2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 Word版含答案
2017年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、在等比数列{}n a 中，22=a ，333=a ，则2017720111a a a a ++为2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值 为在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为4、在ABC ∆中，若C A sin 2sin =，且三条边c b a ,,成等比数列，则A cos 的值为5、在正四面体ABCD 中，F E ,分别在棱AC AB ,上，满足4,3==EF BE ，且EF 与面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 ．6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为7、设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线0222=++a ay x 的焦距为4，则实数a 的值为 ．8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。
10、（本题满分20分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足221n n n n a a a b -=++， ,2,1=n（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2） 设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0≠d ，并且存在正整数t s ,，使得t s b a +是整数，求1a 的最小值。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 (PDF版)
A1
P
K
D
1 1 1 3 1 3 ，选 A 因此，VD－ABC＝ ×S△ABC×AD＝ ( 1 1 ) 3 3 2 2 4 48
3、已知椭圆 C：ALx2 y 2 1 ，对于任意实数 k，椭圆 C 被下列直线中所截得弦长，与被直线 l： 8 4 y＝kx＋1 所截得的弦长不可能相等的是 A.kx＋y＋k＝0 B. kx－y－1＝0 C. kx＋y－k＝0 D. kx＋y－2＝0 x2 y 2 1 是关于原点 O 对称的中心对称图形，也是关于 x 轴、y 轴对称的轴对 8 4 称图形，∴只要两条直线关于原点成中心对称或者关于 x 轴、y 轴成轴对称，那么它们被椭圆所 截的弦一定是等长的。选 D n 4、对任意正整数 n 与 k(k≤n)，用 f(n，k)表示不超过[ ] 且与 n 互质的正整数的个数(其中[x]表示 k
3 48
B.
3 24
C.
3 16
D.
3 12
解：取 B1C1 的中点 K，BC 的中点 L，在矩形 A1KLA 中(如图)，
3 3 2 ，故 A1P＝ A1K＝ 。 ∵AB＝BC＝CA＝1，∴AL＝A1K＝ 2 3 3
又 AA1＝2，由△ALD∽△AA1P 知 AD A1P AL 1 ， AA1 4
( S n 1) 2 2S 1 ， 2 2 an1 S n1 S n ，∴－(Sn－1) ＝Sn＋1Sn－Sn ，即 S n 1 n Sn Sn
S 1 因此 S n 1 1 S n 1 ，故 1 n 1， Sn S n 1 1 S n 1 S n 1
12、设函数 f(x)是定义在(－，0)上的可导函数，其导数为 f(x)，且有 2f(x)＋xf(x)＞x2，则不等式 (x＋2017)2f(x＋2017)－f(－1)＞0 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 解：∵x＜0，2f(x)＋xf(x)＞x2，∴2xf(x)＋x2f(x)＜x3＜0，故 x2f(x)为(－，0)上的减函数。 不等式(x＋2017)2f(x＋2017)－f(－1)＞0 即(x＋2017)2f(x＋2017)＞(－1)2f(－1)， 因此，x＋2017＜0 且 x＋2017＜－1，故 x＜－2018。 三、解答题(本大题共 4 个小题，满分 72 分。解答需要有完整的推理过程或演算步骤。) 13、(本小题满分 16 分) 在锐角△ABC 中，sinA＝ (1)求 sin2(B＋C)＋ sin 2
2017年全国高中数学联合竞赛试题和解答(A卷)
2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1•设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x 3) f(x_4) = -1 .又当0辽X ::： 7时，f (x) =log2(9 —x)，则f(—100)的值为______________2•若实数x, y满足x2+2cosy =1，贝U x — cosy的取值范围是___________2 23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:x y 1 , F为C的上焦点，A为C的9 10右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 _____________ . 4•若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5•正三棱锥P - ABC中，AB =1 , AP =2，过AB的平面:将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为___________ .6•在平面直角坐标系xOy中，点集K =〈x,y)x, y - -1,0,1】在K中随机取出三个点，贝U这三点中存在两点之间距离为J5的概率为______________7•在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若.A ABC的面积为3J3，则AM AN的最小值为______________ •8•设两个严格递增的正整数数列也Jb n 1满足：a®：：：2017，对任意正整数n，有a n^ =a n* +a n,b n+ =2b n，则a 的所有可能值为___________ •二、解答题9•设k,m为实数，不等式x2—kx —m兰1对所有la,b】成立证明：b—a兰2应.10•设/必必是非负实数，满足x1 x2 X3 =1，求(x1 3x2 5X3)(X1 •—-)的最3 5小值和最大值•11.