定积分习题及讲解

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定积分练习题

定积分练习题定积分练习题在微积分学习中，定积分是一个重要的概念和工具。

它不仅可以用来计算曲线下的面积，还可以解决各种实际问题。

为了更好地理解和应用定积分，下面将给出一些练习题，通过解题的过程来加深对定积分的理解。

1. 计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。

解析：根据定积分的定义，我们可以将曲线y = x^2与x轴所围成的面积表示为∫[0, 2] x^2 dx。

为了计算这个积分，我们可以使用定积分的基本性质，即将曲线下的面积分成若干个小矩形，然后将这些矩形的面积相加。

将区间[0, 2]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = (xi)^2。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[0, 2] x^2 dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[0, 2] x^2 dx = 8/3。

2. 计算定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

解析：这个定积分的计算与上一个例子类似。

我们可以将曲线y = 2x+1与x轴所围成的面积表示为∫[1, 3] (2x+1) dx。

同样地，我们可以将区间[1, 3]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (3-1)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = 2xi+1。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[1, 3] (2x+1) dx = 12。

3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

解析：这个定积分的计算稍微复杂一些，因为它涉及到三角函数。

我们可以将曲线y = sin(x)与x轴所围成的面积表示为∫[0, π/2] sin(x) dx。

考研定积分经典例题（完美讲析）

定积分常见问题一、关于含“变上限积分”的问题321(1)()x x F x =⎰例、求下列导数32(2)()x x F x =⎰220(3)()()xF x tf x t dt =-⎰2例、求下列极限2221(1)lim(1)x t xx t e dt x -→∞+⎰求 2204()(2)lim,()(0)0,(0)2xx tf x t dtf x f f x→-'==⎰求连续，3例1(1)()()()sin f x f tx dt f x x x =+⎰求连续函数，使之满足1ln 1(2)()0()()1xt f x dt x f x f t x =>++⎰、设，其中，求 ()()3213()0(),1()8,()3f x f x xg x g t dt x f x >=-⎰（）设在可微。

其反函数为且求二、定积分计算的有关问题411(1)例、（常见形式积分）4(2)1cos 2xdx x π+⎰(3).2(4)(0)aa >⎰0(5)⎰0(6)a例2、（分段函数，绝对值函数）[(1)()b a xdx a b <⎰0,02(2)(),()(),2x l kx x f x x f t dt l c x l ⎧≤≤⎪⎪=Φ=⎨⎪≤≤⎪⎩⎰、设求10(3)t t x dt -⎰sin ,02(4).()(),(0)0(),()0,2xx x f t g x t dt x x f x x g x x ππ⎧≤<⎪⎪-≥≥==⎨⎪≥⎪⎩⎰其中当时，而例3（对称区间上积分）11(1)(1sin )()x x x e e dx --++⎰(1212(2)sin ln x x x dx -⎡⎢⎣⎰244sin (3)1x x dx e ππ--+⎰()4[]()()baf x dx f xg x +⎰例、形如的积分42(1)dx sin 2sin cos 0(2)xx x e dxe e π+⎰2(3),1()dxtgx πλ+⎰例5、（由三角有理式与其他初等函数通过四则成复合而成的函数的积分）22022001.(sin )(cos ))2.(sin )(sin )21331,24223.sin cos ,1342,1253n n f x dx f x dx xf x dx f x dxn n n n n xdx xdx n n n n n ππππππππ==--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-==⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 常用结论，为正偶自然数为大于的正奇数，2(sin )(1)(sin )(cos )f x dxf x f x π+⎰2π⎰101020sin cos (2)4sin cos x x dx x x π---⎰、2(3)ln sin xdx π⎰ 320sin (4)1cos x xdx x π+⎰2220sin (5),sin cos n n n n x x I dx n N x x π+=∈+⎰计算 640(6)sin cos x x xdxπ⎰[]2(7)(),,()()sin ,()1cos xf x f x f x xdx f x x ππππ--=++⎰设在上连续且满足求1210011(8)(1)x dx--⎰求0(9)n π⎰2sin (10)()sin ,().x t xF x e tdt F x A B C D π+=⎰则是（）正常数负常数恒为零不是常数例6 利用适当变量代换计算积分4(1)ln(1)tgx dx π+⎰120ln(1)(2)1x dx x ++⎰ 200(3)sin n x xdx π⎰20(4)(1)(1)dxx x α+∞++⎰求例7（其它）22(1)()[0,]()cos ()()2f x f x x x f t dt f x ππ=+⎰、设在上连续，且，求212(2)()()2()()f x x x f x dx f x dx f x =-+⎰⎰设，求120(3)()()arcsin(1),(01),()y y x y x x x y x dx '==-≤≤⎰设满足求22011(4)()(2)arctan ,(1)1,()2x f x tf x t dt x f f x dx -==⎰⎰、设连续，且满足求的值2200cos sin cos (5),,(2)1x x xdx A dx x x ππ=++⎰⎰已知：求220(6)()ln(12cos )(),()F a a x a dx F a F a π=-+-⎰设，求(2)(),()a xay a y f x edy f x dx --=⎰⎰(7)、设求1(8)(1)m n x x dx -⎰例8、计算下列广义积分（基本题）2(1),1dxx +∞-∞+⎰1(2),e 2ln (3),1xdx x+∞+⎰51(4)1(5)cos(ln ),x dx ⎰例9(1)0)pt te dt p p +∞->⎰（是常数，且2(2).(1)xx xe dx e +∞--+⎰例10、计算下列广义积分（广义积分变量代换例）3(1)23202ln(1)(2)(1)x x dx x +∞++⎰22200200.cos sin (1)(1)1sin sin (2),()2x x xdx A A dx x x x x dx dxx x π+∞+∞+∞+∞++=⎰⎰⎰⎰例11已知广义积分收敛于，试用表示广义积分的值已知求经典例题例1求21limn n→∞ ．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n∆=，然后把2111n n n =⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即21limn n →∞+ =1lim n n →∞+ =34=⎰．例20⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=2π．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则⎰=22tdt ππ-⎰=2tdt =2202cos tdt π⎰=2π例3 比较12x e dx ⎰，212x e dx ⎰，12(1)x dx +⎰．解法1在[1,2]上，有2x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．解法2 在[1,2]上，有2xx e e ≤．由泰勒中值定理212!xe e x x ξ=++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．例4 估计定积分22xxe dx -⎰的值．解设 2()xxf x e -=, 因为 2()(21)xxf x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12x =, 而 0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -≤≤∈,从而21224022xxee dx e --≤≤⎰,所以21024222x xe edx e ---≤≤-⎰.例5设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (ban g x →∞⎰．解由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则()b ag x dx (b ag x ≤⎰()bag x dx ≤．由于1n n =，故lim (ban g x →∞⎰=()bag x dx ⎰．例6求sin lim n pnn xdx x+→∞⎰, ,p n 为自然数．解法1 利用积分中值定理设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξξ+=⋅⎰, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xξξξ+→∞→∞=⋅=⎰．解法2 利用积分不等式因为sin sin 1ln n pn p n p nn n x x n pdx dx dx x x x n++++≤≤=⎰⎰⎰, 而limln0n n pn→∞+=,所以 sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰．例7求10lim 1nn x dx x→∞+⎰．解法1 由积分中值定理 ()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰可知101nx dx x +⎰=111n x dx ξ+⎰，01ξ≤≤．又11lim lim01n n n x dx n →∞→∞==+⎰且11121ξ≤≤+，故10lim 01n n x dx x→∞=+⎰．解法2 因为01x ≤≤，故有01nn x x x≤≤+．于是可得110001nn x dx x dx x ≤≤+⎰⎰．又由于110()1n x dx n n =→→∞+⎰．因此10lim 1nn x dx x→∞+⎰=0．例8设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3414()(0)f x dx f =⎰．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=．证明由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得3413(0)4()4()(1)()4f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中3[,1][0,1]4ξ∈⊂．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使得()0f c '=．证毕．例9（1）若22()x t x f x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解（1）()f x '=422x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例11函数1()(3(0)x F x dt x =>⎰的单调递减开区间为_________．解()3F x'=，令()0F x '<3>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．例12求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解()f x '(1)arctan x x -()f x '0得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例13已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中 2arcsin 0()x t g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．解由已知条件得20(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知(0)(0)1f g =''===．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n →∞→∞-'=⋅==-．例14 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；解22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x →-⋅-=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15试求正数a 与b，使等式201lim1sin x x x b x →=-⎰成立．解2001lim sin x x x b x →-⎰=20x →=20lim 1cos x x x b x →→-2011cos x x b x →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2011cos x x x →==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．例16设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x xg x x x →→⋅=+2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342xf x t t dt x x =-+=-+⎰ ，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x →→→-+-+===++．例17证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰．证法1 令()F x =()()2xxa a a x tf t dt f t dt +-⎰⎰，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--⎰=1()()22xax a f x f t dt --⎰≥1()()22x a x a f x f x dt --⎰=()()22x a x a f x f x ---0=．故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈．从而()F b =()()2bba a ab xf x dx f x dx +-⎰⎰0≥．证毕．证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22baa b a bx f x f dx ++--⎰0≥．即()()2baa b x f x dx +-⎰()()22b a a b a b x f dx ++≥-⎰=()()22b a a b a bf x dx ++-⎰=0．故()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰．例18计算21||x dx -⎰．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解21||x dx -⎰＝021()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x在0x =处间断且在被积区间内无界.例19 计算220max{,}x x dx ⎰．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩．解23212221201011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰例20设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．解（1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x = , 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．例22 计算21-⎰．由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解21-⎰=211--+⎰⎰．由于2是偶函数，而是奇函数，有10-=⎰, 于是21-⎰=214⎰=04⎰=1044dx-⎰⎰由定积分的几何意义可知4π=⎰, 故2114444dxππ-=-⋅=-⎰⎰．例23计算3412ee⎰．解3412ee⎰=34e3412ee⎰=⎰=3412ee=6π．例24计算4sin1sinxdxxπ+⎰．解4sin1sinxdxxπ+⎰=42sin(1sin)1sinx xdxxπ--⎰=244200sintancosxdx xdxxππ-⎰⎰=244200cos(sec1)cosd xx dxxππ---⎰⎰=44001[][tan]cosx xxππ--=24π-注此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25计算2a⎰，其中0a>．解2a⎰=20a⎰，令sinx a a t-=，则2a⎰=3222(1sin)cosa t tdtππ-+⎰=3222cos0a tdtπ+⎰=32aπ．注，一般令sin x a t =或cos x a t =．例26 计算a⎰，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则a⎰2cos sin cos tdt t tπ=+⎰201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t π++-=+⎰ 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tπ'+=++⎰ []201ln |sin cos |2t t t π=++=4π．解法2 令sin x a t =，则a⎰=2cos sin cos tdt t tπ+⎰．又令2t u π=-，则有20cos sin cos t dt t t π+⎰=20sin sin cos u du u u π+⎰．所以，a⎰22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t tt t ππ+++⎰⎰=2012dt π⎰=4π．注如果先计算不定积分，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27计算ln 0⎰．解设u =2ln(1)x u =+，221udx du u =+，则ln 0⎰=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰22222200442244u u du du u u +-=++⎰⎰ 222001284du du u =-=+⎰⎰4π-．例28 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续．分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解由于220()xtf x t dt -⎰=2221()2x f x t dt -⎰．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()xtf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰，故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x ⋅=2()xf x ．错误解答220()xd tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx π⎰．解30sin x xdx π⎰30(cos )xd x π=-⎰330[(cos )](cos )x x x dx ππ=⋅---⎰30cos 6xdx ππ=-+⎰6π=-．例30 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x+-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x -++-⎰11ln 2ln324=-．例31计算20sin x e xdx π⎰．解由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰，（1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰，（2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例32 计算10arcsin x xdx ⎰．解10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰ 21142π=-⎰．（1）令sin x t =，则21⎰220sin t π=⎰220sin cos cos ttdt tπ=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos 22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=．（2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π．例33设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．解由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰0()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-．例34（97研）设函数()f x 连续，1()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()limx f x A x→=（A 为常数），求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性．分析求()x ϕ'不能直接求，因为10()f xt dt ⎰中含有()x ϕ的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ϕ'，最后用函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性．解由0()limx f x A x→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0ϕ=．当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x =，则()()xf u du x xϕ=⎰，从而02()()()(0)xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰．又因为02()()(0)()limlimlim22xx x x f u du x f x A x xx ϕϕ→→→-===-⎰，即(0)ϕ'=2A．所以 ()x ϕ'=02()(),0,02x xf x f u du x x Ax ⎧-⎪≠⎪⎨⎪=⎪⎩⎰．由于22000()()()()lim ()limlim limxxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x ϕ→→→→-'==-⎰⎰=(0)2A ϕ'=．从而知()x ϕ'在0x =处连续．注这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出2()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰，而没有利用定义去求(0)ϕ'，就得到结论(0)ϕ'不存在或(0)ϕ'无定义，从而得出()x ϕ'在0x =处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x ϕ→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ϕ→→'+-''==又由0()limx f x A x→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现的0lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．例35（00研）设函数()f x 在[0,]π上连续，且()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰．试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =⎰，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，则有(0)0,()0F F π==．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx ππππ==+⎰⎰⎰()sin 0F x xdx π==⎰，由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得()sin F x xdx π⎰=()sin (0)F ξξπ⋅-．故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，使得12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．证法2 由已知条件0()0f x dx π=⎰及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f πξπ=-=⎰，1(0,)ξπ∈，则有1()0f ξ=．若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0()0f xd x π=⎰知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内异号，不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由()cos 0f x xdx π=⎰，0()0f x dx π=⎰，以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：100()(cos cos )f x x dx πξ=-⎰=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπξξξ-+-⎰⎰0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得 12()()0.f f ξξ==例36计算243dxx x +∞++⎰．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．例37计算3+∞⎰．解3+∞⎰2233sec tan sec tan d ππθθθθθ+∞=⎰⎰23cos 1d ππθθ==⎰ 例38计算42⎰分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32)⎰43⎰解由于32⎰32lim aa +→⎰32lim aa +→⎰=32lim[arcsin(3)]a a x +→-=2π．43⎰34lim bb -→⎰34lim bb -→⎰=34lim[arcsin(3)]b b x -→-=2π．所以42⎰22πππ=+=．例39计算0+∞⎰．分析此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点．解t ，则有+∞⎰＝50222(1)tdt t t +∞+⎰＝50222(1)dt t +∞+⎰，再令tan t θ=，于是可得5022(1)dt t +∞+⎰＝25022tan (tan 1)d πθθ+⎰＝2250sec sec d πθθθ⎰＝230sec d πθθ⎰ ＝320cos d πθθ⎰＝220(1sin )cos d πθθθ-⎰＝220(1sin )sin d πθθ-⎰＝3/21[sin sin ]3πθθ-＝23．例40计算21⎰．解由于221112111())d x x x +-==⎰⎰⎰，可令1t x x=-，则当x =时，t =；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有21010211()()12()d x d x x x x x--=+-⎰⎰⎰022dt t +∞-∞=++⎰⎰1arctan )2π=+ ．注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．分析若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．解选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为211(2)3A y y dy =-⎰=52．例42抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．解抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有图5－21S =222)2y dy -⎰=24488cos 3d ππθθ--⎰=423π+，218S A π=-=463π-，于是12S S =423463ππ+-=3292ππ+-．例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．分析心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3(,)23π±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d πππθθθθ++⎰⎰=54π． 3πθ=3cos ρθ=3211-o11-1cos θ+例44求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-⎰=44(1)4ln 46ln62ln 2c c-++-+．由于dA dc =2164c c-+=24(4)c c --，令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc<，而当4c >时0dAdc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为： 11ln 44y x =-+．例45求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为2y b =下半圆周的方程为1y b =图5－5则体积元素为dV =2221()y y dx ππ-=4π．于是所求旋转体的体积为V=4ab π-⎰=08b π⎰=284a b ππ⋅=222a b π．注可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46（03研）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ．分析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6计算，如图5－6所示．解（1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-．由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积10()12y eA e ey dy =-=-⎰．（2）切线1y x e =与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为2113V e π=，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰．因此，所求体积为212(5123)6V V V e e π=-=-+．例47有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为得等边三角形的面积为图5－7()A x 2=．于是所求体积为 V =2()A x dx ⎰=2⎰=．例48（03研）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米）分析本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解（1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以12211022x k k W kxdx x a ===⎰，2122222211()()22x x k kW kxdx x x x a ==-=-⎰．由21W rW =得22221x x ra -=，即 222(1)x r a =+，3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+⎰．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下3x =m ）．（2）问题是要求lim n n x →∞，为此先用归纳法证明：1n x +=．假设n x ，则12211()2n nx n n n x k W kxdx x x +++==-⎰2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++．由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而1n x +.于是1lim n n n x +→∞=．()m ．例49有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．解建立如图5－8所示的坐标系，选取x 为积分变量．则过点(0,3)A ，(10,1)B 的直线方程为135y x =-+．于是闸门上对应小区间[,]x x dx +的窄条所承受的水压力为2dF xy gdx ρ=．故闸门所受水压力为F =10012(3)5g x x dx ρ-+⎰=5003g ρ，其中ρ为水密度，g 为重力加速度．图5－8。

