坐标法解立体几何解答题
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坐标法解立体几何解答题
教学目的：1、熟练掌握空间向量的有关知识；
2、能灵活运用坐标法解决立体几何解答题的有关问题；
3、进一步提高学生的空间想象能力和运算能力。
教学重点：1、建立适当的空间直角坐标系；
2、正确写出点的坐标；
3、求平面的法向量；
4、灵活运用坐标法解决空间角、空间距离等问题
教学难点：求平面的法向量 授课类型：专题复习 教学方法：启发引导式 教具准备：幻灯片20张 教学过程：
一、复习引入：
空间向量解决立体几何问题主要有两个基本方法：坐标法与基底法。本节课着重研究利 用坐标法解决立体几何解答题。 1、空间向量的有关知识：(幻灯片投影)
（1）设点)z ,y ,B(x )z ,y ,A(x 222111、，则),,(121212z z y y x x AB ---=→
； （2）设向量),,(),,,(222111z y x b z y x a ==→
→，则 ① 212121z z y y x x b a ++=⋅→
→；
② →a ∥),,(),,(222111z y x z y x b a b λλ=⇔⋅=⇔→
→→； ③ 0212121=++=⋅⇔⊥→
→→→z z y y x x b a b a ； （3）设向量),,(z y x a =→
，则222z y x a ++=
→
；
（4）→
→→
→→
→→→⋅>= a b a b a ,cos b a 的夹角：、 向量； 2、坐标法解决立体几何解答题的步骤：(幻灯片投影) （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）写出相应的点的坐标； l （3）解决问题：(幻灯片投影) （一）求空间角问题： 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角。 ① 求异面直线所成的角： 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量， 则两异面直线所成的角α=arccos | ||||| a b a b 。 ② 求线面角： 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角 2 ,,2 π π θ- ><><-= → →→→n l n l 或 ③ 求二面角： 法一：在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图， 则二面角l αβ--的平面角b a b a ⋅⋅=arccos α 法二：设m n 、 是二面角l αβ--的两个半平面的 法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧， 则二面角l αβ--的平面角n m n m ⋅⋅=arccos α （二）求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法。 设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ⋅== 二、例题讲解： 例1、四棱锥ABCD S -中，0 90=∠=∠ABC DAB ，⊥SA 平面ABCD ，a AD 2=， a BC AB SA ===。 （1）求证：平面⊥SAC 平面SCD ；（2）求A 到平面SCD 的距离； （3）求SD 和AC 所成的角．（苏州中学高三数学第一次模考试卷）(幻灯片投影) （1）证明：轴为轴，为如图，以y AD x AB ，xyz A -建立空间直角坐标系， 则()0,2,0()0,,()0,0,0(S a D a a C A 、、、 ),0,0(),0,,(a SA a a AC ==→ → , ,),,(111→ → → → → ⊥⊥=SA m AC m SAC z y x m 则的法向量，是平面设 )0,1,1(,0,110 0000111111-=∴=-==⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=++=⋅∴→ →→→ → m z y x az SA m ay ax AC m ，得取 ), 0,,(),,2,0(,,),,(222a a CD a a SD CD n SD n SCD z y x n -=-=⊥⊥=→ → → →→→→而的法向量，则是平面设 )2,1,1(,2,11,0 00202222222=∴===⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=-+=⋅∴→ →→→ →n z x y ay ax SA n az ay SD n ，得取 SCD SAC n m 平面平面⊥∴=⨯+⨯-+⨯=⋅∴→ →, 0201)1(11； （2）解：的法向量是平面）知由（ SCD n )2,1,1(1=→ ， a a n n SA d SCD A 3 6 6 2= = ⋅= ∴→→ → 的距离到平面 （3）解：)0,,(),,2,0(a a AC a a SD =-=→ → 5 10252,cos 2= ⋅= ⋅⋅>= <∴→ → → →→ →a a a AC SD AC SD AC SD ， SD ∴和AC 所成的角就等于 另解：（传统方法） （1）AC CD == ，又2AD a =，