设复数Z1,Z2满足Re(z1) 0, ReZ) 0,且Re(才)=Re(z；) = 2(其中Re(z)表示复数z的实部)•(1)求Re⑵Z2)的最小值；(2)求N +2 + Z2 + 2 —乙—Z2的最小值•2017年全国高中数学联赛 A 卷二试.如图，在:ABC 中，AB=AC , I 为:ABC 的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆 M , 以I 为圆心，IB 为半径作圆 『2，过点B , I 的圆r 3与】1,丨2分别交于点P,Q （不同于点B ）.设IP 与BQ 交于 点R .证明：BR_CR 二.设数列^aj 定义为 Q =1 ，a + nQ 兰 n,a n + = Jn =1,2，….求满足an- n,a n A n,a r ::: r < 32的正整数r 的个数•三•将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等 •若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”•试求分隔边条数的最小值•四•设m,n 均是大于1的整数，m_n , a 1,a 2/' ,a n 是n 个不超过 m 的互不相同的正整数, 且a 「a 2,…，a .互素•证明：对任意实数x ，均存在一个i （1 一 i 一 n ）,使得2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.答案：丄解：由黃件知*广（工+[4） = _—-——=r 所以dA-100）= <（-100 + 14x7）= === ~/（5） log-422a i x2 m(m 1)II X ，这里| y 表示实数y到与它最近的整数的距离答案：［-1*若+1］ *解：由于 v'-1-2cosr^［-1. 3J* 故［-点间.由cw r --— 可知» v -cos v-x --------------- ----- -(.V - U : - 1.阖此当 r =［时，1- 7 'A g 和有最小值|(这时$可以S1-)：当V - V'时 * A cos r 有最大值Jj I (这时F 可以取 2由于+的值域是［7 巧+ 1］・从而x-eosy 的取值范围是［-1, V3 + IL3.答第芈.£r解：易知卫⑶0)｝ F(0, 1). i 殳P 的坐标是(3cos<9, J?6审询,W 0冷・则盈>S — s 叫州F 屮 」辺神|——(vTOcosf/ I .sin//)= —^―sin(^ + ip) *2 2arctati ^1" 当/y-ardanVlO 时・四边形Oz 尸尸面积的最大值为芒叵. 10 24.答案：75. _解；考虑平稳数赢*若b = 0,则□ = ), c 怎｛01｝「有2个平稳数.若B=l ・JWX 仏2｝,虫｛0丄2"有2x3 = 6个平稳数・， ^r2<6<8,则口,匚€少一1",占+ 1八 有7x3x3 = 63个平稳数.若b = 9、则｛8,9｝ 1有2x2 = 4个平稳数.综上可知，平橈数的个数是2 + 6 +利+ 4=方・5.-丄 j.Jiihim 11WTT …答案:看解：设血PC 的中点分別为H ,则易证平而卫&灯就是平面口.由中线 长公式知5 I gg 」"土 ％—； 2KMMC 石 故棱PC 与平面任所戒角的余弦值为婕.106.解：易知K 中有9个点，故在K 中粗机取出三个点的 方式数为C ： = 84种.将K 中的点按右图标记为其中有8 对点之问的葩奥为J?.由对称性，考虑取厶局两点的情 况.则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序人对每个4G = U,--S 8）. K中恰有4宀4乜两点与之距證为｛这里下标按模8理解）.因而恰有 卩，心/』（心kN …⑻这$个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个 数为56-8 = 48・进而所求概率为—=-.S4 77.答案土 C 卜I 解：由条件知f AMACt AN故2'?斗 4I ，-?—-1' ][ ( I —' I TAM AN - -{Jfi + ^C]*| -.4B + - JC - - 3|AB^ +|^C| -4JS-Jtj.由于 ^3 = S 曲北=|jC | ■ sin J = |^45||/1C| r 所以 AB AC — 4* 进2 4步可得 AH AC — .4( I €0> .4 — 2* 从而IV/r所以 KM = JIC')- -PC --(2^= ---- T2文易知直线/＜在平滴。
湖南省2017年高中数学联赛预赛试题
2017年湖南省高中数学联合竞赛试卷一、选择题（本大题共6个，每小题5分，满分30分）1. 设集合{}1,2,3,....,2017X =,集合{(,,),,,S x y z x y z X =∈且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰好有一个成}立,若(,,),(,,)x y z S z w x S ∈∈,则下列选项正确的是( )A. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∉且B. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∈且C. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∈且D. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∉且2.已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥,与棱1AA 交于点D,若122AA AB ==,则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A.48 B. 24 C. 16 D. 123.已知椭圆C: 22184x y +=，对于任意实数k,椭圆C 被下列直线所截得弦长，与被直线:1l y kx =+所得弦长不可能相等的是（ ）A. 0kx y k ++=B. 10kx k --=C. 0kx y k +-=D. 20kx y +-=4.