可逆矩阵判定典型例题

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判断矩阵可逆的练习题

判断矩阵可逆的练习题判断矩阵可逆的练习题矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

而判断矩阵是否可逆是矩阵理论中的一个重要问题。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。

在开始之前，我们先回顾一下什么是可逆矩阵。

一个n阶方阵A称为可逆矩阵，当且仅当存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。

可逆矩阵也被称为非奇异矩阵。

练习题1：设A是一个3×3的矩阵，其行列式为2。

请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。

解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的行列式必不为0。

因此，由题意可知矩阵A是可逆的。

为了找到可逆矩阵B，我们可以利用伴随矩阵的性质。

伴随矩阵的定义是：若A是一个n阶方阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则adj(A)的元素是A的代数余子式的代数余子式。

对于3×3的可逆矩阵A，其伴随矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/2)adj(A)练习题2：设A是一个2×2的矩阵，其特征值为3和-2。

请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。

解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的特征值必不为0。

因此，由题意可知矩阵A是可逆的。

为了找到可逆矩阵B，我们可以利用逆矩阵的性质。

对于2×2的可逆矩阵A，其逆矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/det(A))adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。

通过以上两个练习题，我们可以看出，判断矩阵可逆性的关键在于判断矩阵的行列式是否为0。

如果行列式不为0，则矩阵可逆；如果行列式为0，则矩阵不可逆。

在实际应用中，判断矩阵可逆性是非常重要的。

例如，在线性方程组求解中，如果系数矩阵可逆，那么方程组有唯一解；如果系数矩阵不可逆，那么方程组可能无解或有无穷多解。

因此，掌握判断矩阵可逆性的方法对于解决实际问题具有重要意义。

总结起来，通过练习题的训练，我们可以更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。

第三章矩阵的逆例题

c1 c3
1 1 2 2 3 0 1 1 0 0 0 c3 + c1(1) 0
1 0 5 0 0 1
0 1 0 0 1 2 0 1 0 5 2 2 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 1 c3 + c2(2) c3(1/2) 0
3 2 2 1 0 0 3 r2 ( 2) 1 0 1 0 2 3 ， X A B 2 3 . r3 ( 1) 1 3 0 0 1 1 3
1 0 1 求 A1. A 2 1 0 3 2 5 1 1 0 1 0 2 1 0 5 A 3 2 5 1 0 0 0 E 0 1 0 0 0 0 1 1
在 (A1E)B = 6E 两边左乘 (A1E) 1, 得
0 6 0 0 1 0 B = 6(A1E) 1 6 0 1 3 0 0 2 0 . 0 0 1 6 0 0 1
例设A, B, ABE 可逆, 证明: (1) AB1 可逆, (2) (AB1)1 A1 可逆. 证明: (1) AB1 = (AB E)B1 因为AB E及B1可逆, 故AB1 可逆. (2) (AB1)1 A1 = (AB1)1 (AB1)1(AB1)A1 = (AB1)1 [E (AB1)A1] = (AB1)1 [E AA1 +B1A1] = (AB1)1 B1A1 为可逆矩阵之积, 故可逆.
第三章矩阵的逆例题
思考: 若 A 可逆, A*是否一定可逆?

矩阵的逆的典型例题

ML32006
题目：设、、都可逆，证明可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为均为正交矩阵，所以
，成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
需要配音或重点提示的文字：无
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设，，为同阶非奇异矩阵，试证：
（1）为非奇异矩阵；
（2）也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故即为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件，得
0
故即为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设，，均为正交矩阵，试证：
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将恒等变形，得到

书后习题：逆矩阵的证明题

逆矩阵习题（书后证明题）
14. 设n阶方阵A满足：A3 4 A2 + 3 A E = 0 阶方阵A满足：试证A可逆，试证A可逆，并求证：由
A1
A3 4 A2 + 3 A E = 0 ，得到
A( A2 4 A + 3E ) = E
故A可逆，且可逆，
A = A 4 A + 3E
B A B = B
K 1 1
B A = B B A = 5K
K K
1
5）设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件是 k ≠0
作业：）、2 ）、4 ）、10、13、作业：1（2）、2（1）、4（2）、10、13、16 （1）、19（4）、22（2、5）、24、30（1））、19（）、22（）、24、30（
∴ ( A ) 1 = ( A1 )
20．填空：1）设A、B是两个阶方阵， A = 1, B = 2 ．填空：）是两个3阶方阵、是两个阶方阵，则：2( A B ) = 2 A B
T 3 T 1 2 1 2
=8 A
T 2
B
1 2
=8 A
2 1 2 B
= 8 ×1 × 1 = 2 4
1 A = 16 , B = 2 A1 (2 A) 1 2）设A、B是两个4阶方阵，是两个4阶方阵，
A 1 ( A 3E ) = E 2
Байду номын сангаас
A1 = 1 ( A 3 E ) 2
2. 若 AK = 0 ，则 ( E A) 1 = E + A + A2 + + AK 1 证明：证明：因
( E A)( E + A + A + + A

