Δt时间段内的平均速率。为了描 述运动细节，引进瞬时速率。
定义：v=ds/dt
称为t时刻质点的瞬时速率，简称速率.当Δt趋 于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬时速率=瞬时速 度的大小。
结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时 间的一阶导数。
二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移
1.位矢：表征空间某点P的位置，由原点0到P 的矢量；如 图1-2
z
z
r
op
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
cos x , cos y , cos z
r
r
r
x
rP
y
y
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运 动方程。 运动方程