定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx

定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。

+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。

积分与定积分练习题及解析

积分与定积分练习题及解析1. 求定积分∫(2x+5)dx的值。

解析：根据定积分的定义，我们可以将被积函数展开进行计算：∫(2x+5)dx = ∫2xdx + ∫5dx对于∫2xdx，我们可以将2提取出来，得到：∫2xdx = 2∫xdx根据积分的基本公式，∫xdx = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。

将上述结果代入原积分中，得到：∫2xdx = 2((1/2)x^2 + C) = x^2 + 2C对于∫5dx，由于5是一个常数，我们可以将其视为∫5xdx，其中x为一个常数。

根据积分的基本公式，∫5xdx = 5x + C，其中C为常数。

将上述结果代入原积分中，得到：∫5dx = 5x + C综上所述，原定积分∫(2x+5)dx的值为：x^2 + 2C + 5x + C = x^2 + 5x + 3C2. 求定积分∫(3x^2-2x+4)dx的值。

解析：根据定积分的定义，我们可以将被积函数展开进行计算：∫(3x^2-2x+4)dx = ∫3x^2dx - ∫2xdx + ∫4dx对于∫3x^2dx，根据积分的基本公式，∫x^2dx = (1/3)x^3 + C，其中C 为常数。

将上述结果代入原积分中，得到：∫3x^2dx = 3((1/3)x^3 + C) = x^3 + 3C对于∫2xdx，根据积分的基本公式，∫xdx = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。

将上述结果代入原积分中，得到：∫2xdx = 2((1/2)x^2 + C) = x^2 + 2C对于∫4dx，由于4是一个常数，我们可以将其视为∫4xdx，其中x为一个常数。

根据积分的基本公式，∫4xdx = 4x + C，其中C为常数。

将上述结果代入原积分中，得到：∫4dx = 4x + C综上所述，原定积分∫(3x^2-2x+4)dx的值为：x^3 + 3C + x^2 + 2C + 4x + C = x^3 + x^2 + 4x + 6C在解题过程中，我们应用了积分的基本公式，将多项式拆分成各个单项式的积分，并根据常数的性质进行运算。

定积分典型例题及习题答案

04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这些点的近似值，然后将这些近似值进行求和，最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。