矩阵可逆的若干判别方法

毕业论文题目：矩阵可逆的若干判别方法学院：数理学院专业：姓名：学号：指导老师：完成时间：摘要矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法, 其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.AbstractMatrix is a very important concept in mathematics and is a main object of study on linear algebra and important tool.Invertible matrix plays a very important role in the matrix theory.Deciding whether a matrix reversible plays a vital role in matrix operations. To provide more convenient methods to calculating inverse matrix, this article introduces several methods, including definition method，determinant method, elementary transformation method, eigenvalue discriminant method, rank discriminant analysis, feature value determination method and ect.，according to the different characteristics of different matrixs.It also briefly demonstrates the principle and provides the relevant examples.Keyword: Invertible matrix；Elementary transformation；Rank; Feature value.目录引言矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.在本文的讨论均在数域p中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指n阶方阵.第一章矩阵可逆的基本概念和定理1.1基本概念定义1.1n级方阵A称为可逆的，如果有n级矩阵B,使得==（1）AB BA E这里E是n级单位矩阵.注可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且1A-与A为同阶方阵,即11A A AA E --==.定义1.2 如果B 适合（1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记作1-A .定义1.3 如果n 阶方阵A 的行列式不等于0 ,则称A 是非奇异的（或非退化的）；否则称A 是奇异的（或退化的）.定义1.4 设ij A 是矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ija 的代数余子式，矩阵1112121222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,称为A 的伴随矩阵.定义 1.5 矩阵()ij m n A a ⨯=中一切非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()r A .定义1.6 设()ij m n A a ⨯=, 称矩阵A 的行向量组的秩为A 的行秩, 矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，矩阵A 的行秩等于矩阵A 的列秩, 统称为矩阵A 的秩, 记为()r A .定义1.7 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定义1.8 矩阵的三类初等变换： (1)对调矩阵的两行(列)；(2)矩阵的某行(列) 乘以非零常数；(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.第一类初等矩阵ij p 表示将单位矩阵的第i 行与第j 行对换后得到的矩阵：101101ij p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.注 ij p 也可以由单位矩阵的第i 列与第j 列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵)(c p i 等于将常数)0(≠c c 乘以单位阵的第i 行（或i 列）而得到的矩阵：1()1i p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 第三类初等矩阵()ij P c 表示将单位阵的第i 行（第j 列）乘以c 后到第i 行（第j 列）上得到的矩阵：101()01ij p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 定义1.9 如果n 阶矩阵A 满足E A A T =(即T A A =-1), 则称A 为正交矩阵. 定义1.10 如果矩阵B 可以由矩阵A 经过有限次初等变换得到，则称矩阵A 与B 是等价的.1.2 基本定理和推论定理1.1 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化，而A 可逆时1*1(||0)A A d A d-==≠证明：由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：**000000d d AA A A dE d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）其中d A =如果0d A =≠那么由（2）得**11()()A A A A E d d==（3）当||0d A =≠，有（3）可知，A 可逆，且1*1A A d-=.反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=.两边取行列式，得11A A E -==,因而||0A ≠，即A 非退化.定理 1.2 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左侧乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.定理1.3[克拉默法则] 若非齐线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组有唯一解，其解为,1,2,,j j D x j n D==其中(1,2,,)j D j n =是将系数行列式D 中第j 列的元素12,,,j j nj a a a 对应地换成方程组右端的常数项12,,,n b b b ，而其余各列保持不变得到的行列式.若线性方程组的常数项0(1,2,,)i b i n ==，即111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，称为齐次线性方程组.定理 1.4 若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组只有零解.证：因为0D ≠，由克拉默法则，齐次线性方程组有唯一解,1,2,,jj D x j n D==，又因0(1,2,,)i b i n ==，可知行列式j D 中的第j 列元素全为零（1,2,,j n =），因为0(1,2,,)j D j n ==，齐次线性方程组只有零解. 定理1.5 任意一个矩阵()ij m n A a ⨯=都与一个形如rE O D OO ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵等价.矩阵D 称为矩阵A 的标准型.证明：若A O =,则A 已是标准型（此时0r =）,结论成立. 若A O ≠,则A 中至少有一个元素不等于零，不妨设110a ≠，用111i a a -乘以第一行加到第i 行上(1,2,,)i m = ，再将所得矩阵的第一列乘以 111j a a -加到第j 列上(1,2,,)j n = ，并将11a 化为1，于是矩阵A 化为''2221''2100010n m mn a a O A O A a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，若1(1)m A O -⨯=（n-1），则已为标准型（此时1r =），若1(1)m A O -⨯≠（n-1），则按上面的方法继续下去，最终有rE O A O O ⎡⎤→→⎢⎥⎣⎦. 推论1.1 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶初等矩阵12,,,s P P P 和n 阶初等矩阵12,,,t Q Q Q ，使得2112r s t E O P P P AQ Q Q O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令21sP P P P =,12t Q Q Q Q =，由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此P ,Q 为可逆矩阵，从而有如下推论.推论1.2 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当A 为n 阶可逆矩阵时，由A 可逆的充分必要条件，0A ≠.又由推论1.2，存在n 阶可逆矩阵P , Q ,使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而 0PAQ P A Q =≠于是只有r n =，所以由如下推论.推论1.3 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是的A 等价标准型为n E .推论 1.4 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：由推论1.1和推论1.3可知，A 可逆的充分必要条件是存在n 阶初等矩阵12,,,s P P P 和12,,,t Q Q Q ，使得 2112st n P P P AQ Q Q E =而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有1111111221s n t A P P P E Q Q Q ------=1111111221s t P P P Q Q Q ------=.第二章矩阵可逆的性质性质2.1 若A 是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.证明：若,B C 都是的A 逆矩阵，则B 与C 均满足式AB BA E ==，即,AB BA E AC CA E ====从而有()()B BE B AC BA C EC C =====即的逆矩阵是唯一的.性质2.2 若A 可逆，则1A -可逆，且A A =--11)(证明：由11A A E AA --==可得1A -可逆且A A =--11)(性质2.3 若A 可逆，则T A 也可逆，且11()()T T A A --=证明：因为11()()T T T T A A A A E E --===,所以T A 可逆，且11()()T T A A --=性质2.4 若A ,B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆且111()AB B A ---=证明：若A ,B 可逆，则1A -，1B - 存在且()()111111()AB B A A BB A AEA AA E ------====所以AB 可逆且111()AB B A ---=若12,,,m A A A 均为同阶可逆方阵，则它们的乘积12m A A A 也可逆且()11111221m mA A A A A A ----=性质2.5 若12,,,m A A A 均为可逆方阵，那么12m A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦也可逆且111121m A A A A ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦性质2.6 若A 可逆，0k ≠，则kA 可逆且111()kA A k --=证明：若A 可逆，则0A ≠，又0k ≠，可得0n kA k A =≠,所以kA 可逆，再由11111()()()kA A k AA AA E k k---=⋅==得111()kA A k --=性质2.7 若A 可逆，则11A A-=. 证明：若A 可逆，则存在1A -，使得1AA E -=, 11AA E -==。

