第7章非线性系统

7-1 非线性系统的基本概念
➢ 线性系统的特点(characters of linear system)
齐次性
叠加性
r(t) System Y(t)
Kr(t) System KY(t)
r1(t)+r2(t)
Y1(t)+y2(t)
System
7-1 非线性系统的基本概念
➢ 非线性系统的数学描述
在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线 性特性时，称此系统为非线性系统。
b) Saturation
c) backlash
图 7-1-4 典型非线性特性
d) Relay
1、死区特性 (dead-zone character)
如图7-1-4a所示，其数学描述是
yt
0
kxt
a
sgn
xt
x(t) a x(t) a
(7-1-3)
式中 a — —死区宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
图7-1-7 非线性系统的自持振荡
由此推论，此系统x(t) 1的响应最终随时间推移而 收敛到 x(t) 1，即等效阻尼比为零的状态，而所有 x(t) 1的响应均将随时间推移而发散至x(t) 1，即 阻尼比为零的状态而不再发散。而x(t) 1，即零阻尼 比时，系统响应呈等幅振荡形式，这就是非线性系统 的自持振荡。
• 一些系统作为线性系统来分析，这是由于：
• ①系统的非线性不明显，可近似为线性系统。 • ②某些系统的非线性特性虽然较明显，但在某
些条件下，可进行线性化处理，作为线性系统 来分析。 • 这类系统统称为非本质非线性系统。
• 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化 处理时，就必须采用非线性系统理论来分析。 这类非线性称为本质非线性。
x(t) x(t) x2(t) x(t)1 x(t)
分析比较两者的时间响应。
解
以x0表示以上系统的初始状 态。线性系统的解是
x(t) x0et
非线性系统的解是
xபைடு நூலகம்t)
1
x0et x0 x0et
非线性系统的时间响应如图7-1-6 所示。
图7-1-6 非线性系统的时间响应
当x0 1时，
非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线
振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。 There is self excited oscillation in the nonlinear
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
The system stability is depends on the magnitude of input signal and initial value.
例7-1-1 比较以下两个系统的特征。其一为线性 系统，描述其运动的微分方程为
•
x(t) x(t)
另一为非线性系统，其微分方程为
•
如果在式(7-1-6)中，参量m=-1，即继电器的正向 释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回 环的继电器特性，如图7-1-5c所示。
a称为动作值，m称为回复系数。 y
M
-a
0a
x
-M
当m=1时，为只包含死 y 区的继电特性。
M
当a =0时就理想继电
器特性了。
-a
0a
x
-M 当m=-1时，为只包含回 环的继电特性
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
3、频率响应畸变
对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通 常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数， 周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳 跃谐振、倍频和分频振荡等现象。 There is resonance frequency jumping and
wave distortion in the nonlinear system 。
•
x(t) 0
•
x(t) 0
x(t) a
•
x(t) 0
•
x(t) 0
(7-1-6)
式中
a — —继电器吸合电压； ma — —继电器释放电压； M — —常值输出。
当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种 情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如
图7-1-5a所示。
如果在式(7-1-6)中，参量m=1，即继电器的吸合 电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的 单值继电器特性，如图7-1-5b所示。
第七章 非线性系统的分析
7-1 非线性系统的基本概念 7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 7-3 非线性特性的相平面分析 7-4 非线性系统的一种线性近似表示—描述函数 7-5 典型非线性系统的描述函数 7-6 分析非线性系统的谐波平衡法 7-7 非线性系统的串、并联及系统的变换
7-8 用对数相频特性分析非线性系统 7-9 利用非线性特性改善线性系统的性能 7-10 非线性系统的计算机仿真
本章主要内容
本章介绍了非线性系 统的基本概念、常见的几 种非线性环节的特点及其 对系统的影响，主要阐述 了如何利用相平面分析方 法和描述函数法对非线性 系统进行分析，同时简要 介绍了改善非线性系统性 能的措施及非线性特性的 利用。
本章重点
要求正确理解非 线性系统与线性系统 的差异，重点掌握相 平面分析和利用描述 函数法对非线性系统 进行分析，了解非线 性系统的特点。
在 2 1时，x a cos t 1 2
分析：a无论怎么小，只要 1，则振幅很大。 当＝1时，振幅无穷大，产生共振现象。
➢非线性控制系统的分析方法 nonlinear control system analysis method
以上为粗略定性分析(Qualitative Analysis).
