2020高考原创模拟卷·文数

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2020池州高考模拟试题+解析-—文数

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 C1
3,1 ，则 C1 到直线 C2 的距离 d
3 3 11 2 1 ， ……………6 分
3 2 12
从而 MN 2 9 1 4 2
.…………………………………7 分
点到直线的最大距离为 d
1
4 ，从而 SPMN
1 2
4
248
2．
……………10 分
文科数学参考答案第 3 页（共 4 页）
【解析】（Ⅰ）由题意：当 0 n 83 时， y 130 元； ……………………1 分
当 n 83 时， y 130 n 83 10 10n 700
.……………………3 分
乙公司给超市的日利润 y（单位：元）与销售数量 n 的函数关系为：
y
130， 10n 700,
0 n 83, n 83.
……………………4 分
（Ⅱ）⑴记事件
A：“甲公司产品的销售数量不超过
87
件”，则
p
A
5
10 50
5
2 5
；
⑵ 甲公司的给超市的日利润为 X（单位：元），
则 X 的所有可能取值为 171，174，177，180，183
.……………………5 分
X
1 50
171 5+174 10+177 5+180
……………………………………5 分
（Ⅱ）由题意，得 PA＝PB＝PC＝2，又 AC＝ AB2＋BC2＝ 2 2 ，
所以 PO＝ 2 ，AO＝BO＝CO＝ 2 .
因为在△PAC 中，PA＝PC，O 为 AC 的中点，所以 PO⊥AC.
……………7 分
因为在△POB 中，PO＝ 2 ，OB＝ 2 ，PB＝2，所以 PO2＋OB2＝PB2，

2020高考模拟考试文科数学含答案

2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！（第Ⅰ卷选择题部分，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每个小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）1、已知全集R ，集合},0)2)(2)(1(|{=-+-=x x x x A },0|{≥=y y B 则BC A R ⋂为 A.}2,2,1{- B.{1,2} C. }2{- D. }2,1{--2、在等差数列{}n a 中,57915a a a ++=,579535a a a +++、、成等比数列, 则等差数列的公差是( ) A 、–5或1 B 、1 C 、 –3 D 、–3或33、甲、乙各掷一次飞镖，假设二人击中目标的概率均为0.6，则至少有一人击中目标的概率为A 0.36B 0.16C 0.48D 0.84 4、给出下列条件（其中l 和a 为直线，α为平面）①α⊥l 内的一凸五边形的两条边，②α⊥l 内三条不都平行的直线， ③α⊥l 内无数条直线，④α⊥l 内正六边形的三条边。

其中是α⊥l 的充分条件的所有序号是（）A ②B ①③C ②④D ③④ 5、不等式5||6||>+x x 的解集是（） A.)2,2(- B. ⋃-)2,2(⋃+∞),3()3,(--∞ C. )3,(--∞),3(+∞⋃ D. )3,(--∞(3,1)⋃--⋃)1,1(-),2(+∞⋃6、样本（0，2，4，6，8）是随机地从总体M 中抽取的，则总体的方差是（）A.8B.6C.4.D.107、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E 是BC 的中点，D 是AA 1上的一个动点，且m AA AD =1，若AE ∥平面DB 1C ，则m 的值等于 1112 (4323)A B C D8、53)(x y +展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为9、用0、1、2、3、4的五个数组成无重复数字的五位数，奇数数字相邻，偶位数也全相邻的有 A 、32个（B ）24个（C ）20个（D ）36个10、两个正数m,n 的等差中项是5，等比中项是4，且m>n ，则椭圆122=+ny m x 的离心率e 等于 A ．25 B. 21C. 22D. 2311、已知二次函数2()(,,0)f x ax bx c a b c a =++≠其中是常数,且在点0x 处的切线为y kx m =+，设函数.)(m kx x g +=若()()g x f x ≥恒成立，则A ．0a >B ．0a <C ．240b ac ∆=-≥；D ．240b ac ∆=-< 12、若右图，定圆的半径为a ，圆心为(b,c)则直线0ax by c ++=与直线10x y --=的交点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限(D)xyOxyOxy O(B)(A) xyO(C)第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分。

9.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-文数9含答案精品

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-数学9第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x|log12x>-1},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{1}D.{0,1} 2．已知向量a=(1,2-λ),b=(-2,3),a∥b,则实数λ=A.3B.72C.4 D.923．已知a∈R,命题p:复数a+(2-a)i在复平面内对应的点在第一象限内,命题q:|a+(a-4)i|≤√10,其中i是虚数单位,若p∧q是真命题,则a的取值范围是A.(0,2)B.[1,3]C.[1,2)D.(0,3)4．已知x,y满足不等式组{y≥1,x+y≤3,2x-y-1≥0,则目标函数z=x-y的最小值为A.-12B.-13C.12D.135．某次数学考试,班里有5名学生的成绩(单位:分)分别是87,89,92,95,97,数学老师打算从这5名学生中随机抽取2人进行专项训练,则抽取的2人得分恰好分别在(80,90]和(90,100]内的概率是A.12B.25C.35D.236．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=8,b=7,B=60°,则sin C=A.3√314B.5√314C.3√314或5√314D.11147．若a=(√3)43,b=915,c=8710,则A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b 8．执行如图所示的程序框图,若输入的a,b分别是2 018,1,则输出的i=A.5B.6C.7D.89．已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,两条渐近线的夹角为60°,过点F 1作x 轴的垂线,交双曲线的左支于M ,N 两点,若△MNF 2的面积为4√3,则该双曲线的方程为A.x 212−y 29=1 B.x 29−y 23=1 C.x 2-y 23=1D.x 23-y 2=110．已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的图象如图所示,则ω,φ的取值可能是A.ω=109,φ=14π27B.ω=109,φ=41π27C.ω=54,φ=π3D.ω=54,φ=4π311．在三棱锥P -ABC 中,平面PBC ⊥平面ABC ,∠ABC =90°,AB =2,BC =1,PB =2√2,∠PBC =45°,则三棱锥P -ABC 外接球的表面积是A.16πB.14πC.20πD.22π12．已知函数f (x )={x 2-2x,x ≤a,8-x,x >a(a >0),若函数g (x )=f (x )-3|x |有三个零点,则a 的取值范围是A.(0,2)∪[5,+∞)B.[5,+∞)C.(0,1)D.(0,1)∪[5,+∞)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．设函数f (x )=ax (a ∈R ,a ≠0),若f (-2 018)=2,则f (2 018)= .14．如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 .15．桌上共有8个球,甲、乙两人轮流取球,取到最后一球者胜利.规则:第一次取球至少1个,至多不超过总数的一半,每次取球的个数不超过前面一次取球的个数,且不少于前面一次取球个数的一半.如第一次甲取3个球,接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球,为了有必胜的把握,第一次取球的个数应为 .16．已知斜率为1的直线与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,若△OAB 的外心为M (O 为坐标原点),则当|AB||MO|最大时,|AB |= .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=38,21(a 1-a 2)+22(a 2-a 3)+…+2n (a n -a n +1)=-a n+12,n ∈N *.(1)求a 2,并证明n ≥2时,a n +a n +1=2n ; (2)求S 2 019.18．五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是矩形,∠FAD =90°,EF ∥AD ,平面ADEF ⊥平面ABCD ,AF =AB =2,BC =4,FE =1.(1)求证:BE ⊥AC ;(2)求平面ACE 分五面体ABCDEF 所成的两部分三棱锥D -ACE 与多面体EFABC 的体积比.19．某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中,有“难度系数”和“区分度”两个指标.其中,难度系数=年级总平均分总分,区分度=实验班的平均分-普通班的平均分总分.(1)在某次数学考试(满分150分)中,从实验班和普通班各随机抽取三人,实验班三人的成绩分别为147分,142分,137分,普通班三人的成绩分别为97分,102分,113分,通过样本估算本次考试的区分度(精确到0.01).(2)以下表格是高三年级6次考试的统计数据:①计算相关系数r ,|r |<0.75时,认为相关性弱;|r |≥0.75时,认为相关性强.通过计算说明,能否利用线性回归模型拟合y 与x 的关系;②已知t =|x -0.74|,求出y 关于t 的线性回归方程,并预报x =0.75时y 的值(精确到0.01). 参考数据:∑i=16x i y i =0.930 9,√∑i=16(x i-x ¯)2∑i=16(y i-y ¯)2≈0.011 2,∑i=16t i y i =0.048 3,∑i=16(t i -t ¯)2≈0.007 3.参考公式:相关系数r =∑i=1n(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=∑i=1nx i y i -nx ¯ y¯√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2,线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n(x i −x-)(y i −y -)∑i=1nx i2−nx -2=∑i=1nx i y i −nx -y -∑i=1nx i2−nx -2,a ^=y -−b ^x -.20．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点坐标为(3√2,0),一条斜率为-√22的直线分别交x ,y 轴于点A ,B ,交椭圆于点M ,N ,且点M ,N 三等分AB.(1)求该椭圆的方程;(2)若P 是第一象限内椭圆上的点,其横坐标为2,过点P 的两条不同的直线分别交椭圆于点S ,T ,且直线PS ,PT 的斜率之积k PS ·k PT =1,求证:直线ST 恒过定点,并求出定点的坐标.21．已知函数f (x )=e xx -ax +ln x .(1)a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)若a ∈[1,e 24+12],求f (x )的最小值g (a )的取值范围.22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合,且圆M的极坐标方程是ρ=4cos θ,直线l 的参数方程是{x =1+tcosφ,y =1+tsinφ(t 为参数).(1)求圆M 的直角坐标方程与直线l 的普通方程; (2)若直线l 交圆M 于A ,B 两点,M 0(1,1),求1|M 0A|+1|M 0B|的取值范围.23．已知函数f (x )=|x -a |+|x -b |,a >0,b >0,a -b =2,f (x )≤4的解集是[0,4].(1)求a ,b ;(2)若g (x )=f (x )-m |x -2|-32有4个零点,求实数m 的取值范围.参考答案1.C【解析】本题考查集合的交运算及对数不等式的求解,考查考生对基础知识的掌握情况,考查的核心素养是数学运算.首先解对数不等式得到集合A ,然后求集合A ∩B. 由题意得,A ={x |0<x <2},所以A ∩B ={1},故选C. 【备注】无 2.B【解析】本题主要考查向量的平行,考查考生的运算求解能力.利用向量平行的充要条件求解.由a ∥b 得,1×3=(2-λ)×(-2),解得λ=72,故选B.【备注】无 3.C【解析】本题考查复数的几何意义、复数的模、复合命题等,考查考生对基础知识的掌握情况.利用复数的几何意义得到命题p 中关于a 的不等式组,解得a 的取值范围,根据复数模的知识解得命题q 中a 的取值范围,再求上述两个范围的交集,即可解出a 的取值范围. 由题意知,命题p ,q 均为真命题.由命题p 得{a >0,2-a >0,解得0<a <2,由命题q 得a 2+(a -4)2≤10,解得1≤a ≤3,故a 的取值范围是[1,2).【备注】无 4.B【解析】本题考查线性规划的知识及数形结合思想的应用,考查的核心素养是直观想象. 画出不等式组表示的平面区域,作出直线y =x 并平移,数形结合即可得到目标函数的最小值. 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.作出直线y =x 并平移,由图可知,当平移后的直线经过点A 时,z 取得最小值,易得A (43,53),故z min =43−53=-13.【备注】线性规划求最值问题一般分为两步:第一步准确画出可行域,第二步明确最优解对应的位置.特别对于目标函数z =ax +by (b ≠0)来说,当b >0时,直线ax +by -z =0上移,z 值越来越大,下移,z 值越来越小;当b <0时,直线ax +by -z =0上移,z 值越来越小,下移,z 值越来越大 5.C【解析】本题考查古典概型,考查在实际问题情境中建立数学模型的能力.试题以实际生活情境设题,突出考查考生将文字语言抽象为数学模型的能力,考查的核心素养是数学建模.列举出所有的基本事件,再列出符合条件的基本事件,最后根据古典概型的概率计算公式求解.设得分为87,89,92,95,97的5名学生分别是a ,b ,c ,d ,e .则从这5名学生中随机抽取2人的所有抽法有ab ,ac ,ad ,ae ,bc ,bd ,be ,cd ,ce ,de ,共10种;抽取的2人得分恰好分别在(80,90]和(90,100]内的所有抽法有ac ,ad ,ae ,bc ,bd ,be ,共6种.故所求概率为610=35,故选C【备注】无 6.C【解析】本题考查余弦定理、正弦定理的应用,考查考生的运算求解能力.利用余弦定理求出c ,再利用正弦定理求出角C 的正弦值.由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即49=64+c 2-8c ,解得c =3或c =5.当c =3时,sinC =cb·sin B =3√314,当c =5时,sin C =c b ·sin B =5√314,故选C.【备注】无7.B【解析】本题考查指数函数的性质及其应用,考查的核心素养是数学运算.先利用指数函数的性质比较a ,b 的大小关系,并确定它们的大致范围,再利用指数函数的性质确定c 的大致范围,最后确定三者的大小关系. 因为a =(√3)43=323,b =915=325,且1>23>25,所以3>323>325,即3>a >b .又c =8710=22110>4,所以c >a >b .故选B. 【备注】无 8.C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图、等差数列的前n 项和公式,考查考生的逻辑推理能力.i =1,a =2 018+1,b =1; i =2,a =2 018+3,b =1×2; ……i =n ,a =2 018+n(n+1)2,b =n !.当i =6时,a =2 018+21=2 039,b =6!=720<a ; 当i =7时,a =2 018+28=2 046,b =7!=5 040>a . 故输出的i 的值为7. 【备注】无 9.B【解析】本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标、渐近线方程,两条直线的夹角,三角形的面积等知识,考查有关基本量的计算,考查运算求解能力. 先根据两条渐近线的夹角为60°且a >b >0,得到ba =√33,再根据题意求出点M ,N 的坐标,根据△MNF 2的面积为4√3求出a ,b ,c 的值,即可得双曲线的方程. 因为双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°,a >b >0,所以ba=√33①.易知F 1(-c ,0),所以直线MN 的方程为x =-c ,代入双曲线的方程得y =±b 2a,所以△MNF 2的面积S =12|F 1F 2|·|MN |=12×2c ×2b 2a=2b 2c a=4√3 ②.又a 2+b 2=c 2③,所以由①②③得a =3,b =√3,c =2√3,故该双曲线的方程为x 29−y 23=1.选B.【备注】【易错警示】很多考生在求解本题时会根据“两条渐近线的夹角为60°”得到ba=√33或b a=√3,忽略隐蔽的条件“a >b >0”,从而得到错解.10.D【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查的核心素养是直观想象、数学运算.先由周期大致确定ω的范围,再由正弦函数图象的变换确定φ的取值. 由题图得,2πω>4π3>34·2πω,得98<ω<32,故排除选项A,B.当ω=54时,A (8π15,0),函数f (x )的图象可看成是把y =sin 54x 的图象向右平移8π15个单位长度得到的,故f (x )=sin 54(x -8π15)=sin(5x 4−2π3)=sin(5x 4+4π3),故当ω=54时,φ=4π3,故选D.【备注】无 11.B【解析】本题考查空间几何体中点、线、面之间的位置关系以及三棱锥外接球表面积的求解,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.解法一在△ABC 中,易得AC =√5,取AC 的中点M ,过点M 作MN ⊥BC 于点N ,则MN =12AB =1,且MN ⊥平面PBC ,所以MN 为三棱锥P -ABC 外接球的球心到平面PBC 的距离.在△PBC 中,易得PC =√5,故△PBC 外接圆的直径为√5sin45°=√10故三棱锥P -ABC 外接球的半径R =√(√102)2+12=√142,所以S 外接球=4πR 2=14π,故选B.解法二在平面BCP 中找一点Q ,连接BQ ,使得BQ 为△BCP 外接圆的直径,连接QC ,则∠QCB =90°,则QC ⊥平面ABC ,所以QC ⊥AC ,∠QCA =90°. 易知AB ⊥平面PBC ,则∠ABQ =90°,连接AQ ,设AQ 的中点为O ,则点O 到A ,B ,C ,Q 四点的距离相等,故AQ 为三棱锥P -ABC 外接球的直径.易得PC =√5,BQ =√5sin45°=√10,所以AQ 2=BQ 2+AB 2=14=4R 2(R 为外接球的半径).故S 外接球=4πR 2=14π,故选B.【备注】【解题关键】解决此类问题的关键是抓住多面体外接球的特点:球心到多面体各个顶点的距离等于球的半径. 12.A【解析】本题考查分段函数、函数的零点,考查数形结合思想.本题通过分段函数的图象探究函数的零点个数,要求考生抓住问题的本质,引导考生注重直观想象、逻辑推理等核心素养.将函数g (x )=f (x )-3|x |有三个零点转化为函数y =f (x )的图象和y =3|x |的图象有三个交点,借助函数图象,分类讨论即可求出参数a 的范围.因为函数g (x )=f (x )-3|x |有三个零点,所以y =f (x )的图象与y =3|x |的图象有三个交点.因为a >0,所以当x ≤0时,由x 2-2x =-3x 得,x =-1或x =0,所以当x ≤0时,y =f (x )的图象与y =3|x |的图象有两个交点,则当x >0时,y =f (x )的图象与y =3|x |的图象有1个交点.令3x =8-x ,得x =2,所以0<a <2符合题意;令3x =x 2-2x ,得x =5或x =0(舍去),所以a ≥5符合题意.综上,a 的取值范围是(0,2)∪[5,+∞),故选A.【备注】【解后反思】求解有关函数零点个数问题时,常用数形结合的方法,准确作出函数图象是解决此类问题的关键.为方便作图,一般将函数零点问题转化为两函数图象的交点问题,作图时要注意对函数图象上的特殊点的把控,以便较准确地作出函数的图象,利用图形的直观性进行求解. 13.-2【解析】本题主要考查函数奇偶性的判定方法,考查考生对基础知识的掌握情况.试题以函数的性质为载体,考查考生对奇偶性的本质的理解,考查逻辑推理核心素养.首先求出函数的定义域,然后根据函数奇偶性的定义判断函数f (x )的奇偶性,最后根据奇偶性和f (-2 018)=2求f (2 018)的值. 易知函数f (x )=sinx+xcosxax 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f (-x )=sin(-x)+(-x)cos(-x)a(-x)=-sinx+xcosxax =-f (x ),所以函数f (x )是定义域上的奇函数,所以f (2 018)=-f (-2 018)=-2.【备注】无 14.73【解析】本题考查几何体的三视图与体积,考查空间想象能力和运算求解能力.试题以简单几何体的三视图为切入点,要求考生通过对三视图的识别,想象出几何体的直观图,体现了直观想象、数学运算等核心素养.首先在正方体中作出该几何体的直观图,然后求体积.在正方体中作出该几何体的直观图如图所示,不妨将其记为棱台ABC -A 1B 1C 1,易知AC =BC =1,A 1C 1=B 1C 1=CC 1=2.因为CC 1⊥平面ABC ,CC 1⊥平面A 1B 1C 1,AC ⊥BC ,A 1C 1⊥B 1C 1,所以V 棱台ABC -A 1B 1C 1=13CC 1·(S △ABC +S △A 1B 1C 1+√S △ABC ·S △A 1B 1C 1)=13×2×(12+2+√12×2)=73.【备注】【技巧点拨】解决三视图问题,要注意三视图的特征:“长对正、高平齐、宽相等”.这样可快速分析出几何体的结构特征,进而求出其体积或表面积. 15.3【解析】本题主要考查逻辑推理能力和分类讨论思想.按照第一次甲取球的个数分类,针对每一种情形研究乙的应对策略即可.若甲取1个球,则乙取1个球,易知最终是乙胜.若甲取2个球,则乙可取2个球,然后,甲只能取2个球或1个球,无论如何都是乙胜.若甲取3个球,则乙只能取2个球或3个球,当乙取2个球时,接下来甲取1个球,乙取1个球,甲再取1个球,甲胜;当乙取3个球时,甲取完剩下的球,甲胜.若甲取4个球,则乙可取完剩下的球,乙胜.综上可知,甲第一次取3个球时有必胜的把握. 【备注】无 16.4√10【解析】本题主要考查抛物线的方程、三角形的外接圆,考查数形结合思想、化归与转化思想.由题意知,MO 为△OAB 外接圆的半径,在△OAB 中,由正弦定理可知,|AB|sin∠AOB=2R (R 为△OAB外接圆的半径),当sin∠AOB =1,即∠AOB =90°时,|AB||MO|取得最大值2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知y 1≠0,y 2≠0,则x 1x 2+y 1y 2=0,得y 12·y 2216+y 1y 2=0,即y 1y 2+16=0.设直线AB 的方程为y =x +t ,即x =y -t ,代入y 2=4x 得,y 2-4y +4t =0,则y 1+y 2=4,y 1y 2=4t ,所以4t +16=0,解得t =-4.故|AB |=√2|y 1-y 2|=√2×√16+64=4√10.【备注】无17.本题考查数列的递推关系式、等比数列的前n 项和公式,考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力.(1)根据已知条件,令n =1,即可求出a 2的值.由数列的递推关系式即可得证.(2)根据(1)的结论及等比数列的前n 项和公式求解.【解析】解:(1)令n =1,则2(a 1-a 2)=-a 22,即a 22-2a 2+34=0,解得a 2=12或a 2=32,均符合题意.由21(a 1-a 2)+22(a 2-a 3)+…+2n (a n -a n +1)=-a n+12,得21(a 1-a 2)+22(a 2-a 3)+…+2n -1(a n -1-a n )=-a n 2,n ≥2.两式相减得2n (a n -a n +1)=a n 2−a n+12, ∵a n -a n +1≠0,∴a n +a n +1=2n ,n ≥2.(2)由(1)得S 2 019=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2 018+a 2 019)=38+22+24+…+22 018=38+4×1-41 0091-4=41 0103−2324.【备注】【解后反思】求解第(2)问时,要善于利用第(1)问的结论.18.解:(1)作EH ⊥AD 于H ,连接BH ,则EH ⊥平面ABCD ⇒EH ⊥A C. 易知AH =FE =1,∴tan∠ABH =12=tan∠ACB ,∴∠ABH =∠ACB ,∴∠CAB +∠ABH =∠CAB +∠ACB =90°,∴AC ⊥BH , 又AC ⊥EH ,EH ∩BH =H ,∴AC ⊥平面EHB ,∴AC ⊥B E.(2)∵V 五面体ABCDEF =V B -AFE +V E -ABCD =13·S △AEF ·AB +13·S 矩形ABCD ·EH =13×1×2+13×8×2=6, 且V E -ADC =13S △ACD ·EH =13×4×2=83,6-83=103,∴三棱锥D -ACE 与多面体EFABC 的体积比为83∶103=4∶5.【解析】本题考查线线垂直的证明及几何体的体积,考查考生的空间想象能力、运算求解能力.试题以五面体为背景,要求考生发挥想象,合理添设辅助线,使运算过程合理、简便,很好地体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,对当前的教学改革能起到积极的导向作用.(1)先作EH ⊥AD 于H ,连接BH ,再证AC ⊥平面EHB ,从而证得AC ⊥BE ;(2)把不规则的五面体分割成规则几何体,由此求出五面体的体积,进而求三棱锥D -ACE 与多面体EFABC 的体积比.【备注】无19.(1)易求得实验班三人成绩的平均分为147+142+1373=142(分),普通班三人成绩的平均分为97+102+1133=104(分),所以区分度为142-104150≈0.25.(2)①由表格数据知,x ¯=0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.826=0.74,y ¯=0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.156=0.21,r =∑i=16x i y i -nx ¯y¯√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2≈0.930 9-6×0.74×0.210.011 2≈-0.13,故|r |<0.75,相关性较弱.综上可知,不能利用线性回归模型拟合y 与x 的关系. ②y 与t 的值如下表:则b^=∑i=16t i y i -nt ¯y¯∑i=16(t i -t ¯)2≈0.048 3-6×0.266×0.210.007 3≈-0.86,a ^=y ¯−a ^t ¯=0.21+0.86×0.266≈0.25.故所求回归方程为y =-0.86t +0.25, 当x =0.75时,t =0.01,所以y ≈0.24.【解析】本题主要考查基本概念、线性回归方程,考查考生提取信息、分析问题和解决问题的能力,运算求解能力.本题以熟悉的情境设置线性回归问题,引导考生整理数据、分析数据,能从数据中提取对研究问题有用的信息,并作出合理判断,体现数据分析、数学运算等核心素养.(1)用样本估计总体,利用平均分、区分度的公式计算即可;(2)①根据相关性的定义进行求解,②利用所给公式,求出b ^,a ^,即可得y 关于t 的线性回归方程,再把t =0.01代入线性回归方程,即可预报x =0.75时y 的值.【备注】【易错警示】本题的易错点是已知解释变量的某个值去预测相应预报变量的某个值时,因代错对象而出错,如第(2)问的②中,易误把x =0.75直接代入线性回归方程,求出y 的值,导致错误.20.:(1)不妨设A (m ,0),B (0,n ),m >0,n >0,则nm=√22, 即m =√2n ,A (√2n ,0),则由题意知,M (√2n 3,2n3),N (2√2n 3,n3)或M (2√2n 3,n 3),N (√2n 3,2n3), 分别代入椭圆的方程得{2n 29a +4n 29b =1,8n29a 2+n 29b 2=1,消去n ,整理得,a 2=2b 2,又a 2-b 2=18,所以a 2=36,b 2=18. 故该椭圆的方程为x 236+y 218=1.(2)解法一由题意得P (2,4),直线ST 的斜率存在,且不为0,设直线ST 的方程为y =kx +t (k ≠0),代入椭圆的方程整理得,(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2-36=0.设S (x 1,y 1),T (x 2,y 2),由根与系数的关系得,{x 1+x 2=-4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2-361+2k ,由k PS ·k PT =1得y 1-4x 1-2·y 2-4x 2-2=1,即(kx 1+t -4)(kx 2+t -4)=(x 1-2)(x 2-2),所以(k 2-1)x 1x 2+(kt -4k +2)(x 1+x 2)+t 2-8t +12=0, 即(k 2-1)·2t 2-361+2k2+(kt -4k +2)·-4kt1+2k2+t 2-8t +12=0, 整理得,t 2+8(k +1)t +12k 2-48=0. 由求根公式得,t =-8(k+1)±√64(k+1)2-4(12k 2-48)2,故t =4-2k 或t =-6k -12.若t =4-2k ,则直线ST 的方程为y =kx +4-2k =k (x -2)+4,直线ST 过点(2,4),即P 点,舍去. 若t =-6k -12,则直线ST 的方程为y =kx -6k -12=k (x -6)-12,恒过定点(6,-12). 解法二由题意得P (2,4),直线ST 的斜率存在,且不为0,设直线ST 的方程为y =kx +t (k ≠0),S (x 1,y 1),T (x 2,y 2),x'1=x 1-2,y'1=y 1-4,x'2=x 2-2,y'2=y 2-4.把{x =x'+2,y =y'+4代入椭圆的方程整理得,x'2+2y'2+4x'+16y'=0,即x'2+2y'2=-4x'-16y' ①.把{x =x'+2,y =y'+4代入直线ST 的方程并整理得,2k +t -4=y'-kx' ②,由①×②得,(x'2+2y'2)(2k +t -4)=(-4x'-16y')(y'-kx'), 整理得,(4k +2t +8)·(y'x')2-(16k -4)·y'x'+t -4-2k =0, 又k PS ·k PT =y'1x'1·y'2x'2=t -4-2k4k+2t+8=1,所以t =-6k -12.故直线ST 的方程为y =kx -6k -12=k (x -6)-12,直线ST 恒过定点(6,-12).【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查函数与方程思想、运算求解能力.(1)分别设出点A ,B 的坐标,用相关参数表示M ,N 的坐标,代入椭圆方程,求出a ,b 的值;(2)设出直线ST 的方程,利用条件求出相关参数关系,即可求得定点坐标.【备注】【解题关键】解法二的解题关键是以k PS ·k PT =1为主线,把条件组织起来,使之化为一个关于直线PS ,PT 的斜率的二次方程,从而使用根与系数的关系求解.21.解:(1)当a =1时,f (x )=e xx -x +ln x (x >0),则f '(x )=e x (x -1)x 2-1+1x=x -1x 2(e x-x ).令h (x )=e x -x ,则当x ∈(0,+∞)时,h'(x )=e x -1>0,∴在(0,+∞)上,h (x )>h (0)=1, 故在(0,1)上,f '(x )<0,f (x )单调递减;在(1,+∞)上,f '(x )>0,f (x )单调递增. (2)f '(x )=e x (x -1)x 2-a +1x (x >0),令p (x )=f '(x )=e x (x -1)x 2-a +1x(x >0),则p'(x )=e x (x 2-2x+2)-xx 3(x >0).由(1)知,当x ∈(0,+∞)时,e x >x ,∴e x(x 2-2x +2)-x >x (x 2-2x +2)-x =x (x -1)2≥0,∴p'(x )=e x (x 2-2x+2)-xx 3>0(x >0),故f '(x )为定义域上的增函数.又f '(1)=-a +1≤0,f '(2)=e 24-a +12≥0,∴方程f '(x )=0在(0,+∞)上有唯一解. 设f '(x )=0的解为x 0,则在(0,x 0)上,f '(x )<0,在(x 0,+∞)上,f '(x )>0,且1≤x 0≤2,∴f (x )的最小值g (a )=f (x 0)=e x 0x 0-ax 0+ln x 0.由f '(x 0)=0,得a =e x 0(x 0-1)x 02+1x 0,代入g (a )得,g (a )=e x 0x 0-[e x 0(x0-1)x 02+1x 0]x 0+ln x 0=e x 0(2-x 0)x 0-1+ln x 0(x 0∈[1,2]).令φ(x )=e x (2-x)x-1+ln x (x ∈[1,2]),则φ'(x )=e x (2x -x 2-2)+xx .∵-x 2+2x -2=-(x -1)2-1≤-1,∴e x (-x 2+2x -2)+x ≤x -e x <0,故φ(x )为[1,2]上的减函数,∴φ(x )的值域为[φ(2),φ(1)], 即g (a )的取值范围是[ln 2-1,e-1].【解析】本题考查导数在研究函数的单调性、最值中的应用,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算. 【备注】无22.解:(1)由题意得,圆M 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4. 当cos φ=0时,直线l 的普通方程为x =1,当cos φ≠0时,直线l 的普通方程为y =(x -1)tan φ+1.(2)把直线l 的参数方程代入圆M 的直角坐标方程,并整理得,t 2+t (2sin φ-2cos φ)-2=0,Δ>0.易知M 0(1,1)在直线l 上,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=2cos φ-2sin φ,t 1t 2=-2,所以1|M 0A|+1|M 0B|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1-t 2||t 1t 2|=12√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=12√12-4sin2φ=√3-sin2φ,所以1|M 0A|+1|M 0B|的取值范围是[√2,2].【解析】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化以及参数的几何意义,考查的核心素养是数学运算.(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程,通过消参法把参数方程化为普通方程;(2)利用参数的几何意义及根与系数的关系求解即可. 【备注】无23.(1)f (0)=|a |+|b |=4,即a +b =4. 又a -b =2,所以a =3,b =1.(2)由(1)知,f (x )=|x -3|+|x -1|,由g (x )=0,得f (x )=m |x -2|+32,则y =f (x )和y =m |x -2|+32的图象有4个交点,所以{f(1)<m|1-2|+32,f(3)<m|3-2|+32,m <2,f(2)>m|2-2|+32,得12<m <2.【解析】本题主要考查含绝对值的函数的图象,函数的零点,考查化归与转化思想、数形结合思想.(1)根据含绝对值的函数的图象的变化趋势列方程求解;(2)将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题. 【备注】无。

