高考数学-抛物线知识点

高考数学-抛物线

抛 物 线

)

0(22>=p px

y

)0(22>-=p px

y

)

0(22>=p py

x

)0(22>-=p py

x

定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF

M

=点M 到直线l 的距离}

范围 0,x y R ≥∈

0,x y R ≤∈

,0x R y ∈≥

,0x R y ∈≤

对称性 关于x 轴对称

关于y 轴对称

焦点 (2

p

,0) (2

p

-

,0) (0,

2

p ) (0,2

p -

) 焦点在对称轴上

顶点 (0,0)O

离心率 e =1

准线 方程 2

p x -

= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准线的距离 2

p 焦点到准线的距离 p

焦半径

11(,)A x y

12

p AF x =+

12

p AF x =-+

12

p AF y =+

12

p AF y =-+

1. 直线

，抛物线

，

，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

x

y

O l

F

x

y

O

l F

l

F x y O

x

y

O l

F

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l ：b kx y += 抛物线

，)0(φp

① 联立方程法：

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB 的弦长

2

12

212

212

4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆

+=2

1 或

212

2122124)(1111y y y y k

y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点坐标

),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

12

12px y = 22

22px y = 将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点

为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--， 即0

y p k AB =

， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）