2.2基本不等式
《2.2基本不等式》优秀教案教学设计
2.2基本不等式教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 1.基本不等式2a bab +≤等号成立条件； 2.利用基本不等式2a bab +≤求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用,分别代替上式中的a ，b ，可得①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 2.讲授新课1）2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，(a>0,b>0)2a bab +≤2）2a bab +≤用分析法证明： 要证2a b ab +≥（1）只要证a +b ≥（2）要证（2），只要证a +b -≥0（3） 要证（3），只要证（-）2≥0（4）显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立. 探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .你能利用这个图形得2a bab +≤的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力. 例1已知x >0，求x ＋的最小值.分析：求x ＋的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋），使x >0，都有x ＋≥y .观察x +，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x 和的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋=2当且仅当x =，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了x>0，有x＋≥2，而且给出了“当且仅当x=，即=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x＋（x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x＋=y0成立吗？这时能说y.是x＋（x>0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.证明：因为x，y都是正数，所以.（1）当积xy等于定值P时，，所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值.（2）当和x+y等于定值S时，,所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由，可得x+y≥2=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2＞0 b ＋c ≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b 的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab ≤（）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.。
2.2 基本不等式(答案版)
知识点一：基本不等式1. 如果,00>>b a ，有2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
其中，2b a +叫做正数a,b 的算术平均数，ab 叫做a,b 的几何平均数。
2. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
知识点二：应用基本不等式求最值1. 已知x,y 都是正数，则：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2。
（2）如果和x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值241S 。
一、选择题1．若1a >，则11a a +-的最小值是 ( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】1a >则10a ->，()1111311a a a a +=-++≥--，当2a =时取“=”，所以正确选项为C 2. 若0<a <b ,则下列不等式中成立的是( B ) A .a <b <√ab <a+b 2 B .a <√ab <a+b 2<b C .a <√ab <b <a+b 2 D .√ab <a <a+b 2<b 答案:B 解析:若取a =2,b =8,则√ab =4,a+b 2=5,所以a <√ab <a+b 2<b.3．已知25≥x ，则()24524x x f x x -+=-有( D )基本不等式同步练习A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1【答案】D 【解析】2245(2)1111()(2)2(1242(2)222x x x f x x x x x x -+-+⎡⎤===-+⨯=⎢⎥---⎣⎦当且仅当122x x -=-即3x =时取等号，故选：D ． 4.函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为 （ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．1- 【答案】A 【解析】1x >-，则10x +>，()()()22111331113111x x x x y x x x x ++++++===+++≥+++，当0x =时取“=”，所以正确选项为A ．5. 已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【解析】∵21a ab +=，∵1b a a =-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∵3ab +的最小值为选：C 6. 已知实数,x y 满足22 455--=x xy y ，则222x y +的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．109 D ．4【答案】B 【解析】设222x y m +=，则222x m y =-，22 455x xy y --=，22455xy x y ∴=--，则()222221655x y x y =--，()()222216257y m y m y -=--， 42281(3070)(5)0y m y m --+-=，设2y t =，则2281(3070)(5)0t m t m --+-=，22(3070)481(5)0m m ∴∆=--⨯-，解得103m ≥，∴222x y +的最小值为103.故选：B 7.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为22m ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是( )A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m【答案】C 【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x ，y （x ＞0，y ＞0）则xy ＝4，此时三角形框架的周长C 为：x +y ＝x +y∵x +y ≥24∵C ＝x +y 故用7米的铁丝最合适．故选C ．二、填空题1. 若0<a<b,且a+b=1,则12,a,b,2ab,a 2+b 2的大小顺序为a<2ab<12<a 2+b 2<b .解析:因为0<a <b ,a +b =1,所以a <12<b , ① 2ab <a 2+b 2, ②下面寻找②中数值在①中的位置.因为a 2+b 2>2(a+b 2)2=12,a 2+b 2=a ·a +b 2<a ·b +b 2=(1-b )b +b 2=b ,所以12<a 2+b 2<b. 又因为2ab <2(a+b 2)2=12,2ab >2×12a =a ,所以a <2ab <12.所以a <2ab <12<a 2+b 2<b. 2. 已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =________． 【答案】36【解析】因为()4(0,0)a f x x x a x=+>>，所以，当且仅当即，由题意，解得3．已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为_______________；1的替换，()1121213332222b a a b a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2b a a b =即1222a b +==时等号成立，所以答案为32+． 4.设1x <-，求()()521x x y x ++=+的最大值 . 【答案】1【解析】∵1x <-，∵10x +<∵()10x -+>所以()()()()225215147104151111x x x x x x y x x x x x ++++++++====+++++++ ()41551(1)x x ⎡⎤=--+++≤-=⎢⎥-+⎣⎦ 当且仅当2(1)4x +=，即3x =-时等号成立，所以()()521x x y x ++=+的最大值为1三、解答题1. 已知x>0,y>0,且 x+2y+xy=30,求xy 的取值范围.解:因为x >0,y >0,所以30=x +2y +xy ≥2√2xy +xy ,当且仅当x =2y ,即x =6,y =3时,等号成立.所以xy +2√2√xy -30≤0.令t =√xy ,则t >0,t 2+2√2t -30≤0,(t +5√2)(t -3√2)≤0,所以-5√2≤t ≤3√2.又因为t >0,所以0<√xy ≤3√2,所以0<xy ≤18.2. 