对任意正整数n 与k ()k n ≤，用(,)f n k 表示不超过n k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数个数,则(100,3)f =（ ）A. 11B. 13C. 14D. 195.如果111A B C ∆三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B. 111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 D. 111A B C ∆是钝角三角形, 222A B C ∆也是锐角三角形6.将石子摆在如果所示的梯形形状，称具有“梯形” 结构的石子数依次构成的数列{}n a ： 5,9,14,20，,,,,,,,,,,为“梯形数列”，根据梯形的构成，可知624a =（ ）• • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • •A.166427B.196248C.196249D.196250二、填空题（本大题共6个，每小题8分，满分48分）7.已知函数()f x 满足()()(),(1)3f m n f m f n f +==，则22(1)(2)(2)(4)(1)(3)f f f f f f ++++22(3)(6)(4)(8)(5)(7)f f f f f f ++++=_________8.已知,,A B C 为圆O 的三点，且1()2AO AB AC =+,则AB AC ⋅=__________9.已知复数z ，若方程248430(x zx i i -++=为虚数单位）有实数根，则复数z 的Z 的最小值=_________10.对于正整数n,定义!(1)(2).......21n n n n =--⋅，记12!.....12!3!(1)!n nS n n ⎡⎤=+++-⎢⎥+⎣⎦， 2017S =________11.当0x π≤≤，且3sin2xtan x =____________ 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，有22()()f x xf x x '+>， 则不等式2(2017)(2017)(1)0x f x f ++-->的解集_______________13.（16分） 在锐角ABC ∆中，sin A ,a,b,c 为A,B,C 的对边， （1）求2sin 2()sin 2B CB C +++的值 （2）若4a =，求当AB AC ⋅取最大值时ABC ∆的面积14.（16分）已知数列{}n a 满足211(1)2,()n n n s a a n N s ++-==-∈,其中n S {}n a 的前n 项和， (1)求证：11n s ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列(2)若对于任意的n,均有：12(1)(1).....(1)n s s s kn +++≥，试求k 的最大值.15.（20分） 已知,a b R +∈,a b ≠（1ln 2a b a ba lnb -+<- （2）如果,a b 是函数()ln 2017f x x x =-的零点，证明：2ab e > (此题目有错误,省竞委已经做了声明)16.（20分） 已知AB 是椭圆22:1(,0,)C mx ny m n m n +=>≠上的斜率为1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于CD 两点，设CD 的中点F,CD 交于AB 于E (1)求证：2224CD AB EF -= (2)求证：四点ABCD 共圆四、加试（每大题20分）(发哥给学生考时个人加的)（1） 在锐角ABC ∆，证明：(2)设12,,...,0n a a a >，证明：....(3)给定正整数k,a,b,若对于任意正整数n,都有：n k n k a n b n ++，证明:a=b(4)对于给定正整数3n ≥，任取12...,n x x x <<<，求211211n n i j i j n ni ji j x x f x x ====⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∑∑∑∑的最大值.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
湖南省三湘名校教育联盟2017届高三第三次大联考试题数学理Word版含答案bybao
三湘名校教育联盟●2017届高三第三次大联考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}32|31,|4120x A x B x x x +=<=-->，则()R C A B = A. [)3,2-- B.(],3-∞- C. [)()3,26,--+∞ D.()()3,26,--+∞2.已知命题:p ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B >，则下列命题为真命题的是A. p 的逆命题B. p 是否命题C. p 逆否命题D. p 的否定3.已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 1B. 1-C. 0D. 24.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，输出n 的值为N,则在区间[]1,4-上随机选取一个数M,1M N ≥-的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D. 455.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数2i e 在复平面内位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三四象限D.第四象限6.函数cos ln x y x=-的图象大致是 7.()9214x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为 A. 36 B. -144 C. 60 D.-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为A.32π B. 43π43π D. 3π 9.体育课排球发球项目考试的规则是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，则X 的期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是 A. