最新1.4.2正弦函数、余弦函数的性质导学案

合集下载

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案新人教A版必修4-新人

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。

正弦函数、余弦函数性质二

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）【一、学习目标】1、了解周期函数的概念；2、掌握正、余弦函数的性质，会求正、余弦函数的周期、奇偶性、单调性、最值等。

【二、学法指导】1、熟读教材P34-40，用红笔勾画，并对重要部分二次阅读，并回答提出的问题；2、限时完成导学案中合作探究部分，书写规范；3、激情投入，高效学习，培养良好的学习思维品质。

【三、问题导学】1． sin y x =和cos y x =的对称轴，对称中心分别是什么？_____________________________________________________________________________________2．如何把函数sin()y A x ωϕ=+平移成奇函数或偶函数？_____________________________________________________________________________________【四、尝试训练】1．求函数4cos()3y x π=+的对称轴及对称中心。

2．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 3．把函数4cos()3y x π=+的图象向左平移ϕ个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是（） A ．3π4 B ．3π2 C ．3π D ．3π5 4．设函数x b x a x f cos sin )(-=图象的一条对称轴方程为4x π=, 则,a b 满足（） A ． 0a b += B ． 0a b -= C ．1ab = D ．1ab =-【五、例题分析】例1、判断下列函数的奇偶性 )sin 1lg(sin )3(1sin 1cos )2(sin )1(22x x y x x y x x y ++=--==例2、求下列函数的最值，并求出相应的自变量的x 集合 )3cos(2)3(2sin 3)2(1cos )1(π---=-=+=x y x y x y例3、求下列函数的值域 3sin 3sin )3(5cos cos )2(cos log )1(25+-=+-==x x y x x y xy例4、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 )417cos()523cos()2()10sin()18sin()1(ππππ----与与例5、求下列函数的单调区间 )431cos(log )3()6cos(21)2()24sin()1(21πππ+=--=-=x y x y x y的值。

必修四 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质导学案

1．4.2正弦函数、余弦函数的性质【课标要求】1.了解三角函数的周期性，会求一些三角函数的周期．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【考纲要求】【学习目标叙写】1.通过自主学习，会求一些三角函数的周期2.通过合作交流，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【使用说明及方法指导】1.限时10—15分钟，独立完成预习案内容，书写规范。

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【预习案】1．sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝_______.(k∈Z)2．正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五个关键点为___________________________________．3．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点为【探究案】探究一：正、余弦函数的周期性研究正、余弦函数的周期性，可根据定义f(x＋T)＝f(x)，T一般为最小正周期例一求下列函数的周期：(1)y＝sin 2x＋3； (2)y＝2cos(13x－π4)； (3)y＝|sin x|.探究二：正、余弦函数的奇偶性正、余弦函数的奇偶性，要根据奇偶函数的定义、性质和三角诱导公式来判定．例二判断下列函数的奇偶性：(1)y＝sin x＋tan x；(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x； (4)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【拓展1】若本例(4)改为f (x )＝1－cos x ，其奇偶性如何？探究三：正、余弦函数的单调性要结合正、余弦函数的图象和周期性，求解单调区间．例三求函数y ＝2sin(π4－x )的单调区间．【拓展1】求函数y ＝2sin(x ＋π4)的单调区间．探究四：正、余弦函数的定义域、值域及最值此类问题主要利用它们的有界性：|sin x |≤1，|cos x |≤1(x ∈R)．例四 (1)求函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[π6，π2]的值域；(2)求函数y ＝11＋sin x的定义域、值域和最值．【拓展1】求函数y ＝cos2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域．【二次备课】。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)(第二课时)09