已知c b a ,,均为正数c b a ,,不全相等.求证:c b a cab b ac a bc ++>++ 解析：证明 ∵0,0,0>>>c b a ∵a bc +bac ≥ab abc 22=c 2 b ac +cab ≥bc bc a 22=a 2a bc +cab ≥ac acb 22=2b. 当且仅当a=b=c 时上式等号均成立,又c b a ,,不全相等,故上述等号至少有一个不成立.∵c b a cab b ac a bc ++>++. 3. 已知a ，b 都是正数，求证：114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】∵0,0a b >>，∵由均值不等式得12a a +≥=，12b b +≥=． 由不等式的性质，得114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a =且1b =时，等号成立．4. 已知a ，b ，c 均为正数,求证:a a c b -+32+b b c a 223-++cc b a 332-+≥3. 解析：证明 ∵a ，b ，c 均为正数, ∵a b 2+ba 2≥2(当且仅当a=2b 时等号成立), ac 3+ca 3≥2(当且仅当a=3c 时等号成立),bc 23+cb 32≥2(当且仅当2b=3c 时等号成立), 以上三式相加,得a b 2+b a 2+a c 3+c a 3+b c 23+cb 32≥6(当且仅当a=2b=3c 时等号成立), ∵（a b 2+b a 2-1）+（a c 3+c a 3-1）+（b c 23+cb 32-1）≥3(当且仅当a=2b=3c 时等号成立), 即a a c b -+32+b b c a 223-++cc b a 332-+≥3. (当且仅当a=2b=3c 时等号成立).5. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为xm ，宽为ym . （1）若菜园面积为272m ，则,x y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值.【解析】∵1）由已知可得72xy =，而篱笆总长为2x y +∵又因为224x y +≥=∵当且仅当2x y =，即12,6x y ==时等号成立.所以菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小.∵2）由已知得230x y +=∵ 又因为()12222559y x x y x y x y ⎛⎫+++=++≥+= ⎪⎝⎭∵所以12310x y +≥∵ 当且仅当x y =，即10,10x y ==时等号成立.所以12x y +的最小值是310.。
2.2 基本不等式
[解] 设隔墙的长度为 x m，总造价的函数为 y 元，则隔墙 造价为 2x×248＝496x 元，池底造价为 200×80＝16 000 元，
四周围墙造价为2x＋2×20x0×400＝800×x＋20x0元． 因此，总造价为 y＝496x＋800x＋20x0＋16 000(x>0) ＝1 296x＋160x000＋16 000≥2 1 296x·160x000＋16 000 ＝28 800＋16 000＝44 800. 当 1 296x＝160x000，即 x＝1090时，等号成立．这时，污水 池的长为 18 m.故当污水池的长为 18 m，宽为1090 m 时，总造 价最低，最低为 44 800 元．
[做一做]
1．(多选)下列结论正确的是
()
A．对于任意 a，b∈R ，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立
B．若 a，b 同号，则ba＋ab≥2 C．若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b恒成立 D．若 a>0，b>0，且 a≠b，则 a＋b>2 ab 答案：BD
2．不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为________． 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以 x－2y>0，即 x>2y. 答案：x>2y
2．2 基本不等式
新课程标准 1.掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a>0，b>0，当 且仅当 a＝b 时等号成立). 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单 的最大值或最小值问题.
核心素养 逻辑推理 数学建模
[问题导入]
预习课本 P44～46，思考并回答下列问题 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
2.2 基本不等式【单元教学设计】(刘迪生) -高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导(视频+
2.2 基本不等式【单元教学设计】（刘迪生） -高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）【教学目标】1. 了解基本不等式在解决实际问题中的应用。
2. 理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法及应用。
3. 能够灵活运用基本不等式解决实际问题。
【教学重点】掌握基本不等式的概念和性质。
【教学难点】基本不等式的证明方法及应用。
【教学过程】1. 导入（5分钟）教师可通过提问、小测验等方式，复习学生们曾学过的不等式知识，如：“你们学过什么不等式？不等式的应用有哪些？”然后，引入本单元的学习主题：“我们今天要学习一种非常重要的不等式——基本不等式。
”2. 讲授（40分钟）1）什么是基本不等式？首先，教师可用“两个数的和大于它们的平均数，两个数的积不小于它们的平方根”的口诀，向学生介绍基本不等式。
然后，结合实际例子，解释一下基本不等式的含义和形式。
2）基本不等式的证明推导基本不等式的证明方法，是本单元的难点和重点。
教师给出证明步骤，解释每一步的逻辑关系，帮助学生理解。
3）基本不等式的应用基本不等式是解决实际问题中的重要工具。
教师可通过讲解例题，帮助学生了解基本不等式在实际应用中的作用。
3. 活动（30分钟）1）分组讨论教师让学生分小组，让他们在小组内商讨如何应用基本不等式解决问题，并将解题思路和过程汇报给全班。
2）课堂展示教师选择一些组进行课堂展示，让全班学生了解不同的解题思路和方法，从而深入掌握基本不等式的应用。
4. 总结（5分钟）教师对基本不等式的概念、证明和应用进行总结，温习本节课的知识点。
并告诉学生“为了提高复习效率，请在课后将本节课的重点内容进行笔记总结。
”【教学方法】1. 结合实际，解释抽象概念。
2. 通过小组讨论和课堂展示，激发学生学习兴趣，提高课堂互动性。
3. 采用探究性学习法，鼓励学生在实践中学习和探索。
【教学媒体】1. 教案。
2. 显示器。
3. 黑板、粉笔。
【教学评价】1. 能够准确理解基本不等式的概念和性质。
2.2 基本不等式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二：由2x＋3y＝2 得，3x＋2y＝2xy， ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2 6xy，等号在 3x＝2y 时成立，
∴2xy≥2 6xy，∴xy≥6.
3x＝2y 由2x＋3y＝2
，得yx＝＝32 .
∴xy 的最小值为 6.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当____x_＝__y_____时，和x＋y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x ＋ y 等 于 定 值 S ， 那 么 当 ___x_＝__y______ 时 ， 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确 定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值； 求积的最大值，要确定和为定值．
数学 必修 第一册 A
2.2 基本不等式(课件)
[典例 2] (1)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值； (3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解] (1)∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6. 当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立． ∴x＋x－4 2的最小值为 6.
[方法技巧] 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合 理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的 条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式” 转化为“和式”的功能．
[ 变式训练]
1．已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m，n 之间的大小关系
()
(2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18. ( )
答案：(1)√ (2)√
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B.(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D.(－a)2＋－1a2≤－2
解析：∵a2＞0，∴a2＋a12≥2 成立．故选 C.