第五章定积分习题参考解答

习题5-1 定积分的概念1、利用定积分的几何意义，求下列积分： (1)dx x ⎰-21（2）dx x ⎰--3329解2、估计下列各积分的值：(1)()⎰+ππ4542sin 1dx x （2）⎰-022dx exx3、根据定积分的性质及教材中习题5-1第12题的结论，说明下列各对积分哪一个的值较大： (1)⎰21ln xdx 还是()⎰212ln dx x ？解（1）在区间{1，2}上,由于0ln 1x ≤≤,得()2ln ln x x ≥,因此21ln xdx ⎰比()221ln x dx ⎰大.(2)⎰1dx e x 还是()⎰+11dx x ？解由于当0x >时()ln 1x x +<，故此时有1xx e +<，因此10x e dx ⎰比()11+x dx ⎰大。

习题5-2 微积分基本公式1、求由参数表达式⎰=t udu x 0sin ，⎰=tudu y 0cos 所确定的函数对x 的导数dxdy.2、求由+⎰y t dt e 00cos 0=⎰x tdt 所确定的隐函数对x 的导数dxdy.3、计算下列各导数:(1) ⎰+2021x dt t dx d ; (2) ()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π. 解（1）原式=2；（2）原式=()()()()cos sin 222200cos cos sin cos cos cos cos sin x x d t dt t dt x x x x dx ππππ⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()222sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x x x x ππππ=---=-4、计算下列定积分: (1)⎰-1024x dx; (2)⎰-+++012241133dx x x x ; 解（1）110arcsin 26x π⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰（2）42000232211133113arctan 1114x x dx x dx x x x x π---++⎛⎫⎡⎤=+=+=+ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎰⎰ (3)⎰42tan πθθd ; (4)⎰π20sin dx x ;解 (3) ()[]2244400tan sec 1tan 14d d ππππθθθθθθ=-=-=-⎰⎰(4)()[][]22200sin sin sin cos cos 4x dx xdx x dx x x πππππππ=+-=-+=⎰⎰⎰(5)⎰20)(dx x f ,其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=.1,21,1,1)(2x x x x x f 解()11232122010018()12263x x f x dx x dx x dx x ⎡⎤⎛⎫=++=++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰5、求下列极限: ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xt xt x dt te dt e 0220022lim .解()222222220020020222limlimlimlim21x x xt x t t x xxx x x x t e dtee dte dtexxe te dt→→→→====⎰⎰⎰⎰6、设⎩⎨⎧∈∈=].2,1[,),1,0[,)(2x x x x x f 求=Φ)(x ⎰x dt t f 0)(在]2,0[上的表达式,并讨论)(x Φ在)2,0(内的连续性.习题5-3 定积分的换元法和分部积分法 1、计算下列各定积分:(1)⎰262ππdu u ； (2))0(0222>-⎰a dx x a x a；解（1）()2222666111cos 1cos2sin 222268udu u du u u πππππππ⎡⎤=+=+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰（2）()()4sin 2422220sin cos sin 228x a ua a xa u udu u d u ππ===⎰⎰⎰44422242001sin sin 8442216t ua a a tdt tdt a ππππ====⋅⋅=⎰⎰ 另解()sin 422422220sin cos sin 1sin x a ua xa u udu au u du ===-⎰⎰⎰ππ441312242216a a ⎛⎫=⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭πππ。

定积分习题及讲解

定积分习题及讲解第四部分定积分[选择题]容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。

1．积分中值定理⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ,其中( ）。

(A ） ξ是],[b a 内任一点；（B ）。

ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C ）. ξ是],[b a 内唯一的某一点；（D ）。

ξ是],[b a 的中点.答B2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x，其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续,则=c （）。

（A).0=c ; (B)。

1=c ; (C ）.c 不存在；（D)。

1-=c . 答A3．a dx x x I an nn (,1sin lim ⎰=+∞→为常数）由积分中值定理得⎰=+a n n a dx xx ξξ1sin 1sin ,则=I （）。

(A ）aa a a an 1sin1sinlim 1sinlim 2==→∞→ξξξξξ；定积分习题及讲解（B ）。

01sinlim 0=→ξξa ；(C)。

a a =∞→ξξξ1sinlim ;(D ）.∞=∞→ξξξ1sinlim a .答C4．设)(x f 在],[b a 连续，⎰=x a dt t f x )()(ϕ，则( ）。

(A).)(x ϕ是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B)。

)(x f 是)(x ϕ的一个原函数； (C). )(x ϕ是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D)。

)(x f 是)(x ϕ在],[b a 上唯一的原函数.答A5．设0)(=⎰b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ).(A).0)(≡x f ;(B ）。