逆矩阵练习题

逆矩阵练习题矩阵是线性代数中一个重要的概念，而逆矩阵则是在矩阵运算中扮演着至关重要的角色。

逆矩阵的概念十分重要，它不仅有助于解决方程组和求解线性方程，还在其他数学领域中有着广泛的应用。

本文将为你提供一些关于逆矩阵的练习题，帮助你更好地理解和应用逆矩阵。

1. 给定矩阵A = [3 1; 2 5]，求其逆矩阵A^-1。

解析：首先，我们需要使用矩阵的公式来计算逆矩阵。

对于一个2x2的矩阵A，其逆矩阵的计算公式如下：A^-1 = (1/|A|) × adj(A)其中，|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。

根据公式，我们可以先计算矩阵A的行列式：|A| = 3 × 5 - 1 × 2 = 13然后，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵。

伴随矩阵的计算方法是，将矩阵A的元素按照特定顺序组成一个新的矩阵，并保持原矩阵的行列关系。

对于2x2的矩阵A来说，其伴随矩阵的计算方法如下：adj(A) = [d -b; -c a]其中，a、b、c、d分别表示矩阵A的元素。

根据上述公式和计算步骤，我们可以得出矩阵A的逆矩阵A^-1为：A^-1 = (1/13) × [5 -1; -2 3]2. 给定矩阵B = [4 7 2; 1 6 3; 5 2 2]，求其逆矩阵B^-1。

解析：同样地，我们可以使用矩阵的公式来计算逆矩阵。

对于一个3x3的矩阵B，其逆矩阵的计算公式如下：B^-1 = (1/|B|) × adj(B)首先，计算矩阵B的行列式：|B| = 4 × (6 × 2 - 2 × 2) - 7 × (1 × 2 - 2 × 5) + 2 × (1 × 2 - 6 × 5) = 8然后，计算矩阵B的伴随矩阵：adj(B) = [e f g; h i j; k l m]其中，e、f、g、h、i、j、k、l、m分别表示矩阵B的元素。

