第8讲 函数与方程

第八讲《函数与方程》

【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。【基础知识回顾】：

1、

2.用二分法求方程近似解的一般步骤：

【基础知识自测】

1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ∙<0，则方程0)(=x f 在区间⎣⎦b a ,上 （ ） （A ） 至少有一实根 （ B ） 至多有一实根 （C ）没有实根 （ D ）必有唯一的实根

2、函数x

x f x 2ln )(-

=的零点所在的大致区间是（ ）

（A ） （1，2） （ B ） （2，3） （ C ） （e,3） （ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（ ）

（A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点 （B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点

5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是

① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根

③当0

【典型例题剖析】

一、确定函数的零点

例1、判断方程0243

=--x x 在区间[]0,2-内至少有几个实数解，并说明理由。

跟踪练习：已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x,f(x)对应填表：

则函数在区间[]61，

上的零点至少有（ ）

A 2个

B 3个

C 4个

D 5个 二、用二分法解决函数的零点问题

例2、用二分法求函数f(x)=13--x x 在区间⎥

⎦⎤

⎢⎣

⎡23,1内的一个零点。(精确到0.1)

跟踪练习：已知函数f(x)=4323-+-a ax ax 在区间（-1，1）上有零点

（1） 求实数a 的取值范围。

（2） 若a=

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32,用二分法求方程f(x)=0,在（-1，1）上的根。

三．函数与方程综合问题

例3、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(。

（1） 若a>b>c,且0)1(=f ，试证明)(x f 必有两个零点； （2） 若对R x x ∈2,1且,21x x <)()(21x f x f ≠,方程)]()([2

1)(21x f x f x f +=

有两个不等

实根，证明必有一实根属于（2,1x x ）。

跟踪练习：若方程,cos sin 3a x x =+在x ∈[]π2,0上有两个不同的实数解21,x x ，求a 的取值

范围，以及此时21x x +的值。

《第八讲 函数与方程》当堂检测

班级 姓名 分数

1．函数

x

x f x

9lg )(-

=的零点所在的大致区间为（ ）

A （6，7）

B （7，8）

C （8，9）

D （9，10）

2.已知函数f(x)=2log )2(-+-x x

a ,若f(x)存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A [)(]∞+-∞-，，44 B [)∞+，1 C [)∞+，2 D [)∞+，4 3.若函数f(x)=x a -x-a(a>0且a 1≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 4．已知函数f(x)=x 2

1log

，则方程)

()

2

1

x f x

=（的实根个数是

5.已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p 的取值范围。

《第八讲 函数与方程》课后定时达标训练

命题人：陈强 审核 ：董茂庆 2010.9

1．已知函数f(x)=ax+b 有一个零点2，那么函数g(x)=ax bx -2的零点是（ ） A 0，2 B 0，

2

1 C 0，2

1-

D 2，2

1-

2.已知函数f(x)为偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 （ ） A 0 B 2 C 1 D 4 3．关于x 的方程12-x =k,给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有1个零根； ②存在实数k ，使得方程恰有1个正根； ③存在实数 k ，使得方程恰有1个正根，一个负根；④存在实数k ，使得方程没有实根 ④存在实数k ，使得方程没有实根 其中真命题的个数是（ ）

A 1

B 2

C 3

D 4 4.设函数)0(ln 3

1)(>-=

x x x f x

，则y=f(x) ( )

A 在区间)1,1(e ，),1(e 内均有零点

B 在区间)1,1(e

，),1(e 内均无零点 C 在区间)1,1

(e

内有零点，在区间),1(e 内无零点 D 在区间)1,1(e 内无零点，在区间),1(e 内有零点

5.关于x 的二次方程01)1(2

=+-+x m x 在区间[]2,0上有解，则实数m 的取值范围为 。

6.设函数32)(2--=x x x f ，（1）求函数f(x)的零点； （2）讨论方程k x x =--322（k R ∈）解得情况。