5 多元向量值函数的导数与微分

)
dx1
f2 ( x0 x1
)
dx1
f1( x0 x2
)
dx2
f2 ( x0 x2
)
dx2
f1( x0 ) x1
f2 ( x0 ) x1
dfm ( x0 )
fm ( x0 x1
)
dx1
fm ( x0 x2
)
dx2
fm ( x0 ) x1
f1( x0 )
x2
f2 ( x0 ) x2
9
向量值复合函数求导的链式法则
Df [g( x)] Df (u) Dg( x) ug( x)
例：试通过如下函数验证上述公式
w
f (u)
u12
,
u1u2
w
w1 w2
,
u
u1 u2
u
g(u)
x1
e x2
,
sin x1
x
x1 x2
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fm ( x0 ) x2
f1( x0 )
xn f2 ( x0
xn
)
d x1 dx2
f
m
(
x0
)
dxn
xn
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7
对于n元向量值函数，若m=n： f : A n n
则称Jacobi矩阵的行列式为Jacobi行列式，计作：
J f ( x0 )
Df ( x0 )
f
'( x0 )
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
显然 f 可导当且仅当其每个分量可导，并且：
Df ( x0 ) f '( x0 ) f1 '( x0 ), , fm '( x0 ) T
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3
类似可以定义 f 的二阶导数以及n阶导数：
D2 f ( x0 ) f "( x0 ) f1 "( x0 ), , fm "( x0 ) T
Dn f ( x0 ) D Dn1 f ( x) |xx0
定理：
f : A m可微
f 的任意分量 fi : A 可微
df ( x0 ) f '( x0 )x f1 '( x0 )x, , fm '( x0 )x T
10
多元向量值函数的导数与 微分
一元向量值函数的导数与微分 二元向量值函数的导数与微分 微分运算法则
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1
对于一般的n元向量值函数：
f :A n m
f1( x) f1( x1, x2 ,
f
(
x)
f
2
(
x
)
f2 ( x1 , x2 ,
fm ( x) fm ( x1, x2 ,
f1, f2 , x1 , x2 ,
, fn , xn x0
向量值函数的偏导数：
f x0
xi
f1 x0
xi
,
f2 x0
xi
,
,
fm x0
xi
T
本质上是一元向量值函数的导数！
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8
三、微分运算法则
f 和 g 为向量值函数
D( f g)( x) Df ( x) Dg( x)
)
dx1
f1( x0 x2
)
dx2
f2 ( x0 x2
)
dx2
dfm ( x0 )
fm ( x0 x1
)
dx1
fm ( x0 x2
)
dx2
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5
利用矩阵乘法：
df ( x0 )
df1( x0 )
df2
(
x0
)
f1( x0 x1
f1( x0 ) f2( x0 )
fm ( x0 )
fm ( x0 )
xn
定义微分为：
df
(
x0
)
df1( x0 ) df2( x0 )
f1( x0 )
x1 f2 ( x0
x1
)
dfm ( x0 )
fm ( x0 )
x1
f1( x0 ) x2
f2( x0 ) x2
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二、二元向量值函数的导数与微分
f :A 2 m
f1( x1, x2 )
f
(
x1
,
x2
)
f
2
(
x1
,
x2
)
,
fm ( x1, x2 )
x1, x2
定义：
df
(
x0
)
df1( x0 )
df
2
(
x0
)
f1( x0 x1
)
dx1
f2 ( x0 x1
D f , g ( x) f (x)T Dg(x) g(x)T Df (x)
D(uf )( x) uDf ( x) f ( x)Du( x) （u 为数量值函数）
f,g: 3
D( f g)( x) Df ( x) g( x) f ( x) Dg( x)
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一般地，对于n元向量值函数：f : A n m
定义导数(Jacobi矩阵)为：
f1( x0 )
x1
Df
( x0
)
f2 ( x0 ) x1
fm ( x0 ) x1
f1( x0 ) x2
f2 ( x0 ) x2
fm ( x0 ) x2
f1( x0 )
xn f2( x0
xn
)
, xn )
,
xn
)
, xn )
lim f ( x) a i 1,
x x0
, m, lim x x0
fi(x)
ai
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2
一、一元向量值函数的导数与微分
f :A m
f1( x)
f
(
x)
f
2
(
x
)
,
x
fm(x)
定义一元向量值函数 f 的导数为：
dx1
dx2
fm ( x0 )
x2
f1( x0 )
x1
于是，将矩阵
f2 ( x0 ) x1
fm ( x0 ) x1
f1( x0 )
x2
f2 ( x0 ) x2
Df
( x0 )
称为导数
fm ( x0 )
x2
Jacobi 矩阵
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