答案：C
()
3．设 x，y 满足 x＋y＝10，且 x＞0，y＞0，则 xy 的最大值是________． 解析：∵ xy≤x＋2 y(x＞0，y＞0)， ∴xy≤x＋2 y2＝1202＝25. 当且仅当 x＝y＝5 时等号成立，故 xy 的最大值为 25. 答案：25
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)不等式 a2＋b2≥2ab 与 ab≤a＋2 b有相同的适用范围． (2)若 a＞0，b＞0，则 ab≤a＋2 b恒成立． (3)当 a，b 同号时，ba＋ab≥2. 答案：(1)× (2)× (3)√
2.2 基本不等式 -(必修第一册) (教师版)
基本不等式1 基本不等式若a>0 ,b>0，则a+b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立).①a+b2叫做正数a ,b的算术平均数，√ab叫做正数a ,b的几何平均数.②基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 ,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立) (调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2√ab，积定求和；②ab≤(a+b2)2，和定求积：③a2+b2≥(a+b)22(联系了a+b与平方和a2+b2)④ab≤a 2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数①概念形如y=x+ax (a>0)的函数.②图像③性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<√a时，函数递减，当x>√a时，函数递增.④与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=√a时取到最小值y min=2√a，其与基本不等式x+ax ≥2√x∙ax=2√a (x=√a时取到最小值)是一致的.【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a>0 ,b>0求函数y=x+1x(x<0)的最值.【误解】x+1x ≥2√x∙1x=2，故最小值是2.【误解分析】误解中套用基本不等式，a=x ,b=1x，当忽略了a>0,b>0的前提条件！【正解】∵x<0∴−x>0 ,−1x>0，∴−x+(−1x )≥2√−x∙(−1x)=2(当x=−1取到等号)∴x+1x =−(−x−1x)≤−2，故函数y=x+1x(x<0)的最大值为−2，没有最小值.情况2二定：ab定值求函数y=x+1x−1(x>1)的最值.【误解】y=x+1x−1≥2√x∙1x−1【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x−1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x−1不是一定值.【正解】y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)∙1x−1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“(x−1)∙1x−1=1”)故函数y=x+1x−1(x>1)的最小值为2，没有最大值.情况3 三等：取到等号求函数y=2√x2+4的最值.【误解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2√√x2+4√x2+4=2，即最小值为2.【误解分析】在误解中把a=√x2+4 ,b=√x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则√x2+4=√x2+4⇒√x2+4=1⇒x2=−3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明√x2+4+√x2+4>2，那它有最小值么？【正解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为对勾函数y=t+1t 在[2 ,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=2√x2+4的最小值为52，无最大值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x ()A．都大于4B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x +4y<4且1y+4z<4且1z+4x<4，相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z<12，由基本不等式得：1x +4x≥4；1y+4y≥4；1z+4z≥4；(直接使用基本不等式)相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x至少有一个不小于4．故选：C．【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有()①(x+1x )(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；③2√x2+5≥4；④x+y√xy≥4；A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x ≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，(x+y)(1x +1y)=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，2√x2+5=√x2+5√x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，x+y+√xy ≥2√xy√xy≥4，当x=y=1时成立，故正确的有三个，故选：C．【点拨】①直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a ,b".② 连等问题 本题中④ x +y +√xy≥2√xy √xy≥4，当x =y =1时成立，这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到， x +y ≥2√xy 是当x =y 时取到等号，2√xy +√xy≥4是当xy =1时取到等号，即要同时满足方程组{x =yxy =1 (∗)才行，而方程组(∗)有解x =y =1， 即x +y √xy≥4是成立的，当x =y =1取到等号.再看一例子：设x,y ∈R ∗,x +y =1，求(x +1x )(y +1y )的最小值. 误解1：∵x +1x ≥2 ,y +1y ≥2，∴(x +1x )(y +1y )≥4.误解2：∵(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +x y +y x ≥2√xy ∙1xy +2√x y ∙yx =4.以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a ，b 满足ab >0，则a a+b −aa+2b 的最大值为 . 【解析】a a+b −aa+2b =a (a+2b−a−b )(a+b )(a+2b )=ab a 2+3ab+2b 2=1ab +2b a+3 (分子、分母均为二次项同除ab )∵ab >0 ∴a b +2b a≥2√2，当且仅当ab =2b a⇒a =√2b 时取等号，∴1ab +2ba+3≤2√2+3=3−2√2，故最大值为3−2√2．【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x 与1x ，ab 与2b a，2√xy 与√xy之类的.方法2 凑项法【典题1】若x >1，则函数y =4x +1x−1的最小值为 .【解析】y =4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4≥2√4+4=8，当且仅当x =32时取等号． ∴函数y =4x +1x−1的最小值为8．【点拨】把4x 凑项成4(x −1)，目的是使得4(x −1)与1x−1的乘积为定值.【典题2】若x >1，则2x +9x+1+1x−1的最小值是 ．分析：2x 、9x+1、1x−1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x−1乘积为定值的分别是x +1与 x −1，而它们的和刚好是2x ，故想到令2x =(x +1)+(x −1)，完成凑项. 【解析】2x +9x+1+1x−1=x +1+9x+1+x −1+1x−1≥2√(x +1)⋅9(x+1)+2√(x −1)⋅(1x−1)=8当且仅当x +1=3，x －1=1，即x =2时取等号， (用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号) 故2x +9x+1+1x−1的最小值是8.【典题3】设a >b >0，则ab +4b2+1b(a−b)的最小值是 ．【解析】∵a >b >0 ∴a −b >0； ∴ab +4b2+1b (a−b )=ab −b 2+1b(a−b)+b 2+4b2(这里巧妙地"−b 2+b 2"完成凑项)=[b (a −b )+1b (a−b )]+[b 2+4b2]≥2√b(a −b)×1b(a−b)+2√b 2×4b2=2+4=6．当且即当b(a −b)=1b(a−b)且b 2=4b2，即a =3√22,b =√2 时取等号， ∴ab +4b2+1b(a−b)的最小值为6．【点拨】凑项的目的是使得“ab 为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b 2、1b(a−b)的分母之和b 2+b (a −b )=ab ，刚好是所求式子的第三项ab .方法3 凑系数【典题1】若0<a <12，则a(1−2a)的最大值是 ． 【解析】∵0<a <12，∴a >0且1−2a >0， 则a (1−2a )=2a (1−2a )2≤12(2a+1−2a 2)2=18，当且仅当2a =1−2a ,即a =14时等号成立，即a(1−2a)的最大值为18. 【点拨】基本不等式的变形ab ≤(a+b 2)2，和定求积(若a +b 为定值，可求ab 的最值).本题中a +(1−2a )不是定值，故通过凑系数，使得2a +(1−2a )=1为定值从而求出最值. 本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知a ,b 为正数，4a 2+b 2=7，则a√1+b 2的最大值为 ． 【解析】因为4a 2+b 2=7， 则a√1+b 2=12(2a )√1+b 2≤12×(2a)2+(√1+b 2)22=12×4a 2+1+b 22=2，(这里用到了不等式ab ≤a 2+b 22，遇到二次根式可利用平方去掉根号)当且仅当4a2=1+b2时，取得最大值．【点拨】①不等式ab≤a 2+b22把ab，a2+b2两者联系在一起，知和a2+b2为定值，可求积ab的最值.②平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)方法4 巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则√x+√y的最大值是．【解析】∵x+1≥2√x ,y+1≥2√y(当x=y=1时取到等号)(加“1” 巧妙的把x与√x，y与√y联系起来)相加得x+y+2≥2√x+2√y即2(√x+√y)≤4⇒√x+√y≤2，故最大值为2.【典题2】已知x>0，y>0，且2x +1y=2，则x+2y的最小值是．【解析】∵2x +1y=2∴12(2x+1y)=1x+2y=(x+2y)∙1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)≥12(4+2√xy⋅4yx)=4，当且仅当xy =4yx时，即x=2,y=1时等号成立，故 x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1b的最小值为．