8.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-文数8含答案精品

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-数学8第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |x 2-2x -3>0},集合B ={x |y =√x -1},则(∁R A )∪B =A.{x |x ≤-1}B.{x |x ≥3}C.{x |-1≤x ≤3}D.{x |x ≥-1}2．已知复数z =2+i 1+i,则|z |=A.√52B.√10C.√102D.√53．已知函数f (x )={1x(x <e),lnx(x ≥e),则f (f (1e))=A.1eB.eC.1D.-14．已知直线l 1:x +(2a -1)y +2a -3=0,l 2:ax +3y +a 2+4=0,则“a =32”是“l 1∥l 2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值.这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据,如果按π=3.142计算,那么当分割到圆内接正六边形时,如图所示,向圆内随机投掷一点,那么该点不落在正六边形内的概率为(√3≈1.732,精确到小数点后两位)A.0.16B.0.17C.0.18D.0.196．已知在三棱锥S -ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =SA ,SA ⊥平面ABC ,D 为BC 的中点,则异面直线AB与SD 所成角的余弦值为A.√55B.√66C.√306D.2√557．已知x ,y 满足{x -y ≤0,2x +y ≥0,x +y -1≤0,则目标函数z =-2x +y 的取值范围为A.[15,4]B.[1,4]C.[√55,2]D.[-12,4]8．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A.-2B.2C.12D.-19．设函数f (x )=ln x +1-ax x,x ∈[a ,1a],若函数f (x )的极小值不大于a ,则实数a 的取值范围为A.[12,+∞)B.[12,1)C.(0,12]D.(-∞,12]10．已知经过坐标原点O 的直线与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于M ,N 两点(M 在第二象限),A ,F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点,若直线MF 平分线段AN ,且|AF |=4,则该椭圆的方程为A.x 29+y 25=1B.x 236+y 24=1C.x 236+y 232=1 D.x 225+y 224=111．已知函数f (x )=a |x|(a >0,a ≠1)满足f (a )<1,设m =f (-a ),n =f (log a a 2),p =f (f (a )),那么m ,n ,p 的大小关系为A.n <p <mB.m <p <nC.p <m <nD.n <m <p12．已知△ABC 中,内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,已知a 2+b 2=c 2+2ac cos C ,a cosC +3c cos A =0,则角A 为A.30°B.60°C.90°D.120°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知AB =(1,2),AC=(2,3),向量m =(a ,2)与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,则向量m 的模为 . 14．已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象关于直线x =π3对称,若函数f (x )的最小正周期为π2,且φ∈(0,π),则φ的值为 .15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .16．已知直线l :x +2y -5=0,定点A (1,2),动点P 到定点A 的距离与到直线l 的距离相等,双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ,Q 是动点P 轨迹上一点,|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长,则双曲线C 的离心率为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知数列{a n +1}的前n 项和S n 满足S n =2a n ,n ∈N *.(1)求证数列{a n +1}为等比数列,并求a n 关于n 的表达式;(2)若b n =log 2(a n +1),求数列{(a n +1)b n }的前n 项和T n .18．2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行,为了解同学们观看现场直播的情况,对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查,各班观看人数统计结果如茎叶图所示.(1)(i)根据图中的数据,估计哪个年级平均观看人数较多? (ii)计算高一年级观看人数的样本方差.(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班,求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率.19．如图所示的几何体B -ACDE 中,△ABC 为等腰直角三角形,AB ⊥AC ,AB =AC =2,DC ⊥平面ABC ,DC =1,EA ⊥平面ABC ,EA =√2.(1)若在EB 上存在点F ,使得BE ⊥平面AFC ,试探究点F 的位置; (2)在(1)的条件下,求三棱锥F -BCD 的体积.20．已知定点N (6,8)与圆O :x 2+y 2=4,动点M 在圆O 上,MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ,求圆C 的方程;(2)在(1)的条件下,线段OC 的垂直平分线上,是否存在点Q ,过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ,B ),使得|QA |=|QB |,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.21．已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.22．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosα,y =√3sinα(α为参数),以O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρsin(π3-θ)=√3.(1)求曲线C 的普通方程、直线l 的直角坐标方程;(2)已知直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△OAB 的面积. 23．已知函数f (x )=|2x -1|. (1)解不等式f (x )≤|x |+1;(2)若存在实数m ,使得f (x )-f (x2)<m 有解,求m 的取值范围.参考答案1.D【解析】本题考查集合的并、补运算,不等式的解法,考查考生的运算求解能力及对基础知识的掌握情况,考查的核心素养是数学运算.先解一元二次不等式求出集合A ,根据函数定义域的知识求出集合B ,然后通过集合的并、补运算求解.由x 2-2x -3>0得x <-1或x >3,从而∁R A ={x |-1≤x ≤3},由x -1≥0,得B ={x |x ≥1},从而(∁R A )∪B ={x |x ≥-1},故选D. 【备注】无 2.C【解析】本题考查复数的运算及复数模的概念,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.可先通过复数运算求出复数z ,再求解|z |.z =2+i1+i=(2+i)(1-i)1-i 2=3-i 2,所以|z |=√102,故选C.【备注】无 3.C【解析】本题考查分段函数求值,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由题意可知f (f (1e ))=f (e)=ln e=1,故选C.【备注】无 4.C【解析】本题主要考查充要关系的判断、两直线的位置关系等,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.先根据直线l 1∥l 2求出a 的值,再判断充要关系即可.若l 1∥l 2,则a (2a -1)=3,解得a =32或a =-1.又当a =-1时,直线l 1的方程为x -3y -5=0,直线l 2的方程为-x +3y +5=0,两直线重合,所以a =32,所以“a =32”是“l 1∥l 2”的充要条件.故选C. 【备注】【易错警示】很多考生在根据l 1∥l 2求出a =32或a =-1后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A. 5.B【解析】本题以数学文化知识为依托,考查几何概型概率的计算,考查考生的运算求解能力. 试题以“割圆术”为背景设题,不仅考查数学核心素养中的数学建模、数学运算,同时弘扬了我国古代的数学成就和文化底蕴,引导考生了解数学文化,培养爱国情怀.分别计算圆的面积与圆内接正六边形的面积,利用对立事件概率和几何概型概率的计算公式求解,通过近似运算得出正确结果.设圆的半径为r ,则圆的面积为πr 2,正六边形的面积为6×12×r ×√32r =3√32r 2,因而所求概率为1-3√32r 2πr 2=1-3√32π≈0.17,故选B.【备注】无 6.B【解析】本题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力与运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.作平行线,利用定义确定异面直线所成的角,然后在直角三角形中求解.如图,取AC 的中点E ,连接DE ,SE ,则DE ∥AB ,∠SDE 或其补角为异面直线AB 与SD 所成的角.由SA ⊥平面ABC ,得SA ⊥AB ,SA ⊥AC ,又AB ⊥AC ,所以AB ⊥平面SAC ,易得DE ⊥S E.不妨设AB =AC =SA =2,则DE =1,SE =√,故SD =√SE 2+ED 2=√6.在Rt△SDE 中,cos∠SDE =DE SD=√6=√66,故选B. 【备注】无 7.D【解析】本题主要考查线性规划,考查数形结合思想.试题要求考生能够画出可行域对应的几何图形,引导考生注重培养直观想象等核心素养.由已知约束条件,作出可行域及直线y =2x ,通过平移直线y =2x ,求得目标函数的取值范围. 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A (12,12),B (-1,2),作出直线y =2x ,平移该直线,当直线经过点A (12,12)时,目标函数取得最小值,z min =-2×12+12=-12,当直线经过点B (-1,2)时,目标函数取得最大值,z max =-2×(-1)+2=4,所以目标函数的取值范围是[-12,4],故选D.【备注】无 8.D【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理.执行程序框图,找到a 取值的周期,然后判断结束循环时a 的值,得到结果.执行程序框图,n =1,a =f (2)=1-12=12,n =2,a =f (12)=1-112=-1,n =3,a =f (-1)=1-1-1=2,n =4,a =f (2)=12,……易知a 的取值以3为周期,所以当n =8时,a =-1,当n =9时,退出循环.输出的a =-1,故选D. 【备注】无 9.B【解析】本题考查函数的极值、导数在解决函数问题中的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理及数学抽象.先根据函数的定义域求出a 的一个范围,再根据函数的单调性求出函数的极小值,通过求解不等式得到结果.由题意得,1a>a >0,得0<a <1,1a>1.由f '(x )=1x−1x =0得x =1,当x ∈(a ,1)时,f '(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈(1,1a)时,f '(x )>0,f (x )单调递增,因而f (x )的极小值为f (1)=1-a ,∴1-a ≤a ,∴a ≥12,又0<a <1,∴12≤a <1,故选B.【备注】【易错警示】本题容易忽视函数的定义域x ∈[a ,1a ],而错选A.10.C【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查三角形的相似及其应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力.试题的命制立足于基础知识,考生可以根据几何直观与椭圆的几何性质解题,突出对数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的考查.取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,可证△OFP ∽△AFM ,从而可求得c 的值,进而求得a ,b 2的值,得到椭圆的方程.解法一由|AF |=4得a -c =4,设线段AN 的中点为P ,M (m ,n ),则N (-m ,-n ),又A (a ,0),所以P (a -m 2,-n 2),F (a -4,0).因为点M ,F ,P 在一条直线上,所以k MF =k FP ,即n -0m -(a -4)=-n 2-0a -m2-(a -4),化简得a =6,所以c =2,b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.解法二如图,取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,因为O 是MN 的中点,P 是AN 的中点,所以OP ∥MA ,且|OP |=12|MA |,因此△OFP ∽△AFM ,所以|OF||AF|=|OP||AM|=12,即c 4=12,因此c =2,从而a =c +|AF |=2+4=6,故b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性等,考查简单的指数、对数运算,考查比较大小的方法,考查数形结合思想.通过对已知条件的分析,得出a 的取值范围,利用数形结合思想得出m ,n ,p 的大小.由已知f (a )<1,a >0,得a a <1,因而0<a <1.当x >0时,f (x )=a x ,f (x )单调递减,当x <0时,f (x )=a -x ,f (x )单调递增,且f (-x )=f (x ),作出函数f (x )=a |x|的图象如图所示,∴m =f (-a )=f (a )=a a >a ,由于log a a2=1-log a 2>1,∴n =f (log a a2)<f (1)=a ,由于f (a )<1,∴p =f (f (a ))>f (1)=a >n ,又p =f (f (a ))<f (a )=m , ∴n <p <m ,故选A. 【备注】无 12.D【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,三角恒等变换及诱导公式等,考查考生的运算求解能力.通过余弦定理得到b =c 或cos C =0,舍去cos C =0,再由正弦定理进行边角互化,通过两角和与差的三角函数公式及诱导公式求解.由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,可得a 2+b 2=a 2+b 2-2ab cos C +2ac cos C ,可得b =c 或cos C =0.易知cos C ≠0,从而B =C.由正弦定理得,sin A cos C +3sin C cos A =0,则sin(A +C )+2sinC cos A =0,从而sin(π-B )+2sin B cos A =0,所以cos A =-12,所以在△ABC 中,A =120°,故选D.【备注】【归纳总结】解三角形离不开正弦定理、余弦定理的应用,同时,三角形中通过A +B +C =π进行角的转化,特别当已知某个角的三角函数值时,注意三角形中角的值的可能情况,否则容易出现丢根的情况.13.2√2【解析】本题考查向量的运算及向量的模,考查的核心素养是数学运算.利用向量的减法运算求出BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,通过垂直求出a ,然后求向量的模. 由已知得,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),因为m =(a ,2)与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,所以m ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,2)·(1,1)=a +2=0,解得a =-2,则m =(-2,2),|m |=2√2. 【备注】无 14.π6【解析】本题主要考查三角函数的最小正周期、三角函数图象的对称性等,考查考生对基础知识的掌握情况.由三角函数的最小正周期确定ω的值,再由图象的对称性求出φ的值. 由函数f (x )的最小正周期为π2,得ω=2ππ2=4,由函数f (x )的图象关于直线x =π3对称,得4π3+φ=π2+k π,k ∈Z ,即φ=-5π6+k π,k ∈Z .又φ∈(0,π),所以φ=π6.【备注】无15.32+4√3+4√7【解析】本题考查几何体的三视图及表面积的求解,考查考生对基础知识的掌握情况,考查数形结合思想,考查考生的运算求解能力以及空间想象能力,考查的核心素养是数学运算与直观想象.由几何体的三视图还原直观图,并根据三视图中提供的数据计算表面积,注意不要漏掉某个面的面积.由三视图还原几何体的直观图,如图,其中AE =AB =BD =DE =BC =CD =4,AC =CE =4√2,BC ⊥AB ,CD ⊥DE ,则S 四边形ABDE=16,S △BCD =4√3,S △ABC =S △EDC =8,S △ACE =4√7,所以该几何体的表面积为32+4√3+4√7.【备注】【易错警示】因对几何体的结构特征认识不准,混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误.一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高,而不一定是空间几何体的棱长.16.√【解析】本题考查直线的方程、双曲线的几何性质,考查数形结合能力及化归与转化思想. 试题将双曲线、直线方程等知识有机结合起来,引导考生抓住解析几何问题的本质,在剖析问题本质的基础上,建立“数与形”的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.首先得到点P 的轨迹方程,然后分析|FQ |最小时的几何意义,最后通过c 2=b 2+a 2及e =ca即可求解.由已知得点A 在直线l 上,因而动点P 的轨迹为过点A 且与直线l 垂直的直线, 则由点斜式,得点P 的轨迹方程为y -2=2(x -1),即y =2x .|FQ |的最小值即点F 到直线y =2x 的距离,由已知得为b ,则y =2x 为双曲线C 的一条渐近线,从而ba=2,则双曲线C 的离心率e =√1+(ba)2=√5.【备注】【易错警示】本题已知中“动点P 到定点A 的距离与到直线l 的距离相等”,容易误解成抛物线的定义,从而按抛物线的定义求解.17.解:(1)由题可知S n =(a 1+1)+(a 2+1)+(a 3+1)+…+(a n +1)=2a n , 即a 1+a 2+a 3+…+a n +n =2a n . ① 当n =1时,a 1+1=2a 1,得a 1=1,当n ≥2时,a 1+a 2+a 3+…+a n -1+n -1=2a n -1, ② ①-②,得a n +1=2a n -2a n -1,即a n =2a n -1+1,所以a n +1=2(a n -1+1),所以数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列, 所以a n +1=2×2n -1=2n ,故a n =2n -1.(2)由(1)知b n =log 2(a n +1)=log 22n =n ,则(a n +1)b n =n ×2n ,T n =1×21+2×22+3×23+…+(n -1)×2n -1+n ×2n ,2T n =1×22+2×23+3×24+…+(n -1)×2n +n ×2n +1. 两式相减得-T n =21+22+23+ (2)-n ×2n +1=2×(2n -1)2-1-n ×2n +1=2n +1-2-n ×2n +1=(1-n )×2n +1-2,所以T n =2+(n -1)×2n +1.【解析】本题考查等比数列的判断以及错位相减法求和,考查考生的运算求解能力及对基本概念的掌握情况.(1)利用定义证明数列{a n +1}为等比数列,并求出a n 的表达式;(2)利用错位相减法求和. 【备注】无18.解:(1)(i)设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ¯,y ¯, 那么x ¯=8+6+12+14+16+23+25+33+33+3210=20.2,y ¯=9+11+15+14+16+22+26+28+33+3510=20.9,所以高二年级平均观看人数较多.(ii)由(i)知x ¯=20.2,则高一年级观看人数的样本方差s 2=110×[(20.2-8)2+(20.2-6)2+(20.2-12)2+(20.2-14)2+(20.2-16)2+(20.2-23)2+(20.2-25)2+(20.2-33)2+(20.2-33)2+(20.2-32)2]=97.16.(2)由茎叶图可知,高一年级观看人数不足20人的班级有5个,其中观看人数在10人以下的班级有2个,分别记为a ,b ,观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个,分别记为C ,D ,E.从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班,抽取的结果有(a ,b ),(a ,C ),(a ,D ),(a ,E ),(b ,C ),(b ,D ),(b ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10种, 设所求事件为事件A ,则事件A 包含(a ,C ),(a ,D ),(a ,E ),(b ,C ),(b ,D ),(b ,E ),共6种不同的结果, 由古典概型概率计算公式得,P (A )=610=35. 【解析】本题通过茎叶图考查平均数、方差以及古典概型,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力,考查的核心素养是数据分析、数学运算.(1)(i)分别求出样本的平均数,进行对比,得出结果,(ii)利用方差的计算公式求解;(2)列出总的基本事件,分析所求事件包含的基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.【备注】【名师语要】分析近几年高考题的特点,概率与统计往往在一个题目中进行考查,有一定的综合性,古典概型仍是文科考查的重点,因而命题方向不会有太大变化,但是在解题中需要注意:①认真审题,理清已知条件中的信息;②分清所求概率类型,是古典概型或其他类型;③将随机事件的基本事件列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不严密造成不必要的失分;④注意统计中的茎叶图、条形图、散点图、频率分布直方图,同时注意将频率分布表、样本数据等转化为解题必备的数学信息.19.解:(1)由AB ⊥AC ,EA ⊥平面ABC ,得AC ⊥平面EAB ,所以AC ⊥BE , 若BE ⊥平面AFC ,只需BE ⊥AF , 在直角△ABE 中,EB =√AB 2+AE 2=√6,由射影定理AB 2=BF ·BE ,可知BF =√6=2√63=23BE ,所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处. (2)由题可知S 四边形AEDC =12×(1+√2)×2=1+√2, 则V B -AEDC =13×S 四边形AEDC ×AB =2+2√23, 由(1)知,F 在BE 上靠近E 的三等分点处, 因而V F -AEDC =13V B -AEDC =2+2√29,又S △ABC =12×2×2=2,所以V F -ABC =13×S △ABC ×23EA =13×2×2√23=4√29,所以V F -BCD =V B -AEDC -V F -AEDC -V F -ABC =49.【解析】本题主要考查线面垂直及三棱锥体积的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.试题的载体为考生熟知的四棱锥,给不同基础的考生提供了想象的空间和多角度的思维平台,将对直观想象、数学运算等核心素养的考查融入到线面位置关系的证明中,具有较好的区分度和选拔功能.(1)根据线面垂直得出BF ,BE 的长度,进而确定点F 的位置;(2)将求三棱锥F -BCD 的体积转化为四棱锥B -ACDE 的体积减去两个棱锥的体积. 【备注】无20.解:(1)由已知,设P (x ,y ),则M (2x -6,2y -8),因为点M 在圆O :x 2+y 2=4上, 所以(2x -6)2+(2y -8)2=4,从而可得圆C 的方程为(x -3)2+(y -4)2=1. (2)假设存在,设Q (x ,y ),若|QA |=|QB |,则QC 2-1=QO 2-4,即QO 2-QC 2=3, 从而x 2+y 2-(x -3)2-(y -4)2=3,整理得,3x +4y -14=0,故点Q 在直线3x +4y -14=0上,而OC 的中点坐标为(32,2),k OC =43,因而OC 的垂直平分线的方程为y -2=-34(x -32),整理得,6x +8y -25=0,易知直线3x +4y -14=0与直线6x +8y -25=0平行, 因此不存在满足题意的点Q .【解析】本题考查轨迹方程的求解、圆与圆的位置关系、圆的切线问题,考查考生的化归与转化能力及逻辑推理能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算及逻辑推理.(1)利用相关点法求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 的坐标,利用两切线段长度相等求出点Q 所在直线的方程,然后写出OC 的垂直平分线的直线方程,发现两直线平行,由此判定点Q 不存在.【备注】【拓展迁移】分析近几年高考题,众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论备受青睐,比如在切线问题上,常常涉及结论:圆x 2+y 2=R 2上点P (x 0,y 0)处的切线方程为x 0x +y 0y =R 2,若点P (x 0,y 0)在圆外,则其几何含义是过点P (x 0,y 0)所作的圆的两条切线,切点连线的方程.21.解:(1)由题可知f (0)=1+b ,f'(x )=e x -ax ,f'(0)=1,则函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y -1-b =x ,即y =x +1+b ,由已知条件可得b =0,当a =1时,在[0,2]上,f'(x )=e x -x >0,函数f (x )在[0,2]上单调递增, 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)=1,最大值为f (2)=e 2-2. (2)解法一由(1)知f (x )=e x -12ax 2,设g (x )=f'(x )=e x-ax ,则g'(x )=e x -a ,令g'(x )=0,可得x =ln a ,当x ∈(-∞,ln a )时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(ln a ,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增. 因而g (x )的最小值为g (ln a )=a -a ln a ,若a -a ln a ≥0,则f'(x )≥0,f (x )单调递增,f (x )不会有两个零点,不合题意,因而a -a ln a <0,即a >e.因为g (0)=1>0,g (1)=e-a <0,所以f'(x )=0在(0,1)内有解,即存在x 1∈(0,1)使f'(x 1)=0,同时存在x 2∈(1,+∞),使得f'(x 2)=0, 即0<x 1<1<x 2,e x 1=ax 1,e x 2=ax 2,当x ∈(-∞,x 1)时f (x )单调递增,当x ∈(x 1,x 2)时f (x )单调递减,当x ∈(x 2,+∞)时f (x )单调递增,f (x )的大致图象如图所示.由于f (x 1)=e x 1−12a x 12=ax 1-12a x 12=12ax 1(2-x 1)>0,所以,若函数f (x )有两个零点,则函数f (x )的极小值f (x 2)=0, f (x 2)=e x 2−12a x 22=ax 2-12a x 22=12ax 2(2-x 2)=0,得x 2=2.由ex 2−12a x 22=0,即e 2-12a ×22=0,得a =e 22.解法二由(1)知,b =0,则函数f (x )=e x -12ax 2,显然x =0不是零点, 令f (x )=0,分离参数,则a =2e x x ,设h (x )=2e x x 2(x ≠0),则h'(x )=2e x (x -2)x 3,令h'(x )=0,则x =2.易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减,当x ∈(-∞,0)及x ∈(2,+∞)时h (x )单调递增, 则h (x )的极小值为h (2)=e 22, 而当x ∈(-∞,0)时,h (x )=2e x x 2>0,数形结合可知,当a =e 22时函数f (x )有两个零点.【解析】本题主要考查导数的几何意义,函数的最值及函数的零点问题,考查考生利用导数知识解决函数综合问题的能力.试题围绕函数与导数的关系,将零点问题转化为函数的最值问题处理,加深考生对动态事物的本质的理解,提高思维层次,考查了逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)利用导数的几何意义即可求解;(2)含参数函数的零点问题,可利用分离参数法,求出具体函数的单调性,进而确定零点个数. 【备注】无22.(1)消去参数α,得曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1.2ρsin(π3-θ)=√3可化为√3cos θ-ρsin θ=√3, 将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入得直线l 的直角坐标方程为√3x -y -√3=0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d =√32.由{√3x -y -√3=0,x 24+y 23=1消去y ,得5x 2-8x =0,解得x 1=0,x 2=85.不妨记A (0,-√3),B (85,3√35), 由两点间的距离公式得|AB |=165,所以S △OAB =12×|AB |×d =12×165×√32=4√35. 【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与椭圆的位置关系,考查考生的运算求解能力.(1)消去参数,将曲线C 的参数方程化为普通方程,利用{x =ρcosθ,y =ρsinθ将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)联立直线与椭圆的方程求得|AB |,利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解. 【备注】无23.解:(1)由已知得,f (x )≤|x |+1,即|2x -1|≤|x |+1, 所以当x <0时,1-2x ≤-x +1,得x ≥0,此时无解; 当0≤x <12时,1-2x ≤x +1,得x ≥0,此时0≤x <12; 当x ≥12时,2x -1≤x +1,得x ≤2,此时12≤x ≤2.从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}.(2)设g (x )=f (x )-f (x2),则g (x )=|2x -1|-|x -1|={-x,x ≤12,3x-2,12<x <1,x,x ≥1,作出函数g (x )的大致图像(图略),数形结合可知,g (x )的最小值为-12,从而m >-12.所以m 的取值范围是(-12,+∞).【解析】本题考查绝对值不等式的求解问题,不等式有解问题,考查考生的运算求解能力.(1)利用零点分段法求解不等式;(2)将含绝对值的函数通过分类讨论转化为分段函数,利用数形结合思想求函数的最小值,即可求解. 【备注】无。

