高考数学-抛物线知识点

高考数学-抛物线
抛 物 线
)
0(22>=p px
y
)0(22>-=p px
y
)
0(22>=p py
x
)0(22>-=p py
x
定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MF
M
=点M 到直线l 的距离}
范围 0,x y R ≥∈
0,x y R ≤∈
,0x R y ∈≥
,0x R y ∈≤
对称性 关于x 轴对称
关于y 轴对称
焦点 (2
p
,0) (2
p
-
,0) (0,
2
p ) (0,2
p -
) 焦点在对称轴上
顶点 (0,0)O
离心率 e =1
准线 方程 2
p x -
= 2
p x =
2
p y -
= 2
p y =
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准线的距离 2
p 焦点到准线的距离 p
焦半径
11(,)A x y
12
p AF x =+
12
p AF x =-+
12
p AF y =+
12
p AF y =-+
1. 直线
，抛物线
，
，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

x
y
O l
F
x
y
O
l F
l
F x y O
x
y
O l
F
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线l ：b kx y += 抛物线
，)0(φp
① 联立方程法：
⎩⎨⎧=+=px
y b
kx y 22
⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB 的弦长
2
12
212
212
4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆
+=2
1 或
212
2122124)(1111y y y y k
y y k AB -++=-+
=a
k ∆+=2
1 b. 中点坐标
),(00y x M , 2210x x x +=
， 2
2
10y y y += ② 点差法：
设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得
12
12px y = 22
22px y = 将两式相减，可得
)(2))((212121x x p y y y y -=+-
2
121212y y p
x x y y +=
--
a. 在涉及斜率问题时，2
12y y p
k AB +=
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点
为),(00y x M ，
021*******y p
y p y y p x x y y ==+=--， 即0
y p k AB =
， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p
x p x p x x k AB 0
021222==+=
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）。