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1011.如图，抛物线()220y px p =>和圆220x y px +-=，直线l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A,B,C,D 四点，2AB CD ⋅=则p 的值为 A. 222212.已知函数()()33f x ax a x =+-在[]1,1-的最大值为3，则实数a 的取值范围是 A. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []3,3-D. []3,12- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3040S =，则38a a ⋅的最大值为 .14.已知实数,x y 满足2220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则z ax y =+的最小值为1，则a = .15.以40km/h 向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向向正东飘去，3min 后气球上升到1km 处，从探测船上观察气球的仰角为30，则气球的水平漂移速度是为 km/h. 16.已知平面向量,a b 满足2a b ==，存在单位向量e ，使得()()0a e b e -⋅-=，则a b -的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数()()sin sin ,0.3f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭（1）若()f x 在[]0,π上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求ω的取值范围； （2）若()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且()003f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求ω的值. 18.（本题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布子啊某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.（1）在答题卡上分别画出y 关于t 的散点图，z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并子啊两个模型下分别估计温度为的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.85 5.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（3）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19.（本题满分12分）已知三棱台111ABC A B C -中，11114,222,1AB BC AC AC AA CC ======,平面11ABB A ⊥平面11ACC A（1）求证：1BB ⊥平面11ACC A ；（2）点D 为AB 上一点，二面角1D CC B --的大小为30，求BC 与平面1DCC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为12,F F 是圆内一个定点，且122F F =，P 是圆上一个动点，把纸片折叠使得2F 与P 重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD 与半径1PF 的交点为Q,当P 在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线为E,以12F F 所在的直线为x 轴，12F F 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与x 轴的交点为12,A A （1A 在2A 的左侧），与x 轴不重合的动直线l 过点2F 且与E 交于M,N 两点（其中M 在x 轴上方），设直线12,A M A N 交于点T ，求证：动点T 恒在定直线l '上，并求出l '的方程.21.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x x x x a =--（1）若()f x 在定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得()0f x ≤恒成立，且()f x 有唯一零点，若存在，求出满足(),1,a n n n Z ∈+∈的n 的值，若不存在，请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
(完整版)湖南省2017年普通高中学业水平考试数学试卷版含解析
湖南省普通高中学业水平考试试卷 数 学
1. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体为
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球 【答案】C 【解析】根据正视图，侧视图可知，该几何体不是圆柱圆锥，也不是球，从俯视图可以确定 该几何体是圆台，故选 C. 2. 已知元素 a ∈{0,1,2,3}，且 a {0,1,2}，则 a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因为元素 a ∈{0,1,2,3}，且 a {0,1,2}，所以该元素是 3，故选 D. 3. 在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为
hing at a time and All things in their being are good for somethin
结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题， 确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型 概率公式即可. 4. 某程序框图如图所示，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值是
计算.
