三阶数字锁相环中的混沌与分岔

三阶数字锁相环中的混沌与分岔摘要：研究一个三阶零交叉数字锁相环（ZCDPLL）中的非线性动力性。

观测到，当一阶，二阶ZCDPLL表现为双周期性走向混沌，则三阶ZCDPLL在混沌之路中体现出一个解体的周期吸引子。

系统动力学的复杂性和可预见性也可通过使用非线性动力测度方法来刻画，比如说Lyapunov指数，Kaplan-York维数，关联维数和Kolmogorov熵。

所有结果表明，三阶ZCDPLL的混沌是低维的。

关键词：数字锁相环；分岔；混沌；动力测度1.简介一直以来，锁相环（PLLs）被用于构建电子通讯系统的模块。

由于系统的非线性特性，甚至到现在，其应用潜力【1,2】的调查研究和环路动力特性【3-6】，依然是众多研究者关注的议题。

最近，已经有相关文献【7-9】报道了一个模拟的三阶锁相环中的非线性动力特性，但是，同样的内容在三阶数字锁相环中仍在探索。

数字锁相环（DPLLs）是离散的非线性反馈控制系统并且广泛应用于同步通信系统【10】。

与模拟锁相环不同的是，数字锁相环在直流漂移方面上有超过模拟三阶锁相环的明显优点，如元件值的精密度，等。

广泛使用的数字锁相环是一个非一致的正向零交叉抽样数字锁相环，因为它更容易设计和实现。

一阶，二阶ZCDPLLs中的非线性动力性的研究已经在相关文献【11,12】报道过了，它表明了，依赖于控制参数，系统能够通过一串周期倍分岔走向混沌状态。

众所周知，三阶数字锁相环通常应用在要求具有快速瞬态响应的接收系统中。

然而，锁相环的阶数的增加使得系统动力性变得更加复杂，并且有时候还会变得难以分析。

因此，人们总有采用非线性动力学方法通过时间序列数据来研究高阶系统动力性动力。

而且，三阶数字锁相环的混沌动力学的特性对系统设计，混沌控制以及探索在实际通信系统中应用混沌的可行性来说非常重要。

在这篇文章中，我们研究的是三阶零交叉数字锁相环的非线性动力性。

系统的混沌现象借助于非线性动力测度来量化，即Lyapunov指数，Kaplan-York维数，关联维数和Kolmogorov熵。

据观察，三阶数字锁相环中的动力性与一阶和二阶的数字锁相环有很大的不同。

在三阶系统中，低阶环中随着设计参数变化的通常周期倍混沌路线是没有的。

同样的，三阶零交叉数字锁相环中的混沌现象是低维的并且很好刻画，这些对基于混沌的电子通讯系统中的混沌控制和混沌可行性开发都是必需的。

本文按如下分布。

下一节刻画所研究系统的结构，并公式化系统方程。

在第三节，系统的稳定性分析已经完成。

第四节介绍的是不同控制参数的数值分岔分析。

第五节介绍的是系统的扩展时间序列分析。

最后，第六节的内容是综合的结论性评论。

2.系统描述和系统方程公式图1.三阶ZCDPLL 的函数方图图1表示三阶ZCDPLL ，包括采样，二阶环路数字滤波器（LDF ）和一个数字控制振荡器（DOC ），设噪音自由输入信号为：0()sin(())s t A t t ωθ=+ （1） 其中，00()()i t t θωωθ=-+，A ，i ω，0θ，分别代表振幅，角频率，相位常数。

0(2/)T ωπ=是周期为T 的DCO 的名义上的角频率。

()s t 被采样器在输入信号的每个正向转换边界处采样。

样本序列()(0,1,2..)k k x s t k ==由LDF 处理并且给过滤器输出k y 为123000k k mk k l l l m l y G x G x G x ====++∑∑∑ （2）其中123,,G G G 是环路数字滤波器的增益。

序列k y 是用于控制DCO 的下一个周期来完成操作上的同步状态，算法是【10】，10()k i t k kT y -=-∑。

现在输入信号相位和DCO 相位(,)k rad φ之间的相位误差定义为：100(())k k i t k y φθω-=-∑ （3）这样反过来给出了系统的相位控制方程为【10】：3212133sin()(1)sin()sin()k k k k k k k pK K r K φφφφφφφ+++++-+-=-++- （4）其中使用下列替换：012131,1,2,3;,1/,/i i g A G i K g z r g g p r g g ω====+=+。

z 是输入信号到DCO 信号的频率。

从系统设计的角度来看，,,K r p 是可以独立控制的并保持其它参数不变的设计参数。

K 被解释为回路增益参数，,r p 是环路数字滤波器参数。

下一节，我们将研究设计参数,,K r p 对环路动力性的影响。

3.稳定性分析系统方程（4）可以重新整理并编写为一个三维迭代映射方程1[,]k K X F X q +=，其中3X R ∈，q 是定义为()T q Krp =一组分岔参数集。

这些产生在如下方程组中： 1,k k x y +=1,k k y z +=133sin (1)sin sin .k k k k k k k z z y x pK z K r y K x +=-+-++- （5）这里我们设12,,,()T k k k k k k x y z X xyz φφφ++====。

形式（5）的系统的雅克比变换可以写成：010G 0011cos 3(1)cos 3cos K x K r y Kp z ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪--++-⎝⎭（6）在稳定状态下，选择*2(0,1,2..)X n n π==附近的稳定点去线性化方程（6）。