必存在x 使0)(=x f ;（C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D ）。

不一定存在点x 使 0)(=x f 。

定积分典型例题精讲

定积分典型例题例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++ ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n D =，然后把2111n n n =×的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n ®¥+++ =333112lim ()n n n n n n ®¥+++ =13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp--ò=2221sin cos t tdt p-ò=222cos tdt pò=2p例3 比较12x e dx ò，212x e dx ò，12(1)x dx +ò．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2x x e e £．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e ¢=-．当0x >时，()0f x ¢>，()f x 在(0,)+¥上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又．又1221()()f x dx f x dx =-òò，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>òòò．解法2 在[1,2]上，有2x x e e £．由泰勒中值定理212!x e e x x x =++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-òò．因此．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>òòò．例4 估计定积分22xxe dx -ò的值．的值．分析要估计定积分的值要估计定积分的值要估计定积分的值, , , 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解设 2()xxf x e -=, , 因为因为因为 2()(21)xxf x ex -¢=-, , 令令()0f x ¢=，求得驻点12x =, , 而而0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -££Î,从而从而2122422xxee dx e --££ò,所以所以21024222x xe edx e ---££-ò.例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ³，()0f x >．求lim ()()bn a n n g x f x dx ®¥ò．解由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ³，则，则()bnamg x dx ò()()b n a g x f x dx £ò()bn aM g x dx £ò．由于lim lim 1n nn nm M ®¥®¥==，故，故 lim ()()bn an g x f x dx ®¥ò=()bag x dx ò．例6求sin lim n pnn x dx x+®¥ò, ,p n 为自然数．为自然数．分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．用积分中值定理与夹逼准则．解法1 利用积分中值定理利用积分中值定理设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得由积分中值定理得sin sin n p n x dx p x xx +=×ò, [,]n n p x Î+, 当n ®¥时, x ®¥, 而sin 1x £, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xx xx +®¥®¥=×=ò．解法2 利用积分不等式利用积分不等式因为因为sin sin 1ln n pn p n p nn n xx n p dx dx dx x x x n++++££=òòò, 而limln0n n pn®¥+=,所以所以dxxxò34ò34（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例11 函数11()(3)(0)x F x dt x t=->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例12 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而x(,0)-¥ 0 (0,1)1(1,)+¥()f x ¢- 0＋－3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例14 求 220sin lim(sin )x x xtdtt t t dt®-òò；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )xx x tdtt t t dt®-òò=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)limsin x x x®-×=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数a 与b，使等式2201lim1sin xx t dt x b x a t ®=-+ò成立．成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+ 201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由2012lim 11cos x x x a a®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例16 设sin 20()sin x f x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小． D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x xg x x x ®®×=+ 22cos sin(sin )lim lim 34xxxx xx®®=×+22011lim 33x x x ®==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342xf x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x ®®®-+-+===++．例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有上连续且单调增加，则有()b a xf x dx ò()2b aa b f x dx +³ò．证法1 令()F x =()()2x xaaa x tf t dt f t dt +-òò，当[,]t a x Î时，()()f t f x £，则，则()F x ¢=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--ò=1()()22x a x af x f t dt --ò³1()()22xa x a f x f x dt --ò=()()22x a x a f x f x ---0=．故()F x 单调增加．即单调增加．即 ()()F x F a ³，又()0F a =，所以()0F x ³，其中[,]x a b Î．从而从而()F b =()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-òò0³．证毕．．证毕．证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0³，从而，从而 ()[()()]22b a a b a bx f x f dx ++--ò0³．即()()2b a a b x f x dx +-ò()()22b a a b a b x f dx ++³-ò=()()22b a a b a b f x dx ++-ò=0．故()baxf x dx ò()2baa b f x dx +³ò．例18 计算21||x dx -ò．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例19 计算220max{,}x x dx ò．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数被积函数在积分区间上实际是分段函数被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ì<£=í££î．解 232122212010011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=òòò 例20 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()ba f x d x ò是常数（,ab 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ì£<=í-££î，0()()xF x f t dt =ò，02x ££，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．的连续性．分析由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论．也要分段讨论．解（1）求()F x 的表达式．的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x Î时，[0,][0,1]x Ì, 因此因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====òò．当(1,2]x Î时，[0,][0,1][1,]x x = , 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-òò=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ì£<ï=í-+-££ïî． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++®®=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --®®==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．上连续．错误解答（1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x Î时，时，23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====òò．当[1,2]x Î时，有时，有()()x F x f t dt ==ò(52)x t dt -ò=25x x -．故由上可知故由上可知32, 01()5,12x x F x x x x ì£<ï=í-££ïî． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于处，由于211lim ()lim(5)4x x F x x x ++®®=-=, 311lim ()lim 1x x F x x --®®==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．上不连续．错解分析上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因）中的解法是错误的，因为当[1,2]x Î时，0()()xF x f t dt =ò中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，11()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt ==+òòò才正确．才正确．例22 计算2112211x xdx x -++-ò．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 2112211x x dx x -++-ò=211112221111x x dx dx x x --++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是2112211x x dx x -++-ò=2102411x dx x+-ò=22120(11)4x x dx x --ò=11200441dx x dx --òò 由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例23 计算3412ln (1ln )e edx x x x -ò．分析被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分．，考虑凑微分．解 3412ln (1ln )e edx x x x -ò=34(ln )ln (1ln )e ed x x x -ò=34122(ln )ln 1(ln )e e d x x x -ò=341222(ln )1(ln )e e d x x -ò=3412[2arcsin(ln )]e e x =6p．例24 计算400sin 1sin xdx x p+ò．解 40s i n 1s i n x dx xp +ò=420sin (1sin )1sin x x dx x p --ò=244200sin tan cos x dx xdx x p p-òò=24420cos (sec 1)cos d x x dx xpp---òò =44001[][tan ]cos x x x p p--=224p -+．注此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25 计算2202ax ax x dx -ò，其中0a >．解 2202a x ax x dx -ò=2220()ax a x a dx --ò，令sin x a a t -=，则，则2202ax ax x dx -ò=3222(1sin )cosat tdt pp -+ò=3222cos 0atdt p+ò=32a p．注若定积分中的被积函数含有22a x -，一般令sin x a t =或cos x a t =．例26 计算022adx x a x+-ò，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则，则22adx x a x +-ò20cos sin cos tdt t tp=+ò201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t p++-=+ò201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tp ¢+=++ò []201ln |sin cos |2t t t p =++=4p ．解法2 令sin x a t =，则，则22adxx a x +-ò=2cos sin cos tdt t t p+ò．又令2t u p=-，则有，则有2cos sin cos t dt t t p+ò=20sin sin cos udu u up+ò．所以，所以，22adx x a x +-ò=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t t t p p +++òò=2012dt pò=4p ．注如果先计算不定积分22dxx a x+-ò，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解莱布尼兹公式求解,,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 513x x xe e dx e -+ò．分析分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解设1xu e =-，2ln(1)x u =+，221u dx du u =+，则，则 ln 513x x x e e dx e -+ò=22220(1)241u u u du u u +×=++ò22222200442244u u du du u u +-=++òò 222001284du du u =-=+òò4p -．例28 计算220()xd tf x t dt dx-ò，其中()f x 连续．连续．分析要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以220()xtf x t dt -ò=201()()2x f u du -ò=201()2x f u du ò，故22()xd tf x t dt dx -ò=21[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答220()xd tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx pò．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解3sin x xdx pò30(cos )xd x p=-ò33[(cos )](cos )x x x dx p p=×---ò30cos 6xdx pp=-+ò326p=-．例30 计算120ln(1)(3)x dx x +-ò．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò11ln 2ln324=-．例31 计算20sin x e xdx pò．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin x e xdx pò20sin x xde p =ò2200[sin ]cos x x e x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（（1）而2cos xe xdx pò20cos x xde p=ò220[cos ](sin )xx e x e x dx p p=-×-ò20sin 1xe xdx p=-ò，（（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]x e e xdx pp=--ò,故2sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例32 计算1arcsin x xdx ò．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò．（1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t t p=-ò220sin cos cos ttdt t p=×ò220sin tdt p=ò201cos 22tdt p-==ò20sin 2[]24tt p-4p=．（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例33 设()f x 在[0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于[()()]cos f x f x xdx p¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x pp¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp ¢¢¢=-++òò ()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例3434（（97研）设函数()f x 连续，连续，10()()x f xt dt j =ò，且0()limxf x A x®=（A 为常数），求()x j ¢并讨论()x j ¢在0x =处的连续性．处的连续性．分析求()x j ¢不能直接求，因为10()f xt dt ò中含有()x j 的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x j ¢，最后用函数连续的定义来判定()x j ¢在0x =处的连续性．处的连续性．解由0()lim x f x A x®=知0lim ()0x f x ®=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0j =．当0x ¹时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x=，则，则()()xf u du x xj =ò，从而从而2()()()(0)xxf x f u dux x xj -¢=¹ò．又因为02()()(0)()limlimlim 022xx x xf u du x f x A x x x j j ®®®-===-ò，即(0)j ¢=2A．所以．所以()x j ¢=02()(),0,02xxf x f u du x x Ax ì-ï¹ïíï=ïîò．由于由于022000()()()()lim ()limlim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x j ®®®®-¢==-òò=(0)2A j ¢=．从而知()x j ¢在0x =处连续．处连续．注这是一道综合考查定积分换元法、这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、对积分上限函数求导、对积分上限函数求导、按定义求导数、按定义求导数、按定义求导数、讨论函数讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出）直接求出02()()()xxf x f u du x xj -¢=ò，而没有利用定义去求(0)j ¢，就得到结论(0)j ¢不存在或(0)j ¢无定义，从而得出()x j ¢在0x =处不连续的结论．处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x j ®¢时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致00()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x j ®®¢+-¢¢== 又由0()limx f x A x®=用洛必达法则得到0lim ()x f x ®¢=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．的邻域内可导．但题设中仅有但题设中仅有()f x 连续的条件，连续的条件，因此上面出现因此上面出现的0lim ()x f x ®¢是否存在是不能确定的．是否存在是不能确定的．例3535（（00研）设函数()f x 在[0,]p 上连续，且上连续，且()0f x dx p=ò，()cos 0f x xdx p=ò．试证在(0,)p 内至少存在两个不同的点12,x x 使得12()()0f f x x ==．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =ò，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F p ==，0x =，x p =为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，另一种方法是利用函数的单调性，另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明用反证法证明()f x 在(0,)p 之间存在两个零点．之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x p =££ò，则有(0)0,()0F F p ==．又．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx pppp ==+òòò 0()sin 0F x xdx p==ò，由积分中值定理知，必有(0,)x p Î，使得，使得()sin F x xdx pò=()sin (0)F x x p ×-．故()sin 0F x x =．又当(0,),sin 0x p x Î¹，故必有()0F x =．于是在区间[0,],[,]x x p 上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)x x Î，2(,)x x p Î，使得使得12()()0F F x x ¢¢==，即12()()0f f x x ==．证法2 由已知条件0()0f x dx p=ò及积分中值定理知必有及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f px p =-=ò，1(0,)x p Î，则有1()0f x =．若在(0,)p 内，()0f x =仅有一个根1x x =，由0()0f x dx p=ò知()f x 在1(0,)x 与1(,)x p 内异号，不妨设在1(0,)x 内()0f x >，在1(,)x p 内()0f x <，由，由()cos 0f x xdx p=ò，()0f x dx p=ò，以及cos x 在[0,]p 内单调减，可知：内单调减，可知： 100()(cos cos )f x x dx px =-ò=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx xpx x x -+-òò0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2x ，12x x ¹且2(0,)x p Î使得使得12()()0.f f x x ==例36 计算2043dxx x +¥++ò．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+=ln 32．例37 计算322(1)2dx x x x+¥--ò．解322(1)2dx x x x+¥--ò223223sec tan 1sec sec tan (1)(1)1dxx d x x p pq qqq q q+¥=-=---òò233cos 12d pp q q ==-ò．例38 计算42(2)(4)dx x x --ò．分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32(2)(4)dxx x --ò和43(2)(4)dx x x --ò均收敛时，原反常积分才是收敛的．均收敛时，原反常积分才是收敛的．解由于由于32(2)(4)dx x x --ò=32lim (2)(4)aa dx x x +®--ò=322(3)lim 1(3)aa d x x +®---ò=32lim[arcsin(3)]a a x +®-=2p．43(2)(4)dx x x --ò=34lim (2)(4)bb dx x x -®--ò=324(3)lim 1(3)bb d x x -®---ò=34lim[arcsin(3)]b b x -®-=2p ．所以所以 42(2)(4)dx x x --ò22ppp =+=．例39 计算05(1)dx x x +¥+ò．分析此题为混合型反常积分，积分上限为+¥，下限0为被积函数的瑕点．解令x t =，则有，则有5(1)dx x x +¥+ò＝5222(1)tdt t t +¥+ò＝50222(1)dt t +¥+òò，再令tan t q =，于是可得，于是可得 522(1)dtt +¥+ò＝25022tan (tan 1)d pq q +ò＝2250sec sec d p q q qò＝230sec d pq q ò ＝320cos d p q q ò＝220(1sin )cos d pq q q -ò＝220(1sin )sin d pq q -ò＝3/201[sin sin ]3p q q -＝23．例40 计算214211x dx x-++ò．解由于由于221114222222111()11112()d x xx x dx dx xx x x x ---+-+==+++-òòò，可令1t x x=-，则当2x =-时，22t =-；当0x -®时，t ®+¥；当0x +®时，t ®-¥；当1x =时，0t =；故有；故有2114222211()()11112()2()d x d x x x x dx xx x xx----+=+++-+-òòò02222()22d t dtt t +¥--¥=+++òò 21(arctan )22p =+ ．注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．图形的面积．分析若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．此做法留给读者去完成．下面选取以下面选取以y 为积分变量．变量．解选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y Î，则面积元素为素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为于是所求面积为211(2)3A y y dy =-ò=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．两部分面积之比．解抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有，则有图5－21S =2222(8)2y y dy ---ò=24488cos 3d pp q q --ò=423p +，218S A p =-=463p -，于是，于是12S S =423463p p +-=3292p p +-． 2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-2x y =1y =3y x =o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-例43 求心形线1cos r q =+与圆3cos r q =所围公共部分的面积．部分的面积．分析心形线1cos r q =+与圆3cos r q =的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．可．解求得心形线1cos r q =+与圆3cos r q =的交点为(,)r q =3(,)23p±，由图形的对称性得心形线1cos r q =+与圆3cos r q =所围公共部分的面积为所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d ppp q q q q ++òò=54p ．例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-ò=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c-++-+．由于由于dA dc =2164c c -+=24(4)c c--，令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc <，而当4c >时0dAdc>．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+．例45 求圆域222()x y b a +-£（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．成的立体的体积．解如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为下半圆周的方程为221y b a x =--．图5－5则体积元素为则体积元素为(0,)b o()(0)x y b a b a +-=>>xy1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c 3p q =3cos r q=3211-xoy121-1cos r q=+dV =2221()y y dx p p -=224b a x dx p -．于是所求旋转体的体积为．于是所求旋转体的体积为V =224aa ba x dx p --ò=2208ab a x dx p -ò=284a b p p ×=222a b p ．注可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．为积分变量，请读者自行完成．例4646（（03研）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ．分析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6计算，如图5－6所示．所示．解（1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-．由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积的面积1()12y e A e ey dy =-=-ò．（2）切线1y x e=与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为旋转所得的旋转体积为2113V e p =，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e p p =-=-+-ò．因此，所求体积为因此，所求体积为212(5123)6V V V e e p =-=-+．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．其体积．解选x 为积分变量且[0,2]x Î．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x ，得等边三角形的面积为得等边三角形的面积为图5－7()A x =23(22)4x =23x ．于是所求体积为于是所求体积为 V =2()A x dx ò=223xdx ò=43．xyzo22y x=2x =ln y x=ln y x=yxo12311y xe=例4848（（03研）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米）表示长度单位米）分析本题属于变力作功问题，可用定积分来求．本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解（1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以，所以 12211022x k k W kxdx x a ===ò，2122222211()()22x x k kW kxdx x x x a ==-=-ò．由21W rW =得22221x x ra -=，即，即 222(1)x r a =+， 3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+ò．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下231x a r r =++（m ）．（2）问题是要求lim n n x ®¥，为此先用归纳法证明：11n n x a r r +=+++ ．假设11n n x r r a -=+++ ，则，则12211()2n nx n n nx k Wkxdx x x +++==-ò2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++．由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而从而11n n x r r a +=+++ . 于是111lim lim 11n n n n r a x a r r++®¥®¥-==--．1r -1 5x-=5003roxyx dx+x(0,3)A(10,1)B。

