伯努利方程的讨论

对伯努利方程的一些讨论

〔摘要〕伯努利方程是能量方程,推导过程有多种途径,本文从动力学角度根据功能原理推导伯努利方程,只研究理想流体在作定常流动时伯努利方程的推导过程,并讨论在不同条件下方程中各项的物理意义,然后讨论了伯努利方程中“动压强”的意义以及“动压强”和“静压强”的关系。最后列举了伯努利方程在生产生活中的应用.

〔关键词〕动力学;功能原理;伯努利方程，动压强

一、引言

流体力学是探索自然规律的基本学科,是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系,以及引起运动的原因和流体对周围物体的影响.而伯努利方程是研究流体最基本最常用的基本规律之一,为灵活掌握并更好的运用,需了解它的推导过程及相关项的物理意义.

二、伯努利方程的历史由来

1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。

丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根，由于受到家庭的影响，从小对自然科学的各个领域有着极大兴趣。1716～1717年在巴塞尔大学学医；1718～1719年在海德堡大学学习哲学；1719～1720年又在斯特拉斯堡大学学习伦理学，此后专攻数学；1721年他获得了医学大学学位；1725～1732年丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院工作，并担任数学教师；1733～1750年他担任了巴塞尔大学的解剖学、植物学教授；1750年丹尼尔又任物理学教授和哲学教授，同年被选为英国皇家学会会员；1782年3月17日逝世于巴塞尔，终年82岁。丹尼尔是伯努利家庭中成就最大的科学家。他在数学和物理学等多方面都做出了卓越的贡献，仅在1725年到1749年间就曾10次获得法国科学院年度资助，还被聘为圣彼得堡科学院的名誉院士。在数学方面，丹尼尔的研究涉及代数、概率论、微积分、级数理论、微分方程等多学科的内容，取得了重大成就。在物理学方面，丹尼尔所取得的成功是惊人的。其中对流体力学和气体动力学的研究尤为突出。1738年出版的《流体力学》一书是他的代表著作。书中根据能量守恒定律解决了流体的流动理论，提出了著名的伯努利定理，这是流体力学的重要基本定理之一。丹尼尔在气体动力学方面的贡献，主要是用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力的由来。他认为，由于大量气体分子的高速规则运动造成了对器壁的压力，压缩气体产生较大的作用力是由于气体分子数增多，并且相互碰撞更加频繁所致。丹尼尔将级数理论运用于有关力学方面的研究之中，这对于力学发展具有重要的意义。

三、推导伯努利方程

1．流体流动特点理想流体重力场中、在截面不均匀的非水平流管中作稳定流动.如图1所示流体在流管中流动,在流场中任取一细流管,并截取一段流体AB作为研究对象.设在A点流体的压强、流速、高度、截面分别为P1、V1、h1、S1;在B点流体的压强、流速、高度、截面分别为P2、V2、h2、S2.

2．导出方程t时刻外力对流体的压力作用在A点:F1= P1S1(F1与v1方向相同);B点:F2= P2S2(F2与v2方向相反).在△t时间内流体位移在A 点:AA′= v1△t ;B点:BB′= v2△t.

2.1流体从AB移到A′B′时两力所作的总功W= F1AA′-F2BB′= P1S1V1△t-P2S2V2△t= P1(S1V1△t)-P2(S2V2△t)

上式中S1V1△t和S2V2△t分别等于流管中AA′段和BB′段的流体体积,因为是理想流体作稳定流动,所以这两段

流体的体积相等,用△U表示,上式可以写成

W = P1△U- P2△U

2.2流体从AB移到A′B′时的机械能增量在流动过程中A′B段流体的运动状态没有改变,其机械能的增量只反映在AA′和BB′两段

流体上。

设A A′段流体的机械能为E1,BB′段流体的机械能为E2,根据连续性方程知,AA′和BB′两段流体的质量相等,设为m,机械能的增量用△E表示,

则:△E = E2- E1= (1/2mv22+ mgh2)-(1/2mv12+ mgh1)

2.3根据功能原理由A =△E可得:

P1△U- P2△U = (1/2mv22+ mgh2)-(1/2mv12+ mgh1)

P1△U1+ mgh1+1/2mv12= P2△U2+ mgh2+1/2mv22

以△U除各项得:P1+1/2ρv12+ρgh1= P2+1/2ρv22+ρgh2

2.4伯努利方程P+1/2ρv2+ρgh =常量

该方程是伯努利方程的一般形式,式中的三项都具有压强的量纲.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压强,ρgh和P相与流速无关,常称为静压强.

四、伯努利方程中各项在不同条件下的物理意义

1.伯努利方程适用的条件伯努利方程适用于恒定流动不可压缩液体，质量力只有重力，在重力场中作稳定流动,且在同一条流线上.

2.一般条件下伯努利方程在各项的意义

P +1/2ρv2+ρgh =常量

该方程说明理想流体在流管中作稳定流动时,单位体积的动能1/2ρv2、重力势能ρgh、该点的压强P之和为一个常量.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压强,ρgh和P相与流速无关,常称为静压强.

3.单位重量流体中伯努利方程各项的物理意义

ρg =mg/v 表示单位体积的重力,以ρg除各项得:p/ρg+v2/2g+ h =常量该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能.其中p/ρg 表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能,也就是压力对单位体积重量流体所做的功, v2/2g表示单位重量流体所具有的动能,h就是流场中该点的高度.由于v2/2g +p/ρg+ h =常数,定理中每一项都具有长度的量纲.所以p/ρg表示所考察点的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某一高度的能力.

4.单位质量流体中伯努利方程p/ρ项的物理意义

以ρ除各项得:p/ρ+1/2v2+ gh =常量

该方程中:p/ρ项表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力或弹性势能,从能量的角度讨论p/ρ项也可理解为单位质量流体相对于p =0状态所蕴涵的能量.

5.通过以上的分析推导可以看出伯努利方程是能量方程式,尽管分析问题所用的动力学原理不同,但导出方程的意义是完全相同的,说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、势能和动能三种形式的能量,在适合限定条件的情况下,流场中的三种能量都可以相互转换,但其总和却保持不变,这三种能量统称为机械能.由此可见:伯努利方程在本质上是机械能的转换与守恒.

五、伯努利方程中“动压强”的讨论

1.水平流管，在伯努利方程的应用中我们知道，对于水平流管，管子截面小处的压强小，流速大;截面大处压大，流速小。如图(2)，假如流管的粗处b的截面相对于细处a或c可近似地认为无限大，那么粗处的