数学平面问题有限单元法

有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
思考题
• 简述形函数的特点
• 等腰三角形如图所示，求其形态矩 阵和单元刚度矩阵。
• 简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵 的特点、性质和它们中每一项的物 理意义。
• 写出三节点三角形单元、矩形单元 的位移模式及其各系数的求解公式、 写出形函数的表达式。
最终确定六个待定系数
1 xi yi
aa12 a3
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
ui uj
cm um
其中 2A 1 1
ai x j ym xm y j
xj yj xm ym
m
aa54 a6
1 2A
ai bi
ci
aj bj cj
am bm
v b1 b2x b3 y b4x2 b5xy b6 y2 ...
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精 确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
六个节点位移只能确定六个多项式 三结点三角形单元 的系数，所以平面问题的3节点三角
形单元的位移函数如下：
• 写出六节点三角形单元各节点的面 积坐标和形函数。
• 写出刚度矩阵的集成规则。 • 简述载荷移置的原则和方法。 • 单元刚度矩阵的计算过程。
y j(0,a)
a
m(0,0)
a
x i(a,0)
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
第二章 平面问题的有限单元法
u v
a1 a4
a2 a5
x x
a3 a6
y y
该位移函数，将单元内部任一点的
位移设定为坐标的线性函数，该位
移模式很简单。其中 a1 ~ a6 为广义
坐标或待定系数，可据节点i、j、m
的位移值和坐标值求出。 a1
a2
位移函数写成矩阵形式为：
u v
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
2-1 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
有限单元法的基础是必须将连续体简化为由有 限个单元组成的离散体。
对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三 角形单元。
vi vj
cm vm
bi y j ym ci xm x j
ij
为 2A 第 1 行 各 个 元 素 的
代数余子式，
1 u 2A [(ai bix ci y)ui (aj bj x cj y)u j (am bmx cm y)um ]
1
v 2A[(ai bix ci y)vi (aj bjx cj y)vj (am bmx cm y)vm]
m
e
i j
Hale Waihona Puke Baidu
m
vi
u
v
j j
um
vm
• [I]是单位矩阵，
• [N]称为形函数矩阵，
• Ni只与单元节点坐标有关，称 为单元形状函数,是由单元节 点位移求单元内部各点位移的 转换式
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得
•
单元的应变分量
由于三节点三角形单元 的位移函数为线性函数， 则单元的应变分量均为
平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点 有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作 用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。 如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节 点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
1、位移函数
如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何 方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续 体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。
aa34
a5
a6
• 将水平位移分量和结点坐标代入第一式，
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
• 写成矩阵形式：
u u
i j
1 1
xi xj
um 1 xm
yi yj
aa12
ym a3
•令
1 xi 1 x j 1 xm
yi
y
j
T
ym
则有
aa12
T1
uuij
a3
um
[T]1 [T]* T
• A为三角形的面积 • [T]的伴随矩阵为，
T 2A
T
*
x j ym xm yi
xm y j xi ym
xi y j x j yi
y j ym ym yi yi y j
xm xi
xj xm
T
x j xi
ai
• 令 [T]*
a
j
bi bj
ci T
c
j
abii
aj bj
am bm
am bm cm ci c j cm
•则
aa12
a3
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
u u
i j
cm um
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
第二章 平面问题的有限单元法
2-1、有限单元法的计算步骤 2-2、平面问题的常应变(三角形)单元 2-3、单元刚度矩阵 2-4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 2-5、平面问题的矩形单元 2-6、六节点三角形单元 2-7、单元载荷移置 2-8、整体分析 2-9、整体刚度矩阵的形成 2-10、支承条件的处理 2-11、整体刚度矩阵的特点
2-2 平面问题的常应变(三角形)单元
•
令
1 Ni 2A (ai bi x ci y)
（下标i，j，m轮换）
ui
vi
u
v
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
• 简写为
N e INi
IN j
IN m
i j
um
vm
ui
有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成 若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化 情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一 个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位 移函数，即单元内任一点的位移，被表述为其坐标的函数。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示： u a1 a2x a3 y a4x2 a5xy a6 y2 ...