2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(含答案)
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2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2018年6月30日上午9:00)
一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)
1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=
2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=
3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=
4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log
2
x的图象上，则|PQ|的最小
值=
5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=
6、在边长为I的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC
1
相切，则小球半径的最大值=
7、设H是△ABC的垂心，且3450
HA HB HC
++=，则cos∠AHB=
8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T
n
，第一行是1,2,…,n.例如：3
123
894
765
T
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦设2018在T
100
的第i行第j列，则(i,j)=·
二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)
9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB.
10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程.
11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有:
) 222
x23
y z xy yz zx ++≥++
.
（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？
()
222
x23
y z k xy yz zx
++≥++
，试证明你的结论.
12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
参考答案
一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)
1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=4-3i,34i
-+
2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=213
3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=2π
4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log
2
x的图象上，则|PQ|的最小值
5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=
1 15
6、在边长为I的正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC
1
相切，则小球半径的最大值=
4
5
-
7、设H是△ABC的垂心，且3450
HA HB HC
++=
，则cos∠AHB=
-
8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T
n
，第一行是1,2,…,n.例如：3
123
894
765
T
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦设2018在T
100
的第i行第j列，则(i,j)=(34,95).
二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)
9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L
对称.求证:∠HAB=3∠GAB.
10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程.
11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有:
) 222
x23
y z xy yz zx ++≥++
.
（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？
()
222
x23
y z k xy yz zx
++≥++
，试证明你的结论.
12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.