人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程单元复习课件

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人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件

2024/9/13
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?

第21章一元二次方程小结与复习人教版数学九年级上册课件(29张PPT)

Δ<0,方程无实数根
根
b
*根与系数的关系
x1 x2 c
a
x1 x2 a
解法
直接开平方法：形如 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) 的方程
配方法：一般形式的方程先配方为 (mx + n)2 = p
(p≥0) 的形式再求解
公式法： x b b2 4ac (b2 4ac ≥ 0) 2a
因式分解法：若方程可变形为 (mx + n)(px + q) = 0
(mp≠0)，则
x1
=
n m
，x2
=
q p
列一元二次方程解实际问题的步骤：审解、、设验、、列答、
应用几种常见类型
传播问题单(双)循环问题平均变化率问题销售问题数字问题几何图形面积问题
考点讲练
考点一一元二次方程的定义例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ A ） A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0.
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
针对训练
2. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 −1 . (2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解，则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 7 ． (3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2023 的值为___2_0_2_2__.

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件

5. 解下列方程： x2－2x=0；
解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2
x2－2x+2=0. 解：x2-2x+1=-1
(x-1)2=-1 方程无解
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达 8000元，销售单价应为多少?
一个未知数
一概念最高次是2
元
整式方程
二
次一般情势： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
Δ>0,方程有两个不等的实数根
根的判别式Δ=b2-4ac Δ=0,方程有两个相等的实数根
Δ<0,方程无实数根
根
b
根与系数的x1 x2 a
因式分解法：若A·B=0，则A=0或B=0
方案设计问题
数字问题
随堂演练
1.方程(2x＋1)(x－3)=x2+1化成一般情势为
，
二次x2项-5x系-4数=0、一次项系数和常数项分别是
.
2. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同1，时-加5，上-44的
是（）
A.x2－C2x=5
B.2x2－4x=5
C.x2+4x=5
D.x2+2x=5
3. 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共有（ C） A.12人 B.18人 C.9人 D.10人
4. 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x, 则由题意列方程为（ D ） A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+200×3x=1000 D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(共18张PPT)

第二十一章一元二次方程
重点归类提升练
一、有理数的解法
1．已知：关于 x 的一元二次方程 x －2(2m－3)x＋4m －14m＋8＝0. 3 (1)当 m＝时，用____________法解方程较为简单； 2 (2)当 m＝0 时，用配方法解方程； (3)当 m＝1 时，用公式法解方程；
2
2
第二十一章一元二次方程
2
图21－Z－1
第二十一章一元二次方程
(2)如果在(1)中正方体打孔后，再在正面中心位置(如图 21－Z －1②所示)从前到后打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为________． (3)如果把(1)(2)中的边长为 1 cm 的正方形通孔均改为边长为
a cm(a≠1)的正方形通孔，能否使打了两个通孔后的橡皮泥块的表 2 面积为 118 cm ？如果能，求出 a 的值；如果不能，请说明理由．
第二十一＜ 40 ， ∴ 8m ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 由求根公式，得 x ＝ 2（2m－3）± 8m＋4 ＝(2m－3)± 2m＋1. 2 ∵方程有两个整数根，∴必须使 2m＋1为整数且 m 为整数． ∵2m＋1 必是奇数，∴ 2m＋1是奇数．又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81， ∴5＜ 2m＋1＜9，∴ 2m＋1＝7，∴m＝24.
第二十一章一元二次方程
二、一元二次方程的应用
2．实验与操作：小明是一名动手能力很强的同学，他用橡皮泥做了一个棱长为 4 cm 的正方体． (1)如图 21－Z－1①所示，在正方体顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ________ cm .
第二十一章一元二次方程

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章一元二次方程
课程结束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

第21章一元二次方程复习(复习课件)九年级数学上册(人教版)