例1求一可逆矩阵P把

1 0
4 1 1 0 0 0
0 1
得基础解系
P2
1
, P3
0.
1 4
③ 把P1, P2, P3拼成矩阵P,即
1 0 1 P 0 1 0,
1 1 4
则P
1 AP
1 0
0 2
0 0 .
0 0 2
例2 设矩阵A与B相似,其中
A
2 2
0 x
0 2 ,
B
1 0
0 2
解由
3 2
2
A - E k 1 k
4
2 3
1 2 2 0 1 k
0 0 1
( 1)2 ( 1) 0
得A的特征值为: 1 2 1, 3 1.
对于1 2 1时,有
4
(
A
λE
)
k
2 0
2 k
～
4 k
2 0
2 k
4 2 2 0 0 0
当k = 0 时,上式变为
4 0
1
因此,当 k = 0 时,令
1 1 1
1 0 0
P
2
0
0, 则P
1A P
0
1 0.
0 2 1
0 0 1
从上面的讨论和例题可知, A没有重特征值,则A必可对角化,而当 A有重特征值时,就不一定有n 个线性无关的特征向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲的二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量 ,所以该方阵不能对角化 .而在本节例1中A也有二重特征值,但却能找到 3个线性无关特征向量.所以例1中A能对角化.例3的讨论也说明不是所有方阵都能对角化.
当3 2时
A
2E
0 2

矩阵理论典型例题

矩阵理论典型例题《矩阵理论》第⼀⼆章典型例题⼀、判断题1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |Ax =定义, ||x||x 则为向量的范数. ( )2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2221||||nm i i A λ==∑.( )3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( )4. 若设nx R ∈，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m nA R∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥，则2221||||ni i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算⼦范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )9.设nn CA ?∈可逆，nn CB ?∈，若对算⼦范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆.( )10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶⾣矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n nA C∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )12. 如果12(,,,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i nx x ≤≤=是向量范数. ( )13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数mA ∞与向量的1-范数相容. ( )14、设n nA C∈是不可逆矩阵，则对任⼀⾃相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( )⼆、设m nA C∈，,||||||ij i jA a =，证明:(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.三、试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且Ax x λ=和Ay y µ=，其中，λµ≠，那么x 与y 正交.四、 (1) 设(1)n n A C n ?∈>为严格对⾓占优矩阵，1122(,,,)nn D diag a a a =，其中(1,2,,)ii a i n =为A 的对⾓元，E 为n 阶单位矩阵，则存在⼀个矩阵范数||||?使得1()1r E D A --<.(2) 设n nA C∈,ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。

[自然科学]31可逆矩阵_OK

0
0 A2T ...
0
... ... ... ...
0
0
... AsT
若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵
均可逆，则矩阵A也可逆，且
☞ A1
A11 0 ...
0
0 A21 ...
0
... ... ... ...
0
0
... As1
2021/8/28
25
A1 0 ... 0
☞
A
0 ...
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E)
2021/8/28
10
16
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆，
证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A
(E BA1)A(A B)
(A B)(A B)[ A2 B2]
2021/8/28
13
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆，
( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1
解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1
[E B( A1)T ][( A B) A1]1
[E B( AT )1]A( A B)1
| A1 |
1 | A|

可逆矩阵习题

解 1）在 2A1B B 4E的两边左乘A，得 2B AB 4AE
(A 2E)B 4A
A 2E B 43 A 0
所以A－2E可逆.
2) A 2B(B 4E)1 下面求B －4E 的逆．
B 4E
3 2 0 1 0 0
E

1
2
0
1

A=

2

,

1
求B.
解由|A|≠0,所以A可逆，由A*BA=2BA－4E，
左乘A右乘A-1得－2 B－2 AB＝－4E，即(A+E)B=2E,故
2
1 1

B 2( A E)1 2
1

2

2

1
矩阵的秩
概念
k阶子式.