试题解析：(1)因为 ，所以 a＝ ，于是向量 2a＋b＝
；
(2)因为 a∥b，所以
，又因为
，所以
，
所以
.
点睛：本题考查了向量平行的坐标运算，以及正弦和差公式及余弦函数的性质，属于中档题.
-7-
hing at a time and All things in their being are good for somethin
利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列
2017年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf
2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数． （10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分） 三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑． 证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑． （10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−， （30分） 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=． （50分） 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =． （30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+． （40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种． （50分）。
2017年湖南省高中数学联合竞赛
中恰有一个成立 ｝． 若 （ ，ｙ，ｚ）∈ Ｓ，且 （ ，Ｗ， ）∈ Ｓ，则 下列 选项 正确 的为 （ ）． （Ａ）（Ｙ， ，Ｗ）∈ Ｓ，且 ｘ，Ｙ，Ｗ） Ｓ （Ｂ）（Ｙ， ，Ｗ）∈ ５，且 （ ，Ｙ，Ｗ）∈ Ｓ （ｃ）（Ｙ， ，Ｗ） Ｓ，且 （ ，Ｙ，Ｗ）∈ Ｓ
的解集为— — ． 三 、解答题 （共 ７２分 ）
１３．（１６分）在锐角△ ｃ中，ｓｉｎ Ａ＝竽，
（Ｄ）．ｓ为钝角三角形 ， 为锐角三角形 且 ａ，ｂ、Ｃ为 、 Ｂ、 Ｃ的对边．
６．如 图 １，将石 子摆成 梯形 形状 ，称具有 “梯形”结构 的石 子数依 次构成 的数列 ｛ａ ｝：
接下来 ，在 图 Ｇ中新 增加一条 边 １）２１） ，得 到一个新 图 Ｇ ，则 Ｇ 的团数 Ｗ ＝３．由（１）的 证明 ，图 Ｇ 最 多 含有 ２７条 边 ，从 而 ，图 Ｇ最 多含有 ２７—１＝２６条边 ，同样与题设 矛盾．
因此 ，图 Ｇ中必 然含有 一个 ４一 团 ，即必 然有 四名选手 ，他们之 问均互 相 比赛过．
厂（１００，３）的值为 （ ）．
．
（Ａ）１ １ （Ｂ）１３ （Ｃ）１４ （Ｄ）１９
Hale Waihona Puke 上 的可导 函数 ，其 导 函数 为 －厂 （ ），且 ２ｆ（ ） ＋ （ ）＞ ．贝０
５．若三角形 ｓ的三个内角的余弦值分别等
（ ＋２ ０１７） ＋２ ０１７）一 一１）＞０
于三角形 的三个 内角的正弦值 ，则（ ）． （Ａ）．ｓ、 均为锐角三角形 （Ｂ）．ｓ、 均为钝角三角形 （ｃ） 为锐 角三角形 ， 为钝角三角形
（Ｂ）１９６ ２４８
（Ｃ）１９６ ２４９
（Ｄ）１９６ ２５０
【新文案】2017年湖南省普通高中学业水平考试卷数学(含答案)
2 已知 a、 b、 c R ,则（ … ） A, a+c>b+c B a c b c
C acbc
D a+c b c
3,下列几何体中，正视图。侧视图和俯视图都相同的是
()
A, 圆柱 ; B 圆锥
; C 球 ； D 三菱柱
4 已知圆 C 的方程为： (x 1)2 + ( y 2) 2 =4，则圆心坐标与半径分别为（
A {1,2} ； B {2,3} ； C {1,3} ； D {1,2,3}
2 已知 a、 b、 c R ,则（ … ） A, a+c>b+c B a c b c
C acbc
D a+c b c
3,下列几何体中，正视图。侧视图和俯视图都相同的是
()
A, 圆柱 ; B 圆锥
; C 球 ； D 三菱柱
4 已知圆 C 的方程为： (x 1)2 + ( y 2) 2 =4，则圆心坐标与半径分别为（
2017 年湖南省普通高中学业水平考试卷
数学
本试题卷包括选择题，填空题和解答题三部分，时量
120 分钟，每分 100 分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求
1 已知集合 M = {1,2} ， N ={2,3} ， 则 MUN =（ ）
A 1； B 3 ； C 2 ；D 7
2017 年湖南省普通高中学业水平考试卷
数学
本试题卷包括选择题，填空题和解答题三部分，时量
120 分钟，每分 100 分