【解析】若a+b=3，则(a−2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)则1a−2+1b=(1a−2+1b)×[(a－2)+b]=2+(ba−2+a−2b)，又由a>2 ,b>0，则ba−2+a−2b≥2√ba−2∙a−2b=2，当a=52,b=12时取到等号，则1a−2+1b=2+(ba−2+a−2b)≥4，即1a−2+1b的最小值为4.方法5 换元法【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为.【解析】令t =x −1，则x =t +1，t >0， 原式=t(t+1)2+(t+1)−1=t t 2+3t+1=1t+1t +3≤√t⋅1t+3=15，当且仅当t =1即x =2时等号成立. 故y =x−1x 2+x−1的最大值为15.【点拨】本题是属于求函数y =a 1x 2+b 1x+c 1a 2x 2+b 2x+c 2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若a,b ∈R ∗，a +b =1，则√a +12+√b +12的最大值 .【解析】设s =√a +12,t =√b +12，(遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)则a =s 2−12 ,b =t 2−12， ∵a +b =1 ∴s 2+t 2=2(这相当已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值，想到算术均值≤平方和均值a+b 2≤√a 2+b 22)∴s+t 2≤√s 2+t 22=1⇒s +t ≤2即√a +12+√b +12≤2，故最大值为2. 【点拨】① 本题本来是“已知a +b =1求√a +12+√b +12的最大值 (1)”，通过换元法后变成“已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.你说√a+12+√b+122≤√(√a+12)2+(√b+12)22=√a+12+b+122=1⇒√a +12+√b +12≤2不更简洁？是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路. ② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！【典题2】设a 、b 是正实数，且a +2b =2，则a 2a+1+4b 22b+1的最小值是 .【解析】令a +1=s ，2b +1=t ，则a =s −1，2b =t −1； 由题意得s ,t 为正实数，且s −1+t −1=2⇒s +t =4； ∴a 2a+1+4b 22b+1=(s−1)2s+(t−1)2t=s +t −4+1s +1t =1s +1t(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s +t =4，求1s +1t 最小值”，较易想到巧“1”法)=14(1s+1t)(s +t)=14(2+ts+st)≥14(2+2√t s⋅st)=1．当且仅当s =t =2即a =1 ,b =12取到等号，即a 2a+1+4b 22b+1的最小值是1.【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！方法6 不等式法【典题1】已知a ,b ∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a +b 的取值范围是 .分析：1+2ab=9a+b相当是“关于ab 与a +b 的方程”，而由基本不等式a +b ≥2√ab 又确定了“关于ab 与a +b 的不等关系”，那用“消元思想”不就得到a +b 的不等式么？！其范围就有了！ 【解析】∵a ,b ∈(0,+∞)，∴a +b ≥2√ab (∗)， 由1+2ab=9a+b得ab =2(a+b)9−(a+b)代入不等式(∗)可得a +b ≥2√2(a+b )9−(a+b )， 整理可得，(a +b )2－9(a +b)+8≤0， 解得1≤a +b ≤8.【典题2】 已知2a +b +2ab =3，a >0，b >0，则2a +b 的取值范围是 . 【解析】∵a >0，b >0，∴0<2ab ≤(2a+b)24(这要确定2ab 与2a +b 的关系，想法与上题相似，利用2ab 与2a +b 的等式关系与不等关系最终得到关于2a +b 的不等式) 而3−(2a +b)=2ab ∴0<3−(2a +b)≤(2a+b)24，解得2≤2a +b <3，∴2a +b 的取值范围是[2,3)． 巩固练习1 (★★) 已知a +b +c =2，则ab +bc +ca 与2的比较 ． 【答案】 ab +bc +ca <2 【解析】已知a +b +c =2，因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，且a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ， 所以3(ab +bc +ca)≤4， 解得ab +bc +ca ≤43，所以ab +bc +ca 的值小于2．2 (★★) 已知x ，y ∈R +，若x +y +xy =8，则xy 的最大值为 ． 【答案】 2【解析】∵正数x ，y 满足x +y +xy =8，∴8－xy =x +y ≥2√xy ，xy +2√xy −8≤0， 解得0<√xy ≤2，故xy ≤4，当且仅当x =y =2时取等号． ∴xy 的最大值为43 (★★) 若x ，y ∈R +，且3x+1y =5，则3x +4y 的最小值是 ．【答案】5【解析】∵x ，y ∈R ∗，且3x+1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4y x)≥135+35⋅2√x y⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1，y =12时等号成立， 4 (★★) 函数y =x 2+x−5x−2(x >2)的最小值为 ．【答案】 7【解析】令x －2=t ，t >0； y =f(x)=x 2+x−5x−2=(t+2)2+t+2−5t=t 2+5t+1t=t +1t +5≥7(当且仅当t =1，即x =3时，等号成立)， 故函数f(x)=x 2+x−5x−2，x ∈(2，+∞)的最小值为7，5(★★) 已知实数a 、b ,ab >0，则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为 ． 【答案】 16【解析】由于a 2+b 2≥2ab >0， 所以ab a 2+b 2+a 2b 2+4≤ab 2ab+a 2b 2+4，故：ab 2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab⋅4ab=16，(当且仅当a =b 时，等号成立)．6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( ) A ．x +1x (x >0)的最小值是2 B 2√x 2+2的最小值是√2C 2√x 2+4的最小值是2 D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3【答案】 AB【解析】由基本不等式可知，x >0时，x +1x≥2，当且仅当x =1x即x =1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x =0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t在[2，+∞)上单调递增，当t =2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x <0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．7 (★★★) [多选题]设a >0，b >0，且a +2b =4，则下列结论正确的是( ) A ．1a +1b 的最小值为√2 B ．2a +1b 的最小值为2C ．1a +2b 的最小值为94 D ．ba+1+ab+1>87恒成立【答案】 BC【解析】因为a >0，b >0，且a +2b =4， 对于A ，1a+1b=14(1a+1b)(a +2b)=14(3+2b a+a b)≥14(3+2√2)，当且仅当a =4√2−4，b =4−2√2时取等号，故选项A 错误； 对于B ，2a+1b=14(2a+1b)(a +2b)=14(4+4b a+a b)≥14(4+4)=2，当且仅当a =2，b =1时取等号，故选项B 正确； 对于C ，1a +2b =14(1a +2b )(a +2b)=14(5+2b a+2ab)=14(5+4)=94， 当且仅当a =43，b =43时取等号，故选项C 正确； 对于D ，当a =43，b =43时，a +2b =4，但ba+1+ab+1=4343+1+4343+1=87，故选项D 错误．故选：BC ．8(★★★)若实数m ，n >0，满足2m +n =1，以下选项中正确的有( ) A ．mn 的最小值为18 B ．1m +1n 的最小值为4√2 C ．2m+1+9n+2的最小值为5 D ．4m 2+n 2的最小值为12【答案】 D【解析】∵实数m ，n >0，∴2m +n =1≥2√2mn ，整理得：mn ≤18，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项A 错误；∵1m +1n =(2m +n)(1m +1n )=3+nm +2m n≥3+2√2，当且仅当{m =2−√22n =√2−1时取“=“，故选项B 错误；∵2m +n =1，∴2(m +1)+(n +2)=5， ∴2m+1+9n+2=15[2(m +1)+(n +2)](2m+1+9n+2) =15[13+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]≥15(13+2√36)=5，当且仅当{m =0n =1时取“=“，∴2m+1+9n+2>5，故选项C 错误； ∵2m +n =1，∴1=(2m +n )2=4m 2+n 2+4mn =4m 2+n 2+2√4m 2•√n 2≤2(4m 2+n 2)， ∴4m 2+n 2≥12，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项D 正确，故选：D ．9 (★★★) 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为 ．【答案】 11【解析】正实数a ，b 满足a +b =1， 则2a 2+1a+2b 2+4b =2a +2b +1a +4b =2+(1a +4b )(a +b)=7+b a +4a b≥7+4=11，当且仅当ba=4a b且a +b =1即b =23，a =13时取等号，10 (★★★) 若正数x 、y 满足x +4y −xy =0，则4x+y 的最大值为 ． 【答案】 49【解析】∵正数x 、y 满足x +4y −xy =0， ∴y =x x−4>0，解得x >4，∴4x+y=4x+x x−4=4x+1+4x−4=4x−4+4x−4+5≤2√(x−4)⋅4x−4+5=49，当且仅当x －4=4x−4时等号成立， ∴4x+y的最大值为49．11 (★★★) 已知0<a <1，则11−a +4a 的最小值是 ． 【答案】 9【解析】0<a <1，则11−a+4a=(11−a+4a)[(1－a)+a]=5+a1−a +4(1−a)a≥5+4=9，12 (★★★) 已知a ，b ∈R ，a +b =2，则1a 2+1+1b 2+1的最大值为 ． 【答案】 √2+12【解析】a ，b ∈R ，a +b =2．