专题17：定积分求值(解析版)

专题17：定积分求值（解析版）1．定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 3.曲边图形面积：()()0,baf x S f x dx ≥=⎰；()()0,ba f x S f x dx <=-⎰在x 轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰4．定积分的性质性质1 ⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰性质3 ()()()()b c baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）5.定理函数()F x 是[,]a b 上()f x 的一个原函数，即()()f x F x '=则()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰一、单选题1．函数()2xf x x e =+在[]01，上的定积分为（） A ．e +2 B ．e +1 C ．e D ．e -1【答案】C 【分析】根据微积分基本定理进行计算可得结果. 【详解】1(2)xx edx +⎰212200()(1)(0)11x x e e e e e =+=+-+=+-=,故选：C2．曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积是（）A ．0B ．2C ．4D ．π【答案】C 【分析】根据积分的几何意义化为求20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰可得结果.【详解】曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos x xπππ=-+(cos cos0)cos 2cos πππ=--+-(11)1(1)=---+-- 4=.故选：C 【点睛】结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x 与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所围成的平面图形的面积为[]21()()baS f x f x dx =-⎰.3．()324xdx +=⎰ （）A ．9B ．12C ．21D ．25【答案】C 【分析】直接利用定积分的运算求解. 【详解】()332333001114434304021333|⎛⎫+=+=⨯+⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭⎰x dx x x 故选:C 【点睛】本题主要考查定积分的计算，属于基础题.4．计算2cos xdx π⎰的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．π【答案】C 【分析】利用微积分基本定理即可得答案. 【详解】220cos =sin x |=sin-sin 0=12xdx πππ⎰,故选：C 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题.5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C 【解析】试题分析：由三角形面积为12，312022|33xdx x ==⎰，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为11616P ==考点：定积分及几何概型概率6．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（）A ．()221xdx -⎰B ．()221xdx -⎰C ．221x dx -⎰D ．()()12220111xdx x dx ---⎰⎰【答案】C 【分析】微积分基本定理的几何意义可得答案. 【详解】由微积分基本定理的几何意义可得图中阴影部分的面积为122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰220|1|x dx =-⎰.故选：C 【点睛】本题考查了微积分基本定理的几何意义，属于基础题. 7．如图，阴影部分的面积是（）A ．3B ．23C ．323D ．353【答案】C 【分析】运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积. 【详解】设阴影部分的面积为S，则12321323311132 [(3)2](3)(31)[3(3)(3)(3)]3333 S x x dx x x x--=--=--=---⨯--⨯---=⎰.选C【点睛】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.8．224x dx-⎰　＝（）A．πB．2πC．3πD．4π【答案】A【分析】利用定积分的几何意义即可求解．【详解】令24y x=-14圆的面积，故所求定积分的值为2124ππ⨯⨯=【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题．二、填空题9．()121x dx-+=⎰__________.【答案】23【分析】直接利用微积分的基本定理求解. 【详解】()11230012133|xdx x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰，故答案为：2310．正弦函数sin y x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与x 轴所围成曲边梯形的面积为______. 【答案】12【分析】由题意可知，30sin S xdx π=⎰，再根据定积分的运算法则求解即可．【详解】解：33001sin cos |cos cos 032S xdx x πππ⎛⎫==-=--= ⎪⎝⎭⎰．故答案为：12．【点睛】本题考查定积分在求不规则图形面积上的应用，熟练掌握定积分的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．11．11edx x⎰2-+⎰＝________.【答案】21π+ 【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案. 【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为2-⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以2-⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x⎰2224x dx -+-⎰＝12π+.故答案为：21π+. 【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.12．设2101()cos 0x x f x x x ⎧⎪-≤≤=⎨<⎪⎩，，，则12()f x dx π-=⎰________.【答案】14π+ 【解析】【分析】由题意得，112022()cos 1f x dx xdx x dx ππ--=+-⎰⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，可得1201x dx -⎰表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求2cos xdx π-⎰，最后相加即可得到结果. 【详解】由题意得，112022()cos 1f x dx xdx x dx ππ--=+-⎰⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，1201x dx -⎰表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故14π=，又022cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ--==--=⎰，所以10022()cos 14f x dx xdx πππ--=+=+⎰⎰.所以本题答案为14π+. 【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.三、解答题13．计算下列定积分：（1）502d x x ⎰；（2）120(2)d x x x -⎰；（3）220(42)(4)d x x x --⎰；（4）22123d x x x x+-⎰．【答案】（1）25；（2）23-；（3）403；（4）73ln 22- 【分析】(1)直接得出其原函数计算定积分可得答案； (2)直接得出其原函数计算定积分可得答案；(3)将积分中的括号展开，可求得其原函数，进而计算定积分可得答案； (4)将积分中分式整理为32x x+-，求出其原函数计算定积分可得答案. 【详解】（1）52500225025x dx x==-=⎰．（2）()11122312100000112221333x x dx x dx x dx x x -=-=-=-=-⎰⎰⎰．（3）()()()222232342000414042416842164323x xdx x xx dx x x x x ⎛⎫--=--+=--+= ⎪⎝⎭⎰⎰．（4）2222211123317223ln 3ln222x x dx x dx x x x x x +-⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．【点睛】本题主要考查的是定积分的简单计算，题型较为简单，在平时的学习中应熟练掌握. 14．（1）求曲线3231y x x =-+在(2,3)-处的切线方程；（2）计算定积分221x e x dx -⎰.【答案】（1）3y =-；（2）273e e --．【分析】（1）求导后根据导数的几何意义求解即可；（2）直接根据定积分的定义求解．【详解】解：（1）∵3231y x x =-+， ∴236y x x '=-， ∴212120x y ==-='， ∴切线平行于x 轴，∴曲线3231y x x =-+在点(2,3)-处的切线方程为3y =-；（2）22231113x x e x dx e x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰22817333e e e e ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查导数的几何意义与定积分的求法，属于基础题．15．求由抛物线243y x x =-+-与它在点A （0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。

习题课十一定积分的计算(解答)

1 2
1 2
1 sin3 3
x
1
2 1
2
1
2
1 1 (椭圆的一半面积) 2
2 sin3 3
1
24
4.
设
f
(
x)
1, x1
1 ex 1,
x0
，求
2
f ( x 1)dx .
0
x0
解：2 f ( x 1)dx令x 1 t 0
1
f (t)dt
1
01
1
et
dt 1
11 dt
0 t1
令x tan t
6
sec2 tdt
0 (2 tan2 t 1)sec t
6
costdt
0 2sin2t cos2t
6
dsint
0 1sin2t
arctan(sint
)
6
arctan1
0
2
7
3.
1 2
[cos
x(ln 1
x
sin2
x)
1 4x2 ]dx
1 2
1 x
1
1
2 cos x sin2 xdx 2 1 4x2 dx （对称区间奇函数性质）
t
ln(1 et )
0 1
+ln(1+t )
1 0
1
ln(1
e1 )+ln2
8
三、解答题
1.设 f ( x)
x2 et2 dt ，求
1
xf ( x)dx.
1
0
2. 已知 f (0) 1, f (2) 3, f (2) 5，求 1 xf (2 x)dx 。 0

定积分例题

定积分例题“定积分”是数学中非常重要的概念，它有着极强的实用价值。

定积分关于求解复杂函数的积分问题具有重要的意义，因此研究它所背后的科学原理是十分有必要的。

此外，理解定积分的知识点也是有可能出现在考试中的数学科目重要的一部分。

本章将以几道定积分的例题来讲解它的性质和原理。

（一）例题1：计算下列定积分：∫0πsin xdx解：该定积分是典型的定积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,π]，因此可以根据定积分的定义来求解，即∫0πsin xdx =cosπ+cos0=cosπ（二）例题2：计算下列定积分：∫2π^2cos^4x dx解：该定积分是一类特殊的定积分，具体来说，它是多项式函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[2,π^2]，因此可以用定积分的定义来求解，即∫2π^2cos^4x dx = 1/5 [cos^5(2π^2)cos^5(2)]（三）例题3：计算下列定积分：∫lnxsinx dx解：该定积分是单变量函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,+∞]，结合高斯积分公式，可以求解，即∫lnxsinx dx =[ln(tanx)+lnx+x]/2（四）例题4：计算下列定积分：∫atanxdx解：该定积分是多项式函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,+∞]，因此可以根据定积分的定义来求解，即∫atanxdx = xatanx1/2 ln(x^2+1)第二章积分的性质和原理（一）定积分的性质1．定积分的性质：在某一区间上连续可导的函数的积分，称为定积分2．定积分的计算公式：定积分的一般计算公式如下：∫f(x)dx=F(b)F(a)，其中F(x)表示原函数f(x)的积分，a, b为积分区间。