2015-2016 长丰一中高一数学必修 4 导学案
编号：09
班级：
小组：
姓名：
组内评价：
教师评价：
1.4.1 正弦函数、余弦函数的性质（1）
编制人：沈晶牛大超罗有柱
【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材 P34—P35，用红色笔进行勾画，再针对导学案“预习自学”部分二次阅读教材并回答提出的问题，时间不超过 50 分钟； 2.限时、认真、独立完成合作探究设置的问题，对加★部分的题目为选做题，没加★的题目都要做。 3.在预习，做练习过程中找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑。【学习目标】 1、了解周期现象，进一步理解周期函数与最小正周期的含义； 2、能熟练地求简单三角函数的周期；会求简单抽象函数的周期；【学习重点】周期函数的定义以及利用定义求简单函数的周期【学习难点】理解周期函数的概念以及抽象函数求周期一、预习自学 1、现实生活中的许多变化都是有循环往复、周而复始的现象，这种现象称之为周期现象。例如单摆运动、四季变化等，你还能举出几个例子吗？ 2、判断下列现象是否是周期现象，若不是说说理由：（1）十字路口交通信号灯的变化（2）某同学每天早晨上学的时间（3）地球上很多地区发生的地震（4）钟表的分针的运动
③通过阅读课本，你应该知道正弦函数和余弦函数都是周期函数，但课本上只说明了正弦函数为什么是周期函数，而没有说明余弦函数为什么是周期函数，你能说明下吗？ ④正弦函数和余弦函数的周期分别是、。
⑤等式 sin(30º+120º)=sin30º是否成立？如果这个等式成立，能否说 120º是正弦函数 y sin x ，
3、已知周期函数 f ( x) 是奇函数，6 是 f ( x) 的一个周期，且 f (1) 1 ，求 f (5) 的值。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x，且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数增函数减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题．解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性

1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)

2) y = sin 2 x 1
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结：课堂小结：
1. 定义法公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地，一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，为常数，的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值、
利用正弦函数和余弦函数的图象，例2.利用正弦函数和余弦函数的图象，利用正弦函数和余弦函数的图象求满足下列条件的x的集合的集合：求满足下列条件的的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点：最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点：与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点：在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点：最高点：最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点：与x轴的交点： ( 轴的交点最低点：最低点：

1.4.2正余弦函数的性质学案

2012——2013学年度数学必修四导学案制作人：数学组班级：姓名：共 1 页§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1、理解正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；2、会判断正余弦函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间；3、能利用函数单调性比较三角函数值的大小. 阅读课本37——40页, 完成导学案.【自主学习】一、探究正余弦函数的奇偶性1．sin()_______,x -= ∴正弦函数sin y x =是________（填“奇”或“偶”）函数. 2．cos()_______,x -= ∴余弦函数cos y x =是________（填“奇”或“偶”）函数. 练习：判断下列函数的奇偶性(1) 2 ( )y x = (2) 1cos ( )2xy =+(3) cos3 ([,]) ( )y x x ππ=∈- (4) s i n ((0,)) ( )3x y x π=∈二、探究正余弦函数的单调性1．用“五点法”画函数sin y x =，cos y x =在[0,2]π上的图象.2．sin ([0,2])y x xπ=∈的单调递增区间是_______ 和________ ，单调递减区间是______.3sin ([,])22y x x ππ=∈-的单调递增区间是____________ ，单调递减区间是______.sin ()y x x R =∈的单调递增区间是_______________ ，单调递减区间是______________.3．cos ([0,2])y x x π=∈的单调递增区间是_________ ，单调递减区间是__________. cos ()y x x R =∈的单调递增区间是______________ ，单调递减区间是______________. 【师生互动】课本39页例5、求下列函数的单调递增区间. （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y []ππ2,2-∈x知识迁移：（2）⎪⎭⎫⎝⎛-π=2x 3cos y （3）)sin(4π+-=x y课本例4、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）);sin()sin(1018ππ--与（2）)cos()cos(417523ππ--与【练习】：1、写出下列函数的单调递增区间（1）x sin 3y = （2）x y cos 2-1= (3) )3sin(6π+=x y2、比较大小（1）4sin ___3sinππ （2）57sin ___56sin ππ （3）4cos ___3cos ππ （4）57cos ___56cosππ3、将下列三角函数值按从小到大的顺序排列.45325sin, cos ,sin , cos54512ππππ-【作业】课本41页5、6及课本46页4.。

1.4.2正弦函数余弦函数的性质1[教学设计]