则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+21+a 2+b 2+(ab)2=(a+b)2−2ab+21+(a+b)2−2ab+(ab)2=6−2ab5−2ab+(ab)2=4−2(ab−1)(ab−1)2+4， 令t =ab －1=a(2－a)－1=－(a －1)2≤0， 则4−2(ab−1)(ab−1)2+4=4−2tt 2+4，令4－2t =s(s ≥4)，即t =4−s 2，可得4−2tt 2+4=s 4+(4−s)24=4s+32s−8，由s +32s ≥2√s ⋅32s=8√2，当且仅当s =4√2，t =2－2√2时上式取得等号， 可得4s+32s−8≤8√2−8=√2+12， 则1a 2+1+1b 2+1的最大值为√2+12， 13 (★★★) 若正数a ，b 满足1a +1b =1，则aa−1+4bb−1的最小值为 ． 【答案】 9【解析】∵正数a ，b 满足1a +1b =1，∴a >1，且b >1；1a+1b=1变形为a+b ab=1，∴ab =a +b ，∴ab −a −b =0，∴(a －1)(b －1)=1，∴a －1=1b−1；∴a －1>0，∴aa−1+4bb−1=5+1a−1+4b−1=5+1a−1+4(a −1)≥5+2√1a−1×4(a −1)=9， 当且仅当1a−1=4(a －1)，即a =1±12时取“=”(由于a >1，故取a =32)， ∴a a−1+4bb−1的最小值为9；14 (★★★★) 已知实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1，则2a 2+1a+b 2−2b+2的最小值是 ．【答案】 53【解析】∵实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1， ∴b +2>0，2a +(b +2)=3， 又∵2a 2+1a +b 2−2b+2=1a+2a +b −2+2b b+2=1a+1－2+2b+2=−1+1a+2b+2，∴2a 2+1a +b 2−2b +2=−1+13[2a +(b +2)](1a +2b +2)=－1+13(b+2a +4ab+2+4)≥－1+13(2√4+4)=53，当且仅当{a =34b =−12时取“=“，故答案为：53．15 (★★★★) 已知x >0，y >0，则2xyx 2+8y 2+xy x 2+2y 2的最大值是 ．【答案】 23【解析】2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2=3x 3y+12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4 =3(x y +4yx)(x y )2+16(yx)2+10=3(x y +4yx )(x y +4yx)2+2=3(x y +4y x)+2x y +4y x，令t =x y +4yx，则t ≥2√xy ⋅4y x=4，当且仅当x =2y 时取等号，∵函数y =t +2t ，在[4，+∞)上单调递增，∴y =t +2t的最小值为：92，∴y =t +2t ≥92， ∴3(x y +4y x)+2x y +4y x=3t+2t≤23．∴2xyx 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值为：23． 故答案为：23．16 (★★★★) 设实数x,y 满足x 24−y 2=1，则3x 2−2xy 的最小值是 .【答案】 6+4√2【解析】方法1 3x 2−2xy =3x 2−2xyx 24−y 2=3−2y x 14−(y x)2令t =yx ，∵x 24−y 2=1 ∴x 24−t 2x 2=1⇒t 2=14−1x2<14⇒−12<t <12， 则3x 2−2xy =3−2t14−t 2再令u =3−2t (2<u <4) 则3x 2−2xy =u14−(3−u 2)2=4u −u 2+6u−8=4−(u+8u)+6≥−4√2+6=6+4√2当且仅当u =2√2时取到等号， 方法2 ∵x 24−y 2=1 ∴(x 2−y)(x2+y)=1令t =x2+y ，则x2−y =1t ， ∴x =t +1t ,y =12(t −1t )∴3x 2−2xy =3(t +1t )2−2(t +1t )(t −1t )=2t 2+4t 2+6≥4√2+6=6+4√2 当且仅当t 2=√2时取到等号.挑战学霸方程(x 2018+1)(1+x 2+x 4+⋯+x 2016)=2018x 2017的实数解的个数为 ． 【答案】1【解析】由题意知x>0，设S=1+x2+x4+⋯+x2014+x2016①，则S=x2016+x2014+x2012+⋯+x2+1②，所以①+②得2S=(x2016+1)+(x2+x2014)+(x4+x2012)+⋯+(x2014+x2)+(x2016+1)≥2√x2016∙1+2√1∙x2016+2√x2∙x2014+⋯+2√x2016∙1=2018x1008(当且仅当x=1时等号成立)所以S≥1009x1008，又因为x2018+1≥2√x2018∙1(当且仅当x=1时等号成立)，所以(x2018+1)(1+x2+x4+⋯+x2014+x2016)≥2√x2018∙1×1009x1008=2018x2017当且仅当x=1时等号成立，因此实数解的个数为1.。
高一数学必修一 教案 2.2 基本不等式
2．2 基本不等式 第1课时 基本不等式学习目标 1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值．知识点 基本不等式1．如果a >0，b >0a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．变形：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b ≥2ab ，a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab .( √ ) 2．n ∈N *时，n ＋2n>2 2.( √ )3．x ≠0时，x ＋1x≥2.( × )4．若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )一、利用基本不等式比较大小例1 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b2D ．x ≥a ＋b2考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 B解析 第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2. 依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a >0，b >0，x >0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a 1＋b 22， ∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b2.反思感悟 基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练1 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，试找出a ＋b ，a 2＋b 2，2ab ，2ab 中的最大者． 解 ∵0<a <1,0<b <1，且a ≠b ， ∴a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择． 而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)， ∵0<a <1,0<b <1，∴a (a －1)<0，b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0， 即a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大．二、利用基本不等式直接求最值例2 (1)当x >0时，求12x＋4x 的最小值；(2)当x <0时，求12x＋4x 的最大值；(3)当x >1时，求2x ＋8x －1的最小值； (4)已知4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值． 解 (1)∵x >0，∴12x>0,4x >0.∴12x＋4x ≥212x·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x＋4x 的最小值为8 3.(2)∵x <0，∴－x >0. 则12－x＋(－4x )≥212－x4x ＝83，当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴12x＋4x ≤－8 3.∴当x <0时，12x＋4x 的最大值为－8 3.(3)2x ＋8x －1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －14x －1＋2， ∵x >1，∴x －1>0， ∴2x ＋8x －1≥2×24＋2＝10， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取等号．(4)4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2＝36时取等号， ∴a ＝36.反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练2 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )·(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 答案 B解析 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25. 三、用基本不等式证明不等式例3 已知a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c －ab －bc －ac ≥0. 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ， ∴a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c ≥2(ab ＋bc ＋ac )， ∴a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ac ， 即a ＋b ＋c －ab －bc －ac ≥0.反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 跟踪训练3 若实数a <0，求证：a ＋1a≤－2，并指出等号成立的条件．证明 根据题意，a <0，则－a >0， 左式＝a ＋1a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，又由(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≥2a⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝2， 则有a ＋1a≤－2，当且仅当a ＝－1时，等号成立．故a ＋1a≤－2，当且仅当a ＝－1时，等号成立．1．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >a D ．b >a >a ＋b2>ab考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab .又∵b >a >0，∴ab >a 2， ∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .2．下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a≥2B ．