第二章算符

2. 算符的对易： ˆB ˆ , 则称算符 A ˆ 与B ˆB ˆA ˆ 对易; 反之为非对易。 若A 一般情况下 , 算符的乘法不对易。 ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆ B ˆA 算符的对易关系式定义 为 : [ A 例如 : [ , x ] 1 x 证明 : [ , x ] f ( x ) [ xf ( x )] x f ( x) f ( x) x x x x f ( x) x f ( x ) f ( x ),即： [ , x] 1 x x x
将动量算符的形式代入上式, 得到动能算符为: 2 2 ˆx ˆ2 ˆ p p p 1 2 2 2 y z ˆ K {( i ) ( i ) ( i ) } 2m 2m x y z
2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2) 2m x y z 2m






ˆ 是厄米算符 . 因此 , A
定理 1：厄米算符的本征值是 实数。 ˆ 是厄米算符， g为它的本征函数， 证明：若 A ˆ g ag， ˆ g )* a * g *， 本征值为 a，即： A (A 根据厄米算符的定义， 可以得到： ˆ gd g ( A ˆ g ) * d , 即： g *A

i
j

j
i
a j i * j d ai j i *d , (注意 ai * ai ) ( a j ai ) j i *d 0, j i *d 0 因此， i 和 j 相互正交。
厄米算符属于不同本征 值的两个本征函 数一定互相正交。具有 相同本征值的本征函 数如何保证它们正交呢 ？这需要运用施米特 (Schmidt)正交化方法。 ˆ , 若存在函数 F和G满足下列 例如 , 对算符 A ˆ F aF, A ˆ G aG, 则F和G具有相同的本 关系 : A 征值 , 令 : 1 F , 2 G cF , 要求 1和 2 正交， 可以求出常数 c。
线性算符满足下列关系 ˆB ˆA ˆC ˆ B ˆ, C ˆ(A ˆB ˆA ˆ C ˆB ˆ )C ˆC ˆ) C ˆ (A ˆ 是线性算符 , 则 一般而言 , 若A ˆ a ( x) A ˆ n a ( x) A ˆ n 1 a ( x ) A ˆ a ( x) C n n 1 1 0 也是线性算符。 例如哈密顿算符：
(3)任意力学量Q的算符表达式为:
ˆ Q( x, y, z, px , p y , pz , t ) Q( x, y, z,i ,i ,i , t ) x y z
例如, 动能算符的写法: 在经典力学中, 动能可以用动量来表示: 2 2 2 p p p 1 y z Ekin m 2 x 2 2m
3. 算符的平方： ˆ2 A ˆA ˆ A ˆ 满足下列关系 4. 线性算符 : 若算符 A ˆ [c f ( x ) c f ( x )] c A ˆ f ( x) c A ˆ f ( x) A 1 1 2 2 1 1 2 2 ˆ 就是线性算符。 则算符 A 例如： [c1 f1 ( x ) c2 f 2 ( x )] c1 f1 ' ( x ) c2 f 2 ' ( x ) x 算符 就是线性算符。 x 但算符 log, 等就不是线性算符。
即：
* d F * (G cF )d F * Gd c F * Fd 0 c F * Gd / F * Fd
1 2
这样就得到两个具有本 征值的相互正交 的本征函数。即：
1 F , 2 G F F * Gd / F * Fd
2 1 2nx x (1 cos )dx l 0 2 l 1 2nx ( xdx x cos dx) l 0 l 0
l l
1 1 2 l l 2nx ( x |0 xd sin ) l 2 2n 0 l
l
l 1 2nx l l 2nx l [( x sin ) |0 sin dx] 0 2 2n l l 2
例题 : 根据 HMO理论 , 得到环丙烯基 大 键的两个能量 E 的MO为 : 1 1' ( 21 2 3 ) 6 1 3 2 1 2' ( 2 2 1 3 ) 6 1 ' 和 2 ' 是不正交 , 请根据施米特正交化方 法, 求出两个相互正交的分 子轨道。
2 2 2 2 ˆ （ H 2 2 ) V ( x, y , z ) 2 2 m x y z
就是线性算符。
5. 本征方程 、 本征值和本征函数 (eigenequa tion,eigenvalueand eigenfunct ion) ˆ 作用到函数 f ( x )上得到一个常数 如果算符 A 乘以该函数 f ( x ),即 : ˆ f ( x ) kf ( x ) A 则该方程就是本征方程 ,函数 f ( x )就是算符的 本征函数 , k是本征值。 ˆ E就是本征方程， 例如：薛定谔方程 H 波函数 是本征函数 ,能量 E是本征值。
r
p
ˆ ˆ 因此 : M x i( y z ), M y i( z x ), z y x z ˆ M z i( x y ) y x 2 2 2 2 2 M {( y z ) ( z x ) ( x y ) } z y x z y x