___A1

__
0 0 1 2
0 0 1
1

1 2 0
0
2 5 0 0

0 0
0 0
1/ 3 1/ 3
12//33
3.矩阵A

0 0
8
0 5 0
2 0 的逆矩阵A1 0
0 0 1/ 2
0 1/ 5
3 4
5 t ,
且AB

O,则
3 5 3
t 4
例设矩阵
1 1 2 2 1
A=

0 2
2 0
1 3
5 1
1 3
,
1 1 0 4 1
求R(A)及A的一个最高阶非零子式．
解对矩阵A作初等行变换变成行阶梯型矩阵

1.3-可逆矩阵

1,
a = 0,
0, 0,
b = −1,
c
=
1,
1,
d = 2.
0 1
= 0 1
= 1 0
所以 A−1
− 1 2 2 − 1
0 , 1
= 0 − 1. 1 2
1 0
求可逆矩阵
A
=
a c
b
d
的逆矩阵.
一般地：当 ad − bc 0 时，A可逆
二阶矩阵的逆用此规律求
A−1
=
(3)若A,B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆,且
( AB )−1 = B−1 A −1
( ) ( ) 证明 (AB) B−1A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1= AA−1 = E,
( ) 推广 A1 A2 Am −1 = Am−1. . . A2−1 A1−1
( ) ( ) (4) 若A可逆, AT亦可逆 ,且
说明:
(1)如果 AB = E, 指出矩阵 A是可逆的
当A,B均为并且逆矩阵为 A−1 = B.
n阶方阵时 (2) 指出求逆矩阵的一种方法
A ( B? )= E
例已知 An , A2 = E , 求 A−1.
解 A2 = E, 即 A A = E, A−1 = A
例1 设
A = 2 −1
注意：只有分块对角阵才可以
A
=
A1 O
A2
A3
A−1
=
A1−1 O
A2−1
A3−1
A = diag(1,2,n )
1
=
2
n
其中 i 0
A−1 = diag(1−1 , 2−1 , n−1 )

矩阵的逆的典型例题

ML32006 题目：设A 、B 、+A B 都可逆，证明--+A B 11可逆，且()()-----+=A B A A +B B =B A +B A ()11111涉及的知识点涉及的知识点知识点一：知识点一：矩阵的逆矩阵的逆知识点二：知识点二：矩阵的运算矩阵的运算解题方法解题方法需要配音：需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题. 内容：如能证明第一个等式成立111---+B A ()1-=+B B A ()A即1111----+=+A B B A B A ()(),因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证111---éùëû++=A B A A B B E ()(). 下面给出四种证法. 1. 定义法. 2. 用定义直接验证，运算过程不同. 3. 定义法，运算过程不同。

定义法，运算过程不同。

4. 恒等变形. 解题过程解题过程（详细过程）（详细过程）第一种证法第一种证法第一步：第一步： ----------------éù++ëû=+++=+++=+++=++=()()()()()()()()()()111111111111111111A B A A B B A A A B B B A A B B E A B B B A A B BB B A B B B A A B BB B A A B B E 需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第二种证法第二种证法第一步：第一步：----------éù++ëû=++=++=++=()()()()()()()()1111111111A B A A B B E B A A B BB B B A A B BB A B A B B E需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第三种证法第三种证法第一步：第一步：-------------------éù++ëû=+++=++=++éù=++ëû=++=A B A A B B A A A B B B A A B BE B A A B B E B A A B B E B A B A B E B A E B A E()()()()()()()()()()()()()111111111111111111111需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第四种证法第四种证法第一步：将11--+A B 恒等变形，得到恒等变形，得到----+=+A B A A B B ()1111或 ----+=+A B B A B A ()1111对上两式分别求逆，即对上两式分别求逆，即 --------+=++=+()()()()A B B A B AA B A A B B11111111需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无学生常犯的错误需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无内容：内容：错误地推出---+=+A B A B ()111. 相关例题一相关例题一题目一：设A ，B ，-AB E 为同阶非奇异矩阵，试证：为同阶非奇异矩阵，试证：（1）--A B 1为非奇异矩阵；为非奇异矩阵；（2）-----A B A ()111也是非奇异矩阵，并求其逆阵. 解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证. 解答：（1）因 ------=-=-=-A B AE B ABB B AB E B ()11111 故 0,---=-¹A B AB E B 11即--A B 1为非奇异矩阵. （2）因）因[]------------------------=----éù=---=-ëûéù=-=-ëû=-=-A B A A B A B A B A A B E A B A A B AB AB A B ABA A ABA E BA E A ()()()()()()(()()()()()()1111111111111111111111) 由已知条件，00¹-¹A BA E ,,得-A 10¹--¹BA E ()10故 0-----¹A B A )（111, 即 11---A B )（为非奇异矩阵，且为非奇异矩阵，且11111-------éùéù----êúêúëûëûA B A BA E A A BA E )))（＝（＝（11 相关例题二相关例题二题目二：设A ，B ，+A B 均为正交矩阵，试证：均为正交矩阵，试证：111---+=+A B A B ()解题思路：利用正交阵的定义证. 解答：因为+,,A B A B 均为正交矩阵，所以均为正交矩阵，所以11-T -T ==A A B B , ，1-T+=+()()A B A B 成立. 从而从而 111-T T T --+=+=+=+A B A B A B A B ()()方法总结方法总结需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形. 。