3．定积分的应用：定积分可以用来求解复杂函数的积分问题，例如求解积分在一定区间的定积分，求解不可导的函数的积分等。

此外，定积分也可以用来解决一些几何上的问题，例如求得曲线的面积，求得曲线两端点之间的距离等。

习题详解-第6章定积分

习题6-11．利用定积分的几何意义求定积分：(1)12xdx ⎰；(2)⎰(0)a >．解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 102xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以121xdx =⎰．(2) 根据定积分的几何意义知,⎰表示由曲线0,y x x a ===及x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014a a =⎰π.2．根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1)12x dx ⎰与13x dx ⎰； (2)1xe dx ⎰与1(1)x dx +⎰．解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰．(2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1xe x ≥+，所以110(1)x e dx x dx >+⎰⎰.3．估计下列各积分值的范围：(1)421(1)x dx +⎰；(2) arctan xdx ；(3)2ax aedx --⎰（0a >)； (4)22x xe dx -⎰．解 (1) 在区间[]1,4上，函数2()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d xx -≤+≤-⎰,即 4216(1)51x dx ≤+≤⎰．(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93xdx =≤≤=ππ即2arctan 93xdx ≤≤ππ．(3) 令2()x f x e -=,则2()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，2()()a f a f a e -=-=,a >0时, 21a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值2e a m -=,所以2222aa x aa dx a ---≤≤⎰e e .(4) 令2()x xf x e-=,则2()(21)xxf x x e -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 212242xxee dx e --≤≤⎰．习题6-21．求下列导数：(1)0d dx ⎰; (2) 5ln 2x t d t e dt dx -⎰； (3) cos 20cos()x d t dt dx π⎰; (4)sin x d t dt dx t π⎰ (0x >)．解 (1)d dx =⎰ (2) 55ln 2x t xd te dt x e dx --=⎰. (3)cos 222cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dx πππ'=⋅=-⎰. (4) sin sin sin x x d t d t xdt dt dx t dx t xππ=-=-⎰⎰.2．求下列极限：(1) 02arctan limxx tdt x →⎰； (2)()22220e lime xt xx t dt t dt→⎰⎰．解 (1) ()022000021arctan arctan arctan 11(1)lim limlim lim 222x xx x x x tdt tdt x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰．(2) ()()22222222222000020000220022lim lim lim lim xxx x t t t x tx x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dtte dt →→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰e []2222202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe x xe →→→'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰． 3．求由方程e cos 0yxt dt tdt +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数．解方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-，又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=，即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-． 4．计算下列定积分：(1)1⎰； (2)221d x x x --⎰；(3) 设,0,2()sin ,2x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤;⎪⎩ ，求0()f x dx π⎰(4)⎰．解 (1)4321121433x ==⎰.(2)21222221101()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(3) ()2222022()sin 1cos 82xf x dx xdx xdx x ππππππππ=+=+=+-⎰⎰⎰(4)32322(2)(2)xdx x dx x dx =-=-+-⎰⎰⎰⎰232202115(2)(2)222x x x x =-+-=．5．设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()0f x '≤,1()()xaF x f t dt x a =-⎰；证明：在(),a b 内有()0F x '≤．证明 22111()()()()()()()()xx aa F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a ⎡⎤'=-+=--⎢⎥⎣⎦---⎰⎰[][][]21()()()(),(,,)()x a f x x a f a x a b x a ξξ=---∈∈- (),((,)(,))x f x a b x aξηηξ-'=∈∈-．由已知条件可知结论成立．习题 6-31．计算下列积分：(1) 3sin()x dx πππ+3⎰； (2) 32(115)dx x 1-+⎰；(3)1-⎰； (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰；(5)22cos udu ππ6⎰；(6)2e 1⎰(7)1；(8)；(9)ln 3ln 2e e x xdx --⎰； (10) 3222dxx x +-⎰．解 (1)333sin()sin()()[cos()]x dx x d x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+=. (2) 123322211(511)151(511)(115)5(511)10512dx d x x x x 11---+==-=+++⎰⎰. (3)1111(54)14x --=--==⎰⎰.(4)23342200011sin cos cos cos cos 44d d πππϕϕϕϕϕϕ=-==-⎰⎰.(5) 222221cos 211cos cos 2(2)224u udu du du ud u ππππππππ6666+==+⎰⎰⎰⎰2611sin 226264u πππππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ (6)222111)e e ===⎰⎰. (7) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当1x =时，4t π=；当x =3t π=；于是332144cos 1sin sin t dt t tππππ==-=⎰． (8)令x t =,则dx tdt =,当0x =时，0t =；当x =,2t π=；于是2222012cos (1cos 2)(sin 2)22tdt t dt t t ππππ==+==+⎰⎰．(9) 令xe t =，则1ln ,d x t x dt t==，当ln 2x =时，2t =;；当ln 3x =时,3t =；于是3ln3332ln 22221113111(ln ln )12222111x x dx dt t dt e e t t t t --⎛⎫====- ⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰． (10)333222211111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++⎰⎰1211(ln ln )ln 2ln 53543=-=- 2．计算下列定积分： (1)10e xx dx -⎰； (2)e1ln x xdx ⎰；(3)41⎰； (4) 324sin xdx xππ⎰； (5) 220e cos x xdx π⎰； (6) 221log x xdx ⎰；(7)π2(sin )x x dx ⎰； (8) e1sin(ln )x dx ⎰．解 (1)1111000x x x xxe dx xde xe e dx ----=-=-+⎰⎰⎰1110121x e ee e e e----=--=--+=-．(2) 2222211111111111ln ln ln (1)222244e e e e ex xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+⎰⎰⎰．(3) 444111112ln 28ln 2dx x dx x ==-=-⎰⎰⎰8ln 24=-．(4)333324444cot cot cot sin xdx xd x x x xdx x ππππππππ=-=-+⎰⎰⎰34π131ln ln sin 4224xπππ⎛=+=+ ⎝．(5)22222222cos sin sin 2sin x x xx e xdx e d x e xe xdx ππππ==-⎰⎰⎰22222202cos 2cos 4cos x xx e e d x e e xe xdx πππππ=+=+-⎰⎰220e 24cos x e xdx ππ=--⎰于是221cos (2)5xe xdx e ππ=-⎰． (6) ()2222222111122221111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 133(4ln 2)22ln 224ln 2=-=-． (7) 223200001111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x ππππ=-=-⎰⎰⎰ 33200011(sin 22sin2)cos26464x x x xdx xd x πππππ=--=-⎰⎰ 3001(cos 2cos2)64x x xdx πππ=--⎰ 3301sin 264864x πππππ=-+=-． (8)111sin(ln )sin(ln )cos(ln )eeex dx x x x dx =-⎰⎰11sin1cos(ln )sin(ln )eee x x x dx =--⎰1sin1cos11sin(ln )ee e x dx =-+-⎰所以11sin(ln )(sin1cos11)2ex dx e e =-+⎰． 3．利用被积函数的奇偶性计算下列积分：(1)11ln(x dx -⎰ ；（2）1212sin 1xdx x -++⎰(3)222(x dx -+⎰; (4)4224cos d θθππ-⎰．解 (1)ln(x 是奇函数，11ln(0x dx -∴=⎰．(2) 2sin 1xx +是奇函数，121sin 01x dx x -∴=+⎰，因此 111221112sin 22arctan 11x dx dx x x x π---+===++⎰⎰． (3)2222222((42416x dx dx dx ---=+==⎰⎰⎰．(4) ()244222022201cos 24cos 8cos 82212cos 2cos231384222d d d d θθθθθθθθθππππππ-π+⎛⎫== ⎪⎝⎭=++=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰．4．证明下列等式： (1) 证明：1100(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰；(2) 证明：1122111xx dx dx x x =++⎰⎰ (0x >)； (3) 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．证 (1)令1x t -=，则dx dt =-，当0x =时，1t =；当1x =时，0t =；于是1111(1)(1)()(1)(1)m nm nnmn m x x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-⎰⎰⎰⎰，即11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰．(2) 令1x t=则21dx dt t -=，于是11111112222211211111111111t xx t t dx dt t dt dx x tt x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰d ，即 1122111xx dx dx x x =++⎰⎰． (3) 因为()()()a TT a Taaf x dx f x dx f x dx ++=+⎰⎰⎰，而()()()a Taaaf x dx x t T f t T dt f t dt +=++=⎰⎰⎰令()()()aT Taf x dx f x dx f x dx ==-⎰⎰⎰故()()a TT af x dx f x dx +=⎰⎰．4．若()f t 是连续函数且为奇函数，证明0()xf t dt ⎰是偶函数；若()f t 是连续函数且为偶函数，证明()xf t dt ⎰是奇函数．证令0()()xF x f t dt =⎰．若()f t 为奇函数，则()()f t f t -=-，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--==⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是偶函数．若()f t 为偶函数，则()()f t f t -=，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是奇函数．5．利用分部积分公式证明：()()()()d xxuf u x u du f x x du -=⎰⎰⎰．证令0()()uF u f x dx =⎰则()()F u f u '=,则(())()()()xu x xxf x dx du F u du uF u uF u du '==-⎰⎰⎰⎰()()()()xx xxF x uf u du x f x dx uf u du =-=-⎰⎰⎰()()()()xxxxx f u du uf u du xf u du uf u du =-=-⎰⎰⎰⎰()()xx u f u du =-⎰．习题6-41．求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =-； (2) x y e =与0x =及y e =； (3) 24y x =-与0y =； (4) 2y x =与y x =及2y x =；(5) 1y x=与y x =及2x =； (6) 2y x =与2y x =-； (7) ,x x y e y e -==与1x =；(8) sin (0)2y x x π=≤≤与0,1x y ==．解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-，取x 为积分变量，[]1,1x ∈-，面积元素22(2)dA x x dx =--，于是所求的面积为112311182(1)2()33A x dx x x --=-=-=⎰．(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e ， x y e =与0x =的交点为(0,1)，取y 为积分变量，[]1,y e ∈，面积元素ln dA ydy =；于是所求面积为111ln (ln )1eee A ydy ydy y y y ===-=⎰⎰．(3)曲线24y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-，取x 为积分变量，[]2,2x ∈-，面积元素2(4)dA x dx =-，于是所求的面积为222322132(4)(4)33A x dx x x --=-=-=⎰． (4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1)；2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4)；它们所围图形面积为：121222011(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-⎰⎰⎰⎰2231201117()236x x x =+-=．(5) 曲线1y x =与y x =的交点为(1,1)，1y x =与2x =的交点为1(2,)2；取x 积分变量，[]1,2x ∈，面积元素1()dA x dx x=-，于是所求的面积为22211113()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-⎰．(6) 曲线2y x =与2y x =-的交点为()()114,2-，和，取y 作积分变量，[]1,2y ∈-，面积元素2(2)dA y y dy =+-，于是所求的面积为2222311117(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=⎰．(7) 曲线x y e =与x y e -=的交点(0,1)，取x 作积分变量,[]0,1x ∈，面积元素()x x dA e e dx -=-，于是所求图形的面积为1)()2x x x x A e e dx e e e e--=-=+=+-⎰101(．(8)取x 作积分变量，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，面积元素(1sin )dA x dx =-，于是所求的面积为 220(1sin )(cos )12A x dx x x πππ=-=+=-⎰．2．求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：(1) 1,4,0y x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴； (4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．解 (1)取x 作积分变量，[]1,4x ∈，体积元素2dV dx xdx ππ==，于是所求旋转体的体积为442111522V xdx x πππ===⎰． (2)绕x 轴旋转时，取x 作积分变量，[]0,2x ∈，体积元素32()x dV x dx π=，于是2267012877x V x dx x πππ===⎰；同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积858223003642(4)55y V dy y y πππ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰．(3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1)，取y 作积分变量[]0,1y ∈，体积元素222()dV y dy π⎡⎤=-⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1142500113()()2510V y y dx y y πππ=-=-=⎰． (4) 取y 作积分变量[]1,1y ∈-，体积元素22(5(520dV dy π⎡⎤=-=⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1212020102V πππ-==⋅=⎰．3．设某企业边际成本是产量Q （单位）的函数0.2()2QC Q e '=（万元／单位），其固定成本为090C =（万元），求总成本函数．解总成本函数为0.200()()290Q QQ C Q C Q dQ C e dQ '=+=+⎰⎰0.20.2010901080QQ Q e e =+=+．4．设某产品的边际收益是产量Q （单位）的函数()152R Q Q '=-（元／单位），试求总收益函数与需求函数．解总收益函数为20()(152)15QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰需求函数为()15R Q P Q Q==-． 5．已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数()25,0f t t t =+≥，问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．第二个5月的总产量为10102102555()(25)(5)100Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．6．