a g *gd aபைடு நூலகம்* g g * d , ( a a*) g g * d 0 因此， a a *，即厄米算符的本征值 是实数。
定理 2：厄米算符属于不同本 征值的两个本 征函数一定互相正交。 ˆ 是厄米算符 , , 为它的本征函数， 证明：若 A i j ˆ a ，A ˆ a ，且 a a 即： A i i i j j j i j 根据厄米算符的定义， 可以得到： ˆ d ( A ˆ ) * d , 即： *A

即: F * F ( x, y , z )dxdydz

当未归一化时 , 公式成为 : * F ( x, y , z )dxdydz F *dxdydz

例题：求一维势阱中 x的平均值。 x
0 l l
2 nx 2 nx sin( )x sin( )dx l l l l
6. 厄米 (Hermite) 算符 ˆ 满足下列关系 定义 : 若算符 A

ˆ gd g ( A ˆ f ) * d 即 : f *A
ˆ | g g | A ˆ | f * 则算符 A ˆ 为厄米算符。 f |A 上述定义与下面的定义 等同： ˆ fd f ( A ˆ f ) * d f *A
第二章
算符及力学量的算符表示
一、 算符 二、力学量的算符表示 三、力学量的平均值
一、算符(Operators)
算符：算符是把一个函 数变成另一个函数 的数学运算符号。 ˆ f ( x ) ˆ 如微分算符 D , Df ( x ) 。 x x ˆ x，x ˆf ( x ) xf ( x )。 位置算符 x 1. 算符的加法和乘法 ˆ A ˆ B ˆA ˆB ˆ , C ˆ 如果 C ˆ A ˆB ˆA ˆB ˆ , ˆ 如果 C C
二、力学量的算符表示
在量子力学中每个力学量对应一个线性厄米算 符, 力学量算符的表达式如何写出呢? (1)时空算符就是它们自己:
ˆt ˆ x, y ˆ y, z ˆ z, t x
(2)动量算符定义为:
ˆ x i p ˆ ˆ , p y i , pz i x y z
对一般平均值有：
N N 其中 n j 是力学量取 F j的次数， N是测量 的总次数 , p j 是测量力学量时得到 F j的 几率。
F F F
i 1 i
N
j
n j Fj
j p j Fj
因此根据波函数的意义 ，可以 得到求平均值的公式： F *F ( x, y , z )dxdydz ,


ˆ x i 是厄米算符。 练习：证明 p x
ˆ 例题：证明 A i 是厄米算符。 x 证明 : 对于波函数 , 则有 ˆ dx *i dx *id * A x * i | id * 0 i * dx x ( i ) * dx (i ) * dx x x ˆ ) * dx,即 * A ˆ dx ( A ˆ ) * dx (A
势能是空间坐标的函数, 即: V = V(x,y,z) 。因 ˆ ( x, y, z) V ( x, y, z) 此, 势能算符与它原来完全一样: V
角动量算符的写法:
M rp x i j y
k z
M
px p y pz ( ypz zp y )i ( zp x xpz ) j ( xp y ypz )k 2 2 2 Mx M y Mz, M M M Mx My M z2
1 解：令 1 1 ' ( 21 2 3 ) 6 1 2 c 1 ' 2 ' [(2c 1)1 (2 c ) 2 ( c 1) 3 ] 6 根据施米特正交化方法 , 得到 : c 1 ' 2 ' d (注意 1 ' 为实函数 , 且是归一的 ) 1 c ( 21 2 3 )(2 2 1 3 )d 1 / 2 6 因此两个相互正交且归 一化的分子轨道 1和 2分别为 : 1 1 1 ( 21 2 3 ), 2 ( 2 3 ) 6 2