北京交通大学《复变函数与积分变换B》试卷A及其答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15．（ 16．（
× ）若 f ( z ) 在 z0 点可导，则 f ( z ) 在 z0 点解析； × ） cos z ≤ 1 （ z 为任意复数） ；
第 1 页
共 3 页
17．（ 18．（ 19．（ 20．（ 21．（ 22．（
× ）∫
C
1 dz = 2πi （ C 为平面内任一条闭曲线） ； z−a
∞
π 5 π + 2kπ ， Ln(3 − 3i ) = ln 2 3 + i(− + 2kπ ) ； 2 6
在 z = 3 处收敛，则在 z = 1 −
7．设幂级数
∑c z
n =0 n
n
1 i 处的敛散性为 收敛 2
；
8． lim
z →1
z z + 2z − z − 2 3 = ； z2 −1 2
23.设 u ( x, y ) = y − 3 x y ，证明 u 为调和函数，并求一解析函数 F ( z ) = u + iv ，使 f (i ) = 1 + i ．
3 2
证明： u x = −6 xy, u y = 3 y − 3 x , u xx = −6 y , u yy = 6 y ， u xx + u yy = 0 ，所以 u 为调和函数
( z − 1) 2 的收敛半径 R = ∑ n n =1
∞ 2 2
9．幂级数
1
；
10．若 f ( z ) = ( x − y + ax + by ) + i (cxy + 3 x + 2 y ) 处初解析，则 ( a, b, c) = （2，-3，2） 11．设 C 是 z = e sin t , t 是从 0 到
27．把函数 f ( z ) =
1 分别在下列圆环域内展成罗朗级数： z ( z − 1)
② 0 < z −1 < 1 ； ③1 < z < ∞ ．
①
0 < z <1 ；
解： （1） f ( z ) =
1 1 1 ∞ − = − − ∑ zn z −1 z z n =0
4分
第 2 页
共 3 页
（2） f ( z ) =
∞ 1 − ∑ (−1) n ( z − 1) n z − 1 n =0
4分
（3） f ( z ) =
1 1 ∞ 1 n + .∑ ( ) z z n =0 z
4分
五、积分题（本题满分 12 分，共有 2 道小题，每道小题 6 分） 2π 1 28． ∫ dθ 0 < a < 1) 0 1 − 2a cos θ + a 2
解：令 z = e 原式=
iθ
2分 4分
2π i .2πi Re s ( f ( z ), a) = a 1− a2 +∞ cos mx 29． ∫ dx m>0 ． 0 1 + x2 1 +∞ cos mx 解：原式= ∫ dx 2 −∞ 1 + x 2 = Re( 1 +∞ e imx dx) = πe −m 2 ∫−∞ 1 + x 2 1 2 1 2
2 2
2分 4分
由 C − R 条件可得 f ( z ) = iz + i
3
24. z dz ，其中 C 为从原点自虚轴至 i ，再由 i 沿水平方向向右至 2 + i ．
3 C
∫
解：上式=
∫
2+ i
0
z 3 dz =
(2 + i) 4 4
6分
25.计算
∫
z =1
dz ． z ( z − 1) 2
3
解： C1 : z = 原式=
1 1 , C2 : z − 1 = 4 4
2分
∫
C1
dz dz +∫ 3 2 2 C 2 z ( z − 1) z ( z − 1)
3
=0 26 计算
z5 ∫z =2 1 + z 6 dz ．
6分
解：上式=-2 πi Re s ( f ( z ), ∞) = 2πi
四、级数题（本题满分 12 分）
it 2
；
π
2
的弧段，则 ze dz =
C
∫
z2
1− e ； 2e
12．映射 w = z 在 z = i 处的伸缩率 k =
2
2
，转动角 α =
π
2
。
，错的填“ × ” 。 二、判断下列命题的真假（本题满分 10 分，每小题 1 分） ，对的填“ ∨ ” 13．（ × ） i < 2i ； 14．（ × ）零的幅角是零；
× ）若 ∞ 为 f ( z ) 的可去奇点，那末 Res( f ( z ), ∞) = 0 ；
× ×
∨ ∨
） w = z 在复平面内处处不解析； ）把上半平面映成单位圆的分式线性映射有无穷多个；Biblioteka Baidu）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； ）绝对收敛的级数一定收敛；
三、计算题（本题满分 24 分，共有 4 道小题，每道小题 6 分） 。
2分
4分
六、应用题（本题满分 10 分）
30．求把单位圆映成单位圆的分式线性映射，并满足 f ( ) = 0, arg f ′( ) =
π
2
．
1 iφ 2 解： w = e 1 1− z 2
z−
2分
由已知条件，可有 w = i
2z −1 。 2− z
4分
第 3 页
共 3 页
北 京 交 通 大 学
2006-2007 学年第一学期《复变函数 B》期末考试卷(A)答案
一、填空题(本题满分 20 分，每空 1 分)
1．复数 z =
2i ，则 Re( z ) = i −1
1 5− i 2
1
， Im z = -1
,z =
2 ， arg z = −
π
4
；
2．
8 + 6i = 10 ， arg(2e
)=−
1 ； 2
2006 级极点； 角 性， 保 ； 圆 性， 保 对称点 性；
3． z = 0 是函数 f ( z ) =
ez −1 的 z 2007
4．分式线性映射在扩充复平面是 1-1 对应的， 且具有 5．设 z = 0 是 z (e
2 z2
