16位有符号乘法器设计

对每个部分积，符号扩展的过程可以看成符号位取非，再上全 1 的扩展。这也是前面部 分积产生电路中取 E 为符号位的非的原因。 对于全 1 的扩展，可以预先计算出结果。如图 6 中的 1 阵列，经过计算，可以化简成 图 7 的样子。 然后，加上符号位的非，得图 8。类似前面符号位扩展，可以把 E+(11)b 变为 EEE 。(图 9)
1. 部分积的产生
我们知道，N 位补码表示的数，它的值等于
val ( X ) X N 1 2N 1 X N 2 2N 2
X 2 22 X1 21 X 0 20
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根据 ( X k ) 2k ( X k ) 2k 1 (2 X k ) 2k 1 ，可以把一个奇数项分解成前后两个偶数项 （图 1），那么部分积的数量减少了一半。变换之后，X 的值可以表示为
表 1 Wallace 资源使用情况
资源 半加器 全加器
数量 22 个 91 个
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16 bits
A
PP[i] 1 E E S Half Adder Full Adder
B
C
D
E
F
图 10 构造 Wallace Tree
3) 加法器的选择 使用 DC 综合时，可以指定加法器的实现方式。在 Verilog 代码中，通过注释指定 DC 综 合时选用的加法器类型， 如图 11。 根据 synopsys 提供的 DesignWare Building Block IP user guide，在设计中指定模块实现的方法如下。
二. 方案选择
编码方式： Booth2 编码 拓扑结构： Wallace 树 加法器：Carry look ahead Adder Booth2 编码可以使部分积的数量减半，并且解决了符号问题，也就是说，符号位不需要 单独处理。 部分积的累加采用 Wallace 树，和其它拓扑结构相比，Wallace 具有硬件节省，延时小的 优点，Wallace 树的传播延时等于 O(log3/2 N ) 。 最终相加使用的加法器使用的是 DesignWare 中的超前进位加法器，通过在 Verilog 中添 加 synopsis 控制命令来明确指定 DC 选择何种实现。
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图 2 部分积选择表
对应的部分积选择电路如图 3。电路由布斯编码器和选择器组成。先对 Y 进行一位符号 扩展，然后选择 Y 或者 2Y，最后决定是否要取反。 注意其中的 E 是符号位的非。
Y[15:0]
SM S2M
Booth encoder
X(2k-1) X(2k) X(2k+1)
E Partial Product[15:0]
三. 详细设计
乘法器设计主要参考了文献[1]的方法，并在此基础上有所改进，改进的内容包括两个方 面： 1. 2. 简化了 E 的逻辑。实际上，E 等于符号位取反。 每行的部分积点数是 16 点，比文献[1]的 17 点少 1 点。17 点的部分积中，最高位 是符号位，取反后等于 E，余下的只有 16 点。
X0 X1 X2
S S S
X14 X15
图 6 全 1 扩展
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0
16 bits
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 S S S S S S S S
X0 X1 X2
X14 X15
图 7 预先计算的结果
0
16 bits
E 1 1 1 E 1 E 1 E 1 E 1 E 1 E 1 E S S S S S S S S
图 3 使用 Booth 2 编码的部分积产生电路
S
2. 部分积的累加
由前面的部分积产生电路， 能够得到 8 个部分积， 这些部分积需要经过符号扩展和累加， 才能得出乘法运算的结果。 1) 符号位扩展逻辑 符号位扩展，以扩展 8 位为例，假设符号位是 S，那么扩展的后，得到
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S S S S S S S S
16*16 有符号乘法器设计
翁新钎 10212020048
一. 二. 三. 1. 2. 1) 2) 3) 四. 五. 六.
设计要求 ............................................................................................................................... 2 方案选择 ............................................................................................................................... 2 详细设计 ............................................................................................................................... 2 部分积的产生 ............................................................................................................................. 2 部分积的累加 ............................................................................................................................. 4
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一. 设计要求
设计方案选择要求如下： 编码方式：non-booth 编码，Booth 编码，Booth2 编码（任选一种） 拓扑结构：简单阵列，双阵列，二进制树，Wallace 树（任选一种） 加法器：Ripple Carry Adder，Carry bypass，Carry select，Carry look ahead（任选一 种或采用混合方法）
k 0
N /2 1

N /2 1 k 0
[( X
2 k 1
X 2 k 2 X 2 k 1 )Y ] 22 k
因此，部分积的表达式是 PP k ( X 2 k 1 X 2 k 2 X 2 k 1 )Y 。根据这个表达式，可以列出 如图 2 的部分积选择表，其中 Multiplicand=Y。
符号位扩展逻辑..................................................................................................................... 4 构造 Wallace Tree .................................................................................................................. 7 加法器的选择......................................................................................................................... 8
2 Rn 1 Rn 。 3
初始的点阵有 9 行，所以第一轮覆盖，约减目标是 6 行（9*2/3=6），第二轮覆盖的约 减目标是 4 行（6*2/3=4），第三轮覆盖的约减目标是 3 行（4*2/3=2.67），第四轮覆盖 的约减目标是 2 行（3*2/3=2）。经过四轮覆盖，将部分积点阵约减到两行，然后使用 一个加法器做最终相加。 树的构造方法：从右向左，逐列处理。从第一个超出约减目标行数的列开始，使用压缩 器覆盖，半加器的功能是减少一行，全加器的功能是减少两行，半加器或者全加器都会 向左边一列贡献一个点，因此在处理下一列时，初始行数是原始的行数加上右边一列的 压缩器数量。使用压缩器覆盖，如此反复，直到处理完每一列。 图 10（B、C、D、E）示意出每一轮覆盖的方法。经过 4 层覆盖，得到图 10（F）的两 行 32 点，使用一个 32 位加法器做最终相加。
仿真结果 ............................................................................................................................. 10 综合结果 ............................................................................................................................. 10 参考文献 ............................................................................................................................. 11
图 4 基本的符号扩展
如果 S 等于 1，得到的是 0xFF，如果 S 等于 0，得到 0x00。0xFF 加上 1 再舍去溢出位就 得到 0x00, 所以符号扩展的逻辑可以等价于 0xFF+not(S)。
S 1 1 1 1 1 1 1 1 S S S S S S S S S
图 5 符号扩展的等价方法
215 X 15
214 X 14 2 X 15 X 13
23 X3
22 X2 2 X 3 X1
21 X1
20 X0 2 X 1 X 1 ( 0)图 1 一个奇数项分解 Nhomakorabea两个偶数项