伯努利方程的讨论

对伯努利方程的一些讨论〔摘要〕伯努利方程是能量方程,推导过程有多种途径,本文从动力学角度根据功能原理推导伯努利方程,只研究理想流体在作定常流动时伯努利方程的推导过程,并讨论在不同条件下方程中各项的物理意义,然后讨论了伯努利方程中“动压强”的意义以及“动压强”和“静压强”的关系。

最后列举了伯努利方程在生产生活中的应用.〔关键词〕动力学;功能原理;伯努利方程，动压强一、引言流体力学是探索自然规律的基本学科,是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系,以及引起运动的原因和流体对周围物体的影响.而伯努利方程是研究流体最基本最常用的基本规律之一,为灵活掌握并更好的运用,需了解它的推导过程及相关项的物理意义.二、伯努利方程的历史由来1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。

为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。

伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。

丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根，由于受到家庭的影响，从小对自然科学的各个领域有着极大兴趣。

1716～1717年在巴塞尔大学学医；1718～1719年在海德堡大学学习哲学；1719～1720年又在斯特拉斯堡大学学习伦理学，此后专攻数学；1721年他获得了医学大学学位；1725～1732年丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院工作，并担任数学教师；1733～1750年他担任了巴塞尔大学的解剖学、植物学教授；1750年丹尼尔又任物理学教授和哲学教授，同年被选为英国皇家学会会员；1782年3月17日逝世于巴塞尔，终年82岁。

丹尼尔是伯努利家庭中成就最大的科学家。

他在数学和物理学等多方面都做出了卓越的贡献，仅在1725年到1749年间就曾10次获得法国科学院年度资助，还被聘为圣彼得堡科学院的名誉院士。

在数学方面，丹尼尔的研究涉及代数、概率论、微积分、级数理论、微分方程等多学科的内容，取得了重大成就。

在物理学方面，丹尼尔所取得的成功是惊人的。

其中对流体力学和气体动力学的研究尤为突出。

1738年出版的《流体力学》一书是他的代表著作。

书中根据能量守恒定律解决了流体的流动理论，提出了著名的伯努利定理，这是流体力学的重要基本定理之一。

丹尼尔在气体动力学方面的贡献，主要是用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力的由来。

他认为，由于大量气体分子的高速规则运动造成了对器壁的压力，压缩气体产生较大的作用力是由于气体分子数增多，并且相互碰撞更加频繁所致。

丹尼尔将级数理论运用于有关力学方面的研究之中，这对于力学发展具有重要的意义。

三、推导伯努利方程1．流体流动特点理想流体重力场中、在截面不均匀的非水平流管中作稳定流动.如图1所示流体在流管中流动,在流场中任取一细流管,并截取一段流体AB作为研究对象.设在A点流体的压强、流速、高度、截面分别为P1、V1、h1、S1;在B点流体的压强、流速、高度、截面分别为P2、V2、h2、S2.2．导出方程t时刻外力对流体的压力作用在A点:F1= P1S1(F1与v1方向相同);B点:F2= P2S2(F2与v2方向相反).在△t时间内流体位移在A 点:AA′= v1△t ;B点:BB′= v2△t.2.1流体从AB移到A′B′时两力所作的总功W= F1AA′-F2BB′= P1S1V1△t-P2S2V2△t= P1(S1V1△t)-P2(S2V2△t)上式中S1V1△t和S2V2△t分别等于流管中AA′段和BB′段的流体体积,因为是理想流体作稳定流动,所以这两段流体的体积相等,用△U表示,上式可以写成W = P1△U- P2△U2.2流体从AB移到A′B′时的机械能增量在流动过程中A′B段流体的运动状态没有改变,其机械能的增量只反映在AA′和BB′两段流体上。