1.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计)教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：一、创设情境,导入新课：1．现实生活中的“周而复始”现象：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）现在下午2点30，那么每过24小时候是几点？（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）2．数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律正弦函数()sin f x x =性质如下：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；–– π 2π 2π- 2π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、师生互动，新课讲解：1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

高中数学《正弦函数、余弦函数的性质(二)》导学案

∵0°<150°<170°<180°，且y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，
∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.
三、课堂练习
1．y＝2sin(3x＋ )的值域是()
A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．[－1,1]
解析因为sin(3x＋ )∈[－1,1]，所以y∈[－2,2]．答案A
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
五、作业布置
课后作业：各班结合自己情况布置
六、教学反思
3．函数f(x)＝ cos(2x－ )的单减区间是________．
解析令2kπ≤2x－ ≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单减区间是[ ＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
答案[ ＋kπ，＋kπ](k∈Z)
4．函数y＝cos(x＋ )，x∈[0， ]的值域是________．
即＋kπ≤x≤π＋kπ，(k∈Z)，
故y＝cos 2x的单增区间是[ ＋kπ，π＋kπ](k∈Z)，则当k＝0时为[ ，π]，故选D．答案D
(2)求函数y＝1＋sin ，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
解y＝1＋sin ＝－sin ＋1．
由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)．
解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π(k∈Z)．又∵x∈[－4π，4π]，
∴cos π<cos ，即cos <cos ．
【训练2】比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；(2)cos 870°与sin 980°．
解(1)siy＝sinx在上是增函数，

1.4.2正弦函数余弦函数的性质说课稿

∴该函数既是奇函数，又是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵函数 y＝x2，y＝cos x 的图象都关于 y 轴对称，则 x2≠cos x 的解集关于原点对称， ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间，又 f(－x)＝－－xx22＋－ccooss －－xx＝xx22－＋ccooss xx＝f(x)， ∴该函数是偶函数． (3)由1co－s cxo－s 1x≥≥00，，得 cos x＝1，故 f(x)＝0， ∴函数 f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1既是奇函数也是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法三：观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为 1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法 (1)把 ωx＋φ 看成一个整体，由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π(k∈Z) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ ＋32π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减区间． (2)在求函数 y＝Asin (ωx＋φ)或 y＝Acos (ωx＋φ)的单调区间时，当 ω<0 时，必须利用诱导公式转化成－ω>0 后再进行求解．
y∈[－1,1] 2π
y∈[－1,1] 2π
奇偶性
奇函数
偶函数
在[2kπ－π，2kπ]
单调性在2kπ－2π，2kπ＋2π(k∈Z)上递增； (k∈Z) 上递增；
在2kπ＋2π，2kπ＋32π(k∈Z)上递减

新人教A版必修1高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第3课时学案

高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第3课时学案新人教A版必修4【学习目标】1、能利用正余弦函数的图象研究相应函数的单调性与奇偶性2、理解函数周期性的定义，掌握正余弦函数的最小正周期【重点难点】正余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用【学习内容】一、复习热身、胸有成竹1、作出函数x=的图象y sin2、作出函数x=的图象y cos二、专题总结、掌握新知1、正余弦函数的周期性：观察正余弦函数的图象形的特征：________________________________数的特征：________________________________x y sin =是________函数,__________ 是它的周期，最小正周期是________;x y cos =是________函数; _________ 是它的周期, 最小正周期是________;周期函数的定义__________________________________ 周期的定义_______________________________练习：求下列函数的周期(1)x y cos 3=（2）x y 2sin =（3）)621sin(2π-=x y2、正余弦函数的单调性：观察正余弦函数的图象（1）写出函数x y sin =的单调区间单调递增区间是_____________________________ 单调递减区间是_____________________________（2）写出函数x y cos =的单调区间单调递增区间是_____________________________ 单调递减区间是_____________________________练习：1、比较下列各组数的大小（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-18sin π与⎪⎭⎫⎝⎛-10sin π（2）⎪⎭⎫⎝⎛-523cos π与⎪⎭⎫⎝⎛-417cos π2、求函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin πx y ，[]ππ2,2-∈x 的单调递增区间3、正余弦函数的奇偶性：观察正余弦函数的图象1、形的特征：________________________________2、数的特征：________________________________=是_________函数;xxy sin=是_________函数;y cos【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1、求下列函数的最值，并指出分别什么时候取到最值.①y=-2sinx；②y=sin2x+1；③y=sin 2x+2sinx2、已知函数y=asinx+b 的最大值为3，最小值为2，求a,b .3、判断下列函数是否为周期函数；若存在最小正周期，请求出.① y=sin2x ； ②y=sin(2x+4)；③ )52sin(+=xy ④y=|sinx|；⑤ y=sin|x|； ⑥2sin π+=x y例4：求下列函数的单调增区间①y=sin(2x)+1 ②y=sin(-x)例5：比较下列各值的大小关系① )18-sin(π=y 和)10-sin(π=y② )18sin(π=y 和)18170sin(π=y6：判断下列各命题的真假① 若x,y 是第二象限角,x<y ，则sinx<siny ；② 若A 、B 是三角形ABC 的两内角，A<B ，则sinA<sinB.7：解下列方程或不等式；①sinx=21；②sin 2x=21③ sinx=21, x ∈[2-π，2π]④ sinx>21，x ∈[2-π，2π]⑤sinx>0.5。