【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆

【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵,试证下列各式：（1）若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则(AB)*=B*A*；（3）(AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)*；（5）(-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7）(kA)*=kn-1A*.证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1=E两边同时取转置可得(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E故由可逆矩阵的定义可知(A-1)T是AT的逆矩阵.即(A-1)T=(AT)-1（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(AB)*(AB)=|AB|E另一方面(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B=|A|B*B=|A||B|E=|AB|E比较式（2-7）、（2-8）可知(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得(AB)*=B*A*（3）设n阶方阵A为⎡aa12a⎡111n⎡A=⎡a⎡⎡21a22a2n⎡⎡⎡⎡⎡aa⎡⎡n1n2ann⎡于是可得A的伴随矩阵A*为⎡AA⎡1121An1⎡A*=⎡A⎡⎡12A22An2⎡⎡⎡⎡⎡⎡AA⎡1n2nAnn注意到⎡A的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出A的伴随矩阵为⎡a11⎡⎡a12AT=⎡⎡⎡a⎡1na21a22a2nA12A22An2an1⎡⎡an2⎡⎡⎡ann⎡⎡*比较A与(A)可知T*⎡A11⎡⎡A21(AT)*=⎡⎡⎡A⎡n1*TT*A1n⎡⎡A2n⎡⎡⎡Ann⎡⎡(A)=(A)*-1|A|≠0AA（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且1(A-1)*=A|A|另一方面,由A*=|A|A-1A*(A-1)*=|A|A-1*由矩阵可逆的定义知,A可逆,并且*-1-1*1A=E|A|(A)=(A)（5）对于（3）给出的矩阵A,有-a12⎡-a11⎡-a22⎡-a21-A=⎡⎡⎡-a-an2⎡n1即a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n⎡⎡-a2n⎡⎡⎡-ann⎡⎡-aij的代数余子式为(-1)i+j-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n-ai-1n-ai+1n-ann-ai-11-ai+11-an1故=(-1)n-1Aij(i,j=1,2,,n)⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21(-1)n-1An1⎡⎡⎡n-1n-1n-1 (-1)A22(-1)An2⎡⎡(-1)A12n-1*(-A)*=⎡⎡=(-1)A⎡⎡⎡⎡n-1n-1n-1(-1)A(-1)A(-1)A1n2nnn⎡⎡（6）因为|A|≠0,故A可逆,并且l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AAA)=AAA=(A)l个l个（7）对于（3）给出的矩阵A,有ka11ka1n⎡⎡ka11⎡⎡kakaka⎡21222n⎡kA=⎡⎡⎡⎡⎡kakan2kann⎡n1⎡⎡kaijkn-1Aij类似于（5）可知的代数余子式为,故例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵A满足A=A,证明A 是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有*T反证,假设A不可逆,故有|A|=0,由上式及条件A=A,有AA*=AAT=O（2-6）设矩阵A为a12a1n⎡⎡a11⎡⎡aaa⎡21222n⎡A=⎡⎡⎡⎡⎡aan2ann⎡n1⎡⎡由式（2-6）可知a12a1n⎡⎡a11a21an1⎡⎡a11⎡⎡⎡⎡aaaaaa⎡21222n⎡⎡1222n2⎡AAT=⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡a⎡aan2ann⎡a2nann⎡n11n⎡⎡⎡⎡nn⎡n2⎡aaaaa⎡1i1i2i1ini⎡i=1i=1i=1⎡⎡nnn⎡⎡2aaaaa2i1i2i2ini⎡=O=⎡i=1i=1i=1⎡⎡⎡n⎡nn⎡2⎡aaaaani1i ni2ini⎡⎡i=1i=1i=1⎡⎡比较上式两边矩阵对角线上的元素有AA*=A*A=|A|E∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ai=1n2ji=0(j=1,2,,n)故aj1=aj2==ajn=0(j=1,2,,n)因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA-1证必要性：因为(AB)=A-1B-1=(BA)-1(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA)因此AB=BA即充分性：因为AB=BA,故(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.T-1|A|=1,A=A例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明(I-A)不可逆.T-1证因为A=A,故因此有AAT=AA-1=E所以故E-A是不可逆矩阵.-1(E-A)求.TT|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|T=|A||(A-E)|=|A-E|=(-1)n|E-A|=-|E-A||E-A|=0k例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O,证明E-A是可逆矩阵,并证由于k2k-11-x=(1-x)(1+x+x++x)故对于方阵A的多项式,仍有k注意到A=O,故有E-Ak=(E-A)(E+A+A2++Ak-1)因此(E-A)可逆,并且(E-A)(E+A+A2++Ak-1)=E(E-A)-1=E+A+A2++Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵,证明：例6设A是n(n>2)阶方阵,2**n-2(A)=|A|A；（1）**(n-1)（2）|(A)|=|A|.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有*AA*=|A|EA*(A*)*=|A*|EAA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A对AA=|A|E两边取行列式,有*n-1若A可逆,|A|≠0,故|A|=|A|,于是有|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|nA(A)=|A|E两边取行列式,有（2）对|(A)|=|A|=(|A|)=|A|**(n-1)2若A不可逆,则|(A)|=0=|A|22例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足A+AB+B=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.2|A*|(A)=A=|A|n-2AA**22A+AB=A(A+B)=-B证因为,由于2n2|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0所以|A|≠0,|A+B|≠0因而有A,A+B可逆.2-1-(B)A(A+B)=E由2-1由-A(A+B)(B)=E-12-1(A+B)=-(B)A可知-12-1可知A=-(A+B)(B).例8设A、B均是n阶方阵,且-1E+AB可逆,则E+BA也可逆,并且-1(E+BA)=E-B(E+AB)A因此(E+BA)可逆,并且(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A-1-1=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]-1=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A=E+BA-BA=E例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆,证明：-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)AA+B（1）也可逆,且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B（2）(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A证（1）因为-1-1-1-1-1-1-1BA+B=AA(A+B)BB=A(A+B)两边取行列式有-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|-1因为-1-1故A+B是可逆矩阵.-1|A|≠0A+BA、B、可逆,故|A-1+B-1|≠0|B-1|≠0|A+B|≠0所以有(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B-1-1-1=(E+BA)[B(A+B)]故(A+B)-1-1-1=A(A+B)-1B=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E同理可证（2）因为(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1故同理可证(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.。