某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q '=(设固定成本为零)，总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q '=-．问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又多生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=,2.5Q =(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为2.5 2.52.50()225C C Q dQ dQ Q'====⎰⎰2.52.52.520()(72)(7)11.25R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元．(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26C C Q dQ dQ '===⎰⎰，总收入3323000()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰，总利润为1266L R C =-=-=(万元)．减少了6.2560.25-=万元．即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元．习题 6-51．判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41dxx+∞⎰； (2)1+∞⎰； (3) 0xe dx +∞-⎰(a ＞0); (4)sin xdx +∞⎰;(5)1-⎰； (6)222dxx x +∞-∞++⎰；(7)21⎰； (8)10ln x xdx ⎰；(9)e1⎰； (10)23(1)dxx -⎰．解 (1)14311133dx x x +∞+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(2)1+∞==+∞⎰．此反常积分发散． (3) 11x xe dx e +∞--+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(4) 00sin cos lim cos 1x xdx xx +∞+∞→+∞=-=-+⎰不存在，此反常积分发散．(5)111arcsin x π--==⎰．此反常积分收敛．(6)22(1)arctan(1)22(1)1dxd x x x x x π+∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰．此反常积分收敛．(7)23222110012lim lim (1)3x εεεε+++→→+⎡==-+⎢⎣⎰⎰320222lim 22333εε+→⎛==-- ⎝．此反常积分收敛． (8)11122221000111111ln limln lim ln lim ln 222424x xdx xdx x x xdx εεεεεεεεε→→→⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，所以11220001111ln lim ln lim (ln )4244x xdx x xdx εεεεεε++→→==--=-⎰⎰．此反常积分收敛．(9)111πarcsin(ln )2eeex ===⎰⎰．此反常积分收敛． (10)21233301(1)(1)(1)dx dx dxx x x =+---⎰⎰⎰，因为反常积分1132001(1)(1)dx x x ==∞--⎰发散，所以反常积分230(1)dxx -⎰发散． 2．当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 解当1k =时，++222ln ln(ln )ln ln dxd x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11kk kk k dx x k x d x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-===⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以，当1k >时，此广义积分收敛；当1k ≤时，此广义积分发散． 3．利用递推公式计算反常积分+0e n x n I x dx ∞-=⎰．解 ++110n x n xn x n n I x de x e n x e dx nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰,因为 +101x x xI xde xe e ∞---+∞+∞=-=--=⎰,所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= .复习题6（A ）1、求下列积分：（1）121tan sin 1xdx x -+⎰；（2）⎰；（3）2x⎰；（4）ln 0⎰；（5）21220(1)x dx x +⎰；（6）1⎰；（7）120x x e dx -⎰； (8)21(ln )ex dx ⎰；(9) 401cos 2xdx xπ+⎰； (10) 20cos x e xdx π-⎰；(11) 20sin 1cos x xdx xπ++⎰； (12) 40ln(1tan )x dx π+⎰．解 (1) 因为被积函数2tan sin 1x x +是奇函数,所以121tan 0sin 1xdx x -=+⎰．(2)=⎰⎰，令1sin x t -=，则cos dx tdt =；当0x =时，2t π=-；当1x =时，0t =；所以022221cos 2sin 2cos 2244t t t tdt dt ππππ---+⎡⎤===+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． (3) 令2sin x t =，则2cos dx tdt =，当0x =时，0t =；当2x =时，2t π=；所以222222204sin 4cos 4sin 22(1cos 4)xt tdt tdt t dt πππ=⋅==-⎰⎰⎰⎰2012(sin 4)4t t ππ=-=． (4)t =，则221tdx dt t =+，当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =；所以2ln 11200022(arctan )2(1)14t dt t t t π==-=-+⎰⎰． (5) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当0x =时，0t =；当1x =时，4t π=；所以22412442240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t ππππ-===-=-+⎰⎰⎰．(6) 令sec x t =，则sec tan dx t tdt =，当1x =时，0t =；当2x =时，3t π=；所以223330100tan sec tan tan (tan )sec 3t dx t tdt tdt t t x t ππππ===-=⎰⎰⎰． (7)111112221000022xxx x x x e dx x dex exe dx e xde ------=-=-+=--⎰⎰⎰⎰1111110223225x x x e xe e dx e e e ------=--+=--=-⎰．(8)22111111(ln )ln 2ln 2ln 22ee e e ex dx x x x x dx e x x dx e x=-⋅=-+=-⎰⎰⎰．(9) 44440000tan tan tan 1cos 2x dx xd x x x xdx x ππππ==-+⎰⎰⎰ 401ln cos ln 2442x πππ=+=-． (10)2222cos cos cos sin xxxx e xdx xdee x e xdx ππππ----=-=--⎰⎰⎰2220001sin 1sin cos xxx xdee x e xdx πππ---=+=+-⎰⎰221cos x ee xdx ππ--=+-⎰，所以 2201cos (1)2xe xdx e ππ--=+⎰．(11)22222000002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos2x x x x x d x dx dx dx xd x x x x πππππ+=+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰2220002200tan tan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x ππππππ=--+=--+⎰20ln 22ln cos222x πππ=++=． (12) 4444000cos sin ln(1tan )ln ln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx xππππ++==+-⎰⎰⎰⎰令4x u π-=，可得0440041ln(cos sin )ln cos()(ln 2ln cos )42x x dx x dx u du ππππ⎤+=-=-+⎥⎦⎰⎰⎰40ln 2ln cos 8xdx ππ=+⎰所以40ln 2ln(1tan )8x dx ππ+=⎰．2、设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()b af a b x dx +-⎰．解令a b x t +-=，则dx dt =-，当x a =时，t b =；当x b =时，t a =；所以()()()1bababaf a b x dx f t dt f t dt +-=-==⎰⎰⎰．3、设()f x 为连续函数，试证明：()()(())xx tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰．证用分部积分法，(())()(())xxt tx tf u du dt t f u du td f u du =-⎰⎰⎰⎰⎰()()()()xx x xx f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰⎰()()xf t x t dx =-⎰．4、设()u ϕ为连续函数，试证明：220()2()aa ax dx x dx ϕϕ-=⎰⎰．证2220()()()aaaax dx x dx x dx ϕϕϕ--=+⎰⎰⎰，令x t =-，则0022220()(())()()a aaax dx t dt t dt x dx ϕϕϕϕ-=--==⎰⎰⎰⎰所以022220()()()2()aa aaax dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕ--=+=⎰⎰⎰⎰．5、计算下列反常积分：（1）2048dxx x +∞++⎰；（2）21arctan x dx x+∞⎰；（3）1⎰；（4）1e ⎰ 解 (1)222000(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x π+∞+∞+∞++===++++⎰⎰． (2)221111arctan 1arctan 1arctan (1)x x dx xd dx x x x x x +∞+∞+∞+∞=-=-++⎰⎰⎰ 22111lnln 242142xx ππ+∞=+=++.(3)1110022π⎡===⎣⎰⎰．(4)112ee ===⎰⎰． 6、求抛物线22y px =及其在点(,)2pp 处的法线所围成的平面图形的面积．解抛物线22y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32x y p +=，两曲线的交点为9(,3),(,)22pp p p -；取y 作积分变量3p y p -≤≤，所求的平面图形面积为 2232333131116()()222263ppp pA p y y dy py y y p p p --=--=--=⎰． 7、求由曲线32y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．解曲线32y x =与直线4x =的交点为(4,8)，取y 作积分变量，08y ≤≤，体积元素2232434()(16)dy y dy y dy ππ⎡⎤=-=-⎣⎦于是，所求的旋转体的体积为8847003512(16)(16)77V y dy y y πππ=-=-=⎰．8、设某产品的边际成本为()2C Q Q '=-（万元/台），其中Q 代表产量，固定成本022C ==（万元），边际收益()204R Q Q '=-（万元/台）．试求： (1) 总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量；(3) 从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化．解 (1)总成本函数2001()(2)2222Q C Q Q dQ C Q Q =-+=-+⎰，总收益函数20()(204)202QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰．(2)利润函数23()()()18222L Q R Q C Q Q Q =-=--，令()0L Q '=,得6Q =(台)，而(6)30L ''=-<，所以当产量6Q =(台)时，利润最大．(3)(10)(6)83224L L -=-=-，所以从最大利润时的产量又生产了4台，总利润减少了24（万元）．(B) 1、填空题：(1)202cos x d x t dt dx=⎰ . (2) 设()f x 连续，220()()x F x xf t dt =⎰，则()F x '= .(3) 20sin()xd x t dt dx -=⎰ . (4) 设()f x 连续，则220()xd tf x t dt dx -=⎰ . (5) 设20cos ()1sin xt f x dt t=+⎰,则220()1()f x dx f x π'=+⎰ . (6) 设()f x 连续，且1()2()f x x f x dx =+⎰，,则()f x = .(7) 设()f x 连续，且()1cos xtf x t dt x -=-⎰,则20()f x dx π=⎰ .(8)2ln e dxx x +∞=⎰ .解 (1) 2220002224cos (cos )cos (cos )2x x x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx==+-⋅⎰⎰⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.(2) 2222200()(())()()2x x d F x x f t dt f t dt x f x x dx '==+⋅⋅⎰⎰ 22220()2()x f t dt x f x =+⎰.(3) 令x t u -=,则02220sin()sin ()sin xxxx t dt u du u du -=-=⎰⎰⎰所以22200sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx -==⎰⎰. (4)令22x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---⎰⎰220011()()22x x f u du f u du =-=⎰⎰．所以2222001()()()2x x d d tf x t dt f u du xf x dx dx -=⋅=⎰⎰． (5)22200()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2f x dx f x f f f x πππ'==-+⎰，而02222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4t t f dt f dt t t t ππππ=====++⎰⎰，所以220()arctan1()4f x dx f x ππ'=+⎰(6) 等式1()2()f x x f x dx =+⎰两边在区间[]0,1积分得1111001()2()2()2f x dx xdx f x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰11()2f x dx =-⎰，所以 ()1f x x =-．(7)令x t u -=，则du dt =-，于是00()()()xxtf x t dt x u f u du -=-⎰⎰原等式化为 0()()1cos xxx f u du uf u du x -=-⎰⎰两边对x 求导()sin xf u du x =⎰在上式中，令2x π=，得()1xf x dx =⎰．(8)22ln 11ln ln ln ee edx d x x x x x +∞+∞+∞==-=⎰⎰ 2、计算下列积分：(1) 120ln(1)(2)x dx x +-⎰； (2)3142(1)x x dx -⎰；(3)31(2)f x dx -⎰，其中21()x x f x e-⎧+=⎨⎩0x x ≤>； (4)()f x dx π⎰，其中0sin ()xtf x dt tπ=-⎰．解 (1) 111120000ln(1)1ln(1)ln(1)(2)22(1)(2)x x dxdx x d x x x x x ++=+=----+-⎰⎰⎰ 1100111111ln 2()ln 2ln ln 2312323x dx x x x +=--=-=+--⎰. (2) 令2sin x t =，则331144242222200001111cos 2(1)(1)cos ()2222t x x dx x dx tdt dt ππ+-=-==⎰⎰⎰⎰220011cos 41313(12cos 2)(sin 2sin 4)8282832t t dt t t t πππ+=++=++=⎰． (3) 令2x t -=，则dx dt =，当1x =时，1t =-；当3x =时，1t =；于是3101111(2)()()()f x dx f t dt f x dx f x dx ---==+⎰⎰⎰⎰12171(1)3x x dx e dx e--=++=-⎰⎰. (4) 由题设有sin ()xf x xπ'=-，用分部积分法得 00000sin sin ()()()t x f x dx xf x xf x dx dt x dx tx ππππππππ'=-=---⎰⎰⎰⎰ 000sin sin sin ()x x xdx x dx x dx x x xππππππππ=-=----⎰⎰⎰ 0sin 2xdx π==⎰．3、设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰．解等式两边在区间[]0,1上积分得11113200001()()1f x dx dx f x dx x dx x =+⋅+⎰⎰⎰⎰11100011arctan ()()444x f x dx f x dx π=+=+⎰⎰解得1()3f x dx π=⎰．4、求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．解令222()(1)22(1)(1)0x x f x x e x x x x e --'=-⋅=--+=，得函数()f x 的驻点：1,0,1-；当1x <-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =，在1x =±处取得极大值：11(1)(1)t f t e dt e-±=-=⎰． 5、设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰．解用分部积分法得221211122220011001sin 1sin 1sin ()2222x x t t x xf x dx dt dx x dt x xdx t t x ⎡⎤⎡⎤==-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰112220011cos11sin cos 222x dx x -=-==⎰．6、求曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积．解抛物线(1)(2)y x x =--的顶点坐标为31(,)24-，左、右半支方程分别为：11()(32x y =-和21()(32x y =+；取y 作积分变量，104y -≤≤；体积元素为2221(())(())3dV x y x y dy π⎡⎤=-=⎣⎦，因此所求的旋转体的体积为0302114433(14)(14)422V y y πππ--==+=+=⎰⎰．７、设2()()()xax x t f t dt Φ=-⎰，证明：()2()()xax x t f t dt 'Φ=-⎰．证 2222()(2)()()2()()xxx xaaaax x xt t f t dt xf t dt x tf t dt t f t dt Φ=-+=-+⎰⎰⎰⎰，所以()22()()2()()xx xaaax xf t dt x tf t dt t f t dt ''Φ=-+⎰⎰⎰222()()2()2()()xxa ax f t dt x f x tf t dt x xf x x f x =+--⋅+⎰⎰2()2()2()()xx xaaaxf t dt tf t dt x t f t dt =-=-⎰⎰⎰．8、设连续函数()f x 满足(2)2()f x f x =，证明：2110()7()xf x dx xf x dx =⎰⎰．证 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰，令2x t =，则21110000()2(2)(2)42()8()xf x dx tf t d t t f t dt xf x dx ==⋅=⎰⎰⎰⎰，所以 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰ 111000()8()7()xf x dx xf x dx xf x dx =-+=⎰⎰⎰．。

