讲解1 二进制运算习题讲解

[例题2.1]

码值10000001B，若表示一个无符号数，则该数为27＋20＝129；若是一个带符号数的原码表示，则该数为－0000001B＝－1；若是一个带符号数的补码表示，则该数为－1111111B＝－127

规格化的浮点数

✓浮点数的阶码决定了浮点数的表示范围，浮点数的尾数决定了浮点数的表示精度✓定义：有效尾数占满尾数的所有位

即对于非0的尾数，规格化尾数应满足1/2≤|M|<1

原码规格化后：正数0.1×××的形式；负数1.1×××的形式

补码规格化后：正数0.1×××的形式；负数1.0×××的形式(－1/2为1.100 0

比较特殊)

✓浮点数的表示范围

设阶码m＋1位补码表示，尾数n+1位补码,规格化

溢出

✓定点数：超出字长所表示的范围即为溢出

✓浮点数：规格化后，阶码超出机器的最大阶码，即为上溢；阶码小于机器最小阶码，即为下溢。（不看尾数，只看阶码）

二进制乘法

✓原码一位乘法规则：

①被乘数和乘数取绝对值参加运算，符号位单独处理

②被乘数取双符号，部分积长度同被乘数，初值为0

③从乘数的最低位y

n 开始判断，若y

n

＝1，则部分积加上被乘数，然后右移一位；

若y

n

＝0，部分积加上0，然后右移一位。

④重复③，共n次（n次“加－右移）n为小数点后数值部分位数✓补码一位乘法规则（Booth算法）：

①符号位参加运算，运算的数均以补码表示

②被乘数取双符号，部分积初值为0

③乘数最低位增加一位Yn+1，初值为0

④逐次比较相邻两位，并按下列规则运算

Y

n (高位) Y

n+1

(低位) 操作

0 0 部分积右移

1 0 部分积+[-X]

补

，右移

0 1 部分积+[X]

补

,右移

1 1 部分积右移

移位按补码右移规则，即复制最高位（符号位）

⑤按照上述算法作n+1步操作，但最后一步不移位（∵补码符号位也是数值一部

分，故共做n+1次加法，n次右移）

[例题2.2]

已知X=0.1101,Y=-0.1011，用原码一位乘计算X×Y

解：乘积符号位＝1

部分积|乘数| 说明

00.0000 0.1011 y

n

＝1，则部分积加上被乘数,右移+ 00.1101

00.1101

右移00.0110 1 0.101 y

n

＝1，则部分积加上被乘数,右移+ 00.1101

01.0011 1

右移00.1001 11 0.10 y

n

＝0，则部分积加上0,右移

右移00.0100 111 0.1 y

n

＝1，则部分积加上被乘数,右移+ 00.1101

01.0001 111

右移00.1000 1111

∴ X×Y＝-0.1000 1111

[例题2.3]

已知X=0.1101,Y=-0.1011，用补码一位乘计算X×Y

解：[X]

补=00.1101,[-X]

补

=11.0011，[Y]

补

=1.0101

部分积乘数 y

n

y

n+1

说明

00.0000 1.01010 增加一位y

n+1

=0,y

n

y

n+1

=10, 部分积+[-X]

补

，右移11.0011

11.0011

右移11.1001 1 1.0101 y

n y

n+1

=01, 部分积+[X]

补

，右移

00.1101

1 00.0110 1 进位1舍去

右移00.0011 01 1.010 y

n y

n+1

=10, 部分积+[-X]

补

，右移

11.0011 11.0110 01

右移11.1011 001 1.01 y

n y

n+1

=01, 部分积+[X]

补

，右移

00.1101

1 00.1000 001 进位1舍去

右移 00.0100 0001 1.0 y

n y

n+1

=10, 部分积+[-X]

补

，最后一步不右移

11.0011

11.0111 0001

∴ [X×Y]

补

＝1.0111 0001 X×Y＝-0.1000 1111

二进制除法

✓原码一位除法（不恢复余数法，加减交替法）规则：

①符号位不参加运算，并要求|X|<|Y|

②先用被除数减去除数

③若余数为正，商上1，余数左移1位减除数；

若余数为负，商上0，余数左移1位加除数

④重复③n次(n为数值部分位数)，当最后一步(第n+1步)余数为负时，需加上

|Y|得到正余数

[例题2.4]

已知X=-0.01010,Y=-0.01100，用原码加减交替法计算X÷Y

解：同号数相除，得出的商和余数的符号位均为正

|X|=0.01010 ,|Y|=0.01100, [-|Y|]

补

=1.10100

被除数(余数) 商说明

0.01010

－Y 1.10100 第一步先减除数

1.11110 0 余数为负，商上0，下一步“左移－加”

左移 1.11100

＋Y 0.01100

0.01000 0.1 余数为正，商上1，下一步“左移－减”

左移 0.10000

－Y 1.10100

0.00100 0.11 余数为正，商上1，下一步“左移－减”

左移 0.10000

－Y 1.10100

1.11100 0.110 余数为负，商上0，下一步“左移－加”

左移 1.11100

＋Y 0.01100

0.00100 0.1101 余数为正，商上1，下一步“左移－减”

左移 0.10000

－Y 1.10100

1.11100 0.11010 余数为负，商上0

＋Y 0.01100 最后一步得出的余数为负，加上除数进行修正

0.01000

∴X÷Y＝-0.11010 余数0.01000×2－5

✓补码一位除法规则：