现在，根据Ostrowski 的理论，如果*()G X '的特征值，记为i ψ，满足条件1i ψ<，系统将会达到一个稳定的锁定状态。

以信号和系统参数的形式给出了系统的稳定条件【13】为： 20,p r +->(1)0,K p p r --+>8(2)0,K p r -++>40.p r -++> （7） 这些条件的设定能够帮助选择环路设计参数的合适值。

此外，系统参数的选择为1K =，2,3r p K K ==，将会导致系统的快速收敛。

因此，这些值的设定可以取为系统设计的最佳值。

4.数值分岔分析我们通过检测稳态相位误差来研究系统分岔现象，选取参数,,K r p 中的任意一个作为控制参数，使另外两个参数保持最优值。

首先，我们取p 作为控制参数并且不断改变它的值以保持1,2K r ==。

图2a 表示系统在4p =收敛于一个稳定的不动点，这与（7）的稳定条件相符。

当4p >时发生了周期倍分岔。

如果继续增加控制参数p 的值，当 4.7p =时会出现一个不相交的吸引子结论。

这种类型的吸引子不会出现在一阶，二阶ZCDPLL 。

p 的值增加时，吸引子相互靠近，直到p 到达一个确定值（=5.08），它们会一起消失。

放大后的不相交的吸引子区域（图2b ）说明了周期性行为穿插在吸引子中（例 4.92p =时周期为-6）.当 4.99p >时系统进入混沌状态。

不相交吸引子的存在可以通过采取了初始条件0x =，y z -平面的图中的来观察得更仔细。

它们在4.85p =时显示了一个近似椭圆的轨道，并且随着p 的增加而逐渐扭曲，最后一起消失（图3）。

在,K r 取其他值时，从本质上来说，动力性是相同的，只是在发生分岔的点不同。

在其他分岔参数中，取K 为控制参数，在 1.489K =（3,2p r ==）时稳态相位误差分岔。

之后，比如一阶，二阶ZCDPLLs ，系统动力沿着常见的周期倍轨道走向混沌（图4）。

然而，当 1.6K >时，一些随机状态随着混沌状态一起开始引起关注。

取r 为控制参数（1,3K p ==），直到3r =时系统仍然处于稳定状态（根据式（7））。

超过该值，一个周期轨道的快速堆积产生在通往混沌之路，这就是为什么周期一和混沌之间的区间不能准确数值跟踪，并且系统直接从周期一状态进入混沌状态（图4）。

下一节，将通过不同的动力测度来刻画混沌行为。

图2 （a ）p 作为控制参数的分岔图（b ）(a)的盒域的由底向上的视图（1,2K r ==）图3. 4.85p =和 5.08p =时的相空间中吸引子（1,2K r ==）图4. K 和r 作为控制参数的分岔图（3p =）5.时间序列分析我们通过利用系统方程（4）产生的相位误差中的时间序列数据来分析三阶ZCDPLL 的动力性。

这样得到的数据是用来推导标准动力测度，有Lyapunov 指数（LE ），Kaplan-York 维数，关联维数（2D ）和Kolmogorov 熵（2K ）。

系统的Lyapunov 指数给出了系统的时间演化和依赖初始条件的敏感程度。

来自系统变量的时间序列数据计算Lyapunov 指数的方法在文献【14】中有据可查。

这里我们利用有不同控制参数的相位误差的时间序列来计算三阶ZCDPLL 的Lyapunov 指数。

表1表示p 取不同值（1,2K r ==）的LE 值。

当LE 值为正时表示了混沌的产生。

接下来，我们开始通过下面的定义【15】来计算Kaplan-York 维数（KY D ）的值：11jji KY j D j λλ=+=+-∑ （8）其中j λ是Lyapunov 指数，j 是满足条件10j j i λ=>∑的最大值。

在p 取不同值时的KYD 值列在表1中。

因为只有一个正的Lyapunov 指数，所以这个系统的混沌是低维的。

表1.对不同p 值的Lyapunov 指数（s λ'）和Kaplan-York 维数（KY D ）（1,2K r ==）吸引子的关联维数也是混沌的一个定量测度。

首先，我们得找出相关积分，定义为【16】：21/21112()[(())](1)N N m m i k j k i j i k C d H d x x N N ++==+==⨯--+∑∑∑ ， （9） 其中N 是时间序列中数据点的个数，H 是海维塞德函数，m 是嵌入维数。

为了通过时间序列来重建初始相空间，定义向量i X 为：[(),(),...,((1))]i i i i R i R i R i X V t V t V t m ττ=++- （10） 这里τ是时间延迟，在这个系统中τ是系统的采样周期，即1.我们通过线性维数d 将空间分解成超立方体，并计算所有的相互距离小于d 的点。

在【16】中我们能找到利用Grassberger-Procaccia 算法算出的关联维数的详细过程。

在 5.11,1,2p K r ===时使系统进入混沌区间，不同嵌入维数（m ）下的关联维数（2D ）能够通过log ().log()m C d vs d 曲线的斜率（图5）计算出来（图5中盒状区间指出的标计区域的正确选择）。

图6是通过嵌入维数（m ）来表示的2D 的图，通过这个图我们得到了系统的关联维数是2 1.1511D =。