2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 Word版含答案

2017年湖南省高中数学联合竞赛试题

一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{}1,2,,2017X =L ，集合(){,,,,S x y z x y z X =

∈，且三条件x y z <<，

y z x <<，z x y <<恰有一个成立

}，若(),,x y z S ∈，且(),,z w x S ∈，则下列选项正

确的是（ ）

A ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∉

B ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∈

C ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∈

D ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∉

2．已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥，与棱

1AA 交于D ，若122AA AB ==，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）

A ．

48 B ．24 C ．16 D ．12

3．已知椭圆C ：22

184

x y +=.对于任意实数k ，椭圆C 被下列直线中所截得弦长，与被直线l ：1y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ）

A ．0kx y k ++=

B ．10kx y --=

C ．0kx y k +-=

D ．20kx y +-=

4．对任意正整数n 与k （k n ≤），用(),f n k 表示不超过n k

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

且与n 互质的正整数的个数

（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则()100,3f =（ ） A ．11 B ．13 C ．14 D ．19

5．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆则是钝角三角形 D ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆则是锐角三角形

6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{}n a ：5，9，14，20，…，为“梯形数列”。根据“梯形”的构成，可知624a =（ ）

A ．166247

B ．196248

C ．196249

D ．196250

二、填空题（每题6分，，每小题8分，满分48分，将答案填在答题纸上）

7．已知函数()f x 满足()()()f m n f m f n +=，()13f =，则

()()()()()()22

122413f f f f f f ++++()()()()()

()22364857f f f f f f +++= ．

8．已知A ，B ，C 为O e 上三点，

且()

12

AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，则数量积AB AC ⋅=uu u r uuu r ． 9．已知z C ∈，若关于x 的方程2

48430x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数

z 的模z 的最小值是 ．

10．对正整数n ，定义()()!1221n n n n =--⋅⋅⋅L ，记()12!12!3!1!n n

S n n ⎛⎫=+++- ⎪ ⎪+⎝

⎭L ，

则2017S = ．

11．设0x ≤≤π，3sin

2

x

=tan x = ．

12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导数为()f x ，且有

()()22f x xf x x +>，则不等式()()()2

2017201710x f x f ++-->的解集

为 ．

三、解答题 （本大题共4小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

13．在锐角ABC ∆

中，sin A =，且a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边. （1）求()2

sin 2sin

2B C

B C +++的值； （2）若4a =，试求当AB AC ⋅uu u r uuu r

取得最大值时，ABC ∆的面积ABC S ∆的值.

14．已知数列{}n a 满足12a =，()2

1

1n n n

S a S +-=-

（*

n ∈N ），其中n S 为{}n a 的前n 项和.

（1）求证：11n S ⎧⎫

⎨⎬-⎩⎭

为等差数列；

（2）若对任意的n ，均有()()()12111n S S S kn +++≥L ，试求k 的最大值. 15．已知a ，b +

∈R ，且a b ≠. （1

ln ln 2

a b a b

a b -+<

<

-； （2）如果a ，b 是()ln 2017f x x x =-的两个零点，求证：2

ab e >.

16．如图所示，AB 是椭圆2

2

1mx ny +=（0m n >>，m n ≠）的斜率等于1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于两点C ，D ，设CD 的中点为F ，CD 交AB 于点E . （1）求证：2

2

24CD AB EF -=； （2）求证：四点A ，B ，C ，D 共圆.