一道可逆矩阵的证明题

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仅供参考！！
gaoshou
原帖由linecy 于2007-8-14 08:30 PM 发表gaoshou
太强了，偶像阿
回复#2 moricangyu 的帖子看的不是很懂呀，我咋就那么差劲呢？不过我才是大一，还有时间给我努力，大家支持我吧！先谢过了！！！
厉害,第一种方法构造的矩阵的思路真是焕然一新!第二种技巧性比较强了,我是凑了一点,可是没有凑出来......多谢啦~
我的一点想法第一种解法虽然巧妙，但是不怎么好用；但是第二种解法却实在的有用！
回复#1 twinkleforever 的帖子李永乐的复习全书上有个结论BA和AB有相同的特征值并有道题证明这个结论如果你能记住这个结论你这个题自然就好证了简单给出BA和AB 特征值相同的证明设BAX=MX（lamada不好打我用m表示特征值）1，M不为0时，ABAX=MAX ，（AB）AX=MAX用反证法说明特征向量AX不为0就可以了2，当M为0时，此时AB和BA的特征方程相同，用行列式可以很容易推出0也是AB的特征值证毕
真是强啊
这个题目很常见啊
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可逆矩阵判定典型例题

典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若, 则；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则；（3）；（4）若, 则；（5）；（6）若, 则（l 为自然数）；（7）. 证（1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是A T 的逆矩阵. 即（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n 阶方阵A 为于是可得A 的伴随矩阵为注意到A 的转置矩阵为0||≠A T T A A )()(11--=***)(A B AB =TT A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A *1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=*1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-11)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1)(-AB ***)(A B AB =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211*A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*可推出的伴随矩阵为比较与可知（4）因为, 故A 可逆, A 的逆矩阵为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且（5）对于（3）给出的矩阵A , 有即的代数余子式为故⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n T a a a a a a a a a A 212221212111TA ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(*A *)(T A **)()(T T A A =0||≠A 1-A E A A A ||*=1*||-=A A A 0||≠A 1-A E A A A ||)(1*11---=AA A ||1)(*1=-E A A A A A A ==--||1||)(1*1**A *11*)()(--=A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211ij a -nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-（6）因为, 故A 可逆, 并且（7）对于（3）给出的矩阵A , 有类似于（5）可知的代数余子式为, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有（2-6）设矩阵A 为由式（2-6）可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(AA A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=- 0||≠A l l A A A A A AA A )()()(111111------=== ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111111ij ka ijn A k 1-*A TA A =*E A A A AA ||**==0||=A T A A =*O AA AA T ==*⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a a a a a a a a a a a a a a ni nini i ni n i ini ni ni i n i i n i i i ni ni i ni i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121 ), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=), ,2 ,1( 021n j a a a jnj j =====l 个 l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：的充要条件是证必要性：因为因此即充分性：因为, 故. 例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆.证因为, 故因此有所以故是不可逆矩阵. 例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证由于故对于方阵A 的多项式, 仍有注意到, 故有因此可逆, 并且例6 设A 是阶方阵, 是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明：（1）；（2）.证（1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A 可逆, , 故, 于是有111)(---=B A AB BA AB =1111)()(----==BA B A AB )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=BA AB =BA AB =1111)()(----==B A BA AB 1,1||-==A A A T )(A I -1-=A A T E AA AA T ==-1|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n--=--=0||=-A E A E -O A k=A E -1)(--A E )1)(1(112-++++-=-k k x x x x x ))((12-++++-=-k k A A A E A E A E O A k=E A A A E A E k =++++--))((12 )(A E -121)(--++++=-k A A A E A E )2(>n n **)(A *A A A A n 2**||)(-=2)1(**|||)(|-=n A A E A AA ||*=E A A A ||)(****=A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===E A AA ||*=n A E A A A AA ||||||||||||**===0||≠A 1*||||-=n A A若A 不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有（2）对两边取行列式, 有若A 可逆, 所以, 从而有, 于是可知若A 不可逆, 则例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足, 证明A 和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证因为, 由于所以,因而有可逆.