(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2C ．a 2＋1a2≥2D ．(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤－2答案 C解析 ∵a 2>0，故a 2＋1a2≥2成立．3．下列等式中最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝2t ＋1tC ．y ＝4t ＋1t(t >0)D ．y ＝t ＋1t答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5<4，B 中t ＝－1时，y ＝－3<4，C 中y ＝4t ＋1t ≥24t ·1t＝4，当且仅当t ＝12时等号成立，D 中t ＝－1时，y ＝－2<4.故选C.4．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3答案 D解析 a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2<4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 5．已知x >－1，则x ＋10x ＋2x ＋1的最小值为________．答案 16解析x ＋10x ＋2x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1＋1x ＋1＝x ＋12＋10x ＋19x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10， ∵x >－1，∴x ＋1>0， ∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16. 当且仅当x ＋1＝9x ＋1， 即x ＝2时，等号成立．1．知识清单：两个不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，a ＋b2≥ab (a ，b 都是正数)．2．方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式． 3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0. 其中可使b a ＋a b≥2成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 根据基本不等式的条件，a ，b 同号， 则b a>0，故选C.2．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 3．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥2答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误； 对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误； 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．4．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a答案 B解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大．5．已知a >0，b >0，且ab ＝2，那么( )A ．a ＋b ≥4B ．a ＋b ≤4C ．a 2＋b 2≥4 D ．a 2＋b 2≤4答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝22，故A ，B 均错误．a 2＋b 2≥2ab ＝4，故选C.6．已知a >b >c ，则a －bb －c 与a －c2的大小关系是____________________．答案 a －bb －c ≤a －c2解析 因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0， 所以a －c2＝a －bb －c2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立． 7．设a ，b 为非零实数，给出下列不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋ba ≥2.其中恒成立的是________．(填序号)答案 ①②解析 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2a 2＋b 24＝a 2＋b 2a 2＋b 24≥a 2＋b 2＋2ab4＝a ＋b24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确； 当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确． 8．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号)答案 ①②③解析 由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b≥2ab ·1ab＋2b a ·ab ＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab ，b a ＝ab ，即a ＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；由于(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，“＝”成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立． 综上，恒成立的是①②③.9．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明：a ＋b ≥2.证明 由于a >0，b >0，则a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，由于a ＋b >0，则ab ＝1，即有a ＋b ≥2ab ＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取得等号，∴a ＋b ≥2. 10．(1)设0<x <32，求4x (3－2x )的最大值；(2)已知a >b >c ，求(a －c )⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c 的最小值．解 (1)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵0<34<32，∴4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. (2)(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝(a －b ＋b －c )⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c. ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，∴2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c＝4， 当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c 的最小值为4.11．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 12．已知a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( )A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥2ab D.2ab a ＋b>ab 答案 D解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥ 22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立；∵a 2＋b 2≥2ab >0， ∴a 2＋b 2ab≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，a >0，b >0，∴2ab a ＋b ≤1，2ab a ＋b≤ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立．13.x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 2＋2 3解析 令x －1＝t ，则x ＝1＋t 且t >0，∴x 2＋2x －1＝1＋t 2＋2t ＝t 2＋2t ＋3t＝t ＋3t＋2≥23＋2. 当且仅当t ＝3t，即t ＝3， x ＝3＋1时，等号成立．14．已知x >0，y >0,2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________．答案 32解析 因为x >0，y >0,2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22 ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.15．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式恒成立的是________．(写出编号)①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 答案 ①③⑤解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，∴①恒成立； 当a ＝b ＝1时，a ＋b ＝2>2，故②不恒成立；a 2＋b 2≥a ＋b22＝2，∴③恒成立；当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2<3，∴④不恒成立；1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＋b a ≥2， ∴⑤恒成立．故填①③⑤.16．若0<x <12，求x 1－4x 2的最大值． 解 由x 1－4x 2＝x 21－4x 2＝14·4x 21－4x 2＝124x 21－4x 2≤12·4x 21－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x 2＝18， x ＝24时取“＝”，故x 1－4x 2的最大值为14.。
2.2基本不等式
2
ab
AC = DC E DC BC
Rt△ACD∽Rt△DCB，
DC2 BC AC ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
例1 若 x 0,求 y x 1 的最小值. x
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
我们把
ab 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b,CD=＿＿＿＿
简称为： 1、积定和最小，和定积最大；
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
利用基本不等式 a b ab求函数的最值时需要同时 满足以下三个条件：2
2.2基本不等式:
ab a b 2
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立. 适用范围： a,b∈R
第二章 2.2 第一课时 基本不等式
ab＝4，a＋2 b＝5，所以 a<
a＋b ab< 2 <b.