10.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-文数10含答案精品

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-数学10第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合U ={x |4x 2-4x +1≥0},B ={x |x -2≥0},则∁U B =A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(12,2) D.(-∞,12)∪(12,2) 2．已知a -3i i=b +2i(a ,b ∈R ),其中i 为虚数单位,则复数z =a -b i 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3．已知直线a ⊥平面α,则“直线b ∥平面α”是“b ⊥a ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．已知等差数列{a n }的前19项和S 19=57,则log 3(a 9+a 10+a 11)=A.9B.3C.2D.1 5．已知向量a =(2,3),b =(6,m ),且a ⊥b ,则向量a 在a +b 方向上的投影为A.√655B.-√655C.√13D.-√136．在不等式组{x -y ≥0,x +y -2≤0,y +1≥0所表示的平面区域内随机取一点P ,则点P 到直线l :x =-1的距离小于或等于1的概率为A.12B.14C.18D.116 7．已知f (x )=13x 3+ax 2+(b -4)x (a >0,b >0)在x =1处取得极值,则2a+1b 的最小值为 A.3+2√23B.3+2√2C.3D.2√28．执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值为A.6732 020B.2 0196 061C.13D.2 0206 0619．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14,得到函数g (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,|φ|<π2)的图象.已知函数g (x )的部分图象如图所示,则函数f (x )的图象的对称轴方程是A.x =4k π+2π5,k ∈Z B.x =4k π+7π10,k ∈Z C.x =2k π+2π5,k ∈Z D.x =2k π+7π5,k ∈Z10．已知抛物线C :x 2=3y 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,其中点A 在第一象限,若弦AB 的长为4,则|AF||BF|=A.1B.2或12C.3D.3或1311．已知在四面体ABCD 中,AB =AD =BC =CD =BD =2,平面ABD ⊥平面BDC ,则四面体ABCD 的外接球的表面积为A.20π3B.6πC.22π3D.8π12．已知函数f (x )=16x 3+12bx 2+cx 的导函数f '(x )是偶函数,若方程f '(x )-ln x =0在[1e,e]上有两个不相等的实数根,则实数c 的取值范围是A.[-1-12e 2,-12)B.[-1-12e 2,-12]C.[1-12e 2,-12)D.[1-12e 2,-12]第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是全等的直角三角形,则该几何体的各个面中,最大面的面积为 .15．已知数列{a n }满足2a n +1a n +a n +1-3a n =0,且a 1>0,若数列{a n }为递增数列,则a 1的取值范围为 .16．已知直线l :y =√3x +b 与圆M :x 2+(y -1)2=2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△MAB 的面积取得最大值时,△AOB 的面积为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sinA2sinB -sinC=a(b 2+c 2-a 2)c(b 2+a 2-c 2).(1)求角A 的大小;(2)若△ABC 的面积为√3,且cos C =3-c 2-a 2ab,求a 的值.18．清华大学中学生标准学术能力诊断性测试分线上测试和线下测试两种方式进行,某学校从该校参加某次线下测试的考生中随机抽取了100名学生的成绩(单位:分),并按成绩分组,得到频率分布表如下:(1)请先求出频率分布表中①,②位置的数据,再完成频率分布直方图(用阴影表示);(2)为了让学生更出色,学校招生办决定从第4,5组中用分层抽样的方法抽取5名学生进行自主招生模拟面试,并从这5名学生中随机抽取2名学生接受考官M 的面试,求第4组中恰好有1名学生接受考官M 面试的概率.19．如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弧AB 上的动点(不与A ,B 重合),△ABC 是∠BAC =90°的直角三角形,且AB =2,AC =4.(1)将△ABC 沿AB 翻折,使平面ABC 与半圆O 所在的平面垂直,求证:平面ACD ⊥平面BCD ; (2)将△ABC 沿AB 翻折至点C 到半圆O 所在平面的距离为2的位置,求三棱锥C -ABD 的体积取得最大值时点D 到平面ABC 的距离.20．已知直线l :x =ty +1过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2,并交椭圆于A ,B 两点,且|AB |的最小值为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过AB 的中点M 且与直线l 垂直的直线l 1与y 轴交于点N ,求△NAB 面积的最大值.21．已知函数f (x )=ln x -a(x -1)x+1(a >0).(1)求函数f (x )的单调区间; (2)求证:ln(n +1)>13+15+17+…+12n+1.22．已知在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =1-√22t,y =1+√22t(t 为参数),在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ. (1)写出曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)已知M (1,1),曲线C 1,C 2相交于A ,B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离.23．已知函数f (x )=1+|a +x |+|2x -b |,a >0,b >0.(1)当a =1,b =2时,求不等式f (x )>4的解集;(2)当f (1)的最小值不小于4时,求(a +b )2-(a +b )的最小值.参考答案1.A【解析】本题考查集合的补运算、一元一次不等式与一元二次不等式的求解等,考查考生的运算求解能力.首先分别对集合U ,B 进行化简,然后求∁U B.由4x 2-4x +1≥0,得x ∈R,所以U =R.又B ={x |x -2≥0}={x |x ≥2},所以∁U B =(-∞,2).故选A. 【备注】无 2.B【解析】本题考查复数相等的充要条件以及复数的运算,考查考生的运算求解能力.根据已知条件及复数相等的充要条件求出实数a ,b 的值,即可求解;也可直接根据复数的除法运算法则进行化简,再根据复数相等的充要条件求出实数a ,b 的值,即可求解. 解法一由已知得a -3i=(b +2i)·i=-2+b i,由复数相等的充要条件可得{a =-2,b =-3,所以z =a -b i=-2+3i,所以复数z =-2+3i 在复平面内对应的点(-2,3)在第二象限.故选B.解法二由a -3i i=b +2i 得,ai -3i 2i 2=-3-a i=b +2i,由复数相等的充要条件得{a =-2,b =-3,则z =-2+3i,所以复数z =-2+3i 在复平面内对应的点(-2,3)在第二象限.故选B. 【备注】无 3.A【解析】本题主要考查充分必要条件的判断,考查考生的逻辑思维能力.试题以线面的位置关系为载体,将对逻辑推理核心素养的考查蕴含于充分必要条件的判断中,引导考生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质.因为直线a ⊥平面α,直线b ∥平面α,所以b ⊥a ,所以充分性成立;由直线a ⊥平面α及b ⊥a 可以推得b ∥α或b ⊂α,所以必要性不成立.故选A. 【备注】无 4.C【解析】本题考查等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质,考查考生的运算求解能力. 试题设计力求引导考生关注等差数列的性质的应用,考查的核心素养是数学运算.先根据等差数列的前n 项和公式及已知条件求出a 10,然后利用等差中项即可求解. 通解设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意得,19a 1+19×182·d =57,∴a 1+9d =3=a 10,∴a 9+a 10+a 11=3a 10=9,∴log 3(a 9+a 10+a 11)=log 39=2.故选C.优解由等差数列的前n 项和公式及性质可得,S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10=57,∴a 10=3,∴a 9+a 10+a 11=3a 10=9,∴log 3(a 9+a 10+a 11)=log 39=2.故选C.【备注】无 5.A【解析】本题考查向量的数量积,向量垂直的充要条件的应用,向量投影的定义及求解,考查考生对基础知识的掌握情况,考查的核心素养是数学运算.根据a ⊥b ,得a ·b =0,可求实数m 的值,利用向量的坐标运算得a +b 的坐标,利用向量投影的定义即可得出结果.因为a ⊥b ,所以a ·b =12+3m =0,解得m =-4,所以b =(6,-4),所以a +b =(8,-1),所以向量a 在a +b 方向上的投影为a·(a+b)|a+b|=√655.【备注】【解后反思】由a ⊥b 可求得实数m 的值,再根据向量a 在a +b 方向上的投影的定义可解此题,需要注意的是向量a 在a +b 方向上的投影与向量a +b 在a 方向上的投影是不同的,要加以区别. 6.C【解析】本题考查简单的线性规划和几何概型问题,考查运算求解能力以及数形结合思想,考查数学运算、数学抽象等核心素养.首先画出可行域,在可行域内找出到直线l :x =-1的距离小于或等于1的点P 所在的区域,然后利用几何概型的概率计算公式求得结果.先画出不等式组{x -y ≥0,x +y -2≤0,y +1≥0所表示的平面区域,如图中△ABC 及其内部所示,易求得A (-1,-1),B (3,-1),C (1,1),则△ABC 的面积为12×4×2=4.记直线y =-1与y 轴的交点为M ,作出直线l :x =-1,分析易知满足条件的点P 恰好落在三角形区域OAM 内(含边界),其面积为12×1×1=12,故点P 到直线l :x =-1的距离小于或等于1的概率为124=18,故选C.【备注】无 7.C【解析】本题考查函数的极值与基本不等式的综合运用等,考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.先求出f (x )的导数f '(x ),由题意得f '(1)=0,得2a +b =3,然后运用“1”和基本不等式求得结果.由f (x )=13x 3+ax 2+(b -4)x (a >0,b >0),得f '(x )=x 2+2ax +b -4.由题意得f '(1)=12+2a +b -4=0,则2a +b =3,所以2a +1b =(2a +1b)×2a+b 3=13(2a +1b )(2a +b )=13(5+2b a +2a b)≥13(5+2√2b a·2a b)=3,当且仅当2b a=2a b,即a =b =1时,等号成立.故2a+1b的最小值为3.故选C.【备注】无 8.D【解析】本题考查直到型循环结构的程序框图,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.i =1,a =11×4,S =11×4;i =2,a =14×7,S =11×4+14×7=13(1-14+14−17);…;i =2020,a =1(3×2 020-2)(3×2 020+1),S =13[(1-14)+(14−17)+(17−110)+…+(13×2 020-2−13×2 020+1)]=13(1-13×2 020+1)=2 0206 061,结束循环.此时输出S =2 0206 061.故选D.【备注】无 9.D【解析】本题考查三角函数图象的变换和三角函数的性质,考查数形结合思想及运算求解能力.试题以考查三角函数的图象与性质为目标,选取正弦型函数为材料,通过设置正弦型函数部分图象的特征及三角函数图象的平移、伸缩变换问题,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.首先利用题图和题意得到g (x )=2sin(2x -2π5),再根据三角函数图象的平移变换及伸缩变换的知识得到f (x )=2sin(12x -π5),即可求出函数f (x )的图象的对称轴方程. 通解设g (x )的最小正周期为T ,由题意和题图可知A =2,T 4=9π20−π5=π4,∴T =π,∴ω=2,∴g (x )=2sin(2x +φ).∵g (x )的图象过点(9π20,2),∴9π10+φ=2k π+π2,k ∈Z ,∴φ=2k π-2π5,k ∈Z .又|φ|<π2,∴φ=-2π5,∴g (x )=2sin(2x -2π5).将函数g (x )=2sin(2x -2π5)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍,得到y =2sin(12x -2π5)的图象,再将y =2sin(12x -2π5)的图象向左平移2π5个单位长度,得到f (x )=2sin[12(x +2π5)-2π5]=2sin(12x -π5)的图象.令12x -π5=k π+π2,k ∈Z ,则x =2k π+7π5,k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x =2k π+7π5,k ∈Z .故选D.优解由题中图可知,函数g (x )的图象的对称轴方程为x =9π20+kπ2(k ∈Z ),将函数g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍,再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象,故f (x )的图象的对称轴方程为x =(9π20+kπ2)×4-2π5=7π5+2k π,k ∈Z .【备注】无 10.D【解析】本题考查抛物线的定义、标准方程及几何性质,直线与抛物线的位置关系等,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学抽象、数学运算. 通解先求出抛物线的焦点F 的坐标为(0,34),设直线l 的方程为y =kx +34,再与抛物线的方程联立,根据根与系数的关系及弦长公式求得直线l 的斜率,得其倾斜角,最后根据直线l 的倾斜角分类讨论,从而求得结果.优解由抛物线过焦点的弦长公式得直线l 的倾斜角为30°或150°,根据倾斜角为30°及|AB |=4求出|AF |=3,|BF |=1,得到|AF||BF|=3,再根据抛物线的对称性求解即可.通解由题意知F (0,34),故可设直线l 的方程为y =kx +34,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立,得{x 2=3y,y =kx +34,消去y ,得4x 2-12kx -9=0,∴{x 1+x 2=3k,x 1x 2=-94,∴|AB |=2|x 1-x 2|=3(1+k 2)=4,∴k =±√33.设直线l 的倾斜角为θ,则θ=30°或θ=150°.设|AF||BF|=λ,则当θ=30°时,|AF |+|BF |=(λ+1)|BF |=4,又由抛物线的定义易知|AF |-|BF |=(λ-1)|BF |=2,∴(λ+1)|BF|(λ-1)|BF|=42=2,∴λ+1λ-1=2,∴λ=3,即|AF||BF|=3.由抛物线的对称性知,当θ=150°时,λ=13,即|AF||BF|=13.故选D.优解设直线l 的倾斜角为θ,则|AB |=2pcos θ=3cos θ=4,得cos θ=±√32,所以θ=30°或θ=150°.当θ=30°时,过点A ,B 分别作抛物线C 的准线y =-34的垂线,垂足分别为M ,N ,过点B 作BE ⊥AM 于点E ,则|AF |=|AM |,|BF |=|BN |,所以|AF |-|BF |=|AE |=12|AB |=2,又|AF |+|BF |=4,所以|AF |=3,|BF |=1,因此|AF||BF|=3.由抛物线的对称性知,当θ=150°时,|AF||BF|=13.故选D.【备注】无 11.A【解析】本题考查四面体的外接球的表面积的计算,考查考生的空间想象能力、运算求解能力与逻辑推理能力.试题通过设置四面体的外接球问题,意在考查考生构建数学问题的直观模型,进而解决问题的能力,突出考查的核心素养是直观想象.首先分析四面体的结构特征,然后得到其外接球的半径的平方,最后求表面积即可.∵AB =AD =BC =CD =BD =2,∴△ABD 与△BDC 均为正三角形.过正三角形BDC 的中心O 1 作OO 1⊥平面BDC (O 为四面体ABCD 的外接球的球心).设M 为BD 的中点,外接球的半径为R ,连接AM ,CM ,OA ,过O 作OG ⊥AM 于点G ,易知G 为△ABD 的中心,则OO 1=OG =MO 1=M G.∵MA =√32×2=√3,∴MG =OG =13×√3=√33,GA =2√33.在直角三角形AGO中,GA 2+GO 2=OA 2,即(2√33)2+(√33)2=R 2,R 2=53,∴四面体ABCD 的外接球的表面积S =4πR 2=20π3.故选A.【备注】无 12.A【解析】本题考查函数的性质、导数的应用等,考查函数与方程、化归与转化、数形结合等数学思想方法.试题注重导数的应用,突出函数与导数之间的关联,借助函数图象来探索解决问题的思路,体现直观想象、数学运算等核心素养.首先求出f (x )的导函数f '(x ),由f '(x )是偶函数求出b 的值,然后将方程f '(x )-ln x =0在[1e ,e]上有两个不相等的实数根转化为函数y =ln x -12x 2的图象与直线y =c 在[1e,e]上有两个不同的交点,最后利用导数讨论函数y =ln x -12x 2在[1e,e]上的单调性,求出最值,数形结合即可求解.∵f (x )=16x 3+12bx 2+cx ,∴f '(x )=12x 2+bx +c ,又f '(x )是偶函数,∴b =0,∴f '(x )=12x 2+c .方程f '(x )-ln x =0在[1e ,e]上有两个不相等的实数根,即12x 2+c -ln x =0在[1e,e]上有两个不相等的实数根,即ln x -12x 2=c 在[1e ,e]上有两个不相等的实数根.令φ(x )=ln x -12x 2,则φ(x )=lnx -12x 2的图象与直线y =c 在[1e,e]上有两个不同的交点.φ'(x )=1x-x =1-x 2x ,当x ∈(1e ,1)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增,当x ∈(1,e)时,φ'(x )<0,φ(x )单调递减,∴当x ∈[1e,e]时,φ(x )max =φ(1)=-12.