人教a版必修4学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)(含答案)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)自主学习知识梳理自主探究正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：(1)正弦函数y ＝sin x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．对点讲练知识点一求正、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．变式训练1 求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2的单调增区间．知识点二比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．变式训练2 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6，sin 49π3.知识点三正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．变式训练3 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cosbx 的最值和最小正周期．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围.课时作业一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 (x ∈k )在( ) A ．[0，π]上是增函数 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 C ．[0，π]上是减函数 D.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 3．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值是( ) A.π2 B ．－π4C ．π B ．2π 5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54二、填空题6．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________________． 7．函数y ＝log 12(1＋λcos x )的最小值是－2，则λ的值是________．8．函数y ＝－cos 2x ＋cos x (x ∈R )的值域是________．三、解答题9．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ； (2)y ＝2－sin x2＋sin x.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案(1)x ＝k π＋π2(k ∈Z ) (k π，0) (k ∈Z )(2)x ＝k π (k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0 (k ∈Z ) 对点讲练例1 解由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π (k ∈Z )，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π (k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π (k ∈Z )．变式训练1 解 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4.由2k π－π≤x 2－π4≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x 2≤2k π＋π4，k ∈Z .即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的单调增区间是⎣⎡⎤4k π－3π2，4k π＋π2 (k ∈Z )．例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°， cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°， ∵余弦函数y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. 例3 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 变式训练3 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12.由⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ， ∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π. 课时作业 1．C 2.A3．D [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.∴当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )有最小值－1.当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值2.]4．A [若y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称．则φ＝k π＋π2，∴当k ＝0时，φ＝π2.]5．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y 取最小值－54，当sin x ＝1时，y 取最大值1.] 6.⎣⎡⎦⎤π2，π 7．±3解析由题意，1＋λcos x 的最大值为4，当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3；当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3. ∴λ＝±3.8.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析 y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14 ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. 9．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 10．解 (1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ＝2sin 2x ＋2sin x －1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－32 当sin x ＝－12时，y min ＝－32；当sin x ＝1时，y max ＝3.∴函数y ＝1－2cos 2x ＋2sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)方法一 y ＝4－(2＋sin x )2＋sin x ＝42＋sin x－1∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x ≤1，∴43≤42＋sin x ≤4， ∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 方法二由y ＝2－sin x 2＋sin x ，解得sin x ＝2－2yy ＋1，由|sin x |≤1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2y y ＋1≤1，∴(2－2y )2≤(y ＋1)2，整理得3y 2－10y ＋3≤0，解得13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3.。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质2(奇偶性、单调性及最值)