答案 B
规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). 2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
x2＋2 【训练1】 比较大小： x2＋1 ________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析 由于 a2＋1－a＝a－122＋34>0，故①恒成立；
由于a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ba＋ab≥2
ab·a1b＋2
ba·ab＝4.当且仅当abab＝＝aba，1b，即
a＝b＝1 时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 成立，故③恒成立；
1 A.2
B.a2＋b2
C.2ab
D.a
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·a＋2 b2＝12.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0<a<b 且 a＋b＝1，∴a<12.∴a2＋b2 最大.
答案 B
3.若 x>0，则 x＋1x________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”).
证明 ∵a，b 均为正实数，∴a12＋b12≥a2b，∵a2b＋ab≥2 2，∴a12＋b12＋ab≥2 2(当 且仅当 a＝b 时取等号).
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数 学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅 当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当 a＝b 时，a＋2 b＝ ab；另一方面：当a＋2 b＝ ab时，也有 a＝b.
高一数学2.2基本不等式笔记
高一数学2.2基本不等式笔记一、基本不等式的内容。
1. 定义。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时，等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 基本不等式√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 当且仅当a = b时，等号成立。
- 证明：- 因为(√(a)-√(b))^2=a - 2√(ab)+b≥slant0（a>0,b>0）。
- 移项可得a + b≥slant2√(ab)，即√(ab)≤slant(a + b)/(2)。
二、基本不等式的几何解释。
1. 对于a^2+b^2≥slant2ab- 设直角三角形的两条直角边为a和b，则斜边为√(a^2)+b^{2}。
- 根据直角三角形的面积，S=(1)/(2)ab，同时S≤slant(1)/(2)×frac{a^2+b^2}{2}（当且仅当a = b时取等号），这就从几何角度解释了a^2+b^2≥slant2ab。
2. 对于√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 设a，b为正数，以a + b为长的线段AB，点C将AB分成AC=a，CB = b。
- 以AB为直径作半圆，过点C作CD⊥ AB交半圆于点D，则CD=√(ab)，半径r=(a + b)/(2)。
- 由图形可知CD≤slant r，即√(ab)≤slant(a + b)/(2)，当且仅当a = b时，C为AB中点，等号成立。
三、基本不等式的应用。
1. 求最值。
- 已知x>0,y>0，若xy = P（定值），则x + y≥slant2√(xy)=2√(P)，当且仅当x = y=√(P)时，x + y取得最小值2√(P)。
- 若x + y = S（定值），则xy≤slant((x + y)/(2))^2=frac{S^2}{4}，当且仅当x = y=(S)/(2)时，xy取得最大值frac{S^2}{4}。
2.2基本不等式
课堂探究
基本不等式：
a +b
ab ≤
（a > 0, b > 0,当且仅当a = b时，等号成立）
2
证明：a b ab a b 2 ab
2
2
a b
2
2
2 a b
作差法
2
a b
2
0 （当且仅当a
ab
ab
所以，如果 a 0, b 0 ，那么
2
巩固训练
5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的
长度各为多少时，两条直角边的和最小? 最小值是多少?
解：
设两直角边长分别为a , b，则有ab 100.
由基本不等式，可得a b 2 ab 20，
当且仅当a b=10时，上式等号成立，
∴当两直角边的长度都为10cm时，两直角边和最小，且最小值 20.
3. 做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面
的边长取什么值时，用纸最少?
解: 设长方体的底面相邻两条边长分别为x m, y m，则有
2xy=32，即xy=16. 根据题意，有
S表面积 2( xy 2 x 2 y ) 32 2( x y )
32 2 xy 40.
第二章 一元二次函数、方
程和不等式
2.2 基本不等式
复习导入
问题：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么是
否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的
重要作用呢？
重要不等式： 一般地，∀ a，b∈R，有
a2+b2≥2ab
2.2基本不等式课件(人教版)
1
取得最小值？最小值是多少？
2
≠ 0，也就是 ≠ 0，
1
1
2
+ 2 ≥ 2 ∙ 2,
1
2
+ 2 ≥ 2.
1
2
当 = ±1时， + 2 取得最小值2.
2
15
巩固练习
人教A版必修第一册
4.已知−1 ≤ ≤ 1,求1 − 2 的最大值。
解：当 = ±1时，1 − 2 = 0.
（2）如果和 + 等于定值，那么当 =
1 2
时，积有最大值 .
4
证明：因为, 都是正数，所以
+
≥ .
2
+
（1）当积等于定值时，
≥
,所以
（2）当和 + 等于定值时，
2 ≤ 2 ,所以
+ ≥12 2 ,
≤ ,
当且仅当 = 时，上式等号成立。于是，当
= 时，和 + 有
4
当且仅当.= 时，上式等号成立。于是，当 = 时，积有最
最小值2
1 2
大值 .
4
11
课堂小结
人教A版必修第一册
基本不等式：
• 基本不等式
• 求最大值和最小值
12
巩固练习
人教A版必修第一册
1.已知, ∈ ,求证 ≤
证明：
因为∀, ∈ , −
2.已知函数 =
A.2
B.4
2 2
8
+ 2 , 则函数的最小值为（
+1
C.6
）
D.8
Hale Waihona Puke 18课堂小测3.已知0 <
2.2基本不等式
显然上式成立.