又φ(1e)=-1-12e 2>φ(e)=1-12e 2,且φ(x )=ln x -12x 2的图象与直线y =c在[1e ,e]上有两个不同的交点,∴-1-12e ≤c <-12.故选A.【备注】无13.2x +2y -π=0【解析】本题考查导数的几何意义以及导数的运算等,考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力,考查的核心素养是数学运算.【解题思路】先化简函数f (x ),再求出函数f (x )的导数,由导数的几何意义可得切线的斜率,最后求出P (π2,0),由点斜式即可求出切线方程.∵f (x )=sin(x +π2)=cos x ,∴f '(x )=-sin x .∵f '(π2)=-sin π2=-1,f (π2)=0,∴P (π2,0),所求切线方程为y -0=-(x -π2),即2x +2y -π=0.【备注】无14.√22【解析】本题考查几何体的三视图及其各个面面积的求解等,考查基本的运算能力和空间想象能力.试题要求考生通过观察、分析、想象、判断、计算等过程才能求解,引导考生培养直观想象、数学运算等核心素养,同时也很好地体现了新课程背景下要求考生自主探究的理念.首先根据三视图在长方体中还原该几何体的直观图,然后根据三视图中的数据将该几何体各个面的面积求出来,便得结果.由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,将其放在一个长方体中,并记为三棱锥P -ABC (如图).依题意得△PAC 与△PBC 是全等三角形,且AC =BC =2,PD =3,易求得PA =PB =√13,AB =2√2,△PAB 中AB 边上的高为√11,所以S △PAC =S △PBC =12×2×√13=√13,S △PAB =12×√11×2√2=√22,S △ABC =12×2×2=2.故最大面的面积为√22.【备注】无15.(0,1)【解析】本题主要考查等比数列的定义、通项公式,数列的增减性等,考查运算求解能力以及化归与转化思想.将递推关系式进行变形,构造等比数列,求出数列{a n }的通项公式,再根据数列的增减性列出不等式进行求解.∵a 1>0,{a n }为递增数列,∴a n >0,则由2a n +1a n +a n +1-3a n =0(n ∈N *)可得a n +1=3a n2a n +1,∴1a n+1=2a n +13a n=13·1a n+23,∴1an+1-1=13(1a n-1),∴数列{1a n -1}是以1a 1-1为首项、13为公比的等比数列,∴1a n-1=(1a 1-1)·(13)n -1,∴a n =11+(1a 1-1)·(13)n -1>0.又数列{a n }为递增数列,∴a n +1>a n >0,即11+(1a 1-1)·(13)n >11+(1a 1-1)·(13)n -1>0,∴0<1+(1a 1-1)·(13)n <1+(1a 1-1)·(13)n-1,∴0<(1a 1-1)·13<1a 1-1,∴1a 1>1,∴0<a 1<1.【备注】无16.12或32【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形面积的最值问题以及点到直线的距离公式等,考查考生分析问题、解决问题的能力,运算求解能力和推理论证能力,考查分类讨论思想、数形结合思想.先设∠AMB =θ,再根据三角形面积公式得出S △ABM =sin θ,分析可知当θ=90°时,△ABM 的面积最大,此时|AB |=2,圆心M 到直线l 的距离为1,从而得到b =3或b =-1,最后分别求b =3和b =-1时原点O 到直线l 的距离,从而求出△AOB 的面积.易得M (0,1),|MA |=|MB |=√2.如图,设∠AMB =θ,则S △ABM =12|MA |·|MB |·sin θ=sin θ.易知当θ=90°时,△ABM 的面积最大,此时|AB |=2,圆心M 到直线l 的距离d =1,则d =√3+1=1,∴b =3或b =-1.当b =3时,直线l :√3x -y +3=0,点O 到直线l 的距离h 1=√3+1=32,∴S △OAB =12|AB |·h 1=12×2×32=32;当b =-1时,直线l :√3x -y -1=0,点O 到直线l 的距离h 2=√3+1=12,∴S △OAB =12|AB |·h 2=12×2×12=12.综上,△AOB 的面积为12或32. 【备注】无 17.解:(1)∵sinA 2sinB -sinC=a(b 2+c 2-a 2)c(b +a -c ),∴sinA2sinB -sinC=2abc·b 2+c 2-a 22bc 2abc·b 2+a 2-c 22ab=cosAcosC ,则sin A cos C +cos A sin C =sin(A +C )=2sin B cos A , 又A +B +C =π,∴sin(A +C )=sin B =2sin B cos A , ∴cos A =12.∵0<A <π,∴A =π3.(2)由(1)知A =π3,∴S △ABC =12bc sin π3=√3,得bc =4. ∵cos C =3-c 2-a 2ab,∴由余弦定理得a 2+b 2-c 22ab =3-c 2-a 2ab,即b 2+c 2=6-3a 2,∴由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc ×cos π3=b 2+c 2-bc =6-3a 2-4=2-3a 2, ∴a =√22.【解析】本题主要考查余弦定理,同角三角函数的基本关系以及三角形面积公式等,考查运算求解能力以及化归与转化的数学思想,考查的核心素养是数学运算.(1)首先由余弦定理将边转化成角,然后用两角和的正弦公式及三角形内角和定理可得到cos A =12,从而求得A =π3;(2)由(1)知A =π3,由三角形面积公式得bc =4,再运用两次余弦定理即可求得结果.【备注】【解题关键】解决本题第(2)问的关键是先用三角形面积公式求得bc 的值,再用余弦定理将所给等式转化成三角形三边的关系式,最后用余弦定理即可求得结果.18.解:(1)第1组的频数为100×0.10=10,第3组的频数为100×0.25=25,第5组的频数为100×0.05=5,所以100-(10+25+20+5)=40. 因此①处填40. 因为20100=0.20,所以②处填0.20.补充频率分布直方图如图所示.(2)因为第4,5组共有25名学生,所以利用分层抽样的方法在这25名学生中抽取5名学生进行自主招生模拟面试,则第4组:525×20=4(名),第5组:525×5=1(名).设第4组的4名学生分别为a ,b ,c ,d ,第5组的1名学生为e ,则从这5名学生中抽取2名学生的可能情况有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(a ,e ),(b ,c ),(b ,d ),(b ,e ),(c ,d ),(c ,e ),(d ,e ),共10种,其中第4组中恰好有1名学生接受考官M 面试的情况有(a ,e ),(b ,e ),(c ,e ),(d ,e ),共4种. 所以第4组中恰好有1名学生接受考官M 面试的概率为410=25. 【解析】本题主要考查频率分布直方图,古典概型概率的求解,考查考生运用数学知识解决实际问题的能力,考查的核心素养是数据分析、数学建模.(1)利用频率分布表中的数据,先求出①,②位置的数据,再计算出各个分组的频率组距的值,最后补充频率分布直方图即可;(2)利用分层抽样的方法确定从第4,5组中分别抽取的学生人数,再根据古典概型的知识求解. 【备注】【归纳总结】利用列举法求事件的概率时,一是注意用不同的字母或数字符号表示不同的元素,如该题中根据题意把第4组的4名学生分别记为a ,b ,c ,d ,第5组的1名学生记为e ;二是要注意按照一定的顺序列出所有的基本事件,否则就容易出现遗漏或重复的现象.19.解:(1)由题意知平面ABC ⊥平面AB D.∵点D 是弧AB 上不与A ,B 重合的动点,∴AD ⊥D B. ∵△ABC 是∠BAC =90°的直角三角形,∴AC ⊥A B.又平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD =AB ,∴AC ⊥平面AB D. 又BD ⊂平面ABD ,∴AC ⊥B D.又AD ⊥DB ,AD ∩AC =A ,AD ,AC ⊂平面ADC , ∴BD ⊥平面AD C.又DB ⊂平面BDC ,∴平面ACD ⊥平面BC D.(2)将△ABC 沿AB 翻折至点C 到半圆O 所在平面的距离为2的位置时,V 三棱锥C -ABD =13·S △ABD ·2=23S △ABD 取得最大值,则S △ABD 取得最大值.易知点D 为AB ⏜的中点时,S △ABD 取得最大值,此时(S △ABD )max =12×2×1=1. ∵AC ⊥AB ,∴S △ABC =12×AC ×AB =12×4×2=4.设点D 到平面ABC 的距离为h ,∵V 三棱锥C -ABD =V 三棱锥D -ABC , ∴23×1=13×4h ,∴h =12.故点D 到平面ABC 的距离为12.【解析】本题以图形的翻折为背景,考查面面垂直的证明及三棱锥体积的求解,考查考生的逻辑推理能力以及空间想象能力.试题通过设置翻折问题,对翻折后图形中的位置关系及数量关系的考查提高了要求,更加突出了对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查. (1)先根据点D 是弧AB 上的动点,得到AD ⊥DB ,由面面垂直的性质定理得AC ⊥平面ABD ,可得AC ⊥BD ,再由线面垂直的判定定理得BD ⊥平面ADC ,最后由面面垂直的判定定理得平面ACD ⊥平面BCD ;(2)三棱锥C -ABD 的体积最大,则直角三角形ABD 的面积最大,由此得出点D 为AB ⏜的中点,再利用等体积法求解即可.【备注】【解后反思】本题以直角三角形与半圆为依托,考查翻折问题,要注意翻折前后图形中的哪些量变了,哪些量不变.此类问题常考查线线垂直、线面垂直及面面垂直,翻折前的平面图形中的平行或垂直关系,在翻折后证明空间中线面平行或垂直时起重要作用.20.解:(1)易知直线l 过定点(1,0),∵直线l :x =ty +1过椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点F 2,∴F 2(1,0),c =1.由|AB |的最小值为3,易知2b 2a=3,∴2(a 2-12)a=3,解得a =2或a =-12(舍去).∴b 2=a 2-c 2=3,∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)当t =0时,易知S △NAB =12×1×3=32.当t ≠0时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{x =ty +1,x 24+y 23=1,得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0.显然Δ>0,则y 1+y 2=-6t3t +4,y 1y 2=-93t +4,∴|AB |=2|y 1-y 2|=12(t 2+1)3t 2+4,AB 的中点M (43t 2+4,-3t3t 2+4),∴过点M 且与直线l 垂直的直线l 1的方程为x -43t 2+4=-1t(y --3t 3t 2+4).令x =0,得y =t3t 2+4,∴N (0,t 3t 2+4),∴点N 到直线l 的距离d =4√t 2+13t 2+4,∴S △NAB =12·|AB |·d =12·12(t 2+1)3t +4·4√t 2+13t +4=24·(t 2+1)32(3t +4).令t 2+1=m ,则m >1,S △NAB =24m 32(3m+1)2.令f (m )=24m 32(3m+1)2(m >1),∴f '(m )=36·m 12(1-m)(3m+1)3<0在m ∈(1,+∞)上恒成立,∴f (m )在(1,+∞)上是减函数,∴f (m )<32. 综上,△NAB 面积的最大值为32.【解析】本题考查椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力.试题以椭圆为依托,通过对直线与椭圆的位置关系的探索,帮助考生理解数形结合的思想方法,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)首先根据已知条件求得c ,然后由过焦点的弦长的最小值得到a ,进而求得椭圆的标准方程;(2)分t =0,t ≠0两种情况进行分析,即可求解.【备注】【名师指引】直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题是高考命题的热点,解决此类问题要做好两个方面:一是转化,把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式,即形向数的转化;二是设而不求,即联立直线方程与圆锥曲线的方程,利用根与系数的关系求解.21.解:(1)f '(x )=1x−2a (x+1)2=x 2+(2-2a)x+1x(x+1)2(x >0,a >0),令y =x 2+(2-2a )x +1(x >0,a >0),则其对应的方程的根的判别式Δ=(2-2a )2-4=4a (a -2). 当Δ=4a (a -2)≤0,即0<a ≤2时,f '(x )≥0在(0,+∞)上恒成立,此时f (x )单调递增. 当Δ=4a (a -2)>0,即a >2时,由f '(x )>0,得x ∈(0,a -1-√a(a -2))或x ∈(a -1+√a(a -2),+∞),此时f (x )单调递增;由f '(x )<0,得x ∈(a -1-√a(a -2),a -1+√a(a -2)),此时f (x )单调递减.综上所述,当0<a ≤2时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a >2时,f (x )的单调递增区间为(0,a -1-√a(a -2))和(a -1+√a(a -2),+∞),f (x )的单调递减区间为(a -1-√a(a -2),a -1+√a(a -2)).(2)由(1)知,当a =1时,f (x )=ln x -x -1x+1在区间(0,+∞)上单调递增,且f (1)=0,所以x >1时,ln x >x -1x+1.令x =1+1n (n >0),则ln(1n+1)>1n1n+2=12n+1,即lnn+1n>12n+1,所以lnn n -1>12n -1,ln n -1n -2>12n -3,…,ln 43>17,ln 32>15,ln 21>13,所以ln n+1n+lnn n -1+lnn -1n -2+…+ln 43+ln 32+ln 21>12n+1+12n -1+12n -3+…+17+15+13. 故ln(n +1)>13+15+17+…+12n -3+12n -1+12n+1. 【解析】本题考查函数的单调性及不等式的证明,考查考生灵活运用导数分析问题、解决问题的能力,综合考查逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想.试题考查了利用导数研究函数的单调性及不等式的证明,对考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析与归纳能力以及化归与转化能力提出了较高要求.试题层次分明,区分度较高,培养考生逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)对a 进行分类讨论即可得到函数f (x )的单调区间;(2)由(1)知,当a =1时,f (x )在(0,+∞)上单调递增,且f (1)=0,所以x >1时,ln x >x -1x+1.令x =1+1n(n >0),得到lnn+1n>12n+1,最后运用累加法及对数的运算法则即可得证.【备注】【解后反思】在解决本题第(2)问时,由a =1时,f (x )=ln x -x -1x+1在区间(0,+∞)上单调递增,且f (1)=0,得到当x >1时,ln x >x -1x+1,令x =1+1n(n >0),则lnn+1n>12n+1,最后运用累加法及对数的运算法则求解.22.解:(1)曲线C 1:{x =1-√22t,y =1+√22t(t 为参数),消去参数t ,得x +y -2=0,其极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=2,即ρsin(θ+π4)=√2. ρ=4cos θ⇒ρ2=4ρcos θ⇒x 2+y 2-4x =0,所以曲线C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4. (2)通解由题意知,M (1,1)在曲线C 1:{x =1-√22t,y =1+√22t(t 为参数)上,将曲线C 1的参数方程代入x 2+y 2-4x =0,得t 2+2√2t -2=0.设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,所以t 1+t 2=-2√2,t 1t 2=-2,所以点N 对应的参数t =t 1+t 22=-√2.所以|MN | =|t |=√2.优解由题意及(1)知直线C 1过圆C 2的圆心(2,0),则点N 的坐标为(2,0),又M (1,1),所以|MN |=√12+12=√2.【解析】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化等,考查运算求解能力以及化归与转化、数形结合等数学思想.(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消参法将曲线C 1的参数方程化为普通方程,然后化为极坐标方程;(2)将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程得到关于参数t 的一元二次方程,利用参数方程中参数的几何意义求得结果.【备注】解决此类问题时要注意:(1)化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式{x =ρcosθ,ρ2=x 2+y 2,y =ρsinθ来完成;(2)在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,然后与参数方程联立来解决;(3)注意参数方程中参数的几何意义.23.(1)当a =1,b =2时,f (x )=|1+x |+|2x -2|+1>4,得|x +1|+|2x -2|>3, ∴{x ≤-1,1-3x >3或{-1<x <1,-x +3>3或{x ≥1,3x -1>3,解得x <0或x >43,故f (x )>4的解集为{x |x <0或x >43}. (2)∵f (1)=1+|a +1|+|2-b |≥|a +b -1|+1, ∴f (1)min =|a +b -1|+1≥4, ∴a +b ≥4.令a +b =t ,则t ≥4,∵y =t 2-t =(t -12)2-14在[4,+∞)上是增函数,∴当t ∈[4,+∞)时,y min =42-4=12, 故(a +b )2-(a +b )的最小值为12.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用,考查分类讨论、化归与转化等数学思想方法,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.(1)分区间去掉绝对值符号,然后解相应的不等式即可;(2)利用绝对值三角不等式求得f (1)的最小值,进而得到a +b 的取值范围,最后将a +b 看成一个整体并利用函数的单调性求得代数式的最小值. 【备注】无。

