函数的表示法(公开课)(课堂PPT)

值域为 [b4,b3]
(3) x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 1 8 27 64 125 216 343 512
(3)、定义域为 {1,2,3,4,5,6,7,8}
值域为 {1,8,27,64,125,216,343,512}
思考交流
2.下面图形是函数图像吗？
y
y
1
O1
x
1
O1
x
y
1
O1
2.40
4.80， 60<m≤80，
这样的1.20 函数称为
6.00， 80<m≤100. 分段函数 o
20 40 60 80 100 m/g
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的 不同部分，有不同的对应法则的函数，
对它应有以下两点基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域是各段值域的并集。
f(x)3x5 f(5)355 20
f (x1) 3(x1)5 3x8
二、【换元法】
解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量 去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。
已知 f (g(x)) 的表达式，欲求 f (x) ，我们常设 t g(x)
例 2、已f知 ( x1 函 )x 数 2x,求 f(x). 解： ① 令 x1t(t1）②则 ， x(t1)2(t1),
有些函数的图像难以 不够形象、直观，
精确作出
一些实际问题难以找到它的
解析式
例1 某种笔记本每个5元,买x（x∈{1,2,3,4,5}）个笔记本需要 y(元).试用三种表示方法表示函数y=f(x).
解：这个函数的定义域是数集 {1,2,3,4,5}， 解析法表示: y=5x, (x∈{1,2,3,20，30)，(30，0)得
20k+b=30
0 5 10 15 20 25 30
t/s
k=－3
30k+b=0
b=90
v= － 3t+90
例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图,
用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.
v/(cm/s)
v(2)=
解 速度是时间的函数，解析式为
60<m≤80 4.80
80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数的解析式.
分段函数不是几个
解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图。函数，而是同一个
函数的解析式为 1.20， 0<m≤20，
函数在不同范围内 的M/表元示方法不同
1.20
M＝
4.80
2.40， 20<m≤40，
3.60
3.60， 40<m≤60，
3、解析法
把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做
函数的解析表达式，简称解析式。
正比列函数 ykx(k0)
y 3x
函
反比列函数 y k (k 0)
x
y 2 x
数 解
一次函数 yk xb(k0)
y2x15
析
二次函数 ya2xb xc(a0) yx25x6
式
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式（简称解
2 k x 3 k 2 b 2 x 9 2k2
由怛等式的性质，得
3k2b9
k 1 b3
故所求函数的解析式为 f(x)x3
三、【待定系数法】
若已知 f ( x) 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，
列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得
已知 f (g(x)) 的表达式，欲求 f (x) ，我们常设 t g(x)
解题步骤： ① 令g(x)t
②等式变形(用 t 表示 x ）
③把 x 换成 t
④把 t 换成 x
练 f( 习 x 1 ) x 2 、 2 x 2 ,求 f( x ).
解① ：x 令 1t, ② 则xt1
③ f(t) (t 1 )2 2 (t 1 ) 2 t2 2 t 1 2 t 2 2
10
30, ( 10 ≤t ＜20),
5
-3t+90,(20 ≤ t≤30).
0 5 10 15 20 25 30
t/s
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
思考交流
1.写出下列函数的定义域、值域： （1）f(x)=3x+5; （2）f(x)的图像如图；
(1)、定义域和值域都是 R (2)、定义域为 [a1,a2]∪[a3,a4]
析式）表示出来，这种方法称为解析法。
解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可 以通过解析式求任意一个函数值。三是能便利研究函数性质。
解析法的缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。
1、h=130t-5t2 （0≤t≤26） 2、南极臭氧层空洞
解析法
图象法
3、恩格尔系数
列表法
§2.2.2 函数的表示法
在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函数,可以从不 同的角度帮助我们理解函数的性质,是研究函数的重要手段.
初中我们学习过,函数的表示方法通常有 三 种,它们是 列表法 、 图像法 和 解析法 。
1、列表法
在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间 的函数关系。比如，某天一昼夜温度变化情况如下表
,40 ,60
], ],
o
4
.2800
,
4m06(0608,0801]0, 0
m/g
6 .00 , m (80 ,100 ].
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
邮资(M)/元 1.20
20<m≤40 2.40
40<m≤60 3.60
求分段函数的值时，
t/s
首先应确定自变量在定义域中所在的范围;
再按相应的对应法则求值
例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图, 用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.
v/(cm/s)
解: 解析式为
30
25
20
t+10, (0 ≤ t<5),
15
v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10),
列表法表示: 笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y
5 10 15 20 25
y
图象法表示： 25
20 15 10
5
．．．．．
0 12345 x
例2 、请画出函数 y | x |的图像:
解:由绝对值的定义，得:
x, x0 y | x | x, x＜0
它的函数图像为第一和y 第| x | 二象限的角平分线. y
t2 1
④ f(x)x21
三、【待定系数法】
若已知 f ( x) 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，
列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得
f 的( x表) 达式。
ykx(k0) y k (k 0) yk xb(k0) ya2xb xc(a0)
正比列函数
x
反比列函数
一次函数
二次函数
时刻 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00
温度/(OC) -2 -5 4
9
8.5 3.5 -1
像这样，用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，
称为列表法。
列表法的优点：不必通过计算就能知道两个变量之间的 对应关系，比较直观。
列表法的缺点：它只能表示有限个元素间的函数关系。
x
对于每一个自变量是不是 有唯一的值和它对应
思考交流
3.下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是（ D）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
思考交流
4. 设M=[0,2], N=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:M→N的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思考交流
解析法
(6)某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：
温度
8
T （℃）
6
4
２
0
２
时间
２ ４ ６ ８1
1
1
1
1
2
2
t2
( 时
0 2 4 6 8 0 2 4)
图象法
函 列表法 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法。
数
的 图像法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法。 表
示 法
解析法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式
函数的解析式为
1.20， 0<m≤20，
M＝
2.40， 20<m≤40， 3.60， 40<m≤60，
4.80， 60<m≤80，
6.00， 80<m≤100.
M/元
1.20
4.80
3.60 1 .20 , m (0 ,20 ],
2.40
M1.20
2 3
.40 .60
, ,
m m
( 20 ( 40
可把 g ( x) 看成一个整体，把右边变为由 g ( x) 组成
的式子，再换元求出 f ( x) 的式子。
例 1 、已 f(x 1 知 ) 5 x 3 函 ,求 f(x )数 f,(3 )f,(x 1 ). 解 f( x ： 1 ) 5 ( x 1 ) 8