设A A′段流体的机械能为E1,BB′段流体的机械能为E2,根据连续性方程知,AA′和BB′两段流体的质量相等,设为m,机械能的增量用△E表示,则:△E = E2- E1= (1/2mv22+ mgh2)-(1/2mv12+ mgh1)2.3根据功能原理由A =△E可得:P1△U- P2△U = (1/2mv22+ mgh2)-(1/2mv12+ mgh1)P1△U1+ mgh1+1/2mv12= P2△U2+ mgh2+1/2mv22以△U除各项得:P1+1/2ρv12+ρgh1= P2+1/2ρv22+ρgh22.4伯努利方程P+1/2ρv2+ρgh =常量该方程是伯努利方程的一般形式,式中的三项都具有压强的量纲.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压强,ρgh和P相与流速无关,常称为静压强.四、伯努利方程中各项在不同条件下的物理意义1.伯努利方程适用的条件伯努利方程适用于恒定流动不可压缩液体，质量力只有重力，在重力场中作稳定流动,且在同一条流线上.2.一般条件下伯努利方程在各项的意义P +1/2ρv2+ρgh =常量该方程说明理想流体在流管中作稳定流动时,单位体积的动能1/2ρv2、重力势能ρgh、该点的压强P之和为一个常量.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压强,ρgh和P相与流速无关,常称为静压强.3.单位重量流体中伯努利方程各项的物理意义ρg =mg/v 表示单位体积的重力,以ρg除各项得:p/ρg+v2/2g+ h =常量该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能.其中p/ρg 表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能,也就是压力对单位体积重量流体所做的功, v2/2g表示单位重量流体所具有的动能,h就是流场中该点的高度.由于v2/2g +p/ρg+ h =常数,定理中每一项都具有长度的量纲.所以p/ρg表示所考察点的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某一高度的能力.4.单位质量流体中伯努利方程p/ρ项的物理意义以ρ除各项得:p/ρ+1/2v2+ gh =常量该方程中:p/ρ项表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力或弹性势能,从能量的角度讨论p/ρ项也可理解为单位质量流体相对于p =0状态所蕴涵的能量.5.通过以上的分析推导可以看出伯努利方程是能量方程式,尽管分析问题所用的动力学原理不同,但导出方程的意义是完全相同的,说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、势能和动能三种形式的能量,在适合限定条件的情况下,流场中的三种能量都可以相互转换,但其总和却保持不变,这三种能量统称为机械能.由此可见:伯努利方程在本质上是机械能的转换与守恒.五、伯努利方程中“动压强”的讨论1.水平流管，在伯努利方程的应用中我们知道，对于水平流管，管子截面小处的压强小，流速大;截面大处压大，流速小。

如图(2)，假如流管的粗处b的截面相对于细处a或c可近似地认为无限大，那么粗处的流速相对子细处来说可近似地认为是零。

即液体在细处的动能在粗处全部转化成了压强图2考虑小流块沿水平管流动的情况。

因理想流体没有粘滞性，周围流体作用在流块上的外力不是耗散力。

小流块沿着流管途经各处时，不受切向力的作用，流管外面的流体对小流块的作用与小流块的表面垂直，且与其运动方向垂直而不作功。

只有流管内部，小流块前后的流体施加的外力才对小流块作功。

小流块在到达a处前受外力作用具有速度v。

，在aa’段，小流块速度不变，前后所受到的力大小相等，方向相反。

从a’开始在a’b段，小流块速度渐减，到达b时速度趋于零，前后所受到的力不一样大，前面的阻力大，后面的推力小，前后之力不能相抵，小流块为克服阻力，消耗动能到达b时，动能将消耗殆尽。

