高中数学课件必修二两直线的平行与垂直及对称问题

－2)x＋3my＋2m＝0，若 l1∥l2，求实数 m 的值； (2)已知两直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和 l2：x＋(a－1)y
＋(a2－1)＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【解析】(1)方法 1： ①当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2； ②当 m≠0 时，l1：y＝－m12x－m62， l2：y＝23－mmx－32， 由－m12＝23－mm，且－m62≠－23，所以 m＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
掌握两直线平行与垂直的条件、中心 对称和轴对称的概念，能根据直线的 方程判断两直线的位置关系，能把握 对称的实质，并能应用对称性解题．
诊断例题
例题2. 判断下列各对直线的位置关系.
① l1: x－y=0，
l2: 3x＋3y－10＝0；
② l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
③ l1: 3x＋4y－5＝0， l2: 6x＋8y－10＝0.
2
2
a

3
2
b

0

a 2b 2a b

8 1

a b

6 5 17 5
点B的坐标为(6 ,17) 55
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
解一：依题意知l' / /l,故可设l' : 2x y a 0.
kPQ • kl 1 PQ的中点在l上

a b
' '

3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
4. 直线关于直线的对称直线问题可转化为点关于直线的 对称点问题。
【反馈检测】
1、点 P(2，5)和 Q(4，3)关于直线( D )对称
A．x+y=0
B．x－y=0
C．x+y—1=0
D．x－y+1=0
2、直线 3x—4y—5=0 关于y原x 点 轴对称的直线方程为( BCA )
A．3x+4y－5=0
B．3x－4y+5=0
C．3x+4y+5=0
D．3x－4y－5=0
3. 实数 m 为何值时， l1 ：( m +3) x +4 y =5—3 m 和
l2 ：2 x +( m +5) y =8：
由所给直线方程可得 a·1＋2(a－1)＝0⇒a＝23. 故所求实数 a 的值为32.
二 对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
(2) l 关于 A 对称的直线 l / 的方程； (3)直线 l1 ：2 x — y =4 关于 l 对称的直线 l2 的方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
Q l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
1l1 //l2 _k_1___k_2且b1 b2或 __A_1_B_2___A_2_B_1 0
且A2C1 A1C2 0(或B1C2 B2C1 0)．
2l1 l2 _k1_k_2_____1__ 或 _A_1_A_2___B_1_B__2__ .0
方法 2：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 平行的等价条件是：A1B2－A2B1＝0，且 B1C2－B2C1≠0 或 A1C2－A2C1≠0.
由所给直线方程可得： 1·3m－m2·(m－2)＝0，且 1·2m－6·(m－2)≠0 ⇒m(m2－2m－3)＝0 且 m≠3⇒m＝0 或＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
Q A到l的距离 A到l'的距离,

| 22 3|

|
2

2

3

l
a
|
,
22 (1)2
22 (1)2
即|1+a|=1. a=0或-2. (a 0舍去) 故 l'的方程为2x y 2 0
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
P1_(_x_，___y_)，_, _P_2_(__x_，___y_)
(ⅱ)P(x，y)关于直线y x，y x对称的点分别
为 _P_3_(_y_，__x_),、__P_4_(___y_，__x. )
(ⅲ)P(x，y)关于直线y x b，y x b对称的 点分别为P5 ( y b，x b)，P6 ( y b， x b)． (ⅳ)P(x，y)关于直线x a，y b对称的点分别为
解二： 设l'上任一点坐标为D(x, y), Q D(x,y)关于A(2,3)的对称点为E(4 x, 6 y),
且E在直线l上,
2(4 x) (6 y) 0
化简得2x y 2 0 即直线l '的方程.
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
解三：取l上两点0(0，0), P(1，2)
它们关于A（2,3）的对称点 为O '(4, 6)，P '(3，4）
直线O ' P '即直线l ' : y 2x 2
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
(1)垂直；
m 13 ; 3
(2)平行；
m 7
(3)相交。
m 1且m 7.
4、平行四边形的两邻边所在直线的方程分别是 x+y=1、
3x—y+4=0，且其两条对角线的交点是 M(3，2)，
(1)求点 M 关于 x+y=1 对称的点 M′的坐标M' (1, 2)
解设不：妨 C(B2设DC) 求:: 3AAx这xBD个::yx3y平xa行yby四10边40(1(形)20)其,,解他方两程边组所得 在的xy直线74的34 方程。
故，B的坐标为(6 , 17 ) 55
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0，
求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
解二：设B(a,b),Q l是线段AB的垂直平分线,

kAABB的 k中l 点1在l上


b a

3 2

2

1
2

例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0，
求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
解一：(1)Q kl 2
1 kAB 2
AB : y 3 1 (x 2) 2
即y 1 x ห้องสมุดไป่ตู้4 2
AB与直线l的交点为(8 , 16) 55
变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
【总结提升】
1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为_(_2_a__-_x_,_2_b__-_y_).
2. 点P(a,b)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q(a’,b’)可利 用l是PQ的垂直平分线列方程组求得.
２．中心对称与轴对称
1中心对称：P(x0，y0 )关于点M (a，b)对称的点P
的坐标为P 2a x0．, 2b y0
特例：当a 0，b 0时，P(x0，y0 )关于原点的对
称点为P (x0，．y0 )．
2轴对称：求已知点P(x0，y0 )关于已知直线l：
3、点 A(2，5)关于点 B(1，1)的对称点 C 的坐标为
(_0_,___3)。
关于x轴的对称点为 (2, 5) ;
关于y轴的对称点为 (2, 5) ; 关于原点的对称点为 (2, 5)
【典例探究】
一 两条直线的位置关系 【例 1】(1)已知两直线 l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m
(2)方法 1：由直线 l1 的方程知其斜率为－2a. 当 a＝1 时，直线 l2 的斜率不存在，l1 与 l2 不垂直； 当 a≠1 时，直线 l2 的斜率为－a－1 1. 由－2a·(－a－1 1)＝－1⇒a＝23. 故所求实数 a 的值为32.
方法 2：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 垂直的等价条件是 A1A2＋B1B2＝0.
y kx b的对称点P(x，y)的基本方法是转化为
求方程组的解，
y y0 k 1；
即由
PP' l 线段PP
'的中点p 0

l



x x0
y y 0 k x
x. 0
b
2
2
特例：当k 0，1或b 0时，分别有以下规律： ⅰ( )P(x，y)关于x轴、y轴对称的点分别为
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
【预习自测】
1、当 a =__0___时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
则 a =_6____，此直线间的距离为_1_0___。
3l1与l2相交 k_1____k_2__ 或 _A_1_B_2___A_2_B_1___0. 4 l1与l2重合 k_1 __k_2_且__b_1__b2
或 __A_1_B_2 __A_2_B_1___0且. A1C2 A2C1 0(或B1C2 B2C1 0)．
练习:若l1: x+my+6＝0， l2: (m-2)x+3y+2m＝0，则
①当
时，l1与l2平行；
②当
时， l1与l2垂直 ；
③当
时， l1与l2相交；
④当
时， l1与l2重合.
1．平面内的两条直线的位置关系
若直线l1：y k1x b1或A1x B1 y C1 0； 直线l2：y k2 x b2或A2 x B2 y C2 0.
Q M 是AC的中点, A( 3 , 7 ), M (3, 2),C( 27 , 9).
把C
(
27
,
9
44
)代入(1)(2)可得
44
44
a 9, b 18.
CD : x y 9 0,
BC : 3x y 18 0.