2020年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)

2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知，且，则A.B.C.D.6、已知，，，若，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数和，定义运算“ ”：．设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆，则圆被动直线所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-文数6含答案精品

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-数学6第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <1},B ={x |x 2-x-2<0},则(∁R A )∩B =A.(-1,0]B.[-1,2)C.[1,2)D.(1,2]2．已知i 为虚数单位,则复数z =|1-√3i|1+i的共轭复数是A.1+iB.1-iC.-1+iD.2+i 3．已知平面向量a =(1,x ),b =(4,2),若向量2a +b 与向量b 共线,则x =A.13B.12C.25D.274．执行如图所示的程序框图,若输入的x =14π3,则输出的y 的值为A.12B.-12C.√32D.-√325．在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是A.310 B.710 C.25 D.35 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 8=2,S 7=98,则a 3+a 9=A.16B.14C.12D.107．已知直线l 过点(-2,0)且倾斜角为α,若l 与圆(x -3)2+y 2=20相切,则sin(3π2-2α)=A.35 B.-35 C.45D.-458．已知实数x ,y 满足约束条件{x +y -1≥0,x +4y -4≤0,y ≥0,则z =y+2x -2的取值范围是A.(-∞,-32]∪[1,+∞)B.(-∞,-12]∪[2,+∞)C.[-12,2]D.(-∞,-1]∪[2,+∞)9．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则f (-π6)=A.-12B.-1C.12D.-√3210．在正三棱锥O -ABC 中,OA =√7,BC =2√3,M 为OA 上一点,过点M 且与平面ABC 平行的平面截三棱锥成表面积相等的两部分,则OM OA=A.12B.13C.√32D.√3311．如图,已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),过右顶点A 作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B ,若|OB |=√3|OA |,则双曲线的离心率为A.23√3或√3B.√2C.√3D.3√3212．定义函数f (x )={4-8|x -32|,1≤x ≤2,12f(x2),x >2,则函数g (x )=xf (x )-6在区间[1,2n ](n ∈N *)内所有零点的和为A.nB.2nC.34(2n -1)D.32(2n -1)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知曲线y =3x 3+3,则曲线在点(2,4)处的切线方程是 .14．某空间几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为1,则该几何体的所有面中最大面的面积为 .15．设数列{a n }满足na n +1-(n +1)a n =nn+2(n ∈N *),a 1=12,a n = .16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且图象关于直线x =2对称,在区间[0,2]上,f (x )=xe,a =f (8+ln 7-ln 3),b =f (24+ln 17-2ln 2),c =1e,则a ,b ,c 的大小关系是 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．在△ABC 中,E 是BC 的中点,AC =3,AE =√7,13cos 2∠ABE -7cos 2∠AEB -6=0.(1)求AB ; (2)求C.18．如图,在四棱锥P -ABCD 中,AB =AD =2BC =2,BC ∥AD ,AB ⊥AD ,△PBD 为正三角形,且PA =2√3.(1)证明:平面PAB ⊥平面PBC ;(2)若点P 到平面ABCD 的距离为2,E 是线段PD 上一点,且PB ∥平面ACE ,求三棱锥A -CDE 的体积.19．2018年非洲猪瘟在东北三省出现,为了防控,某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务,两种方案如下:方案一:公司每天收取养殖场技术服务费40元,对于需要用药的每头猪收取药费2元,不需要用药的不收费;方案二:公司每天收取养殖场技术服务费120元,若需要用药的猪不超过45头,不另外收费,若需要用药的猪超过45头,超过的部分每头猪收费标准为8元.(1)设日收费为y (单位:元),每天需要用药的猪的数量为n (单位:头),试写出两种方案中y 与n 的函数关系式.(2)若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务,10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量(单位:头)进行了统计,得到了如下的2×2列联表:根据以上列联表判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关. 附:(3)当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计,得到如图所示的条形图.依据该统计数据,把频率视为概率,从节约养殖成本的角度去考虑,若丙养殖场计划结合以往经验,从两个方案中选择一个,那么选择哪个方案更合适,请说明理由.20．已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆C 2:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点,且两条曲线相交于点(23,2√63). (1)求椭圆C 2的方程;(2)过椭圆C 2右顶点的两条直线l 1,l 2分别与抛物线C 1相交于点A ,C 和点B ,D ,且l 1⊥l 2,设M 是AC 的中点,N 是BD 的中点,证明:直线MN 恒过定点. 21．已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R ).(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)证明:e x-e2ln x>0恒成立.22．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=2+2cosφ,y=2sinφ(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C3是过坐标原点且倾斜角为α的直线,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且点A,B均异于坐标原点O,|AB|=4√2,求α的值.23．已知函数f(x)=|x|.(1)解关于x的不等式f(x-2)-f(x+1)<2;(2)存在x0∈R,使得不等式f(x0-2)+f(x0+a)<f(a-1)-2成立,求实数a的取值范围.参考答案1.C【解析】解法一由题意知,∁R A ={x |x ≥1或x ≤-1},又B ={x |x 2-x-2<0}={x |-1<x <2},所以(∁R A )∩B ={x |1≤x <2},故选C.解法二因为1∉A 且1∈B ,所以排除A,D,又-1∉B ,所以排除B,选C. 【备注】无 2.A【解析】本题主要考查复数的模、共轭复数的定义及复数的运算,考查的核心素养是数学运算.先利用复数的模及复数的运算对z 化简,再求z 的共轭复数.z =|1-√3i|1+i=|1-√3i|(1-i)(1+i)(1-i)=2(1-i)1-i 2=1-i,则z 的共轭复数为1+i.故选A.【备注】无 3.B【解析】本题考查平面向量共线的条件以及向量的坐标表示,考查的核心素养是数学运算. 先利用向量的坐标表示得到2a +b 的坐标,再由向量2a +b 与向量b 共线列方程,从而求得x 的值.由题意,得2a +b =(6,2x +2),又向量2a +b 与向量b 共线,所以4(2x +2)=2×6,解得x =12.【备注】无 4.D【解析】本题考查程序框图及三角函数诱导公式的应用,考查考生对基础知识的掌握情况,考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.先把x =14π3表示为x =2π3+4π,再根据所给的程序框图,利用诱导公式可得输出的y 的值. 因为x =14π3=2π3+4π,所以y =sin(π+2π3+4π)=-sin2π3=-√32.故选D.【备注】【易错警示】本题易出现考生没有准确记忆诱导公式而出错的情形. 5.C【解析】本题以“新高考六选三”为背景设题,考查了古典概型的知识,考查的核心素养是数学建模.列举出所有的选择方法,再计算所选两科中一定有生物的概率.学生在确定选修地理的情况下,从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有:(历史,政治),(历史,化学),(历史,生物),(历史,物理),(政治,化学),(政治,物理),(政治,生物),(化学,生物),(化学,物理),(生物,物理),共10种.其中含有生物的选择方法有:(历史,生物),(政治,生物),(化学,生物),(生物,物理),共4种.则所选的两科中一定有生物的概率P =410=25.故选C. 【备注】无6.A【解析】本题考查等差数列的前n 项和公式及通项公式的应用,考查考生对基础知识的掌握情况,考查的核心素养是数学运算.设出等差数列{a n }的公差,由a 8=2,S 7=98列出方程组并解出其首项和公差,可求得a 3和a 9的值,从而可得a 3+a 9的值,也可利用等差数列的性质求解.通解设等差数列{a n }的公差为d ,由a 8=2,S 7=98得{a 1+7d =2,7a 1+12×7×6×d =98,解得{d =-3,a 1=23,所以a 3=17,a 9=-1,故a 3+a 9=16.优解由S 7=7a 4=98,解得a 4=14,又a 8=2,所以a 3+a 9=a 4+a 8=16.【备注】无 7.A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及诱导公式,考查的核心素养是数学运算.先根据直线与圆相切求得tan 2α的值,再根据诱导公式及sin 2α+cos 2α=1进行弦化切,进而可求解.由题意可设直线l :y =tan α(x +2),因为l 与圆(x -3)2+y 2=20相切,所以√2=√20,所以tan 2α=4,因此sin(3π2-2α)=-cos 2α=-cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=-1-tan 2α1+tan 2α=-1-41+4=35.故选A.【备注】无8.A【解析】本题考查简单的线性规划,斜率型目标函数,考查数形结合思想,考查的核心素养是数学运算与直观想象.根据线性约束条件作出可行域,确定目标函数z =y+2x -2的几何意义是可行域内的点(x ,y )与点P (2,-2)连线所在直线的斜率,利用图形分析求解.作出约束条件{x +y -1≥0,x +4y -4≤0,y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示.z =y+2x -2的几何意义是可行域内的点(x ,y )与点P (2,-2)连线所在直线的斜率,易知A (4,0),B (0,1),k PA =1,k PB =-32,由图可知y+2x -2∈(-∞,-32]∪[1,+∞).故选A.【备注】【归纳总结】常见的两种非线性目标函数及其意义:①点到点的距离型,形如z =(x -a )2+(y -b )2(点(a ,b )不在可行域内),表示区域内的动点(x ,y )到定点(a ,b )的距离的平方;②斜率型,形如z =y -b x -a(点(a ,b )不在可行域内),表示区域内的动点(x ,y )与定点(a ,b )连线所在直线的斜率. 9.B【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质等知识,意在考查考生的识图能力、运算求解能力、化归与转化能力.试题以正弦型函数的图象为载体,将图象语言转化为数学语言,通过分析、研究函数的图象得到函数的性质,在求解本题的过程中渗透了对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查.结合图象求出A ,ω,φ的值,确定函数f (x )的解析式,再代入求值即可.解法一由题意得, A =2,T =43×(11π12−π6)=π,所以ω=2.又函数f (x )的图象经过点(π6,2),所以sin(2×π6+φ)=1.又|φ|<π2,所以φ=π6,所以f (x )=2sin(2x +π6),所以f (-π6)=2sin[2×(-π6)+π6]=2sin(-π6)=-1.故选B.解法二由题意及f (x )的图象得,A =2,T =43×(11π12−π6)=π,所以ω=2.易知2×π6+φ=π2,所以φ=π6,所以f (x )=2sin(2x +π6),所以f (-π6)=2sin[2×(-π6)+π6]=2sin(-π6)=-1.故选B. 【备注】无 10.C【解析】本题考查空间几何体的点、线、面的位置关系以及几何体表面积的运算,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.先把表面积相等的条件转化为规则几何体的面积问题,再利用关系求比值.解法一设过点M 且与平面ABC 平行的平面分别交OB ,OC 于点N ,T ,则被截得的上下两部分的表面积各去掉S △TMN 之后仍相等,都等于正三棱锥O -ABC 表面积的12.对于正三棱锥O -ABC ,易知其表面积为3×2√3×2×12+12×(2√3)2sin 60°=9√3,侧面积为6√3,所以三棱锥O -MNT 的侧面积为9√32,故9√326√3=(OM OA )2=34⇒OMOA=√32. 解法二易知正三棱锥O -ABC 的侧面积S 侧=3×2√3×2×12=6√3,底面积S 底=12×2√3×2√3×√32=3√3.设OM OA=t (t >0),则截得的小三棱锥O -MNT 的表面积为(3√3+6√3)·t 2,截得的下部分的表面积为(6√3-6√32)+(3√32+3√3),令两式相等,得t =√32,即OM OA=√32. 【备注】无 11.A【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质,考查考生的运算求解能力.根据题意分别求出直线OB ,直线AB 的方程,联立方程解得交点B 的坐标,然后根据|OB |=√3|OA |得到关于a ,b 的齐次式,最后化简求得双曲线的离心率.不妨设点B (x ,y )在渐近线y =-b ax 上,易知直线AB 的方程为y =-a b(x -a ),联立直线OB ,直线AB 的方程,得{y =-ba x,y =-a b (x -a),解得{x =a 3a 2-b 2,y =-a 2ba 2-b 2,因为|OB |=√3|OA |,所以|OB |2=3|OA |2,即(a 3a 2-b 2)2+(-a 2ba 2-b 2)2=3a 2,化简得a 4+a 2b 2=3(a 2-b 2)2,得a 2=3b 2或2a 2=b 2,所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=43或3,故e =23√3或√3故选A.【备注】【易错警示】本题有两种情况,考生在求解的过程中容易出现漏解的情况. 12.D【解析】本题主要考查分段函数,函数图象的应用,函数的零点等知识,考查数形结合在解题中的应用,考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.试题以分段函数为依托,将函数的零点问题转化为两函数图象的交点问题,体现了对数学抽象、直观想象等核心素养的考查,要求考生有一定的化归与转化能力.首先将函数g (x )的零点问题转化为函数y =f (x )和函数y =6x图象交点的问题,利用数形结合的方法求解,在同一坐标系中画出两函数的图象,结合图象得到两函数图象交点的横坐标,最后得到结果.由函数g (x )=xf (x )-6=0得,f (x )=6x ,故函数g (x )的零点即函数y =f (x )和函数y =6x图象交点的横坐标.分析函数f (x )的解析式知,可将f (x )的定义区间分段为[1,2],(2,22],(22,23],…,(2n -1,2n ],并且f (x )在(2n -1,2n ](n ≥2,n ∈N *)上的图象是将f (x )在(2n -2,2n -1]上的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的12后得到的.先作出函数y =f (x )在区间[1,2]上的图象,再依次作出在区间(2,4],(4,8],…,(2n -1,2n ]上的图象,并作出函数y =6x (x ≥1)的图象,如图,结合图象可得两图象交点的横坐标是函数y =f (x )的极大值点,由此可得函数g (x )在区间(2n -1,2n]上的零点为2n -1+2n2=3·2n -2,则函数g (x )在区间[1,2n ](n ∈N *)内所有零点的和为32×(1-2n )1-2=32×(2n -1).故选D.【备注】无13.4x -y -4=0【解析】本题主要考查导数的几何意义,考查的核心素养是数学运算.∵y'=x 2,∴曲线y =13x 3+43在点(2,4)处切线的斜率为4,∴切线的方程为y -4=4×(x -2),即4x -y -4=0.【备注】无 14.3【解析】本题主要考查由三视图还原空间几何体的直观图,空间几何体的体积,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.先根据“长对正、宽相等、高平齐”还原直观图,再根据几何体的体积为1求出x 的值,进而求出各个面的面积,找出最大面的面积. 由三视图可知,该几何体为如图所示的四棱锥,记为P -ABCD ,其中PA ⊥平面ABCD ,AB =AD =2BC =2,PA =x ,由该几何体的体积为1,得13×(1+2)×22×x =1,解得x =1,故PB =CD =PD =√5,PC =√6,易得S △PCD >S △PAB ,S △PAD =12×1×2=1,S △PBC =12×1×√5=√52,S 四边形ABCD=12×(1+2)×2=3,S △PCD =12×√6×√5-(√62)2=√212,故该几何体中最大面的面积为3.【备注】无15.n 2n+1【解析】本题主要考查数列的递推关系,累加法,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.首先对已知条件中的递推关系式na n +1-(n +1)a n =nn+2(n ∈N *)进行化简,然后运用累加法推导出数列的通项. ∵na n +1-(n +1)a n =nn+2(n ∈N *),∴a n+1n+1−a nn=1(n+2)(n+1)=1n+1−1n+2,∴ann −a n -1n -1=1n −1n+1,…,a 22−a 11=12−13,累加可得a n n -a 1=12−1n+1.∵a 1=12,∴a nn =1-1n+1=nn+1,∴a n =n 2n+1.【备注】无16.c >a >b【解析】本题综合考查函数的奇偶性、周期性、单调性.试题通过考查函数的性质,引导考生在作出函数大致图象的过程中体会数学抽象、逻辑推理等核心素养,注重对考生综合能力的检验与考查.首先利用奇偶性、图象的对称性求得函数的周期,然后将所求函数值转化,再利用函数的单调性和参照数值进行大小比较. 由题意得f (-x )=-f (x ),f (4-x )=f (x ),∴f (4-x )=-f (-x ),令t =-x ,则f (4+t )=-f (t ),∴f (8+t )=f [4+(4+t )]=-f (4+t )=f (t ),∴f (x )是以8为周期的函数,故a =f (ln73),b =f (ln 174),易知ln 73,ln 174均在区间[0,2]上,∵在区间[0,2]上,f (x )=xex ,∴f'(x )=(1-x )e -x,令f '(x )=0,解得x =1,故当x ∈[0,1)时,f '(x )>0,当x ∈(1,2]时,f '(x )<0,f (x )在x =1处取得极大值.又f (ln 73)>f (ln 2)=ln22,f (ln 174)<f (ln 4)=ln44=ln22,且c =f (1)为最大值,故c >a >b .【备注】【归纳总结】 (1)f (x )的图象关于点(a ,b )对称⇔f (2a +x )+f (-x )=2b ;函数f (x )的图象关于直线x =a 对称⇔f (x )=f (2a -x ).(2)一般地,定义在R 上的函数如果满足f (2a -x )+f (-x )=0,f (2b -x )+f (x )=0,a ≠b ,那么f (x )的一个周期为T =2|a -b |;若函数f (x )的图象同时关于点A (a ,c )和点B (b ,c )(a ≠b )成中心对称,则f (x )的一个周期为T =2|a -b |;若函数f (x )的图象既关于点A (a ,c )成中心对称又关于直线x =b (a ≠b )成轴对称,则f (x )的一个周期为T =4|a -b |.17.(1)∵13cos 2∠ABE -7cos 2∠AEB -6=0, ∴13(1-cos 2∠ABE )-7(1-cos 2∠AEB )=0, 即13sin 2∠ABE =7sin 2∠AEB , ∴√13sin∠ABE =√7sin∠AEB. 由正弦定理得√13AE =√7AB , 又AE =√7,∴AB =√13. (2)设EC =a ,则BC =2a , 由余弦定理得cos C =9+a 2-72×3×a=9+4a 2-132×3×2a,∴a =2,∴cos C =9+22-72×3×2=12.∵C ∈(0,π),∴C =π3.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系,考查化归与转化能力、方程思想,考查的数学核心素养是数学运算.(1)将13cos 2∠ABE -7cos 2∠AEB -6=0变形,并利用同角三角函数的基本关系及正弦定理将角的关系转化为边的关系,进而求得AB ;(2)利用余弦定理列方程,求得EC ,再利用余弦定理求得C.【备注】无18.解:(1)因为AB ⊥AD ,AB =AD =2,所以BD =2√2. 又△PBD 为正三角形,所以PB =PD =BD =2√2.因为AB =2,PA =2√3,所以AB ⊥P B.又AB ⊥AD ,BC ∥AD ,所以AB ⊥BC ,又PB ∩BC =B , 所以AB ⊥平面PBC ,又AB ⊂平面PAB , 所以平面PAB ⊥平面PB C.(2)如图,设BD ,AC 交于点O ,因为BC ∥A D.且AD =2BC ,所以OD =2OB ,连接OE ,又PB ∥平面ACE ,所以PB ∥OE ,则DE =2PE , 又点P 到平面ABCD 的距离为2, 所以点E 到平面ABCD 的距离h =23×2=43, 所以V A -CDE =V E -ACD =13S △ACD ×h =13×12×2×2×43=89,故三棱锥A -CDE 的体积为89.【解析】本题主要考查面面垂直的证明,等体积法求解锥体的体积.试题以空间中的垂直关系为知识载体,让考生在运用与平行和垂直的相关定理进行判断、说理的过程中,提升直观想象和数学运算等核心素养.(1)证明AB ⊥PB ,AB ⊥BC ,可证平面PAB ⊥平面PBC ;(2)由点P 到平面ABCD 的距离得点E 到平面ABCD 的距离,再由等体积法求三棱锥A -CDE 的体积. 【备注】无19.(1)由题意得,方案一中的日收费y (单位:元)与需要用药的猪的数量n (单位:头)的函数关系式为y =40+2n ,n ∈N ,方案二中的日收费y (单位:元)与需要用药的猪的数量n (单位:头)的函数关系式为y ={120,n ≤45,n∈N,8n -240,n >45,n∈N.(2)由列联表计算可得K 2=210×(85×65-40×20)2125×85×105×105≈40.02,因为40.02>10.828,所以有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.(3)设方案一中的日收费为X ,由条形图可得X 的分布列为所以E (X )=124×0.2+128×0.4+132×0.2+136×0.1+140×0.1=130. 设方案二中的日收费为Y ,由条形图可得Y 的分布列为所以()=120×0.6+128×0.2+144×0.1+160×0.1=128. 因为E (X )>E (Y ),所以从节约养殖成本的角度去考虑,丙养殖场应该选择方案二.【解析】本题考查函数关系式的求法,独立性检验以及数学期望的计算和实际应用,考查运算求解能力,化归与转化思想.试题围绕现实问题展开,贴近生活,不仅使考生深切感受到生活中充满数学气息,还引导中学数学的教学面向实际,面向社会,更好地体现了数学运算、数据分析、数学建模等核心素养. (1)根据题意分别写出日收费y (单位:元)与需要用药的猪的数量n (单位:头)的函数关系式,注意方案二中的函数关系式为分段函数;(2)利用独立性检验中K 2的计算公式求出其观测值并和临界值表对比可得结论;(3)分别计算两种方案的数学期望值,比较大小可得结论. 【备注】【解题关键】解答高考试题中的概率与统计题有两个关键:①正确理解题意——概率与统计题目的题干一般比较长,信息量大,这就要求解题时读懂每一句话,读懂每一个统计图表,并从中提取有关信息用于解题;②正确计算——概率与统计的题目运算量大,数据较多,解题时要特别注意,确保计算结果的正确性,只有计算结果正确,才能得到正确的结论.20.解:(1)解法一 ∵(23,2√63)在抛物线C 1上,∴(2√63)2=2p ×23,解得p =2,∴抛物线C 1的焦点坐标为(1,0), 则a 2-b 2=1, ① 易知(23)2a 2+(2√63)2b 2=1, ②∴由①②可得{a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 2的方程为x 24+y 23=1.解法二 ∵(23,2√63)在抛物线C 1上,∴(2√63)2=2p ×23, 解得p =2,∴抛物线C 1的焦点坐标为(1,0).又点(23,2√63)在椭圆C 2:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上,椭圆的两个焦点坐标分别为(-1,0),(1,0), ∴2a =√(23+1)2+(2√63)2+√(23-1)2+(2√63)2=73+53=4,a =2,又a 2-b 2=1,∴b 2=3,∴椭圆C 2的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 1:x =k 1y +2,直线l 2:x =k 2y +2,由{y 2=4x,x =k 1y +2得,y 2-4k 1y -8=0, 设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则y 1+y 2=4k 1,∴y M =2k 1,则x M =2+2k 12,即M (2+2k 12,2k 1), 同理得N (2+2k 22,2k 2),∴直线MN 的斜率k MN =2k 2-2k 1(2+2k 22)-(2+2k 12)=1k2+k 1,则直线MN 的方程为y -2k 1=1k 2+k 1(x -2k 12-2),即y =1k 2+k 1[x -2(1-k 1k 2)],∵l 1⊥l 2,∴1k 1·1k 2=-1,即k 1k 2=-1, ∴直线MN 的方程为y =1k 2+k 1(x -4),即直线MN 恒过定点(4,0).【解析】本题考查抛物线与椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,定点问题,考查化归与转化思想、方程思想.在明确点在曲线上的基础上,依据运算法则,求出曲线方程,明确线段中点,根据点斜式表示直线方程,利用代数式的变形运算技巧,得出直线过定点的结果,体现了数学运算的核心素养.(1)易得抛物线的焦点,再利用待定系数法求椭圆的方程;(2)设出直线l 1与直线l 2的方程,分别联立直线l 1,l 2与抛物线的方程,利用根与系数的关系及中点坐标公式,将点M ,N 的坐标分别用参数k 1,k 2表示出来,最后根据点斜式写出直线MN 的方程,并整理成y -y 0=k (x -x 0)的形式,即可证明.【备注】【解后反思】 (1)点在抛物线上,则点的坐标满足抛物线方程,求出p 的值,点在椭圆上,可以把点的坐标代入椭圆方程求解,也可以利用椭圆的定义,点到两焦点的距离之和为2a 求解;(2)把直线l 1的方程代入抛物线方程,表示出中点M 的坐标,把直线l 2的方程代入抛物线方程,表示出中点N 的坐标,然后根据点斜式表示出直线MN 的方程,观察直线经过定点.21.解:(1)由题意得,f '(x )=1x -a =1-ax x(x >0),当a ≤0时,f '(x )>0恒成立,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,令f '(x )=0,得到x =1a,所以当x ∈(0,1a)时,f '(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1a,+∞)时,f '(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,函数f (x )在(0,1a)上单调递增,在(1a ,+∞)上单调递减.(2)解法一记函数φ(x )=e x -2-ln x =e x e2-ln x ,则φ'(x )=1e 2×e x -1x =e x -2-1x,可知φ'(x )在(0,+∞)上单调递增,由φ'(1)<0,φ'(2)>0知,φ'(x )在(0,+∞)上有唯一零点x 0,且1<x 0<2,则φ'(x 0)=e x 0-2−1x 0=0,即e x 0-2=1x 0(*),当x ∈(0,x 0)时, φ'(x )<0,φ(x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时, φ'(x )>0,φ(x )单调递增.所以φ(x )≥φ(x 0)=e x 0-2-ln x 0. 由(*)式e x 0-2=1x 0,知x 0-2=-ln x 0,所以φ(x )≥φ(x 0)=1x 0+x 0-2=x 02-2x 0+1x 0=(x 0-1)2x 0>0,则φ(x )=e x -2-ln x >0,所以有e x -e 2ln x >0恒成立. 解法二由(1)可知,当a >0时,f (x )=ln x -ax ≤ln 1a-1,特别地,取a =1e,有ln x -xe≤0,即ln x ≤xe,所以e 2ln x ≤e x (当且仅当x =e 时等号成立).因此,要证e x -e 2ln x >0恒成立,只需证明e x >e x 在(0,+∞)上恒成立即可, 设g (x )=e xx (x >0),则g'(x )=e x (x -1)x 2,当x ∈(0,1)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=e,即e x ≥e x 在(0,+∞)上恒成立.因此,有e x ≥e x ≥e 2ln x ,又两个等号不能同时成立,所以e x -e 2ln x >0恒成立.【解析】本题主要考查导数在研究函数问题中的应用,利用导数证明不等式,考查分类讨论思想,化归与转化思想.(1)先对函数f (x )求导得f '(x ),对a 进行分类讨论,确定导函数的符号,进而推出函数的单调性;(2)构造新函数φ(x )=e x -2-ln x =e x e2-ln x ,通过导数研究函数φ(x )的单调性及最值,问题得证.【备注】无22.解:(1)由{x =2+2cosφ,y =2sinφ,消去参数φ,可得C 1的普通方程为(x -2)2+y 2=4,∵ρ=4sin θ,∴ρ2=4ρsin θ, 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+(y -2)2=4.(2)由(1)得,曲线C 1:(x -2)2+y 2=4,其极坐标方程为ρ=4cos θ. 由题意设A (ρ1,α),B (ρ2,α),则|AB |=|ρ1-ρ2|=4|sin α-cos α|=4√2|sin(α-π4)|=4√2, ∴sin(α-π4)=±1,∴α-π4=π2+k π(k ∈Z),α=3π4+k π,k ∈Z .∵0<α<π,∴α=3π4.【解析】本题考查曲线的普通方程与参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化以及倾斜角的求法,考查运算求解能力、化归与转化思想.(1)由曲线C 1的参数方程消去参数φ求出曲线C 1的普通方程,曲线C 2的极坐标方程化为ρ2=4ρsin θ,根据x =ρcos θ,y =ρsin θ,求出C 2的直角坐标方程;(2)曲线C 1化为极坐标方程为ρ=4cos θ,设A (ρ1,α),B (ρ2,α),从而得到|AB |=|ρ1-ρ2|,再进行运算求解即可.【备注】无23.解:(1) 通解原不等式可化为|x -2|-|x +1|<2. ①当x ≤-1时,2-x +x +1<2,即3<2,显然不成立. ∴不等式的解集为∅. ②当-1<x ≤2时, 2-x -x -1<2,即x >-12,∴不等式的解集为(-12,2]. ③当x >2时,x -2-x -1<2,即-3<2,显然成立, ∴不等式的解集为(2,+∞). 综上,原不等式的解集为(-12,+∞).优解原不等式可化为|x -2|-|x +1|<2.作出函数y =|x -2|与y =|x +1|的图象如图所示,当|x -2|-|x +1|=2时,x =-12.∵直线y 1=x -2与y 2=x +1的斜率相等, ∴结合图象可知,原不等式的解集为(-12,+∞).(2)原不等式可化为|x 0-2|+|x 0+a |<|a -1|-2, ∵|x 0-2|+|x 0+a |≥|(x 0-2)-(x 0+a )|=|a +2|, ∴|a +2|<|a -1|-2,即|a -1|-|a +2|>2, 上式可化为|(a +1)-2|-|(a +1)+1|>2, 由(1)得a +1<-12,解得a <-32,故a 的取值范围为(-∞,-32).【解析】本题考查绝对值不等式的解法、不等式成立问题,考查分类讨论思想,考查的核心素养是数学运算.(1)采用零点分段法求解;(2)原不等式可化为|x 0-2|+|x 0+a |<|a -1|-2,依题得(|x 0-2|+|x 0+a|)min <|a -1|-2,而(|x 0-2|+|x 0+a|)min 由|x 0-2|+|x 0+a |≥|(x 0-2)-(x 0+a )|可解得,再结合第(1)问即可求出a 的取值范围. 【备注】无。

2020年广东省高考文科数学模拟试卷及答案解析

A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．c＞a＞b
4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b＝2；③a+b＞2；④a2+b2＞2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）
A．①②B．②③C．③④D．③
5．函数y＝的图象是（）
A．
B．
C．
D．
6．从编号为001，002，…，400的400个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a2﹣c2＝3b，且sinB＝8cosAsinC，则边b＝（）
A．3B．4C．5D．6
12．已知F是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|＝ |AF|，则该椭圆的离心率是（）
五．解答题（共1小题）
23．（1）解不等式：|x﹣1|+|x+3|＞6；
（2）若a＞0，b＞0，a+b＝2，证明：（ ﹣1）（ ﹣1）≥9
2020年广东省高考文科数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设z＝，则|z|＝（）
A． B．2C． D．3
【分析】利用商的模等于模的商求解．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2∠DAB＝∠ADC＝90°，PB＝，△PDC为等边三角形．
（1）证明：PD⊥BC；
（2）求点B到平面PCD的距离．
20．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣sinx+1其中a∈R，e为自然对数的底数．

