考点12 函数模型及其应用(教师版)单元检测系列(基础类) 备战2021年高考

考点12 函数模型及其应用

1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2

B ．（p ＋1）（q ＋1）－12

C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1

【答案】D

【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D.

2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋

])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH －

])的乘积等于常数10

－14

.已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋

]，健康人体

血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋

]

[OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg

3≈0.48)( ) A.12 B ．1

3

C ．16

D ．110

【答案】C

【解析】∵[H ＋

]·[OH －

]＝10－14

，∴[H ＋

][OH －]

＝[H ＋]2×

1014，∵7.35<－lg [H ＋

]<7.45， ∴10

－7.45

<[H ＋

]<10

－7.35

，∴10

－0.9

<[H ＋

][OH －]

＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9

>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10

－0.7

<13<12，∴110<[H ＋

][OH －]<1

3

.故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③

D ．①②③

【答案】A

【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的1

2，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水

口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.

4、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋

b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时

【答案】C

【解析】由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋

b ＝e 22k

＋ln 192

＝192e 22k ＝192(e 11k )2，

∴e 11k

＝⎝⎛⎭⎫481921

2＝⎝⎛⎭⎫141

2＝1

2

.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭

⎫123

＝24(小时)． 5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a

2 x (a >0)．若不管资金如何投入，经销这两种

商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( ) A. 5 B ．5 C ． 2 D ．2

【答案】A

【解析】设投入x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a

2·20－x .令y ≥5，

则x 4＋a 2·20－x ≥5对0≤x ≤20恒成立．∴a 20－x ≥10－x 2，∴a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立．∵f (x )＝1

220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x

2也成立，∴a m i n ＝ 5.故选A.

6、某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费

f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，

C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2018年

前三个月的煤气费如表：

三月份

35 m 3 19元

若四月份该家庭使用了20 m 3A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元

【答案】A

【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝1

2，

C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，

所以f (20)＝4＋1

2

(20－5)＝11.5.

7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同

D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 【答案】A

【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业

额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ），因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月

份甲食堂的营业额较高．

8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据

根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 【答案】3.75

【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，

所以当t ＝3.75时，可食用率p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．

9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定