作业：P40练习3，5，6.
函数 y= sinyx (k∈z)
y= cosx y(k∈z)
பைடு நூலகம்性质
定义域值域
周期性奇偶性单调性
最值
对称中心对称轴
0
2 -1 2
3 2 x
2
2
0
-1 2
3 x
2
R
R
[-1,1]
周期为T=2kπ
奇函数
在x∈[2kπ-
π
2
π
, 2kπ+ 2
]
上都是增函数
在x∈[2kπ+
(1)
sin(
18
)与
sin(
10
)；
(2) cos(
23
5
)与
cos(
17
4
).
解：cos(
23
5
) cos
23
5
cos
3
5
，
cos(
17
4
)
cos
17
4
cos
4
.
Q
0
4
3
5
,
且 y=cosx 在[0, π] 上是减函数,
cos
4
cos
3
5
,
即
cos(
17
4
)
cos(
23
5
).
例4.求函数 y sin(1 x )，x∈[－2π，2π]的单调递
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)=- sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数

必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。

解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。

2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。

三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调性理解不透彻。

学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。

在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。

五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。

师生活动：学生思考并回答，教师指导。

小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点。

小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inx k x s 2sin =+π）（知: 知:最小正周期是π2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z, k ≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。

正弦函数、余弦函数的图象和性质教案

一、教学目标1. 让学生了解正弦函数和余弦函数的图象特征，掌握它们的基本性质。

2. 培养学生运用数形结合的方法分析函数图象和性质的能力。

3. 引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二、教学内容1. 正弦函数的图象和性质2. 余弦函数的图象和性质3. 正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用三、教学重点与难点1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象特征，基本性质。

2. 难点：正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用。

四、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示函数图象和性质。

2. 运用数形结合的方法，引导学生分析函数图象和性质。

3. 案例分析法，让学生在实际问题中体验函数图象和性质的应用。

4. 小组讨论法，培养学生的合作能力和口头表达能力。

五、教学过程1. 导入新课：回顾正弦函数和余弦函数的定义，引导学生思考它们的图象和性质。

2. 讲解与演示：利用多媒体课件，展示正弦函数和余弦函数的图象，讲解图象特征和基本性质。

3. 案例分析：选取实际问题，让学生运用所学知识分析问题，解决问题。

4. 小组讨论：分组讨论正弦函数和余弦函数图象和性质的综合应用，分享讨论成果。

5. 总结与评价：总结本节课所学内容，对学生的学习情况进行评价，布置课后作业。

六、教学策略1. 运用对比分析法，让学生区分正弦函数和余弦函数的图象和性质。

2. 利用数学软件或教具，动态展示正弦函数和余弦函数的图象变化，增强学生直观感受。

3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。

4. 创设情境，引导学生发现生活中的正弦函数和余弦函数模型，提高学生的数学素养。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和兴趣。

2. 练习完成情况：检查学生课后作业和实践任务的完成质量，评价学生的学习效果。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作能力、口头表达能力等。