2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-文数3含答案精品

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-数学3第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x|2x2-5x<0,x∈Z},B={a,1},若B⊆A,则a的值为A.-1B.2C.-2D.32．已知i为虚数单位,复数z=(1-2i)(1+a i)是纯虚数,则实数a等于A.-12B.0 C.12D.13．已知α,β是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线,且a⊂α,b⊂β,a∥β,给出下列命题:①若a∥b,则α∥β;②若a⊥b,则α⊥β;③若α⊥β,则a⊥b.其中错误命题的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③4．为了解某校高三年级学生的某项体育测试的成绩,从该校1 200名高三学生中随机抽取50名学生的该项体育测试的成绩,并绘制成如图所示的频率分布直方图(每组含最小值,不含最大值),则可以估计该校高三年级学生中,该项体育测试的成绩不低于80分的学生人数为A.240B.320C.360D.4805．现有一个半径为3的橡皮泥球,若将它重新制作成一个体积不变,底面圆半径为3的圆柱,则该圆柱的高为A.4B.5C.6D.76．已知2x=3,3y=4,4z=5,则下列选项中正确的是A.x<y<zB.x<z<yC.x>y>zD.z<x<y7．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是A.(52+√3)π+√3 B.(2+√3)π+√3 C.(2+√3)π D.(2+√3)π+2√38．已知函数f (x )=ax+b(x+c)2(其中a ,b ,c ∈{-1,0,1}),则函数f (x )的大致图象不可能是A.B.C. D.9．已知变量x ,y 满足不等式组{x +2y -1≥0,2x +y -2≤0,x -y +2≥0,则z =2x ×(14)y 的最大值为A.14B.12C.1D.210．某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动,某班级获得了某一品牌的图书共4本,其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人,每人一本,并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测,结果如下. 甲说:乙或丙得到物理书; 乙说:甲或丙得到英语书; 丙说:数学书被甲得到; 丁说:甲得到物理书.最终结果显示:甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确,那么甲、乙、丙、丁四个人得到的书分别是A.化学、英语、数学、物理B.英语、化学、数学、物理C.化学、英语、物理、数学D.数学、英语、化学、物理11．某公园内有一个半径为60米的圆形池塘,池塘内有美丽的荷花与锦鲤,为了方便游客观赏,公园负责人打算在池塘上搭建一个“工”字形的木桥(如图),其中AB =CD ,E ,F 分别为AB ,CD 的中点,圆心O 为EF 的中点,则木桥的长度最长可以为A.120√2米B.240√5米C.120√5米D.240√2米12．已知椭圆C 1:x 2a +y 2b =1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b −y 2a -2b =1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P 为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的奇函数,当0<x <2时,f (x )=2x -sinπx 2,则f (-92)+f (4)= .14．设向量a =(-6,8),b =(3,4),c =a +t b ,t ∈R ,若c 平分a 与b 的夹角,则t 的值为 .15．已知圆C :(x -4)2+(y -3)2=1,A ,B 两点在x 轴上,且关于坐标原点O 对称,若圆C 上至少存在一点P ,使得∠APB =90°,则|AB |的取值范围是 .16．已知函数f (x )=(1-2cos 2x )sin(3π2+θ)-2sin x cos x cos(π2-θ)(|θ|≤π2)在[-3π8,-π6]上单调递增,若f (π8)≤m 恒成立,则实数m 的取值范围为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知{a n }为正项数列,且n a n+12-4(n +1)a n 2=0,令b n =n√n,n ∈N *.(1)求证:{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,求数列{a n 2}的前n 项和S n .18．如图,正三角形ABC 的边长为2,D ,E 分别为边AC ,BC 的中点,将△CDE 沿DE 折起,使点C在平面ADEB 上的射影恰好为AE ,BD 的交点O ,F 为CB 的三等分点且靠近点C ,OG ∥AD ,连接A C.(1)求证:平面FOG ∥平面ACD ; (2)求三棱锥B -EFG 的体积.19．某班级要从甲、乙两名同学中选一名参加数学竞赛,分别统计了甲、乙两人最近8次的数学考试成绩(满分100分),甲最近8次的成绩分别为78,93,88,82,79,84,81,95;乙最近8次的成绩分别为75,90,80,83,85,92,80,95. (1)根据题目所给数据,补充茎叶图.(2)从甲、乙两人超过90分(含90分)的成绩中共随机抽取2个进行试卷评析,求抽取的2个成绩中,甲、乙两人的成绩均被抽取且成绩之差不大于2分的概率.(3)从统计学的角度考虑,你认为选哪位同学参加更合适?请说明理由.20．如图,已知直线m :y =t (t >0)交抛物线M :x 2=4y 于A ,D 两点(点A 在点D 左侧),过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l ,使得直线l 与抛物线M 在点D 处的切线平行,设直线l 与M 交于B ,C 两点.(1)记直线AC ,AB 的斜率分别为k AC ,k AB ,证明:k AC +k AB =0; (2)若AC ⊥AB ,求△BCD 的面积.21．已知函数f (x )=x ln x +ax 在x =x 0处取得极小值-1.(1)求实数a 的值;(2)设g (x )=xf (x )+b (b >0),讨论函数g (x )的零点个数.22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线 C 1的参数方程为{x =tcosα,y =-1+tsinα(t 为参数,0≤α<π),以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ-π4).(1)求曲线C 2的直角坐标方程,并指出其形状; (2)C 1与C 2相交于不同的两点A ,B ,点N (0,-1),若1|NA|+1|NB|=43,求C 1的参数方程中sin α的值.23．设a ,b ,c 均为正整数,且ab +bc +ac =3. 求证:(1)a +b +c ≥3;(2)a 2bc+b 2ac +c 2ab ≥3.参考答案1.B【解析】本题主要考查集合间的关系,考查考生对基础知识的掌握情况.由2x 2-5x <0,得0<x <2.5.因为x ∈Z,所以A ={1,2}.由B ={a ,1},且B ⊆A ,得a =2. 【备注】无 2.A【解析】本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念,考查考生的运算求解能力.首先通过四则运算将复数z 化为z =m +n i(m ,n ∈R )的形式,然后由纯虚数的概念求解.z =(1-2i)(1+a i)=1+2a +(a -2)i,因为复数z 是纯虚数,所以{1+2a =0,a -2≠0,得a =-12.故选A.【备注】无3.D【解析】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.画出空间图形,考虑各种可能的情形,进行分析、判断.如图(1),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ∥b ,但是α与β相交,①错误;如图(2),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ⊥b ,但是α不垂直于β,②错误;如图(3),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且α⊥β,但是a ∥b ,③错误.故错误命题的序号为①②③.【备注】无 4.C【解析】本题考查利用样本估计总体的相关知识,考查频率分布直方图.试题以考生熟悉的情景呈现,通过考查利用样本估计总体的相关知识,考查数据分析核心素养,引导考生培养数学应用能力和应用意识.根据频率分布直方图,利用样本估计总体的相关知识即可求解.由频率分布直方图可以看出,体育测试成绩不低于80分的频率为(0.02+0.01)×10=0.3,所以可以估计该校高三年级学生中,该项体育测试成绩不低于80分的学生人数为0.3×1 200=360. 【备注】无 5.A【解析】本题主要考查空间几何体的体积,考查考生的空间想象能力和运算求解能力,考查的核心素养是直观想象和数学运算.利用等体积法求解.设圆柱的高为h ,由球和圆柱的体积相等得43π×33=π×32×h ,解得h =4.【备注】无 6.C【解析】本题主要考查对数函数的性质及对数运算,考查运算求解能力.由题意知,x =log 23,y =log 34,z =log 45,∵log 23-1=log 232>log 332>log 343=log 34-1,∴log 23>log 34,∴x >y .∵log 34-1=log 343>log 443>log 454=log 45-1,∴log 34>log 45,∴y >z ,∴x >y >z . 【备注】无 7.A【解析】本题主要考查由三视图还原直观图、圆锥与圆柱的表面积公式,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.由三视图还原该几何体的直观图,然后根据圆柱与圆锥的表面积公式计算该几何体的表面积.由题意可知,该几何体是由半圆柱和半圆锥组合而成的,其中半圆锥的母线长l =√(√3)2+12=2,所以该几何体的表面积S =π×1×√3+12×π×1×2+12×2×√3+π×12+12×π×12=(52+√3)π+√3,故选A.【备注】无 8.D【解析】本题考查借助图象分析函数的定义域、单调性、奇偶性、零点等,考查数形结合思想.试题通过参数的不同取值给出不同的情境,引导考生从情境中抽象出函数模型,帮助考生更好地理解数学,体现了数学抽象、直观想象等核心素养.逐个分析选项中的图象,并判断其可能性.解法一 A 选项中的图象关于y 轴对称,再结合定义域、单调性,猜想a =0,b =1,c =0时符合;B 选项中的图象关于原点对称,再结合定义域、单调性,猜想a =1,b =0,c =0时符合;观察C 选项中的图象,由定义域猜想c =1,由图象过原点得b =0,根据x >0时,图象在x 轴上方,猜想a =1;观察D 选项中的图象,函数有零点12.因为a ,b ,c ∈{-1,0,1},所以不可能有f (12)=0,故选D.解法二依据零点快速判断.因为函数f (x )=ax+b(x+c)(其中a ,b ,c ∈{-1,0,1})的零点只能由ax +b 产生,所以函数不可能有在(0,1)内的零点.故选D.【备注】【解后反思】虽然函数的解析式很陌生,但是分析函数解析式可知:定义域为{x ∈R |x ≠-c },由分母决定;零点可能不存在,也可能为-ba ,由分子决定.同时,考虑特殊点是解决函数图象问题的重要方法. 9.D【解析】本题考查线性规划的知识,考查的核心素养是直观想象、数学运算. 作出可行域如图中阴影部分所示,z =2x ×(14)y =2x -2y ,令t =x -2y ,则y =12x -12t ,表示斜率为12的直线.数形结合知,当直线y =12x -12t 经过点C (1,0)时,t 取得最大值1,故z max =2. 【备注】无 10.A【解析】本题考查推理的相关知识,考查的核心素养是逻辑推理.从四个人的预测结果均不正确入手,逐一分析,推断出甲、乙、丙、丁四个人得到的书.由甲、丁的预测均不正确可知丁得到的是物理书,再由乙的预测不正确可知乙得到的是英语书,最后由丙的预测不正确可知甲得到的是化学书,故丙得到的是数学书. 【备注】无 11.C【解析】本题考查解三角形的实际应用,考查的核心素养是直观想象、数学运算. 连接AO ,设∠AOE =θ(0<θ<π2),则AB =2AE =120sin θ,EF =2OE =120cos θ,所以AB +CD +EF =240sin θ+120cos θ=120√5sin(θ+φ),其中sin φ=√55,cos φ=2√55,易知当θ+φ=π2时,(AB +CD +EF )max =120√5(米),此时AB =CD =120sin θ=120cos φ=48√5(米),EF =120cos θ=120sin φ=24√5(米). 【备注】无 12.A【解析】本题考查椭圆与双曲线的定义、方程及几何性质,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算与直观想象.利用双曲线的定义和三角形PF 1F 2的内切圆的性质可求出b 的值,再根据椭圆和双曲线的离心率之积求出a 的值,从而写出椭圆和双曲线的方程,求得点P 的纵坐标,最后利用椭圆的定义以及三角形的面积公式,即可求得三角形PF 1F 2的内切圆的半径.不妨设点P 在第一象限内,三角形PF 1F 2的内切圆和PF 1,F 1F 2,PF 2的切点分别为A ,B ,C ,双曲线C 2的半焦距为c .由双曲线的定义和切线长定理可知,|PF 1|-|PF 2|=(|PA |+|AF 1|)-(|PC |+|CF 2|)=(|PA |+|BF 1|)-(|PA |+|BF 2|)=|BF 1|-|BF 2|=(2+c )-(c -2)=4.因为|PF 1|-|PF 2|=2b ,所以b =2,又C 1和C 2的离心率之积为√a 2-b 2a·√b 2+(a 2-2b 2)b=32,所以a =4,则C 1,C 2的方程分别是x 216+y 24=1,x 24−y 28=1.由{x 216+y 24=1,x 24-y 28=1,得点P 的纵坐标y P =2√63.设内切圆的半径为r ,则12×(|PF 1|+|PF 2|+2c )r =12y P ×2c ,易知F 1,F 2也为C 1的焦点,所以由椭圆的定义得12(8+4√3)r =12×2√63×4√3,解得r =4√2-2√6.【备注】无 13.-√22【解析】本题主要考查函数的周期性、奇偶性,指数函数及三角函数的简单运算,考查运算求解能力.利用函数的周期性、奇偶性解决问题.因为函数f (x )是定义在R 上且周期为4的奇函数,所以f (-92)=f (-92+4)=f (-12)=-f (12)=-√2+√22=-√22,f (4)=f (0)=0,所以f (-92)+f (4)=-√22.【备注】无 14.2【解析】本题考查向量的线性运算、向量的模、菱形的性质,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.如图,当|a |=t |b |,且a 与t b 共起点时,以a ,t b 为邻边的平行四边形是一个菱形,故c =a +t b 平分a 与b 的夹角,所以√(-6)2+82=t √32+42,所以10=5t ,所以t =2. 【备注】无15.[8,12]【解析】本题主要考查圆与圆的位置关系及数形结合思想.试题引导考生将题中的平面几何条件转化为解析几何条件进行求解,突出对数学抽象核心素养的考查.由圆C 上至少存在一点P ,使得∠APB =90°,可知以线段AB 为直径的圆与圆C 相交或相切,由此可求得|AB |的取值范围.不妨设A (m ,0)(m >0),则B (-m ,0),由已知可得以线段AB 为直径的圆与圆C 相交或相切,则|m -1|≤√42+32≤m +1,解得4≤m ≤6,所以|AB |=2m ∈[8,12]. 【备注】无16.[1,+∞)【解析】本题主要考查三角恒等变换、倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性与最值,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.先化简函数f (x ),再由已知条件求得θ 的取值范围,进而求f (π8)的最大值,得到实数m 的取值范围.f (x )=(1-2cos 2x )sin(3π2+θ)-2sin x cos x cos(π2-θ)=-cos 2x ·(-cos θ)-sin 2x sinθ=cos(2x +θ),当x ∈[-3π8,-π6]时,-3π4+θ≤2x +θ≤-π3+θ,由此时函数f (x )单调递增及|θ|≤π2,知{-π≤-3π4+θ,-π3+θ≤0,解得-π4≤θ≤π3.∵f (π8)=cos(π4+θ),且0≤π4+θ≤7π12,∴f (π8)≤1.∵f (π8)≤m 恒成立,∴m ≥1.故实数m 的取值范围为[1,+∞).【备注】【名师指引】在利用函数f (x )=A cos(ωx +φ)(ω>0)的单调性时,要注意运用整体思想,若A >0,则当ωx +φ∈[2k π-π,2k π](k ∈Z)时,函数f (x )单调递增,当ωx +φ∈[2k π,2k π+π](k ∈Z)时,函数f (x )单调递减. 17.解:(1)由n a n+12-4(n +1)a n 2=0,得a n+12n+1=4·a n 2n,因为a n >0,所以n+1√n+1=2·n√n.又b n =n√n,所以b n +1=2b n ,因此b n+1b n=2.故数列{b n }为公比为2的等比数列. (2)b 1=1√1=1,所以结合(1)可得b n =2n -1,故n√n=2n -1,所以a n =√n ·2n -1,因此a n 2=n ·4n -1.于是S n =1+2×4+3×42+…+n ×4n -1,所以4S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n -1+n ×4n , 以上两式相减得,-3S n =1+4+42+…+4n -1-n ×4n=1-4n 1-4-n ×4n=(1-3n)·4n -13.故S n =(3n -1)·4n +19.【解析】本题考查等比数列的定义以及通项公式,错位相减法求数列的前n 项和.试题主要考查等比数列的概念和通项公式、错位相减法求和,引导考生培养提取有效信息的能力,用数学思想方法分析问题、解决问题的能力,较好地体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.(1)将已知条件进行变形,可得到b n +1,b n 之间的关系式,然后根据等比数列的定义即可证得结论;(2)结合(1)先求出数列{b n }的通项公式,再得到数列{a n 2}的通项公式,最后用错位相减法求前n 项和. 【备注】无18.解:(1)由题意得,FC BF=12, 易知△ABO ∽△EDO ,且DE AB=12,∴OD BO =12,∴FO ∥CD.∵GO ∥AD ,FO ∩GO =O ,CD ∩AD =D , ∴平面FOG ∥平面ACD.(2)连接CO ,过点F 作FH ∥CO 交BD 于点H ,易知FH =23CO . ∵AE =2×√32=√3,∴OE =√33,∴CO =√CE 2-OE 2=√63,∴FH =2√69, ∴V B -EFG =V F -BEG =13×12×23BA ×BE ×sin 60°×FH =13×12×23×2×1×√32×2√69=2√227.【解析】本题主要考查面面平行的证明、三棱锥体积的求解,考查考生的运算求解能力、空间想象能力.试题以考生熟悉的四棱锥为载体,引导考生用图形探索解决问题的思路,体会几何直观的作用和意义,注重对逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养的考查.(1)根据面面平行的判定定理证明即可;(2)利用等体积法求解. 【备注】无19.解:(1)补充的茎叶图如图所示.(2)甲同学的成绩超过90分(含90分)的情况有93,95,共2种,乙同学的成绩超过90分(含90分)的情况有90,92,95,共3种. 从这5个成绩中抽取2个的可能情况有(93,95),(93,90),(93,92),(93,95),(95,90),(95,92),(95,95),(90,92),(90,95),(92,95),共10种.抽取的2个成绩中,甲、乙两人的成绩均被抽取且成绩之差不大于2分的可能情况有(93,92),(93,95),(95,95),共3种.故所求事件的概率为310.(3)选甲参加更合适. 理由如下:x ¯甲=18(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85(分), x ¯乙=18(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85(分),s 甲2=18[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,s 乙2=18[(75-85)2+2×(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.因为x ¯甲=x ¯乙,s 甲2<s 乙2,所以甲的成绩较稳定,选甲参加更合适.【解析】本题主要考查茎叶图、古典概型、平均数与方差的相关知识,考查考生数据收集与处理的能力、应用统计思想解题的能力.(1)根据所给数据补充茎叶图即可;(2)先利用列举法列出所有可能的情况,再列出符合所求事件的情况,最后用古典概型的概率计算公式求解;(3)分别计算甲、乙两人成绩的平均数与方差,通过比较甲、乙两人成绩的平均数与方差的大小,即可给出判断. 【备注】无20.解:(1)由x 2=4y 得,y =14x 2,则y'=12x .设点D (x 0,14x 02),由导数的几何意义知,直线l 的斜率为k BC =12x 0.由题意知点A (-x 0,14x 02).设点C (x 1,14x 12),B (x 2,14x 22),则k BC =14x 12-14x 22x 1-x 2=x 1+x 24=12x 0,即x 1+x 2=2x 0.因为k AC =14x 12-14x 02x 1+x 0=x 1-x 04,k AB =14x 22-14x 02x 2+x 0=x 2-x 04,所以k AC +k AB =x 1-x 04+x 2-x 04=(x 1+x 2)-2x 04=0.(2)由k AC +k AB =0且AC ⊥AB 可知,∠CAD =∠BAD =45°,不妨设点C 在AD 上方,即x 2<x 1,则直线AB 的方程为y -14x 02=-(x +x 0). 由{y -14x 02=-(x +x 0),x 2=4y,得点B 的坐标为(x 0-4,(x 0-4)24).所以|AB |=√2|(x 0-4)-(-x 0)|=2√2|x 0-2|,同理可得|AC |=2√2|x 0+2|. 所以|BC |2=16(x 02+4)=(√1+k BC 2|x 1-x 2|)2=(1+x 024)·(x 1-x 2)2,得|x 1-x 2|=8.另一方面,直线BC :y =x 1+x 24(x -x 1)+x 124=x 1+x 24·x -x 1x 24,设线段BC 的中点为N , 则点N 的坐标为(x 1+x 22,x 12+x 228),即N (x 0,x 12+x 228),连接DN ,易知|DN |=x 12+x 228−(x 1+x 2)216=(x 1-x 2)216,所以S △BCD =12|DN |·|x 1-x 2|=132|x 1-x 2|3=16.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,两直线的位置关系,三角形的面积等,考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.(1)设D (x 0,14x 02),C (x 1,14x 12),B (x 2,14x 22),利用导数的几何意义及直线的斜率公式求解;(2)先根据AC ⊥AB 及k AC +k AB =0,可得∠CAD =∠BAD =45°,表示出|AB |,|AC |,再表示出|BC |,得到|x 1-x 2|=8,设BC 的中点为N ,求出 |DN |=116(x 1-x 2)2,最后根据BC 的中点N 与点D 的连线平行于y 轴,得S △BCD =12|DN |·|x 1-x 2|,从而得结果.【备注】无21.解:(1)易知函数f (x )的定义域为(0,+∞),f '(x )=ln x +1+a . ∵函数f (x )=x ln x +ax 在x =x 0处取得极小值-1. ∴{f '(x 0)=ln x 0+1+a =0,f(x 0)=x 0ln x 0+ax 0=-1,解得{a =-1,x 0=1,当a =-1时,f '(x )=ln x ,则当x ∈(0,1)时,f '(x )<0,x ∈(1,+∞)时,f '(x )>0,∴f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴当x =1时,函数f (x )取得极小值-1, ∴a =-1.(2)由(1)知函数g (x )=xf (x )+b =x 2ln x -x 2+b ,定义域为(0,+∞),g'(x )=2x ln x +x -2x =2x (ln x -12),令g'(x )=0,得x =√e , 易得g (x )在(0,√e )上单调递减,在(√e ,+∞)上单调递增,∴当x =√e 时,函数g (x )取得极小值(也是最小值)b -e2, 当b -e2>0,即b >e2时,函数g (x )没有零点;当b -e2=0,即b =e2时,函数g (x )有一个零点; 当b -e2<0,即0<b <e2时,g (e)=b >0,∴g (√e )g (e)<0,故存在x 1∈(√e ,e),使函数g (x 1)=0,∴g (x )在(√e ,e)上有一个零点x 1. 设h (x )=ln x +1x-1,x ∈(0,1),则h'(x )=1x−1x 2=x -1x 2,当x ∈(0,1)时,h'(x )<0,∴h (x )在(0,1)上单调递减, ∴h (x )>h (1)=0,即当x ∈(0,1)时,ln x >1-1x ,∴当x ∈(0,1)时,g (x )=x 2ln x -x 2+b >x 2(1-1x)-x 2+b =b -x ,取x'={b ,1}min ,则g (x')>0,∴g (√e )g (x')<0,∴存在x 2∈(x',√e ),使函数g (x 2)=0,∴g (x )在(x',√e )上有一个零点x 2, ∴g (x )在(0,+∞)上有两个零点x 1,x 2. 综上可得,当b >e2时,函数g (x )没有零点; 当b =e2时,函数g (x )有一个零点;当0<b <e2时,函数g (x )有两个零点.【解析】本题考查函数的极值、零点存在性定理,考查分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.第(1)问根据f '(x 0)=0,f (x 0)=-1,即可求得a 的值;第(2)问,求得函数的最小值后,需要将其与0进行比较,通过分类讨论,确定函数零点个数即可.【备注】【解后反思】本题第(1)问虽然比较简单,但是容易忘记验证当a =-1时,函数f (x )=x ln x +ax 在x =x 0处取得极小值-1;第(2)问,将函数的最小值与0进行比较,顺利得到没有零点与有一个零点的情形,但对于有两个零点的情形,求解难度较大,需要利用函数的单调性,通过找点,利用零点存在性定理,判断有两个零点.22.(1)由ρ=2√2cos(θ-π4)得ρ=2cos θ+2sin θ,所以ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ, 将{ρcosθ=x,ρsinθ=y代入得x 2+y 2=2x +2y ,即(x -1)2+(y -1)2=2,所以C 2的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2,表示以(1,1)为圆心、√2为半径的圆. (2)将{x =tcosα,y =-1+tsinα代入(x -1)2+(y -1)2=2,整理,得t 2-(2cos α+4sin α)t +3=0. 设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1,t 2是方程t 2-(2cos α+4sin α)t +3=0的两根. 因为点A ,B 均在曲线C 2上,所以点A ,B 在点N 的上方, 又点N 在曲线C 1上,所以不妨记|NA |=t 1>0,|NB |=t 2>0,所以{t 1+t 2=2cosα+4sinα,t 1t 2=3.因为1|NA|+1|NB|=43,所以1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=2cosα+4sinα3=43,所以cos α+2sin α=2,所以1-sin 2α=4(1-sin α)2,即(5sin α-3)(sin α-1)=0, 所以sin α=35或sin α=1.【解析】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化公式,考查直线参数方程中参数的几何意义,意在考查逻辑思维能力及运算求解能力. (1)由{ρcosθ=x,ρsinθ=y可将C 2的极坐标方程化为直角坐标方程,由方程可知曲线C 2的形状为圆;(2)利用直线参数方程中t 的几何意义表示相关线段的长,利用根与系数的关系求解即可. 【备注】无23.解:(1)∵a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,a 2+c 2≥2ac . ∴a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac .∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac )≥3(ab +bc +ac )=9,当且仅当a =b =c 时等号成立. 又a ,b ,c 均为正整数,∴a +b +c ≥3. (2)∵a >0,b >0,c >0,∴a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2-ab )≥ab (a +b ). 同理b 3+c 3≥bc (b +c ),a 3+c 3≥ac (a +c ). ∴2(a 3+b 3+c 3)≥a 2b +ab 2+b 2c +bc 2+c 2a +a 2c .又a 2b +ab 2+b 2c +bc 2+c 2a +a 2c ≥2abc +2abc +2abc =6abc , ∴a 3+b 3+c 3≥3abc , ∴a 3+b 3+c 3abc≥3,即a 2bc+b 2ac+c 2ab≥3,当且仅当a =b =c 时等号成立.【解析】本题主要考查不等式的证明及基本不等式的应用,考查逻辑推理能力. 【备注】无。