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2017年湖南省高中数学联合竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,,2017X =L ，集合(){,,,,S x y z x y z X =∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈，且(),,z w x S ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∉2．已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥，与棱1AA 交于D ，若122AA AB ==，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A ．48 B ．24 C ．16 D ．123．已知椭圆C ：22184x y +=.对于任意实数k ，椭圆C 被下列直线中所截得弦长，与被直线l ：1y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=4．对任意正整数n 与k （k n ≤），用(),f n k 表示不超过n k⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数的个数（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则()100,3f =（ ） A ．11 B ．13 C ．14 D ．195．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆则是钝角三角形 D ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆则是锐角三角形6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{}n a ：5，9，14，20，…，为“梯形数列”。
根据“梯形”的构成，可知624a =（ ）A ．166247B ．196248C ．196249D ．196250二、填空题（每题6分，，每小题8分，满分48分，将答案填在答题纸上）7．已知函数()f x 满足()()()f m n f m f n +=，()13f =，则()()()()()()22122413f f f f f f ++++()()()()()()22364857f f f f f f +++= ．8．已知A ，B ，C 为O e 上三点，且()12AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，则数量积AB AC ⋅=uu u r uuu r ． 9．已知z C ∈，若关于x 的方程248430x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值是 ．10．对正整数n ，定义()()!1221n n n n =--⋅⋅⋅L ，记()12!12!3!1!n nS n n ⎛⎫=+++- ⎪ ⎪+⎝⎭L ，则2017S = ．11．设0x ≤≤π，3sin2x=tan x = ．12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导数为()f x ，且有()()22f x xf x x +>，则不等式()()()22017201710x f x f ++-->的解集为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．在锐角ABC ∆中，sin A =，且a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边. （1）求()2sin 2sin2B CB C +++的值； （2）若4a =，试求当AB AC ⋅uu u r uuu r取得最大值时，ABC ∆的面积ABC S ∆的值.14．已知数列{}n a 满足12a =，()211n n nS a S +-=-（*n ∈N ），其中n S 为{}n a 的前n 项和.（1）求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；（2）若对任意的n ，均有()()()12111n S S S kn +++≥L ，试求k 的最大值. 15．已知a ，b +∈R ，且a b ≠. （1ln ln 2a b a ba b -+<<-； （2）如果a ，b 是()ln 2017f x x x =-的两个零点，求证：2ab e >.16．如图所示，AB 是椭圆221mx ny +=（0m n >>，m n ≠）的斜率等于1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于两点C ，D ，设CD 的中点为F ，CD 交AB 于点E . （1）求证：2224CD AB EF -=； （2）求证：四点A ，B ，C ，D 共圆.2017年湖南省高中数学联合竞赛试题参考答案一、选择题1-3:BAD 4-6:BCD二、填空题7．24 8．0 9．12008-11．12512．2018x <- 三、解答题13．解：（1）∵锐角ABC ∆中，sin 9A =，∴1cos 9A =，()sin 9B C +=()1cos 9B C +=-，于是()2sin 2sin 22B C B C +++=111992⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭⨯-+= ⎪⎝⎭.（2）∵1cos 9AB AC bc A bc ⋅==uu u r uu u r ，再由余弦定理，有2216162cos 9b c bc A bc =+-≥，因此bc 的最大值为9，此时，1sin 2ABC S bc A ∆==.14．