3000(1+x)2=5880
解得x1=-2.4(舍去)，x2=0.4=40%.
答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%.
课堂检测
考点4
人教版数学九年级上册
实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
1.截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第
一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三
二次项系数
一次项系数
常数项
课堂检测
考点1
人教版数学九年级上册
一元二次方程的概念
1.有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0,②3x(x-4)=0,③x2+y-3=0,
1
④ 2 x 2 ,⑤x3-3x+8=0,⑥x2-5x+7=0,⑦(x-2)(x+5)=x2-1.其中是一元二
x
次方程的有( A )
知识梳理
考点4
人教版数学九年级上册
实际问题与一元二次方程—几何问题
例5 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样
宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的
宽应为多少？
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
4.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0,
求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.
∵m+2≠0，∴m≠-2，
∴m=2.
课堂检测
考点2
人教版数学九年级上册
一元二次方程的根

九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(新版)新人教版

好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好
友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n= . 10
5. 2014年，某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转
决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为每平方米3240元．
二次项系数是含字母系数切记不要忽略a ≠0. 用自己最熟练的方法就是最好的方法 . 传播问题，平均变化率问题，几何面积问题，数字问题，握手问题与球赛问题必须熟练掌握 .
课后训练
1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（） B
Δ =0
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；方程没有实数根.
Δ <0
配套训练 1.下列所给方程中，没有实数根的是（
） D
A. x2+x=0
C.3x2-4x+1=0
B. 5x2-4x-1=0
D. 4x2-5x+2=0
2.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）． 0
程并求解.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，
列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0. 解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图1
图2
方法归纳解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会

数学九年级人教版第21章一元二次方程复习课件(共17张PPT)

y 4

y2

0
(√ )
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一
般形式是：2_x2_-_3x_-_1=_0_____, 其二次项
系数是__2__,一次项系数是__-3__,常数
项是_-1___.
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则（ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
x b2 4ac， b
2a
2
b2 4ac .
2a
(2)当b2 4ac 0时,一元二次方程有两个相等的实数根;
x1

x2

b 2a
.
(3)当b2 4ac0时,一元二次方程没有实数根.
练习：
• 1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是
；
当k
时，方程有实根。
• 2、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则
一、本章知识结构图
实际问题
设未知数，列方程
数学问题
a2 x b x c 0 a 0
配方法解
降
方
程
公式法
次
分解因式法
实际问题的答案
检验
数学问题的解 xb b2 4ac
2a
一元二次方程的概念
等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二面哪些方程是一元二次方程
( 1 ) x 2 - 3 x + 4 = x 2 - 7 ( ×)
(2) 2 X 2 = -4
(√ )
( 3 ) 3 2 X + 5 X - 1 = 0 (×)

人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程章节复习课件

值为___1__.
解：由题意知x＝1是 x2＋mx＋n ＝0的一个根，则1＋m＋n＝0求得m＋n＝－1 又∵ m2＋2mn＋n2 ＝ (m＋n)2 则 m2＋2mn＋n2 ＝ (－1)2 -x-1=0的一个根，求a3-2a2+2014的值．
解：将x=a代入方程得：a2-a-1=0，即a2=a+1，则原式=a2（a-2）+2014 =（a+1）（a-2）+2014 =a2-a-2+2014 =a+1-a-2+2014 =2013．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的应用．此类题型的特点是：利用方程根的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的情势，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值，注意灵活降次是解题关键．
1 一元二次方程的定义
【例1 】若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围
是（ A ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
2.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 数项是 0 .
，一次项系数是 -2 ，常 B
2 一元二次方程的根
【例2 】若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则
m= -1 .
【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.