7.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-文数7含答案精品

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-数学7第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={-2,-1,0,1,2,3},B ={x |y =lg(x -1)},则A ∩B =A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{2,3}2．在复平面内,设z =1+i(i 是虚数单位),则复数z 2-12z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=8·3x -a (a 为常数),则f (1)=A.12B.√22C.163D.√24．圆C 1:x 2+y 2-3x =0与圆C 2:(x -3)2+(y -2)2=4的位置关系为A.相交B.内切C.外切D.相离5．某校开设A 类选修课3门和B 类选修课4门,小明同学从中任选2门,则A ,B 两类课程都选上的概率为A.112 B.27 C.37 D.47 6．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且7S 2=4S 4,则公比q 的值为A.1B.1或12C.√32D.±√327．将函数f (x )=-cos 4x 的图象向右平移π8个单位长度后得到函数g (x )的图象,则函数g (x )A.最大值为1,图象关于直线x =π2对称B.在(0,π8)上单调递减,为奇函数 C.在(-3π8,π8)上单调递增,为偶函数D.周期为π,图象关于点(3π8,0)对称8．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中最长棱的长度为A.4B.5C.√13D.√269．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e =√3,过点F 1作倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于点M ,若MF 2垂直于x 轴,则θ=A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°10．已知数列{a n },a 1=2,点(12a n ,a n +1+1)在函数f (x )=2x +3的图象上.数列{b n }满足b n =1a n2-1,T n为数列{b n }的前n 项和,则T n =A.2nB.14n 2-1C.n2n+1D.n2(2n+1)11．如图,已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,M ,N 分别是棱AA 1,BC 上的动点,若MN =√2,则线段MN 的中点P 的轨迹是A.一条线段B.一段圆弧C.一个球面区域D.两条平行线段12．若函数f (x )=e x -2x 2x 3+ax 在区间(2,3)上有唯一的极值点,则实数a 的取值范围是A.(-e 24,+∞)B.(-e 24,0)C.(2-e 24,2)D.(2-e 24,+∞)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知平面向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,(3a -b )⊥(a +2b ),则向量a 与b 的夹角<a ,b >= .14．已知曲线f (x )=x ln x +x 在点A (x 0,y 0)处的切线平行于直线y =3x +19,则点A 的坐标为 .15．已知实数x ,y 满足不等式组{y ≥0,y ≤x,x +y -m ≤0,且目标函数z =3x -2y 的最大值为180,则实数m 的值为 .16．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为定值的球O 的球面上,当该正三棱柱的底面边长与侧棱长之和取最大值时,球O 的表面积与该正三棱柱底面三角形外接圆的面积之比为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BCD =2∠BAD ,BD =2,AB =√6,cos∠BCD =-13.(1)求AD 的长;(2)求cos∠CBD 的值.18．如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1,四边形ABCD 是平行四边形,BD ⊥AD ,AC ∩BD =O .求证:(1)AD 1⊥BD ; (2)OD 1∥平面A 1BC 1.19．NBA 球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一,以下是2017-2018赛季NBA 常规赛中,球员J 和H 在某15场常规赛中,每场比赛得分的茎叶图:(1)根据茎叶图估计球员J 在本赛季的场均得分以及球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数.(2)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标,现统计了球员J 在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值如下表:若球员J 每场比赛的效率值y 与得分x 具有线性相关关系,试用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程y ＾=b ^x +a ＾,并由此估计在上述15场比赛中,球员J 的效率值超过31的场数(精确到0.001). 参考公式:b ^=∑i=1n(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=1n(x i -x )2=∑i=1nx i y i -nx ¯ y ¯∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y ¯−b ^x ¯.参考数据:∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355.20．已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点到直线l :y =-x 的距离为√28. (1)求抛物线C 的方程;(2)直线l'与抛物线C 相交于A ,B 两点,与直线l 相交于点M ,且|AM |=|MB |,N (-12,0),求△ABN 面积的取值范围.21．已知函数f (x )=ax ln x ,g (x )=x 3-(2-a )x 2,a ∈R .(1)若a =1,证明:∀x 1∈[1,e],∃x 2∈[1,e],使得f (x 1)=g (x 2); (2)若f (x )≤g (x )恒成立,求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =3+5cosα,y =4+5sinα(α为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-8=0. (1)求曲线C 1的极坐标方程、曲线C 2的直角坐标方程;(2)求曲线C 1与曲线C 2的交点所在直线的极坐标方程,并判断点(√22,π4)是否在该直线上.23．已知函数f (x )=|x +a |+|x -1|.(1)当a =3时,求不等式f (x )≥x +9的解集;(2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[0,2],求实数a 的取值范围.参考答案1.D【解析】本题考查集合的交运算以及对数函数的定义域,考查考生的运算求解能力.先解不等式x -1>0,得到集合B ,然后求A ,B 两者的交集.根据题意可得,集合B ={x |x >1,x ∈R },所以A ∩B ={2,3}.故选D. 【备注】无 2.B【解析】本题考查复数的四则运算、复数的几何意义,考查考生的运算求解能力.根据复数的四则运算进行化简,结合复数的几何意义即可得到结论. ∵z =1+i,∴z 2-12z=(1+i)2-12(1+i)=2i-1-i 4=-14+94i,∴复数z 2-12z对应的点位于第二象限.故选B.【备注】无 3.C【解析】本题主要考查函数的奇偶性及应用,考查考生对基础知识的掌握情况.先由f (x )是定义在R 上的奇函数,得f (0)=0,求得a 的值,然后利用奇函数的性质求解.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=8×30-a =0,解得a =8.所以f (1)=-f (-1)=163.故选C【备注】无 4.A【解析】本题主要考查圆的标准方程、圆与圆的位置关系,考查的核心素养是数学运算.根据圆心距判断两个圆的位置关系.圆C 1:x 2+y 2-3x =0,整理得其标准方程为(x -32)2+y 2=94,所以圆C 1的圆心坐标为(32,0),半径r 1=32.圆C 2:(x -3)2+(y -2)2=4,其圆心坐标为(3,2),半径r 2=2.所以圆C 1,C 2的圆心距|C 1C 2|=√(3-32)2+22=52,又r 1+r 2=32+2=72>52,所以两圆相交.故选A.【备注】无 5.D【解析】本题考查古典概型,考查考生的运算求解能力.先确定所求事件的概率类型是古典概型,然后利用列举法分别求出总的基本事件个数与所求事件所包含的基本事件个数,最后代入古典概型的概率计算公式求解即可.设3门A 类选修课分别为A 1,A 2,A 3,4门B 类选修课分别为B 1,B 2,B 3,B 4,小明同学从中任选2门,基本事件有A 1A 2,A 1A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 1B 4,A 2A 3,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,A 2B 4,A 3B 1,A 3B 2,A 3B 3,A 3B 4,B 1B 2,B 1B 3,B 1B 4,B 2B3,B 2B 4,B 3B 4,共21种,其中A ,B 两类课程都选上的有A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 1B 4,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,A 2B 4,A 3B 1,A 3B 2,A 3B 3,A 3B 4,共12种,所以A ,B 两类课程都选上的概率为1221=47.故选D. 【备注】无 6.C【解析】本题主要考查等比数列的相关知识,考查考生的运算求解能力,考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养.若q =1,则7S 2=14a 1,4S 4=16a 1,∵a 1≠0,∴7S 2≠4S 4,不合题意.若q ≠1,由7S 2=4S 4,得7×a 1(1-q 2)1-q=4×a 1(1-q 4)1-q,∴q 2=34,又q >0,∴q =√32.故选C.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查三角函数图象的平移变换、三角函数图象的性质,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.将函数f (x )=-cos 4x 的图象向右平移π8个单位长度后得到函数g (x )的图象,其对应的解析式为g (x )=-sin 4x ,然后判断A,B,C,D 各选项的对错.函数f (x )的图象经平移后得到函数g (x )的图象,其对应的解析式为g (x )=-cos 4(x -π8)=-cos (4x -π2)=-sin 4x .A 项,g (x )=-sin 4x 的最大值为1,其图象的对称轴方程为4x =k π+π2(k ∈Z),解得x =kπ4+π8(k ∈Z),所以A 项错误;B 项,g (x )=-sin 4x 的单调递减区间为[kπ2−π8,kπ2+π8](k ∈Z),所以函数g (x )在(0,π8)上单调递减,且为奇函数,所以B 项正确;C 项,g (x )=-sin 4x 为奇函数,所以C 项错误;D 项,g (x )=-sin 4x 的周期T =2π4=π2,其图象的对称中心为(kπ4,0)(k ∈Z),所以D 项错误.故选B.【备注】无 8.D【解析】本题考查几何体的三视图,考查几何体中棱长的求法,考查考生的空间想象能力. 先判断三视图还原的几何体的特征与形状,然后通过三视图中的数据,分别求出该几何体的各条棱的长度的平方,通过比较得出最长棱的长度.三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥,记为三棱锥A -BCD ,如图,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,过点C 作CF ⊥BD 于点F ,连接CE ,AF ,由三视图可得,AE =4,BD =4,BE =3,ED =1,BF =2,FD =2,CF =3.所以CE 2=CF 2+FE 2=9+1=10,AC 2=CE 2+AE 2=10+16=26,AB 2=BE 2+AE 2=9+16=25,AD 2=AE 2+DE 2=16+1=17,BC 2=DC 2=FD 2+CF 2=22+32=13,所以最长的棱为AC ,其长度为√26.故选D.【备注】无 9.C【解析】本题考查双曲线的定义及几何性质,考查直观想象、数学运算等核心素养.解法一先求出|MF 2|,再利用已知条件求得tan θ,进而求得θ;解法二当θ为锐角时,先在Rt△MF 1F 2中,利用三角函数的定义得,|MF 1|=2c cosθ,|MF 2|=2c·tan θ,再利用双曲线的定义得,|MF 1|-|MF 2|=2a ,进而推出e =cosθ1-sinθ=√3,结合sin 2θ+cos 2θ=1,求得θ的值;当θ为钝角时,同理可求得θ的值.解法一设点M 在x 轴上方,则|MF 2|=b 2a,tan θ=|MF 2||F 1F 2|=b 22ac ,∵c 2=a 2+b 2,e =ca =√3,∴tan θ=√33,θ=30°;当点M 在x 轴下方时,同理可得θ=150°.故选C.解法二当θ为锐角时,在Rt△MF 1F 2中,∠MF 1F 2=θ,|F 1F 2|=2c ,|MF 1|=2ccosθ,|MF 2|=2c ·tanθ,∴2a =|MF 1|-|MF 2|=2ccosθ-2c ·tan θ,∴e =2c 2a=2c2ccosθ-2c·tanθ=11cosθ-tanθ=cosθ1-sinθ=√3,又sin 2θ+cos 2θ=1,∴sin θ=12,cos θ=√32,∴θ=30°;同理可得,当θ为钝角时,θ=150°.故θ为30°或150°.故选C. 【备注】无 10.C【解析】本题考查数列知识的应用,考查等差数列的通项公式和裂项求和问题,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.由a n +1+1=2×12a n +3,即a n +1-a n =2,结合a 1=2,得数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列,求出数列{a n }的通项公式,从而得出{b n }的通项公式,再用裂项求和的方法求出T n 即可.由题意得a n +1+1=2×12a n +3,即a n +1-a n =2,又a 1=2,所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列,所以数列{a n }的通项公式为a n =2+(n -1)×2=2n .所以b n =14n -1=12(12n -1−12n+1).于是T n =12[(1-13)+(13−15)+…+(12n -1−12n+1)]=n2n+1.故选C. 【备注】无 11.B【解析】本题主要考查动态立体几何问题,考查考生的空间想象能力.试题用简单的空间图形展示立体几何的重点知识,给考生搭建了公平的思维平台,融入了直观想象核心素养,体现了新课程背景下对考生自主探究能力的要求.先连接AN ,AP ,构造直角三角形MAN ,再在直角三角形MAN 中根据MN =√2得到AP =√22,说明点P 在以点A 为球心,√22为半径的球面上运动,最后考虑其在正方体内,限定区域即可得结果.连接AN ,AP ,易知△MAN 为直角三角形.因为MN =√2,P 为线段MN 的中点,所以AP =√22,因此点P 到A 的距离为定值,所以点P 在以点A 为球心,√22为半径的球面上运动,记此球为球O ,分别取A 1B 1,D 1C 1,DC ,AB 的中点E ,F ,G ,H ,并顺次连接,则MA ∥平面EFGH .记AN ∩HG =Q ,则易知HQ 为△ABN 的中位线,故Q 为AN 的中点.连接PQ ,则PQ 为△AMN 的中位线,得MA ∥PQ ,又点Q 在平面EFGH 内,MA ∥平面EFGH ,所以点P 在平面EFGH 内运动,故点P 的轨迹为平面EFGH 与球O 的球面的交线,所以点P 的轨迹是一段圆弧.故选B. 【备注】无 12.C【解析】本题考查利用导数研究函数的极值问题,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.首先求出导数,由已知转化为方程有解问题,然后分离参数,转化为函数的值域问题,借助函数的值域求出实数a 的取值范围或借助图象,数形结合求解. 解法一因为f (x )=e x -2x 2x 3+ax =e xx 3+a -2x,所以f '(x )=e x (x -3)x 4−a -2x2.依题意,知e x (x -3)x 4−a -2x =0在区间(2,3)上有唯一的实数解,即e x(x -3)-(a -2)x 2=0,所以a -2=e x (x -3)x .令g (x )=e x (x -3)x 2,则g'(x )=e x (x 2-4x+6)x 3.因为x ∈(2,3),所以g'(x )>0,所以g (x )在(2,3)上单调递增,所以g (x )∈(g (2),g (3)),即g (x )∈(-e 24,0),因此应满足-e 24<a -2<0,故2-e 24<a <2.解法二因为f (x )=e x -2x 2x 3+ax=e x x 3+a -2x,所以f '(x )=e x (x -3)x 4−a -2x 2.依题意,知e x (x -3)x 4−a -2x=0在区间(2,3)上有唯一的实数解,即e x(x -3)=(a -2)x 2.令g (x )=e x (x -3),h (x )=(a -2)x 2,易知函数g (x )在x =2处取得极小值g (2)=-e 2.在同一平面直角坐标系中分别画出函数g (x ),h (x )的图象(如图),由图象可知要使两个函数的图象在(2,3)上有唯一的交点,应满足{a -2<0,ℎ(2)>g(2),解得2-e 24<a <2.【备注】【解题关键】求解本题的关键:将极值点问题转化为方程有解问题,然后分离参数,把方程有解问题转化为函数的值域问题,或转化为函数g (x )=e x (x -3)的图象与函数h (x )=(a -2)x 2的图象的交点问题.13.60°【解析】本题考查向量的夹角,考查考生的运算求解能力.先由已知条件求出a ·b =1,再根据cos<a ,b >=a·b |a||b|=12求解即可.∵(3a -b )⊥(a +2b ),∴(3a -b )·(a +2b )=3a 2+5a ·b -2b 2=3+5a ·b -8=0,∴5a ·b -5=0,∴a ·b =1,∴cos<a ,b >=a·b |a||b|=12,∴<a ,b >=60°. 【备注】无14.(e,2e)【解析】本题主要考查导数的几何意义,考查数学运算、数学抽象等核心素养.求导得f'(x )=ln x +2,令ln x 0+2=3,解得x 0的值,从而得到点A 的坐标.由题意知,函数f (x )的定义域为{x |x >0},f '(x )=(x ln x )'+1=ln x +2.∵曲线f (x )在点A (x 0,y 0)处的切线平行于直线y =3x +19,∴ln x 0+2=3,∴ln x 0=1,∴x 0=e.此时y 0=f (x 0)=x 0ln x 0+x 0=e+e=2e,故点A 的坐标为(e,2e).【备注】无 15.60【解析】本题主要考查线性规划的知识,考查数形结合思想、运算求解能力.先确定m 的取值范围,然后作出可行域,利用z =3x -2y 的最大值为180,即可得m 的值. 当m ≤0时,不合题意;当m >0时,画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数z =3x -2y 可变形为y =32x -z 2,作出直线y =32x 并平移,结合图象可知,当平移后的直线经过点A (m ,0)时,z =3x -2y 取得最大值180,所以3m -0=180,解得m =60. 【备注】无16.28∶3【解析】本题考查辅助角公式、球的表面积公式、圆的面积公式,考查考生的空间想象能力.试题以正三棱柱为载体,要求考生建立形与数之间的联系,构建数学问题的直观模型,培养直观想象核心素养.设球O 的半径为R ,△ABC 外接圆的圆心为D ,半径为r ,连接OA ,OD ,AD ,构造Rt△OAD ,引入变量∠OAD =θ,将正三棱柱的底面边长与侧棱长之和用θ及R 表示,探究其最大值及此时θ的余弦值,得到R r 的值,最后根据球的表面积公式及圆的面积公式计算即可.设球O 的半径为R ,△ABC 外接圆的圆心为D ,半径为r ,连接OA ,OD ,AD ,令∠OAD =θ,易知△OAD 为直角三角形,∠ODA =90°,∴r =R cos θ,AB =2R cos θcos 30°=√3R cosθ,OD =R sin θ,∴AA 1+AB =2R sin θ+√3R cos θ=√7R sin(θ+φ),其中sin φ=√217,cos φ=2√77.当sin(θ+φ)=1,即θ+φ=π2时,该正三棱柱的底面边长与侧棱长之和取得最大值.此时,cos θ=cos(π2-φ)=sin φ=√217,∴Rr=√213,∴S 球O S 圆D=4πR 2πr 2=283.【备注】【解题关键】解决本题的关键是选择合适的参数表示正三棱柱的底面边长与侧棱长之和,然后利用辅助角公式求其最大值.17.(1)因为∠BCD =2∠BAD ,cos∠BCD =-13,所以cos∠BCD =2cos 2∠BAD -1,即cos 2∠BAD =13, 因为∠BAD ∈(0,π2),所以cos∠BAD =√33.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·AB ·cos∠BAD , 所以4=AD 2+6-2AD ×√6×√33,得AD =√2.(2)由(1)可得AD 2+BD 2=AB 2,所以∠ADB =π2, 所以sin∠ABD =√33,cos∠ABD =√63. 因为AB ∥CD ,所以∠BDC =∠ABD , 所以sin∠BDC =√33,cos∠BDC =√63, 又易知sin∠BCD =2√23,所以cos∠CBD =-cos(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD sin∠BDC -cos∠BCD cos∠BDC =2√23×√33+13×√63=√63. 【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式、余弦定理等知识,考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.试题以梯形为载体,考查考生对三角知识的掌握和应用能力,并将对逻辑推理、数学运算等核心素养的考查蕴含在解题的过程中.(1)先根据二倍角公式计算出∠BAD 的余弦值,再由余弦定理求出线段AD 的长;(2)根据图中角之间的关系及两角和的余弦公式即可求得结果. 【备注】无18.解:(1)在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,平面ADD 1A 1⊥平面ABCD.又平面ADD 1A 1∩平面ABCD =AD ,BD ⊥AD ,∴BD ⊥平面ADD 1A 1.又AD 1⊂平面ADD 1A 1,∴AD 1⊥BD. (2)连接B 1D 1,交A 1C 1于点O 1,连接BO 1. ∵四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1是直四棱柱, ∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又平面ABCD ∩平面BB 1D 1D =BD ,平面A 1B 1C 1D 1∩平面BB 1D 1D =B 1D 1, ∴BD ∥B 1D 1,且BD =B 1D 1.又由题意知,O ,O 1分别是BD ,B 1D 1的中点, ∴OB ∥O 1D 1,且OB =O 1D 1, ∴四边形OBO 1D 1是平行四边形, ∴OD 1∥O 1B.∵OD 1⊄平面A 1BC 1,O 1B ⊂平面A 1BC 1, ∴OD 1∥平面A 1BC 1.【解析】本题考查空间几何体中线线垂直的证明、线面平行的证明,考查空间想象能力、推理论证能力、化归与转化能力.试题给考生提供了想象的空间和多角度的思维平台,重视数学基础,注重以能力立意,直观想象、逻辑推理等核心素养在试题中也有很好体现.(1)由直四棱柱的性质得到面面垂直,由面面垂直可得线面垂直,进而得线线垂直;(2)要证直线与平面平行,需证直线与平面内的一条直线平行即可,一般通过构造平行四边形来探求平面内的直线与已知直线平行.【备注】【归纳总结】证明直线与平面平行的三种方法:①定义法,一般用反证法;②判定定理法,关键是在平面内找(作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程;③性质判定法,即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 判定直线和平面垂直的两种方法:①利用判定定理;②利用面面垂直的性质.19.(1)由茎叶图可得球员J 在15场比赛中的场均得分为115(15+18+21+22+22+24+27+30+32+33+36+37+38+39+41)=29(分).故估计球员J 在本赛季的场均得分为29分.由茎叶图可得球员H 在15场比赛中,得分超过32分的有6场, 以频率作为概率,故估计球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数约为615×75=30.(2)由表格可得x ¯=25.4,y ¯=25,又∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355,所以b ^=∑i=15x i y i -5x ¯ y¯∑i=15x i2-5x ¯2=3 288.2-5×25.4×253 355-5×25.42≈0.876,于是a ＾=y ¯−b ^x ¯≈25-0.876×25.4≈2.750,故回归直线方程为y =0.876x +2.750.由于y 与x 正相关,且当x =32时,y =0.876×32+2.750=30.782<31, 当x =33时,y =0.876×33+2.750=31.658>31,所以估计在这15场比赛中,当球员J 得分为33分,36分,37分,38分,39分,41分时,效率值超过31,共6场. 【解析】无【备注】无20.解:(1)易知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为(0,p 2), 由题意得p 2√2=√2p 4=√28,解得p =12, 所以抛物线C 的方程为x 2=y .(2)易知直线l'的斜率存在且不为0,由题意可设M (-m ,m )(m >0),直线l':y -m =k (x +m )(k ≠-1且k ≠0), 联立方程,得{y -m =k(x +m),x 2=y,消去y ,得x 2-kx -km -m =0,由题意知,Δ=k 2-4(-km -m )=k 2+4km +4m >0.①设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=k ,x 1x 2=-km -m ,因为|AM |=|MB |,所以x 1+x 2=-2m ,所以k =-2m ,所以x 1x 2=2m 2-m . 将k =-2m 代入①中,解得0<m <1,又k ≠-1,所以0<m <1且m ≠12, 故直线l'的方程为y =-2mx -2m 2+m (0<m <1且m ≠12), 点N 到直线l'的距离d =2√2=2√2.又|AB |=√1+4m 2|x 1-x 2| =√1+4m 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =22√m -m 2,所以S △ABN =12|AB |·d =2|m -m 2|·2.令t =√m -m 2,则S △ABN =2t 3,因为0<m <1且m ≠12,所以0<t <12,所以2t 3∈(0,14), 所以S △ABN ∈(0,14),所以△ABN 的面积的取值范围为(0,14).【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、化归与转化能力及运算求解能力,考查考生综合运用解析几何知识解决问题的能力.试题以抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系为依托,借助与抛物线有关的三角形考查直观想象、数学运算等核心素养.(1)先根据抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标,再根据点到直线的距离公式即可得p 的值,进而可得抛物线的方程;(2)设出点M 的坐标及直线l'的方程,将直线l'的方程与抛物线的方程联立,借助弦长公式、点到直线的距离公式表示出△ABN 的面积,进而求得其面积的取值范围.【备注】【名师指引】解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题时,常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元,化简得一元二次方程,然后应用根与系数的关系,结合题意解决相关问题.21.解:(1)当a =1时,f '(x )=1+ln x , 当x ∈[1,e]时,f '(x )>0,∴函数f (x )在[1,e]上单调递增, ∴f (1)≤f (x )≤f (e),即0≤f (x )≤e, ∴当x ∈[1,e]时,f (x )的值域为[0,e]. 当a =1时,g'(x )=3x 2-2x =x (3x -2), 当x ∈[1,e]时,g'(x )>0,∴函数g (x )在[1,e]上单调递增, ∴g (1)≤g (x )≤g (e),即0≤g (x )≤e 3-e 2, ∴当x ∈[1,e]时,g (x )的值域为[0,e 3-e 2]. ∵e 3-e 2=e(e 2-e)>e, ∴[0,e]⊆[0,e 3-e 2],∴∀x 1∈[1,e],∃x 2∈[1,e],使得f (x 1)=g (x 2). (2)解法一由f (x )≤g (x )得ax ln x ≤x 3-(2-a )x 2, ∵x >0,∴a ln x ≤x 2-(2-a )x , 整理得a (ln x -x )≤x 2-2x . 令G (x )=ln x -x ,x ∈(0,+∞), 则G'(x )=1x -1=1-x x,当x ∈(0,1)时,G'(x )>0,当x ∈(1,+∞)时,G'(x )<0, ∴G (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴G (x )max =G (1)=-1<0, ∴ln x -x <0恒成立, 故a ≥x 2-2x lnx -x 恒成立. 令h (x )=x 2-2xlnx -x,x ∈(0,+∞),则h'(x )=(2x -2)(lnx -x)-(1x-1)(x 2-2x)(lnx -x)=(x -1)(2lnx -x -2)(lnx -x),令k (x )=2ln x -x -2,x ∈(0,+∞), 则k'(x )=2x -1=2-x x,当x ∈(0,2)时,k'(x )>0,当x ∈(2,+∞)时,k'(x )<0, ∴k (x )在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, ∴k (x )max =k (2)=2ln 2-4=2(ln 2-2)<0,∴当x ∈(0,1)时,h'(x )>0,当x ∈(1,+∞)时,h'(x )<0, ∴h (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴h (x )max =h (1)=1-20-1=1,∵a ≥h (x )恒成立,∴a ≥1,∴实数a 的取值范围为[1,+∞).解法二由f (x )≤g (x )得ax ln x ≤x 3-(2-a )x 2, 设F (x )=ax ln x -x 3+(2-a )x 2,则F (x )≤0, 根据F (1)=-1+2-a =1-a ≤0,得a ≥1. 下面证明当a ≥1时,h (x )≤0恒成立. 记m (x )=ln x -x +1,x ∈[0,+∞),则m'(x )=1x -1=1-x x,当x ∈(0,1)时,m'(x )>0,当x ∈(1,+∞)时,m'(x )<0, ∴m (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴m (x )max =m (1)=0, ∴m (x )≤0,即ln x ≤x -1. ∴ax ln x ≤ax (x -1),∴F (x )≤ax (x -1)-x 3+(2-a )x 2=-x 3+2x 2-ax =-x [(x -1)2+a -1]≤0, 故实数a 的取值范围为[1,+∞).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、存在性及恒成立问题,考查化归与转化、数形结合等数学思想.分离参数,将问题转化为求所构造函数的最大值,体现了考生发现问题、提出问题以及分析问题、解决问题的能力,着重培养考生的逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)要先明确“∀x 1∈[1,e],∃x 2∈[1,e],使得f (x 1)=g (x 2)”表示的是在[1,e]上,f (x )的值域是g (x )的值域的子集,再求两个函数的值域即可证明;(2)由不等式f (x )≤g (x ),整理得a (ln x -x )≤x 2-2x ,由于在(0,+∞)上,ln x -x <0,因此考虑用分离参变量的方法解答此题,a ≥x 2-2x lnx -x恒成立,然后构造函数h (x )=x 2-2x lnx -x,求h (x )的最大值即可求解.【备注】【解后反思】 (1)对任意的x 1∈[1,e],存在x 2∈[1,e],使得f (x 1)=g (x 2)成立,就是f (x )的值域是g (x )的值域的子集;(2)除了运用分离参数法解答以外,还可以构造函数F (x )=f (x )-g (x ),研究特殊函数值,得出实数a 的大致范围,再通过不等式的放缩证明此时F (x )≤0,这种方法的技巧性比较强.22.(1)曲线C 1的普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25,即x 2+y 2-6x -8y =0, ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2-8ρsin θ-6ρcos θ=0. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2+2x -8=0,即(x +1)2+y 2=9.(2)由题意及(1)得曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρ2-8ρsin θ-6ρcos θ=0,ρ2+2ρcos θ-8=0,两方程相减得曲线C 1,C 2的交点所在直线的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ-1=0. ∵√22sin π4+√22cos π4-1=0, ∴点(√22,π4)在两曲线的交点所在的直线上.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,考查化归与转化思想,考查的数学核心素养是数学运算.(1)根据ρ2=x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsinθ进行方程间的互化;(2)将两曲线的极坐标方程相减即可得两曲线的交点所在直线的极坐标方程,再将(√22,π4)代入所得直线的极坐标方程,看是否满足方程,若满足,则点在直线上,若不满足,则点不在直线上. 【备注】无23.(1)当a =3时,f (x )=|x +3|+|x -1|={-2x -2,x ≤-3,4,-3<x <1,2x +2,x ≥1,当x ≤-3时,由-2x -2≥x +9,得x ≤-113;当-3<x <1时,由4≥x +9,得x ≤-5,无解; 当x ≥1时,由2x +2≥x +9,得x ≥7.综上,f (x )≥x +9的解集为(-∞,-113]∪[7,+∞).(2)f (x )≤|x -4|等价于|x +a |≤|x -4|-|x -1|. 当x ∈[0,1]时,|x +a |≤|x -4|-|x -1|=3, ∴-3-a ≤x ≤3-a ,则有-3-a ≤0,3-a ≥1,得-3≤a ≤2.当x ∈(1,2]时,|x +a |≤|x -4|-|x -1|=5-2x , ∴2x -5≤x +a ≤5-2x ,∴{x ≤5-a 3,x ≤5+a对任意的x ∈(1,2]恒成立,∴{5-a3≥2,5+a ≥2,得-3≤a ≤-1.综上,实数a 的取值范围为[-3,-1].【解析】本题考查绝对值不等式的解法、含参不等式恒成立求参数的取值范围问题,考查分类讨论思想和运算求解能力.(1)分段去绝对值解不等式即可;(2)f (x )≤|x -4|等价于|x +a |≤|x -4|-|x -1|,由x ∈[0,2],分情况讨论去绝对值,转化为恒成立问题,列不等式求解即可. 【备注】无。