由可知由可知.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且证考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且例9 设n 阶矩阵A 、B 和均可逆, 证明：（1）也可逆, 且（2）证（1）因为两边取行列式有因为A 、B 、可逆, 故所以有故是可逆矩阵.AA A A A A n 2***||||)(-==0||=A *A 0)(**=A A A A n 2**||)(-=E A A A ****||)(=n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===0||≠A 0||||1*≠=-n A A 2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 2)1(**||0|)(|-==n A A O B AB A =++22B A +22)(B B A A AB A -=+=+0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 0||≠A 0||≠+B A B A A +,E B A A B =+--)()(12A B B A 121)()(---=+E B B A A =+--12))((121))((--+-=B B A A AB E +BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+=A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=)(BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+B A +11--+B A A B A B B B A A B A 11111)()()(-----+=+=+1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A ||||||||1111----+=+B B A A B A B A +0||1≠-A 0||1≠-B 0||≠+B A 0||11≠+--B A 11--+B A B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B E故同理可证 .（2）因为故同理可证.E A B E A B E =++=---111))((B B A A B A 1111)()(----+=+A B A B B A 1111)()(----+=+])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A 11])()[(--+-+=A B B A I B A I AA A B B A ==-+=--11)(1111111)()(-------+-=+A B A A A B A 1111111)()(-------+-=+B B A B B B A欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

逆矩阵测试题及答案

逆矩阵测试题及答案1. 给定矩阵A，求其逆矩阵A^-1。

若A不可逆，则说明理由。

设矩阵A为：\[A = \begin{bmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{bmatrix}\]首先计算矩阵A的行列式det(A)：\[\text{det}(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \]由于det(A) ≠ 0，矩阵A可逆。

接下来计算逆矩阵A^-1： \[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix}4 & -2 \\-3 & 1\end{bmatrix}= \frac{1}{-2} \begin{bmatrix}4 & -2 \\-3 & 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 & 1 \\1.5 & -0.5\end{bmatrix}\]2. 若矩阵B的逆矩阵B^-1已知，求矩阵B。

设矩阵B^-1为：\[B^{-1} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{bmatrix}\]由于B和B^-1互为逆矩阵，根据逆矩阵的性质，有BB^-1 = I，其中I为单位矩阵。

因此，矩阵B可以通过计算B^-1的逆得到：\[B = (B^{-1})^{-1} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{bmatrix}^{-1}\]计算行列式det(B^-1)：\[\text{det}(B^{-1}) = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 4 - 1 = 3 \]然后计算B：\[B = \frac{1}{\text{det}(B^{-1})} \begin{bmatrix}2 & -1 \\-1 & 2\end{bmatrix}= \frac{1}{3} \begin{bmatrix}2 & -1 \\-1 & 2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\-\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}\]3. 判断下列矩阵C是否可逆，并给出理由。

可逆矩阵264191

高等代数
1 1 1
例
设A 2 1
0
求 A1
1 1 0
1 1 1 1 0 0
解 A I 2 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
1 1
1 2
1 2
0 1
0 0
0 2 1 1 0 1
r1 r2 r3 2r2
(1)r2
1 0
0 1
1 2
1 2
1 1
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(1) k
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以经过初等变换化为单位矩阵定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可写成初等矩阵的乘积
4
0
4 .
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
1 A
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1

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判断矩阵可逆的练习题

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