新课
重要定不理等式1：对于任意实数 a, b ，我们有
a2 b2 2ab，当且仅当a b时等号成立
基本定不理若 等式2a：
若0, ba
00,,则b a
0,则 b a2abab
a
2
b
ab
2
当且仅当当且a仅 当 b时a取 等 b时号取等号
推广：ab a b
例3:某工厂要建造一个长方体形无盖贮 水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池 底每平方米的造价为150元,池壁每平 方米的造价为120元,怎样设计水池能
解 答解 答解 答解 答解 答 :当 ::当 :当 ::解 答设 将 最设 将 最设 将 最:当 :使且 根 :当 :Z且 根 Z且 根 Z设 将 最 :当 :设 将 最 底 ==水 低 =底 ==水 低 ===低 底 水 =且 根 设 将 最 Z且 根 仅 据 22总Z1仅 据 221仅 据 221底 ==水 低 且 根 =Z底 水 低 ==面 44池 总 =5面 44池 总 544总 面 池 5仅 据 22底 ==水 低 1=仅 据 220题 00当 1造0题 00当0题 00当面 44池 总 仅 据 2251的 00的 造 面 池 总 445的 00的 造00造 的 的0题 00当 面 44池 总 5意 0040题 00当意 004意 004价的 00的 造 0题 当 的 的 造 00长 00地 价 8X长 00地 价 8X300价 长 地 8意 004的 的 造 X3意 004,++03=,++0=,++0长 00地 价 8意 4=最X0长 地 价 008有 为 77面 是X30有 为 77面 是301有 77是 为 面,++0长 00地 价 81=X22,++01=223+2260+有 为 77面 是 ,++6=0+00设 有 为 面 是 77X低6x2100设 X1x200设 10X2210有 为 77面 是 x20221(+096(1+209(600设 222X092x2设 002计 X01+x2Xm70计 620?1Xm7计 00(00设 XXm70 9x2(2160 9+,(2260 最+,(计 (26+,(Xm79计 1成 02宽 00Xm71成 02宽 021成 1 2计 宽 061 2X+,Xm76(0610X+,6(× 0X66× 1成 0低宽 066× 边 =+,1成 02(X宽 06为 边 =元 102X为 边 =元 100XX61成 为 元 00宽 X046× 2000461× 30406边 =3X06X00为 0边 =3长 元 总0× X00为 =长 元 xY060=长 xY004边 ==XxY,为 04)元 3,20)+=3,20)0+=长 0420=+为 =长 xY3为 =90造xY2为 9,204)长 9,224=)+=xY2724+=× 27为 × ,238)7X为 × 93822X+=469382X4446价4为 44X06=274X09× =22070X03× =03804X0300380X0Y423607004Y× 4600y04YmX038=0Xy0mX0==0是04y06m3=0=0400.3=)的 00=0XY.=)的 00=40Y.的 )0y4300m00y4=00m1=Y=01=00==.01)的 0y0=+多m.)的 02正 +64=2正 +640=时 正 2X.6=)的 071时 X=471时 004X4700+0402正 =+2610方 2正 0少260时 0方 X027+时 0方 ,X0042正 70,60040,0时 0X等 2700方 0等 420方 0形 0等,0形 ?20m,0形02方 0m0020m等 0,0等 ,号 00形 ,号 0形 +,号 2时 m等 +2水 时 m+0水 形 时70水2,号 7m,号 7成+0成 时 2x+成 水 时 总 2x,号水 池 总 2x7池 +总时 70池水 成 0立 成 02x7立 1总 2x立 1造 池 总 成 1总 (造 池0总 (2x造 6总 0总 (6立 池x6X立 1xX010造 xX总 (0造 价 立总 (0造 +价 61造 +价 06造 造 +x0X总 (x0YX06Y0价 Yx造 +X价 最)造 +价 0最)价 0最价 )价 Y造 +Y0最)Y低 价 最)为 低 价为 低最 为)价低X为 低 ,为 ,Z,低 Z为 Z元,元,元ZZ,元 Z元元
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2.2 基本不等式
复习回顾：
上一节我们学习了不等式的基本性质
重要不等式： a2+b2≥2ab 当且仅当 a=b时,等号成立
基本不等式：
特别地：
ab ≤ a b
2Байду номын сангаас
基本不等式
当且仅当a=b 时,等号成立。
叫a,b的几何平均数
叫a,b的算术平均数
用基本不等式时要注意满足三个条件： 一正、二定、三相等．
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
要证 只要证
abab 2
（1）
2a b a b（2）
分析法执果索因）
要证（2），只要证 2 a b a b 0 （3）
要证（3），只要证 ( a b ) 2 0 （4）
要证（4），只要证
2
ab 0 （5）
显然，（5）是成立的。当且仅当a=b时， （5）中的等号成立。
2(x y) 40.
所以x y 2 100. 当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆 是40 m.
例3:
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 1 S 2 。 4
例3: (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
因为 x y xy， 2
则 2(x + y)= 36, x+ y=18，
矩形菜园的面积为xy m2 .
因为 xy x y 18 9，得xy 81. 22
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最 大面积是81 m2 .
例4:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池 底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总 造价最低，最低总造价是多少元？
确定定值
解： x 0 ,所 因 x 1 以 为 2x •1 2
x
x
当且仅 x1当 ,即 x21,x1时，等号成立， x
因此所求的最小值为 2
等号成立的条件
通俗的说用基本不等式求最值时必须满足： “一正，二定，三相等。”
例2： 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
解：设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 1600 ,水池的总造价为y元，根
据题意，得
x
y 150 4800 120(23x 23 1600) 240000 720(x 1600)
3
x
x
240000 ＋720 2 x 1600 x
240000＋720240 297600.
当 x 1600 即x x
40
时y有最小值297600
所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低造价是297600元
D
①如何用a, b表示OD?
ab OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=___a_b__
A a OC b B
E ③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥___CD （当且仅当O、C重合取等号）
a2b≥ ab
当且仅当a=b 时,等号成立。
几何意义：半径不小于弦长的一半
明确x 0
例1、已知x 0,求x 1 的最小值。 x
已 a 0 知 ,b 0 ,求 a 证 b a b 2
证明：
a0,b0
a 0, b 0
ab abab2 ab( a b)2 0
2
2
2
当且仅a当b时，等号成立
abab 2
接下来，我们再来欣赏另一种利用几何图形来解释基本不等式。
作差法：
探究：
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD。 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？.