定积分典型例题20例解答

定积分典型例题20例答案例1 求3321lim)n n n →∞+．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n=⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即3321lim)n n n →∞+=31lim )n n n n →∞+=34=⎰．例2 0⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=2π．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则⎰=22tdt ππ-⎰=2tdt =2202cos tdt π⎰=2π 例3 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解（1）()f x '=422x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5函数1()(3(0)x F x dt x =>⎰的单调递减开区间为_________．解()3F x '=()0F x '<3>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知(0)(0)1f g =''===．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-．例8 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x→-⋅-=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9 试求正数a 与b，使等式201lim1sin x x x b x →=-⎰成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解2001lim sin x x x b x →-⎰=20x →=20lim 1cos x x x b x →→-2011cos x x b x →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2011cos x x x →=-，得4a =．即4a =，1b =为所求．例10 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim()34x x f x x xg x x x →→⋅=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++．例11 计算21||x dx -⎰．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例12 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ⎰是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a+=，即132a a +=，从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例13 计算21-⎰．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 21-⎰=211--+⎰⎰2是偶函数，而是奇函数，有10-=⎰, 于是21-⎰=214⎰=04⎰=1044dx -⎰⎰由定积分的几何意义可知4π=⎰, 故2114444dx ππ-=-⋅=-⎰⎰．例14 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续．分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解由于220()xtf x t dt -⎰=2221()2x f x t dt-⎰．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰，故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x⋅=2()xf x ．错误解答220()xd tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例15 计算30sin x xdx π⎰．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30sin x xdx π⎰30(cos )xd x π=-⎰330[(cos )](cos )x x x dx ππ=⋅---⎰30cos 6xdx ππ=-+⎰6π=-．例16 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx π⎰．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰，（1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰，（2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例18 计算1arcsin x xdx ⎰．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21142π=-⎰．（1）令sin x t =，则21⎰22sin t π=⎰220sin cos cos ttdt t π=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=．（2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π．例19设()f x [0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-．例20 计算2043dxx x +∞++⎰．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．。

定积分(辅导班、习题课)

例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一．变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式；
二．视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。
三．用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1

定积分习题及讲解

定积分练习题

考研定积分经典例题（完美讲析）

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