12-13(二)微分几何期末复习题

一， 填空

1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 .

2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)¿(0)6 s 3;

3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 .

4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ¡ 1, dy ¤ds = ¡kx ¤ + ¿z¤ dz ¤= ¡¿y¤ .

5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率¿ (s ) 满

足 .

6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 .

7.半径为R 的圆的曲率为_____

R

1

______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at .

9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。

10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________.

11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为

1± ，

12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为

.

13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 .

14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________.

15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ．

16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

17. 下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 （ A ） A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线 B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身

C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合

D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直 18，下列曲面不是可展曲面的是 （ A )

A. ()(),cos ,sin ,r u v v u v u au b =+

B. 曲线()()cos ,sin ,r t a t a t bt =

的切线曲面

C. 高斯曲率恒为0的无平点曲面

D. 与平面等距等价的曲面

19，下面各量中, 不是内蕴量的是 ( C )

A. 曲面上曲线的曲率

B. 曲面上曲线的测地曲率

C. 曲面上测地三角形的内角和

D. 曲面的高斯曲率 20，下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 C 】

A. 脐点处，任何方向都是主方向

B. 非脐点处，主方向垂直

C. 脐点处，无主方向

D. 非脐点处，有且仅有两个主方向

二，计算题

1．曲线{}33()cos ,sin ,cos 2r t t t t =

，求

（1）基本向量α

、β 、γ ；

（2）曲率和挠率.

答案，习题P60 8题

2．求自然方程为)0

=>的曲线的参数方程

kr a

答案，课件PDF P50 例题6

3．计算单位球面r(θ,φ) ={cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ}上曲线θ = logcot(π/4-t/2)，

φ = π/2-t 0 ≤ t ≤π/2,

的弧长。

答案，课件PDF P69 例题6

4．求环面r(θ,φ) = {(b+asinφ)cosθ,(b+asinφ)sinθ,acosφ}的面积,其中a,b (b > a)是正常数,参数0≤θ≤2π,0≤φ≤2π.

答案，课件PDF P73 例题9

5．求曲面2

=的渐进网。

Z xy

答案，习题P146 8题

6．试求双曲面z axy

=的曲率线。

答案，习题P146 12题

7．试求双曲面z axy =，在点0x y ==处的平均曲率和Gauss 曲率。 ．

答案，习题P146 21题

8．试求下列曲面上的测地线

（1）平面；

（2）圆柱面。

答案，课件PDF P136 例题2，例题4，例题5

9．求位于半径为R 的球面上半径为a 的圆周曲线的测地曲率(a < R).

答案，习题P202 3题

10. 求半径为R 的球面上测地三角形三内角之和 。

{球面参数方程为(,)(cos cos ,cos sin ,sin )r R R R θϕθϕθϕθ= }

答案，习题P202 16题

四，证明

1．如果曲线Γ: r = r (s ) 为一般螺线, ; βα，为Γ的切线向量和主法向量, R 为Γ的曲率

半径. 证明:⎰-=ds R s r βα )(*

也是一般螺线.

答案，习题P87 8题

2．证明具有常曲率0k ≠的曲线C 是贝特朗曲线，且C 的侣线C 是C 的曲率中心的轨迹，并证明C 的曲率k =k ，挠率2

k ττ

=

答案，习题P87 12题