4. 自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足。

(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案

公开课导学案——正弦函数余弦函数的图像学教案第一章：正弦函数图像的基本特征1.1 学习目标：了解正弦函数图像的形状和基本特点。

1.2 教学内容：(1) 引导学生观察正弦函数图像的波形，理解其周期性和振幅的概念。

(2) 分析正弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。

1.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制正弦函数图像，观察其特点。

(2) 分组讨论正弦函数图像在各个象限的变化规律。

1.4 练习题目：(1) 描述正弦函数图像的一个周期内的变化情况。

(2) 判断给定的点在正弦函数图像的哪个象限。

第二章：余弦函数图像的基本特征2.1 学习目标：了解余弦函数图像的形状和基本特点。

2.2 教学内容：(1) 引导学生观察余弦函数图像的波形，理解其周期性和相位的概念。

(2) 分析余弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。

2.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制余弦函数图像，观察其特点。

(2) 分组讨论余弦函数图像在各个象限的变化规律。

2.4 练习题目：(1) 描述余弦函数图像的一个周期内的变化情况。

(2) 判断给定的点在余弦函数图像的哪个象限。

第三章：正弦函数和余弦函数图像的比较3.1 学习目标：掌握正弦函数和余弦函数图像的异同点。

3.2 教学内容：(1) 分析正弦函数和余弦函数图像的形状和周期的关系。

(2) 比较正弦函数和余弦函数图像在各个象限的变化规律。

3.3 课堂活动：(1) 让学生对比绘制正弦函数和余弦函数图像，观察其异同点。

(2) 分组讨论正弦函数和余弦函数图像的比较。

3.4 练习题目：(1) 说明正弦函数和余弦函数图像的异同点。

(2) 绘制一个给定角度的正弦函数和余弦函数图像，并比较它们的特点。

第四章：正弦函数余弦函数图像的应用4.1 学习目标：学会利用正弦函数和余弦函数图像解决实际问题。

4.2 教学内容：(1) 引导学生利用正弦函数和余弦函数图像解决物理、工程等领域的问题。

(2) 分析正弦函数和余弦函数图像在实际问题中的应用。

高中数学《正弦函数、余弦函数的性质(一)》导学案

解析f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝．答案
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin (2)f(x)＝x·cosx．
解(1)f(x)的定义域是R，且f(x)＝sin ＝－cos x，
所以f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．
(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，
＝2sin ＝2sin ，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
函数y＝2sin ，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝2sin ，x∈R的周期是4π．
(2)∵1－2cos[ (x＋4)]＝1－2cos( x＋2π)＝1－2cos( x)，
∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos( x)，x∈R的值才能重复出现，
所以f(x)是奇函数．
四、小结
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T．
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|．
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝．
2．函数f(x)＝cos( x－ )的周期是()
A．3B．3πC．6D．6π
解析T＝＝6．答案C
3．函数y＝sin(ωx＋ )的最小正周期为2，则ω的值为________．
解析T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π．答案±π
4．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________．
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．

正弦函数的性质

会宁五中高一级数学导学案学案编号：NO 24 主备人：贾彦益授课人：授课时间：班级：组别：姓名：课题： 1. 4.2 正弦函数、余弦函数的性质课型：新授课学习目标1.通过创设情境,如单摆运动、四季变化等，让学生感知周期现象，理解周期函数的概念；2.会利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域，能根据正弦函数和余弦函数图象确定相应的对称轴、对称中心.学习重点正弦、余弦函数的主要性质(包括周期性、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性).学习难点正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用.利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域.学法指导结合必修1中所学函数的性质与前一节正、余弦函数的图象，通过图象研究正、余弦函数的性质 .【自主学习】1．观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表：定义域值域y=sinxy=cosx2．下列各等式是否成立？为什么？（1）2 cosx=3，（2）sin2x=0.53．什么是周期函数？什么是函数周期？注意：①定义域内的每一个x都有ƒ（x+T）=ƒ（x）；（学习随笔）（学习随笔）②定义中的T为非零常数，即周期不能为0.【合作探究】知识探究（一）正、余弦函数的周期例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R; (3)y=2sin(2x-6π),x∈R.练习：求下列函数的周期:（1）xy43sin=，x∈R （2）xy4cos=，x∈R（3）xy cos21=，x∈R（4）)431sin(π+=xy，x∈R规律总结：一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ), (其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω≠0,x∈R)的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ).于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ωπ2.知识探究（二）正、余弦函数的单调性和最值 1.观察函数y=sinx,x ∈［-2π,23π］的图象，填写下表:x -2π ... 0 (2)π... π (2)3π sinx小结：正弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1. 2. 观察函数y=cosx,x ∈[-π,π] 的图象，填写下表:x -π …-2π ... 0 (2)π … π cosx小结：余弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1. 3. 由上可知：正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.最值情况如下： Ⅰ、对于正弦函数y=sinx(x ∈R ),(1)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最小值-1. Ⅱ、对于余弦函数y=cosx(x ∈R ),(1)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x= ,k ∈Z 时,取得最小值-1.（学习随笔）知识探究（三）正、余弦函数的奇偶性和对称性 1、观察正余弦曲线：知：正弦函数是函数，余弦函数是函数。

高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性教案新人教A版必修4

课题：正弦函数、余弦函数的性质---周期性一、教学内容分析《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质，因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了，其中，通过观察函数的图象，从图象的的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用。

由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地位，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质。

正弦、余弦函数的性质的难点在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明都很容易，单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可。

二、学生学习情况分析学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．三、设计理念根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。