从a’到b再到c’处时，尽管流管内部前后流体对其所做的功属于变力做功，但这些功的代数和仅由小流块所在始末边位置处的压强所决定，与流管在空间的具体路径无关。

可见，水平流管中，小流块流速的变化反映了各处压强的变化。

小流块的动能在速度变小时转化成了所经之处的压强。

当压强逐渐变小时，小流块获得加速度，速度变大，动能增加。

若aa’和cc’两处流管截面积相同，则两处流速、压强都相同。

因此，在理想流体，稳定流动过程中，流体处于动态平稳状态，亦即流管中各处压强的变化是由流速的变化引起的，水平管中流速相同各处的压强相等。

所以外力具有保守力性质，“动压强”的提出具有实际意义。

2.小孔流速和比托管在伯努利方程的应用一节中，同时还提到小孔流速和比托管。

如图（3）和图（4）图3图4 对小孔流速是假设容器的容积和截面都很大，而小孔很小。

因此容器的液面的下降速度很小，可近似地看为零。

由伯努利方程，可求出小孔B处的速度:v BV B=gh2其中h=h A-h B这说明，小孔流出的液体的速度，等于液体微团由液面自由落下到小孔处获得的速度。

对于比托管有h=V B2/2g即V B=gh2其中h=h A-h B。

说明两管的高度差h是流管中的流动速度由v B变为O 形成时。

用小孔流速形成的解释:有h的高度差就可产生v B的速度，反过来说，有v B数值的流速，即可产生h高度的液柱。

从流动静力学可知，静止流体内两点高度相同，压强相等;高度相差h，压强相压pgh。

静压强P和pgh是相通的，“动压强”和“静压强”间又是可相互转化的。

这样把P、pgh、1/2ρv2都用P的单位统一起来，就过渡到了流体静力学，对同一流管来说，它各处的总压强是不变的，分压强间随着流管截面和高度的变化而相互转化。

其实这不过是流体动力学的一种特殊情况。

因为在假设理想流体、定常流体的时候，就已经付予了流动系统的保守性。

因而P、pgh、1/2ρv2之间的转化就象流体静力学一样简单、明了。

六、一些伯努利效应的科学解释1.船吸现象1912年秋天，“奥林匹克”号正在大海上航行，在距离这艘当时世界上最大远洋轮的100米处，有一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号正在向前疾驶，两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向前方．忽然，正在疾驶中的“豪克”号好像被大船吸引似地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向“奥林匹克”号闯去．最后，“豪克”号的船头撞在“奥林匹克”号的船舷上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故．究竟是什么原因造成了这次意外的船祸？在当时，谁也说不上来，据说海事法庭在处理这件奇案时，也只得糊里糊涂地判处船长制度不当呢！后来，人们才算明白了，这次海面上的飞来横祸，是伯努利原理的现象．我们知道，根据流体力学的伯努利原理，流体的压强与它的流速有关，流速越大，压强越小；反之亦然．用这个原理来审视这次事故，就不难找出事故的原因了．原来，当两艘船平行着向前航行时，在两艘船中间的水比外侧的水流得快，中间水对两船内侧的压强，也就比外侧对两船外侧的压强要小．于是，在外侧水的压力作用下，两船渐渐靠近，最后相撞．又由于“豪克”号较小，在同样大小压力的作用下，它向两船中间靠拢时速度要快的多，因此，造成了“豪克”号撞击“奥林匹克”号的事故．现在航海上把这种现象称为“船吸现象”．鉴于这类海难事故不断发生，而且轮船和军舰越造越大，一旦发生撞船事故，它们的危害性也越大，因此，世界海事组织对这种情况下航海规则都作了严格的规定，它们包括两船同向行驶时，彼此必须保持多大的间隔，在通过狭窄地段时，小船与大船彼此应作怎样的规避，等等．同样道理，当刮风时，屋面上的空气流动得很快，等于风速，而屋面下的空气几乎是不流动的．根据伯努利原理，这时屋面下空气的压力大于屋面上的气压．要是风越刮越大，则屋面上下的压力差也越来越大．一旦风速超过一定程度，这个压力差就“哗”的一下掀起屋顶的茅草，使其七零八落地随风飘扬．正如我国唐朝著名诗人杜甫《茅屋为秋风所破歌》所说的那样：“八月秋高风怒号，卷我屋上三重茅．”2. ＂香蕉球＂的奥秘如果你经常观看足球比赛的话，一定见过罚前场直接任意球．这时候，通常是防守方五六个球员在球门前组成一道“人墙”，挡住进球路线．进攻方的主罚队员，起脚一记劲射，球绕过了“人墙”，眼看要偏离球门飞出，却又沿弧线拐过弯来直入球门，让守门员措手不及，眼睁睁地看着球进了大门．这就是颇为神奇的“香蕉球”．为什么足球会在空中沿弧线飞行呢？原来，罚“香蕉球”的时候，运动员并不是拔脚踢中足球的中心，而是稍稍偏向一侧，同时用脚背摩擦足球，使球在空气中前进的同时还不断地旋转．这时，一方面空气迎着球向后流动，另一方面，由于空气与球之间的摩擦，球周围的空气又会被带着一起旋转．这样，球一侧空气的流动速度加快，而另一侧空气的流动速度减慢．物理知识告诉我们：气体的流速越大，压强越小（伯努利方程）．由于足球两侧空气的流动速度不一样，它们对足球所产生的压强也不一样，于是，足球在空气压力的作用下，被迫向空气流速大的一侧转弯了．乒乓球中，运动员在削球或拉弧圈球时，球的线路会改变，道理与“香蕉球”一样．七、伯努利方程的应用应用举例1.为何乒乓球掉不下来为何纸向中间靠拢呢？应用举例2.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。