九年级数学上册第21章一元二次方程章末复习课件(新版)新人教版

平均变化率问题
分裂、传播问题
面积、体积问题
销售利润问题
循环问题
定义一般形式根的情况
解法
列方程解决实际问题
根与系数的关系
一元二次方程
归纳整合
专题一一元二次方程的解法
【要点指导】解一元二次方程的主要方法有四种：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法. 直接开平方法和因式分解法可解特殊的一元二次方程, 公式法和配方法可解任意的一元二次方程. 若没有特别说明, 解法选择的一般顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.
相关题1 解方程：6x2-x-1=0.
解：移项，得 6x2－x＝1. 方程两边都除以 6，得 x2－61x＝16. 配方，得 x2－16x＋1414＝16＋1144，即x－1122＝12454， ∴x－112＝±152，∴x1＝12，x2＝－13.
解一元二次方程时, 要根据方程的特点选择简便的方法. 当方程不含一次项时, 一般采用直接开平方法；当方程不含常数项时, 一般采用因式分解法.
解析设出未知数后，用含未知数的代数式表示出 AM，AN 的长，利用△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的91列出方程求解即可．
解：设经过 t s，△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的91.
根据题意，可得 AM＝t cm，AN＝(6－2t)cm.
所以12AM·AN＝19BC·AB，即 21t·(6－2t)＝91×6×3. 整理，得 t2－3t＋2＝0，解得 t1＝2，t2＝1.
素养提升
专题利用方程思想解决几何问题
【要点指导】运用方程思想解决几何问题, 首先要用含未知数的式子表示出相关线段的长度, 然后利用图形中存在的等量关系构建方程.

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程课件PPT

说明：⑴未知数个数1个。
⑵未知数的最高次数是2次。
一元二次方程
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程
二次项系数
二次项
一次项
一次项系数
常数项
一般形式
a x2 + b x + c = 0
当b≠0,c ≠0时，
当b=0或c =0时，
方程ax2+b x+c=0 (a≠0)叫一般的～
解：
两边开平方，得：
解：
两边同加上1，得
解：
把方程左边分解因式，得
化简，得
例9 解方程
解：
化简得
解：
化简得
较复杂的方程，先整理化简，再寻找合适的解法
练习1 用适当的方法解下列方程
练习2 用适当的方法解下列方程
（x1=-1+ ，x2=-1- ）
（t1= ，t2= - ）
(a≠0, b2-4ac≥0)
例 6用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
解：
直接开平方法
一元二次方程的第二种解法:配方法
配方法的一般步骤：
1）把方程化成二次项系数是1的形式
2）移项整理使方程左边仅有二次项和一次项，右边仅有常数项。
3）配方：方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4）再把方程左边化成完全平方式
5）最后用直接开平方法求方程的解。
求根公式 : X=
∴x=
即 x1=2, x2= -
例7用公式法解方程： x2 +3 = 2 x

人教版九年级数学上册第21章一元二次方程PPT复习课件

2＋1 m 所以当m＝－1时，方程(m－1)x ＋2mx＋3＝0
是关于x的一元二次方程．
将x＝－1代入ax2＋bx＋c＝0，得a－b＋c＝0
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a ＝
4－c ＋ c－－ 4 2，求
2020 （a＋b） 2019c 的值．
4－c≥0，c －4≥0，
x1＋x2＝－2a， x1x2＝ a2＋4a－2
解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤
1 . 2
又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.
1 ，∴当a＝ 2 1 2＋x 2的值最小． ∵ a≤ 时， x 1 2 2 2 1 1 2 2 此时x1 ＋x2 ＝2× －2 － 4＝ . 2 2 1 2 2 即x1 ＋x2 的最小值为 . 2
(4)(10＋x)(50－x)＝800；解：－x2＋40x－300＝0 x2－40x＋300＝0 (x－10)(x－30)＝0
x－10＝0或x－30＝0
∴x1＝10，x2＝30.
(5)【中考· 山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解： 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7
x2－6x＋8＝0， (x－2)(x－4) ＝0，
7．【中考· 赤峰】如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，
为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影
部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 .
17 配色条纹的面积＝5×4× 80
17 80
横条纹的面积＝5x×2 竖条纹的面积＝(4－2x)x×2
(1)求配色条纹的宽度；解：设配色条纹的宽度为x m，依题意得

人教版九年级数学上册课件：第21章一元二次方程的解法复习

选择适当的方法解下列方程:
116
25
x2

1
25x2 2x
33x2 1 4x
4(x 2)2 9x2
5x(3x 7) 2x
6x(2x
7)

49 8
7(2x1)2 (3x1)2 8(x 1)(x1) 2 2x
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
3x
2
2