2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析04

2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}240,20A x x B x x =->=+<，则A B =I （） A ．{}2x x > B ．{}2x x <- C ．{2x x <-或}2x >D ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】B2．已知复数z 满足：()()3i 12i i z -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于（） A ．15- B ．25-C ．45D ．35【答案】C3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C4．“1a >”是“2a a >成立”的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A5．抛物线214y x =的焦点到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（）A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】B6．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥ B ．若,a b αβ⊥∥，且αβ⊥，则a b ∥ C ．若,,a a b b αβ⊥∥∥，则αβ⊥D ．若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ 【答案】C7．在区间上[]0,π随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（） A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】D8．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知11,,cos 43b B A π===，则a =（） A ．43B ．23C ．34D ．2【答案】A9．已知向量,a b r r 均为单位向量，且夹角为60︒，若()()a b a b a b λλ-⋅+=-r r r r r r，则实数λ=（）A ．3B ．3-C ．1±D ．3±【答案】D10．已知函数()f x 是奇函数，若函数()2x y xf x =-的一个零点为0x ，则0x -必为下列哪个函数的零点（）A ．()2x y f x x -=⋅+B ．()12x y f x x=⋅-此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号C ．()2x y f x x =⋅-+D ．()12x y f x x-=⋅-+【答案】B11．设实数,x y 满足不等式组240y xx y ⎧⎪⎨-+⎪⎩≥≥，则2x y +的最大值为（）A ．43B ．43-C ．12D ．0【答案】C12．已知函数()[)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞，直线L 过原点且与曲线()y f x =相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为123,,,,,n x x x x L L ，则下列说法正确的是（） A ．()1n f x =B ．数列{}n x 为等差数列C ．tan 4n n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()22221n n nx f x x ⎡⎤=⎣⎦+【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某植树小组测量了一批新采购的树苗的高度，所得数据如茎叶图所示（单位：cm )，则这批树苗高度的中位数为．【答案】7614．从直线y x =上一动点出发的两条射线恰与圆()22:21C x y +-=都相切，则这两条射线夹角的最大值为．【答案】2π15．已知ABC △中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接,AD E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n += ．【答案】12-16．已知三棱锥A BCD -中，213AB CD ==，41,61BC AD AC BD ====，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为．【答案】77π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()()2sin cos +sin 203f x x x x ωωωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求ω和函数的最小值（2）求函数()y f x =的单调递增区间．【答案】解：13()2sin (cos )sin 22f x x x x x ωωωω=++13sin 2cos 2)sin 22x x x ωωω=-+ 333sin 222x x ωω=+33)6x ωπ=-+（1）因为函数最小正周期为π，则2|2|T ωπ==π，则1ω=，最小值为3 （2）由（1）得3()3)6f x x π=-+令222()262k x k k πππ-+π-+π∈Z ≤≤，解得()63k x k k ππ-+π+π∈Z ≤≤所以函数的增区间为[,]()63k k k ππ-+π+π∈Z ．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112,22,1n n a a S n +==+≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()31log nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】解：（1）122n n a S +=+Q L L L ①∴当2n ≥时，122n n a S -=+L L L ②①-②得：12n n n a a a +-=13n n a a +⇒=，又12a =，由①得21226a a =+=213a a ∴=，{}n a ∴是以2为首项3为公比的等比数列123n n a -∴=⨯（2）()()11331log 231log 23nnn n n n n b a a --=+-=⨯+-⨯Q()()133231log 21log 3nn n -=⨯+-+-⎡⎤⎣⎦()()()132311log 21n nn n -=⨯+--++-2122n n S b b b ∴=+++L ()221213330n n -=++++++L 231n n =+-．19．（12分）一生物科研小组对升高温度的多少与某种细菌种群存活数量之间的关系进行分析研究，他们制作5份相同的样本并编号1、2、3、4、5，分别记录它们同在0C ︒下升高不同的温度后的种群存活数量，得到如下资料：（1）若随机选取2份样本的数据来研究，求其编号不相邻的概率；（2）求出y 关于x 的线性回归方程；（3）利用（2）中所求出的回归方程预测温度升高15C ︒时此种样本中种菌群存活数量．附：1221ni ii nii x ynxy bxnx==-=-∑∑$，ˆˆay bx =-．【答案】解：（1）总的选取结果为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10中，其中满足编号不相邻的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）共6种，则概率为35．（2）由数据求得11x =，25y =，则515221554ˆ 5.4105i ii i i x y x ybx x==-===-∑∑， ˆˆ34.4ay bx =-=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 5.434.4y x =-．（3）利用直线方程ˆ 5.434.4yx =-，可预测温度升高15℃时此种样本中细菌种群存活数量为5.41534.446.6(46⨯-=≈个）（个）． 20．（12分）如图1，1AFA △中，11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形．（1）证明：,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积．【答案】解：由题得1FC AA ⊥，1DG BE ==，所以在图2中FC DC ⊥，FC BC ⊥，DC BC C =I ，所以FC ABCD ⊥面，又,,BE CF DG 互相平行，则,,BE CF DG 均与底面垂直．（1）取FC 中点M ，连接,EM DM ，易得EM BC ∥，且EM BC =，AD BC ∥，且AD BC =，所以四边形AEMD 为平行四边形，所以AE DM ∥，易得GF DM ∥，则AE GF ∥，所以,,,A E F G 四点共面．DAEG F(2)如图，224333B AEFG B AEG B EFG G AEB G EFB V V V V V -----=+=+=+=． DAE G F21．（12分）如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 为椭圆在第一象限上的点，且2AF ⊥x 轴，（1）若2135AF AF =，求椭圆的离心率；（2）若线段1BF 与x 轴垂直，且满足11BF AF =，证明：直线AB 与椭圆只有一个交点．【答案】解：（1）因为21||3||5AF AF =，又12||||2AF AF a +=，则1253||,||44AF a AF a ==，所以由勾股定理得12||F F a =，即2a c =，所以离心率12e =（2）把x c =代入椭圆22221x y a b +=得2b y a =，即22||b AF a =，所以2(,)bA c a，又12||||2AF AF a +=所以2222212||2b a b a c AF a a a a -+=-==，即221||a c BF a +=，故22(,)a cB c a+-，则直线AB 的斜率2222AB a c b c a a K c a+-==--，则直线AB 方程为2()b cy x c a a-=--，整理得c y x a a =-+，联立22221x y a b c y x a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得：2222220a x ca x a c -+=，易得2424440c a c a ∆=-=，故直线AB 与椭圆只有一个交点．22．（12分）已知函数()()()211e ,2x f x x a g x x ax =+-=+，其中a 为常数．（1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：（1）2,()(1)x a f x x e ==+则，()(2)x f x x e '∴=+，(0)2f '∴=，又因为切点0,1（），所以切线为210x y -+=；(2)令()()()h x f x g x =-，由题得min ()0h x ≥在[0,)x ∈+∞恒成立，21()(1)2x h x x a e x ax =+---，所以()()(1)x h x x a e '=+-①若0a ≥，则[0,)x ∈+∞时()0h x '≥，所以函数()h x 在[0,)+∞上递增，所以min ()(0)1h x h a ==-，则10a -≥，得1a ≥；②若0a <，则当[0,]x a ∈-时()0h x '≤，当[,+x a ∈-∞）时()0h x '≥，所以函数()h x 在[0,]a -上递减，在[,+a -∞）上递增，所以()()min h x h a =-，又因为()(0)10h a h a -<=-<，所以不合题意．综合得1a ≥．。

2020高考全真模拟考试文科数学试题

k=0 x=2x+1 k=k+1 否
B ． (30,32]
是
x>115?
输出 k
.
结束
C ． (28,57]
D． (30,57]
7．当实数 x, y 满足不等式
x0
y 0 时，恒有 ax y 2 成立，则实数 a
x 2y 2
的取值集合
是（
）
A ． (0,1]
B ． ( ,1]
C ． ( 1,1]
D． (1,2)
2
则 ? p 为（
）
B． " x ? R, sin x < 1 x 均成
2
立
C． $ x ? R, 使 sin x 3 1 x 成立
2
D ． " x ? R, sin x 3 1 x 均
2
成立
3．若函数 f(x)＝ sin ωｘ＋ 3cos ωｘ，x∈R，又f(xB1B)＝－ 2，f(xB2B )
＝0，且 |xB1B－xB2B|的最小值为
．
14. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在其中有一个平均成绩超
5 次综合测评中的成绩，数字被污损，则甲的过乙的平均成绩的
概
率
是
．
15. 过抛物线 C : x2 2 y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，若
抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，则线段 AF
．
16 ．路灯距地平面为 8m ，一个身高为 1．75m 的人以 5 m/s 的速
11 ．已知 m R ，复数 m i 1 的实部和虚部相等，则 m =
．
1i 2
12 ．已知向量 a ( 2 , 3，) b ( 2,1) ，则 a 在 b 方向上的投影等

2020高考文科数学模拟试卷含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文科数学(一)本试卷共23題,共150分，艾4页•考试皓束后，将本试卷和答题卜一并交回。

一、选择题：本大18共仁小题，每小题5分，共60分・在每小题给出的四个备选项中，只有一坝是符合U目要求的，■1. e®z=」一在复平面中所对应的点位于I-2iA.第一象限B.第二象限C.第三彖限D第四象限2. 已知函« f(x)是定义在R上的奇两数，且^3X> 0时，f(x) = \nx-x\则/(-1)=A・一1 B. 0 C. I e-13. 己知向=1-x), ^C = (x, 1),若4 B, C三点共线,则实数"A. 2B. -1C. 2 或一1D. -2或14. 已知集合A = {y\y = l-2x}t 8 = {x\x2-2x-3>0},则=A. 0B. [-1, 1)C. (1, 3]D. [-3, 1)5. 设等差数列{/}的前刀项和为S”，S5=\5f如=9,则几=A・ 60 B. 90 C. 120 D. 1506. 某孚校为了解学生的教学学习情况，从甲、乙两班各抽取广7名同学某次数学考试的成细，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是ArrayA.平均数B.方差C.中位数D.极差7. 设a, b是两条不同的宜线，Q，0是两乍不同的平面，下面推理中疋确的是A. 若 a // b t aua , bu 卩、则a //B. 若a // P, aua、则a // 0C・若a〃0, a(za , hu ”、则a // bD.若a" b、a丄a, b丄0,则a卄卩8. 已知命題F;"若对任意的x>0都有2r-l>o,则则命趙p的否命题为A. 若存仕X>0使得2x-1 >a ,则a > -1B. 若存在x>0使得2x-lWa,则a>-f高考模揪*研卷文(-〉第】页共4页c - fta>I •則％便附2一1 *D 「八・1・X>O 伸博2J —1 .材由鼻塔"2—7 = 0卜- *卩・；|圆.J_2-“4y + 2 = 0的条切如切点为八則冲|的为A. MA. 3㊉1二一】c.（xe （x-i ））e （x-2）= x-2己知刃曲绘冷•一与= 1（a >°，〃>0）的左、右焦点分别为F 7 ,点P 在双曲线的右支上, a b“且|P/7| = |/7/7|r 若点0是线段的中点•则"F 民的取值范圉是中，角彳、从C 肋対的边分别为2、bs c. U"in （号一〃）"&in （¥*H2・H10. J >/nC. 2丿5D. 2V7我国Jt*敕学家华罗庚先生曾说，数斌形时少豆观，形缺数时难入微.敷形结合白段好.隔裂分家力事仏-A 数学的学习和研完中，常用踊数的图欽来研允函釵的性质，也带用函敗的解析式来分析函数的图象的待征.如两数/（x ）=e^-2x 2-l 的图陨大效是n. 彳：一丫。

2020年全国统一模拟考试-文数答案

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2020年高考模拟试卷数学(文)含答案解析(WORD版)

图2由全国各地一线教师精心编制《高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。

全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！高考模拟试卷数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1ii+＝( ) A.1i + B.1i - C.1i -+D.i2.命题“∀x R ∈,2x x -≤0”的否定是( )A.∃x R ∈,20x x -≥ B.∀x R ∈,20x x -≥ C.∃x R ∈,20x x ->D.∀x R ∈,20x x ->3.集合{}|lg ,1A y y x x ==>,}{2,1,1,2B =--,则R A B =I ð( ) A.[2,1]-- B.(,0]-∞ C.}{1,2D.}{2,1--4.若某空间几何体的三视图如图１所示,则该几何体的表面积是( ) A.60 B. 54 C.48 D. 245.如果运行如图2的程序框图,那么输出的结果是( ) A.1, 8, 16 B.1, 7, 15 C.1, 9, 17D.2, 10, 186.若,x y 满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则21S x y =+-的最大值为( )A. 6B.4C.3D. 2 7.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x m =++(m 为常数),则(1)f -=( )A. 3B. 1C. 1-D. 3-8.在边长为1的正三角形ABC 中,若ABa u u u r r ＝,BCb =u u u r r ,CAc =u u u r r ,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r( ) 4俯视图侧视图正视图34 图1x 15 16 18 1922 y102 98 115 115120A.12-B.32－C.32D.09.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ,则在正方体1111ABCD A B C D -内任取点M ,点M 在球O 内的概率是( ) A.4π B.6π C. 8π D.12π 10.定义在R 上函数()f x 满足:()()f x f x '>恒成立,若12x x <,则12()x e f x 与21()xe f x 的大小关系为( )A.1221()e ()x x e f x f x > B.1221()e ()x x e f x f x <C.1221()e ()x x ef x f x = D.1221()e ()x x e f x f x 与的大小关系不确定二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上. 11.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下:由表中样本数据求得回归方程为ˆybx a =+,且点(,)a b 在直线18x y m +=上, 则m = .12.在△ABC 中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若a =9,b =6,A =060,则sin B =13.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,使极坐标系的单位长度与直角坐标系的单位长度相同.已知直线l 的参数方程为233x ty t=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则直线l 与曲线C 的交点个数为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆的面积为3,则p = .15.已知数列满足:11a =,22a =,33a =,44a =,55a =,且当5n ≥时,有11231n n a a a a a +=-L ,若数列{}n b 满足对任意*n N ∈,有2221212n n n b a a a a a a =----L L ,则(1)5b = ; (2)当5n ≥时,n b = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）110 112 118 116 114 直径/mm频率/组距0.0500.075 0.150a 图3 APEBCD图4已知函数2()2cos 2sin sin()2f x x x x π=++,(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.17.（本小题满分12分）某工厂生产的产品A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm ).若生产一件产品A的直径位于区间[110,112),[112,114),[114,116),[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元),现从该厂生产的产品A 中随机100件测量它们的直径,得到如图3所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求a 的值,并估计该厂生产一件A 产品的平均利润;(Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.18.（本小题满分12分）如图4,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD , 底面ABCD 是平行四边形,60BAD ∠=︒,2AD =,23AC =,E 是PC 的中点.(Ⅰ)求证:PC BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥P ABCD -的体积为4,求DE 与平面PAC 所成的角的大小.19.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且242n n n S a a =+对任意的*n N ∈恒成立.(Ⅰ)求1a 、2a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11n n n b a a +=,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,是否存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++> 对任意的正整数n 都成立.若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由 20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F 、2F ,离心率为23,椭圆C 与y 轴正半轴交于点P ,12PF F ∆的面积为25. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求AOB ∆的面积的最大值,并求出此时直线l 的方程.21.（本小题满分13分）已知函数21()ln (0)2f x x ax bx a =-+>,(1)0f '=. (Ⅰ)试用含a 的式子表示b ,并求()f x 的单调区间; (Ⅱ)若()f x 在1(,)2+∞上有两个零点,求实数a 的取值范围;数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题：1．B 2. C 3. D 4. A 5.Ｃ６.Ａ 7.Ｄ８.Ｂ９.Ｂ 10.Ａ二、填空题11． 110 12．3313． 1 14． 2 15． 65三、解答题16．解：(1)∵2()2cos 2sin cos f x x x x =+cos2sin 21x x =++2sin(2)14x π=++∴()f x 的最小正周期22T ππ== ………………………………………………………6分 (2) ∵02x π≤≤ ∴ 52444x πππ≤+≤……………………………………………………8分 ∴2sin(2)124x π-≤+≤…………………………………………………………………………10分 ∴0()12f x ≤≤+………………………………………………………………………………11分 ∴函数()f x 在区间[0,]2π上的值域为[0,12]+ ……………………………………………12分17．解:(1) 由频率分布直方图可知2(0.0500.1500.075)1a +++=所以0.225a =………3分直径位于区间[110,112)的频数为10020.05010⨯⨯=,位于区间[112,114)的频数为10020.15030⨯⨯=,位于区间[114,116)的频数为10020.22545⨯⨯=,位于区间[116,118]的频数为10020.07515⨯⨯=,因此生产一件A 产品的平均利润为101020303045151022100⨯+⨯+⨯+⨯=(元) ………………………………………6分(2) 由频率分布直方图可知直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为2:3,所以应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取2件产品,记为A 、B ，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件产品，记为a 、b 、c ,从中随机抽取两件,所有可能的取法有, (,)A B ,(,)A a ,(,)A b ,(,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共10种,其中两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有(,)A a ,(,)A b (,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共9种.所以所求概率为910P =……………12分 18．解(1) ∵ 在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=︒, ∴ 120ADC ∠=︒,∴由2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠ 得2280CD CD +-=解得2CD =,所以四边形ABCD 为菱形, ∴AC BD ⊥ 又PA ⊥底面ABCD ∴PA BD ⊥ ∵PA AC A =I∴BD ⊥平面PAC∴PC BD ⊥ ……………………………………………………………………………6分(2)由(1)易知2BD =,所以1232ABCD S AC BD =⋅= ∴ 由143P ABCD ABCD V S PA -=⋅=得23PA =……………………………………………8分设AC 与BD 交于点O ,连结OE由(1)知BD ⊥平面PAC ,所以DE 在平面PAC 的射影为OE∴DEO ∠就是DE 与平面PAC 所成的角…………………………………………………10分∵E 是PC 的中点 ∴ 132OE PA ==∴ 在Rt DOE ∆中13tan 33OD DEO OE ∠===∴30DEO ∠=︒ 即DE 与平面PAC 所成的角为30︒……………………………………12分19．解: 由题意知，当1n =时, 211142a a a =+,又10a >,所以12a = ……………………1分当2n =时，212224()2a a a a +=+，又20a >，所以24a =………………………………2分 ∵242n n n S a a =+ ∴211142n n n S a a +++=+两式相减并整理得 11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………………………4分由于10n n a a ++> 所以120n n a a +--=…………………………………………………5分所以数列{}n a 是以12a =为首项,2d =为公差的等差数列,∴ 2n a n =…………………………………………………………………………………6分 (2) ∵111111()4(1)41n n n b a a n n n n +===-++ A PEBC D O图3∴11111111[(1)()()()]42233414(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L …………………………8分又21(2)(1)4n n n S a a n n =+=+ ∴ 由11n n n S a T λ++>得(1)(1)(2)2(2)n n n n n λ+++>+∴2182(2)28n n n nλ>=+++…………………………………………………………………10分 ∵ 882822816n n n n ++≥⋅+= 当且仅当82n n=即2n =时取”=” ∴1181628n n ≤++ …………………………………………………………………………12分 ∴116λ>∴存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++>对任意的正整数n 都成立,且116λ>……………13分20．解: (1) 设椭圆C 的半焦距为c ,则由题意可知2325c e a bc ⎧==⎪⎨⎪=⎩又222a b c =+ 解得3,5,2a b c ===∴椭圆C 的方程为22195x y +=……………………………………………………………5分 (2)由题意可知直线l 的斜率不能为0,右焦点2F 的坐标为(2,0)设直线l 的方程为2x my -=,代入椭圆C 的方程并整理得22(59)20250m y my ++-= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222059m y y m +=-+,1222559y y m =-+………………………7分 ∴221212122301||()459m y y y y y y m +-=+-=+…………………………………………8分 12121||||||2AOBS OF y y y y ∆=-=- 222230130459511m m m m +==++++…………10分令21t m =+,则1t ≥,令4()5f t t t=+则222454()5t f t t t -'=-=,所以当1t ≥时()0f t '>,∴()f t 在[1,)+∞上为增函数,()f(1)9f t ≥=即2245191m m ++≥+当且仅当1t =即0m =时取”=”∴1003AOB S ∆<≤…………12分 ∴AOB ∆的面积的最大值为103,此时直线l 的方程为2x =…………………………13分21．解:(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞,1()f x ax b x'=-+∴(1)101f a b b a '=-+=⇒=- …………………………………………2分 ∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x+-'=-+-=-………………………………………3分由()0f x '>及0,0x a >>得01x <<由()0f x '<及0,0x a >>得1x >…………5分∴()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞ ………………………6分 (2)由(1)知()f x 在1(,1]2上单调递增,在[1,)+∞上单调递减, ∵()f x 在1(,)2+∞上有两个零点∴max 1()(1)1022f x f a a ==->⇒> …………………………………………8分又2211111()1(1)(1)11022222f e ae a e a e a e a a e =-+-=--++-<-++-<∴()f x 在(1,)+∞上有且仅有一个零点 …………………………………………10分∴()f x 在1(,)2+∞上有两个零点的充要条件是()f x 在1(,1)2上有一个零点,即1()02f <,解得48ln 233a <+ ……………………………………………………………………………12分综上知所求a 的范围为4(2,8ln 2)3+ ……………………………………………13分。

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