二面角大小的求法

∴ta算nD求FA出＝相DF应AA 的22角。即所求二面角的正切值.
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC, ∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，1AD= .
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
2
解法3：（向量法） 如图，建立空间直角坐标系，
z
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，
而
ur uuur m • DE 0
3x y z 0
ur uuuur m • DC1 0
2y 2z 0
不妨设x 0, 得y z 1
m (0,1,1) cos(n, m) 2 2
D
y
A1
E
C1
x
B1
面A1B1C1与面DEC1所成角的
xz z 2y
cos n, DA n DA 2
n DA 3
从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角， 因此二面角B-PQ-D的大小为 arccos2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为3，侧棱
3 AA1 2
3 ，D是CB延长线上一点，且BD BC 。求二面角
B1 AD B 的大小。
A
A1
C B D
C1 B1
∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA
F
A
D
又∵SA⊥AE ∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，
E
AF 1 SE 2 SA 2
2
2
2
又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE
∴由三评垂注线：定理常得规D法F⊥求SE解步骤：一作：作出或找出相应空间角；
∴∠DFA二为证二面：角通的过平面简角单, 的判断或推理得到相应角；三求：通过计
∴FC1⊥A1C1.
又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内，
B1 F
∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，
∴FC1⊥DC1. ∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.
由已知A1D=B1C=A1C1，∴∠DC1A1=
4故所求二面角的大小为
4
例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上
2 DA (1,0,0), BP (1,1, 1), BQ (1,0,1).
2
D
x
A1
B1
因DA⊥面PQD，所以 DA是面PDQ的法向量。设
A
B
P
y
C
n (x, y, z) 为面BPQ的法向量，则
n BP, n BQ


x

y

1 2
z

0,
x z 0
n=(1解，题2，过1程) 实现了程序化，是一种有效∴方θ=法ar。ccos
6 3
故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos 6
3
例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上
的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面
所成二面角的大小.
A
的所点 成，二且面角A1D的=大2B小1E. =B1C1.求过D、E、C1的平面与A棱z柱的下底面A
解：(向量法）建立如图的空间直角坐标系 A xyz,
B
则，B1( 3,1,0) E( 3,1,1)
C1(0,2,0) D(0,0r,2) 易知平面A1B1C1的法向量为 =n(0,0,1),
设平面DEC1的法向量为 m=(x，y，z),
A
解： （几何法）在平面A1B1B内延长DE和A1B1交于F，则
B
F是面DEC1与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共
点，连结C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是
D
D-C1F-A1.
∵ A1D∥B1E，且A1D=2B1E，. ∴E、B1分别为DF和A1F的中点A. 1 E
C1
∵A1B1=B1F=B1C1，
S
r 令易 设 n知平rnrD••(平面x0评或平两uDuD，u面 Su得其面个uCuS12注1rDrS，：补角基CA：0的角，本0B0)通，的法）往步y得过S法向的往骤(此02向量常很，，,例z量为x规不通120可y，为。方简过12nr1以1y即z法单求mu)=r，看(是 。 两00x出=，构 利 个(：0y造 用 平，，求12三 建 面z二，)角 立 法，面0∵形 空 向)c；面角o求 间 量sS大解 直 的A小Bnu， 角 夹r与,（mu其 坐 角r面空关 标 来S间C键 系 达Dmu面mxurr又，到所•A面nrnr成是避解角=角作开决12等的B出了问1于二二“题D6面二面作的=角面角、目为角36的证的锐y”，角Cθ
竖 立 式
[0,π]

l


l

横卧式

l


l
A
A
o
o
B


l
Bo
定义法 垂面法 三垂线法
A
B
C
A1
B1
C1
射影面积法
cos S射影多边形
S多边形

m n
设 m 和 n 分别为平面 , 的法向量，二面角
l 的大小为 ，向量 m、n 的夹角为 ，


l
二面角为锐角
4
向量法
课堂练习：如图, 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形， AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q 分别 是CC1、C1D1的中点，求二面角B-PQ-D的大小。
解：建立如图所示的坐标系D---xyz，，则
z
D1
Q
C1
B1,1,0, P(0,2, 1),Q(0,1,1) A(1,0,0)，
n




结论① 或
结论② 平面 与平面 所成的二面
角 的计算公式是：
nm
nm
arccos
arccos
nm
nm
l
m
（当二面角为锐角、直角时）
（当二面角钝角时）
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,
∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，A1 D= .
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
2
S
法1：可用射影面积法来求，这里只要求
出S△SCD与S△SAB即可，
B
C
故所求的二面角θ应满足
cos SSAB
S SCD
1 11
=
2 1
3
2
2
2
A
D
6
=
3
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,
∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，A1D= .
求面SCD与面SAB所成的角的大小。
2
解法2：（三垂线定理法） 延长CD、BA交于点E，连结SE， S
SE即平面CSD与平面BSA的交线. 又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图.
B
C
∵AD＝ 1 BC 且AD∥BC 2