的值为零，则x

2
按要求解下列方程：
1.因式分解法： 3 x 22 x x 2
2.配方法： 2x2 5x 3 0
3.公式法： 1 x2 x 1 2 y 1 y 1 2 2 y
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
2
解：3y²＋8y －2=0 b²－ 4ac =64 －43(-2)
=88
法二: (3x-4)²－(4x-3)2=0 X= 8 88
6
(3x-4+4x-3)(3x-4x+3)=0 (7x-7)(-x-1)=0
x1
Hale Waihona Puke 4 3
22 , x2
4 3
22
7x-7=0或-x-1=0
x1 = -1， x2 =1
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
1.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 _2_y_2_-_6_y_+_4_=_0_,它的二次项系数是__2___,一次项是_-_6_y__, 常数项是_4____
2.请判断下列哪个方程是一元二次方程（ B ）
A x 2y 1 B x2 5 0

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解：假设能，设AB的长度为x m，则BC的长度为（32-2x）m. 根据题意,得x（32-2x）=126. 解得x1=7，x2=9. ∴32-2x=18或32-2x=14. ∴假设成立.花圃长为18 m,宽为7 m或长为14 m, 宽为9 m.
要点梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
题意,得400(1－x)2=361.
解得x1= =5%，x2=
（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×(1－5%)=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
变式训练
3. 校园空地上有一面墙，长度为20 m，用长为32 m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图1-2112-1. 能围成面积是126 m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由.
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法直接开平方法配方法公式法因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
及根与系数的关系（韦达定
理）.
根，则
= ______ ．
4. （青海）某种药品原价每盒 60元，由于医疗政策改革，价格 C. 一元二次方程的经过两次下调后现在售价每盒实际应用. 48.6元，则平均每次下调的百分率为________． 10%
典型例题
知识点1：一元二次方程的解法【例1】用适当的方法解下列方程：
（1）证明：在方程x2－(t－1)x+t－2=0中， Δ=［－(t－1)］2－4×1×(t－2)=t2－6t+9=(t－ 3)2≥0, ∴对于任意实数t，方程都有实数根.
（2）解：设方程的两根分别为m,n. ∵方程的两个根互为相反数， ∴m+n=t－1=0，解得t=1． ∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．
典型例题
知识点3：一元二次方程的实际应用【例3】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相等．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
解：（1）设每个月生产成本的下降率为x. 根据
针对训练
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4
项系数是 -2 ，常数项是 0
.
，一次
考点二一元二次方程的根的应用例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= -1 .
解析根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
变式训练
2. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有
两根α，β.
（1）求m的取值范围；
（2）若
=-1，则m的值为多少？
解：（1）由题意知， Δ=（2m+3）2-4×1×m2≥0. 解得m≥-
（2）由根与系数的关系,得α+β=-（2m+3）， αβ=m2.
化简,得（m-3）（m+1）=0. 解得m1=-1，m2=3. 由（1）知m≥- ， ∴m1=-1应舍去，则m的值为3.
考点讲练
考点一一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ A ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
(x + m) （x + n）＝0
三、一元二次方程在生活中的应用列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
（1）（x-5）2-9=0；
（2）6x2－x－2=0.
解：移项，
பைடு நூலகம்
解：a=6,b=-1, c=-2.
得(x-5)2=9.
Δ=b2-4ac=(-1)2- 4×6×
∴x-5=±3.
(-2)=49.
∴x1=8,x2=2.
变式训练
1. 用适当的方法解下列方程：
（1）x（x-4）=1；
解：去括号，得 x2-4x=1.
第二十一章一元二次方程
一元二次方程单元复习课
知识点导学
A. 一元二次方程的解法.
1. （徐州）方程x2－4=0的
解是___________x_=．±2
2. 方程(x－3)(x－9)=0的根
是 ___x__1=_3_，___x_2=__9___．
B.
一元二次方程根的判别式
3. （莱芜区）已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
配方，得x2-4x+22=1+22,
即(x-2)2=5.
∴x-2=± .
∴x1=2+
,x2=2- .
（2）（2x+1）2=2x+1.
解：移项，得（2x+1）2-(2x+1)=0. 因式分解，得 (2x+1)·2x=0. ∴x1=- ,x2=0.
典型例题
知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】已知关于x的一元二次方程：x2－(t－1)x+t －2=0．（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．