解：（1）∵()2111n n n n nS a S S S ++--==-，∴()2211n n n n S S S S +--=-，即121n n nS S S +-=， 因此111n n n S S S +--=，故1111111n n n n S S S S +==+---，这说明11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个以1111111S a ==--为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）可知()11111n n n S =+-⨯=-，∴211n n S n++=. 于是不等式()()()12111n S S S kn +++≥L ，即35721123n kn n+⋅⋅⋅⋅≥L ， ∴135721123n k n n +≤⋅⋅⋅⋅⋅L 对任意的*n ∈N 恒成立， 记()135721123n g n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅L ，则()135********n g n n n ++=⋅⋅⋅⋅⋅+L 231n n +⋅+， 于是()()()()21231g n n n g n n ++==+2222121n n n nn n +++>++，即()g n 是关于n 的增函数. 故()g n 的最小值为()13g =，∴3k ≤，即k 的最大值为3. 15．解：（1）∵a ，b +∈R ，且a b ≠，∴不妨设0a b >>.则一方面，ln ln ln ln 2a b a b a b a b -+<⇔->-()212ln 1a a b a b a a b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭⇔>++， 记1a x b =>，则不等式()21ln 1x x x -⇔>+4ln 21x x ⇔+>+，再记()4ln 1h x x x =++，则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，由()0h x '=得1x =， 并且1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为增函数，故()()12h x h >=.ln ln ln a b a a b b -<⇔-ln a b <⇔<，记1t =>，则不等式12ln 0t t t⇔+-<， 设()12ln g t t t t =+-，则()()2221211t g t t t t --'=--=，由()0g t '=得1t =，并且1t >时，()0g t '<，所以()g t 在()1,+∞上为减函数，故()()10g t g <=.ln ln 2a b a ba b -+<<-. （2）∵a ，b 是()ln 2017f x x x =-的两个零点， ∴ln 2017a a =……①且ln 2017b b =……②，①②两式相减，得()ln ln 2017a b a b -=-1ln ln 2017a b a b -⇒=-， 由（1）已证ln ln 2a b a b a b -+<-，故122017a b a b +>⇒+22017>， ①②两式相加，得()ln ln 2017a b a b +=+， 因而()()ln 20172ab a b =+>， 故2ab e >.16．证：（1）设AB ：y x a =+，代入221mx ny +=， 整理，得()22210m n x anx na +++-=于是，2A B anx x m n+=-+，21A B na x x m n -=+，∴()2224A B A B AB x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦()()228m n mna m n +-=+，同时，AB 的中点坐标为,an am E m n m n ⎛⎫-⎪++⎝⎭.再设CD ：y x b =-+，代入221mx ny +=， 整理，得()22210m n x bnx nb +-+-=于是，2C D bnx x m n+=+，21C D nb x x m n -=+，∴()2224C D C D CD x x x x ⎡⎤=+-=⎣⎦()()228m n mnb m n +-+，同时，CD 的中点坐标为,bn bm F m n m n ⎛⎫⎪++⎝⎭. ∴()()()()2222222n a b m b a EFm n m n +-=+++()()()22222n a b m b a m n ++-=+，注意到，1EF CD k k ==-⇒()()n a b m a b +=-， ∴()()222228mn a b CD AB m n --==+()()()()()222288mn a b a b n a b m n m n -++=++，并且()()()22222244n a b m b a EFm n ++-=⋅+()()2228n a b m n +=+，因此，2224CD AB EF -=.（2）由（1）已证2224CD AB EF -=， 又E 为AB 的中点，F 为CD 的中点， ∴2CD FD =，2AB EB =，于是222FD EF EB =+，事实上，222EF EB BF +=， 因而，AF BF FD FC ===， 故A ，B ，C ，D 四点共圆，且圆心为F .。