间隙（回环）特性的影响
• 降低了定位精度，增大了系统的稳态误 差。
• 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变 坏。
4、继电器特性(relay character)
如图7-1-4d所示，其数学描述是
0
-ma xt a,
0 -a xt ma, yt M sgn xt
M xt ma,
M xt ma,
继电器特性的影响
• 理想继电控制系统最终多半处于自 振工作状态。
• 可利用继电控制实现快速跟踪。
• 带死区的继电特性，将会增加系统 的定位误差，对其他动态性能的影 响，类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
➢ 非线性系统的特点(characters of nonlinear system)
1、稳定性 非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅 取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的 初始状态有关。
性系统一样，都是在t=0时，x(t) x0 随着时间的
增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也 是稳定系统 。
当x0 1时， 线性系统的响应仍与 x0 1 时一样。
但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散
到 。系统呈不稳定状态。
2、系统的自持振荡
在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定
图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性 元件后，其响应发生畸变的情况。
图7-1-8 间隙特性的正弦响应
4、系统共振现象
线性系统：外加信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振 频率相同时，系统产生共振。
非线性系统：不会发生线性系统的共振现象。
Example： x x a cos t a 0 0
sgn xt— —当xt 0时，sgn xt 1； 当xt 0时，sgn xt 1
死区（不灵敏区）特性的影响
• 增大了系统的稳态误差，降低了定 位精度。
• 减小了系统的开环增益，提高了系 统的平稳性，减弱动态响应的振荡 倾向。有时人为地引入死区特性， 用于消除高频小幅度振荡，减少系 统中器件的磨损。
• 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
3、间隙特性 (Backlash character)
如图7-1-4c所示，其数学描述是
kxt a
yt kxt a
c sgn xt
•
y(t) 0
•
y(t) 0
•
y(t) 0
(7-1-5)
式中 a — —间隙宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
由于非线性系统建模困难,解方程 更难,所以至今没有精确
和统一的分析方法.下面介绍的三种常用方法.
(1)描述函数法（describing function analysis) 用一次谐波(first harmonic) 代替非正弦波(sinusoid), 只是近
1 似分析适用于周期(period)信号,不适用非周期(no period)信号。
➢非线性特性的分类
为了分析的方便,通常把常见的非线性特性概括为 几个典型非线性特性,研究这些典型环节的特性及 其对控制系统运动特性的影响,是分析复杂非线性 系统的基础。
常见的典型非线性特性有死区、饱和、间隙、 继电器特性等。
Nonlinear factors of reality
a) Dead Zone
2、饱和特性 （Saturation character）
如图7-1-4b所示，其数学描述是
yt
k xt
k a s gn
xt
x(t) a x(t) a
(7-1-4)
式中 a — —线性区宽度；
k — —线性区特性的斜率，k tan
饱和特性的影响
• 使系统在大信号作用下的等效开环增 益下降，对动态响应的平稳性有利。 有些系统有意利用饱和特性作信号限 幅，保证系统安全运行。
• 线性系统的动态特性可用如下微分方程来描述，
An
d
nc(t dt n
)
An1
d
n1c(t dt n1
)
L
A1
dc(t ) dt
A0 c(t )
• 事实上 B，m d实dmtr际(mt)的 B自m1动ddm控t1mr制(1t)系 L统，B1严drd(格tt)地 B说0r(均t) 不 属于线性系统，而用线性方法来研究实际控制 系统往往只是近似的。当实际的系统接近于线 性系统或者在某一范围内及某一限定条件下可 以视为线性系统时，那么用线性方法研究控制 系统是很有实际价值和意义的。但是，如果真 实系统与线性系统相差太大，再用线性系统来 研究，便会引起很大的误差甚至得到错误的结 论，故有必要对非线性系统作专门探讨。
解
二阶系统的微分方程是：
••
•
x(t) 2n x(t) n2x(t) 0
将此方程与范德波尔方程比较可知：
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而发散，如图7 1 7。
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而逐渐收敛。
图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的 物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。 弹簧力的特性如图7-1-1b所示。
图 7-1-1
a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统 b) 弹簧力的非线性特性
考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：
m
d2y dt 2
fv
dy dt
kyy
F
(7-1-1)
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为
m
dn dt
y
n
h t, yt, dyt
dt, d 2 yt
dt2 ,, d n1 yt
dt n1, u
式中 u(t) — —输入函数
y(t)— —输出函数
为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2) 的解。