− 1) 的 m 级零点，则 m =
5
6． Arg ( − 3 + i ) =
× ）若 f ( z ) 在 z0 点可导，则 f ( z ) 在 z0 点解析； × ） cos z ≤ 1 （ z 为任意复数） ；
第 1 页
共 3 页
17．（ 18．（ 19．（ 20．（ 21．（ 22．（
× ）∫
C
1 dz = 2πi （ C 为平面内任一条闭曲线） ； z−a
∞
π 5 π + 2kπ ， Ln(3 − 3i ) = ln 2 3 + i(− + 2kπ ) ； 2 6
在 z = 3 处收敛，则在 z = 1 −
7．设幂级数
∑c z
n =0 n
n
1 i 处的敛散性为 收敛 2
；
8． lim
z →1
z z + 2z − z − 2 3 = ； z2 −1 2
23.设 u ( x, y ) = y − 3 x y ，证明 u 为调和函数，并求一解析函数 F ( z ) = u + iv ，使 f (i ) = 1 + i ．
3 2
证明： u x = −6 xy, u y = 3 y − 3 x , u xx = −6 y , u yy = 6 y ， u xx + u yy = 0 ，所以 u 为调和函数
( z − 1) 2 的收敛半径 R = ∑ n n =1
∞ 2 2
9．幂级数
1
；
10．若 f ( z ) = ( x − y + ax + by ) + i (cxy + 3 x + 2 y ) 处初解析，则 ( a, b, c) = （2，-3，2） 11．设 C 是 z = e sin t , t 是从 0 到
27．把函数 f ( z ) =
1 分别在下列圆环域内展成罗朗级数： z ( z − 1)
② 0 < z −1 < 1 ； ③1 < z < ∞ ．
①
0 < z <1 ；
解： （1） f ( z ) =
1 1 1 ∞ − = − − ∑ zn z −1 z z n =0
4分
第 2 页
共 3 页
（2） f ( z ) =
∞ 1 − ∑ (−1) n ( z − 1) n z − 1 n =0
4分
（3） f ( z ) =
1 1 ∞ 1 n + .∑ ( ) z z n =0 z
4分
五、积分题（本题满分 12 分，共有 2 道小题，每道小题 6 分） 2π 1 28． ∫ dθ 0 < a < 1) 0 1 − 2a cos θ + a 2
解：令 z = e 原式=
iθ
2分 4分
2π i .2πi Re s ( f ( z ), a) = a 1− a2 +∞ cos mx 29． ∫ dx m>0 ． 0 1 + x2 1 +∞ cos mx 解：原式= ∫ dx 2 −∞ 1 + x 2 = Re( 1 +∞ e imx dx) = πe −m 2 ∫−∞ 1 + x 2 1 2 1 2
2 2
2分 4分
由 C − R 条件可得 f ( z ) = iz + i
3
24. z dz ，其中 C 为从原点自虚轴至 i ，再由 i 沿水平方向向右至 2 + i ．
3 C
∫
解：上式=
∫
2+ i
0
z 3 dz =
(2 + i) 4 4
6分
25.计算
∫
z =1
dz ． z ( z − 1) 2
3
解： C1 : z = 原式=
1 1 , C2 : z − 1 = 4 4
2分
∫
C1
dz dz +∫ 3 2 2 C 2 z ( z − 1) z ( z − 1)
3
=0 26 计算
z5 ∫z =2 1 + z 6 dz ．
6分
解：上式=-2 πi Re s ( f ( z ), ∞) = 2πi
四、级数题（本题满分 12 分）
it 2
；
π
2
的弧段，则 ze dz =
C
∫
z2
1− e ； 2e
12．映射 w = z 在 z = i 处的伸缩率 k =
2
2
，转动角 α =
π
2
。
，错的填“ × ” 。 二、判断下列命题的真假（本题满分 10 分，每小题 1 分） ，对的填“ ∨ ” 13．（ × ） i < 2i ； 14．（ × ）零的幅角是零；
× ）若 ∞ 为 f ( z ) 的可去奇点，那末 Res( f ( z ), ∞) = 0 ；
× ×
∨ ∨
） w = z 在复平面内处处不解析； ）把上半平面映成单位圆的分式线性映射有无穷多个；Biblioteka Baidu）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； ）绝对收敛的级数一定收敛；
三、计算题（本题满分 24 分，共有 4 道小题，每道小题 6 分） 。
2分
4分
六、应用题（本题满分 10 分）
30．求把单位圆映成单位圆的分式线性映射，并满足 f ( ) = 0, arg f ′( ) =
π
2
．
1 iφ 2 解： w = e 1 1− z 2
z−
2分
由已知条件，可有 w = i
2z −1 。 2− z
4分
第 3 页
共 3 页
北 京 交 通 大 学
2006-2007 学年第一学期《复变函数 B》期末考试卷(A)答案
一、填空题(本题满分 20 分，每空 1 分)
1．复数 z =
2i ，则 Re( z ) = i −1
1 5− i 2
1
， Im z = -1
,z =
2 ， arg z = −
π
4
；
2．
8 + 6i = 10 ， arg(2e
)=−
1 ； 2
2006 级极点； 角 性， 保 ； 圆 性， 保 对称点 性；
3． z = 0 是函数 f ( z ) =
ez −1 的 z 2007
4．分式线性映射在扩充复平面是 1-1 对应的， 且具有 5．设 z = 0 是 z (e
2 z2
− 1) 的 m 级零点，则 m =
5
6． Arg ( − 3 + i ) =