高中数学课件必修二两直线的平行与垂直及对称问题
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《两条直线平行与垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第3.1.2课时)
人教版高中数学必修二
第3章 直线与方程 3.1.2两条直线平行与垂直的判定
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
复习导入
倾斜角：在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向 之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
课堂练习
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : kAB
60 3 (6)
2 3
kPQ
6 3 60
3 2
kAB • kPQ -1 BA PQ
课堂练习
已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
解:
k AB
1 0 20
1 2
kBC
2 (1) 42
3 2
kCD
1 2
k DA
3 2
kAB kCD , kBC kDA
AB ∥CD, BC∥DA
因此四边形ABCD是平行四边形.
y D
C
A
O
x
B
新知探究
当L1// L2时，有k1=k2。 L1⊥ L2时，k1与k2满足什么关系？ y
它们的斜率呢？
y
L1
L2
o
x
新知探究
结论1：对于两条不重合的直线 l1 和 l2 :
(1)l1 // l2 1 2; (2)l1 // l2 k1 k2 或 k1 , k2 都不存在 .
第3章 直线与方程 3.1.2两条直线平行与垂直的判定
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
复习导入
倾斜角：在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向 之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
课堂练习
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : kAB
60 3 (6)
2 3
kPQ
6 3 60
3 2
kAB • kPQ -1 BA PQ
课堂练习
已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
解:
k AB
1 0 20
1 2
kBC
2 (1) 42
3 2
kCD
1 2
k DA
3 2
kAB kCD , kBC kDA
AB ∥CD, BC∥DA
因此四边形ABCD是平行四边形.
y D
C
A
O
x
B
新知探究
当L1// L2时，有k1=k2。 L1⊥ L2时，k1与k2满足什么关系？ y
它们的斜率呢？
y
L1
L2
o
x
新知探究
结论1：对于两条不重合的直线 l1 和 l2 :
(1)l1 // l2 1 2; (2)l1 // l2 k1 k2 或 k1 , k2 都不存在 .
两条直线平行与垂直的判定ppt课件
l1 l2
2 90 1 tan2 tan 90 1
y
l2
l1
O
α1
α2
x
tan 2
1
tan 1
k2
1 k1
k1 k2 1
15
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为 α1、α2（ α1、α2≠90°）.
y
l2
l1
α1
α2
O
x
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率 （两直线的斜率都不等于0），且分别为
注意点：斜率都存在
y l2
α1
O
l1
α2
x
2、斜率不都存在时两直线平行与垂直
平行：直线l1和l2斜率都不存在
y
y l2
2 1
垂直：直线l1和l2一条斜率为零, O
x
另一条斜率不存在
l2
l1
O
l1 x
21
二、思想方法 （1）数形结合、分类讨论、由特殊到一般及类
比联想的思想； （2）运用代数方法研究几何性质及其相互位置
y
Q P
解：
直线BA的斜率kBA
30 2 (4)
1 2
直线PQ的斜率kPQ
21
1 (3)
1 2
A
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
10
例题讲解 平行关系
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0）， B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明。
解 : k AB
1 2
两条直线平行和垂直ppt教学课件
C、4x+3y=5与8x-6y=7
D、√3x+y-1=0与3x+√3y+6=0 2、经过点M（4，-1），且与直线3x-4y+6=0 互相平行的直线的方程是（ A）
A、3x-4y-16=0
B、4x+3y-13=0
C、4x+3y-9=0
D、3x-4y-8=0
3、如果直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1与 直线2x-3y=5互相平行，那么实数m的值等
则l1∥l2的充要条件是 a1 ≠ a2
y
0 l2
x l1
当直线l1和l2有斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，
直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2 且b1≠b2
例1.已知直线方程 l1: 2 x-4 y +7=0 ,
l2: x-2 y +5=0，证明 l1∥l2.
垂直
即l1 l2 k1 k2 1
例3 已知两条直线 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: 2x+ y -5=0，
求证 l1⊥l2.
证明：l1的斜率k1
1 2
，l2的斜率k2
2。
k1k2
1 2垂直
设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0.
解：已知直线的斜率是 2
3
因为所求直线与已知直线平行， 所以所求直线的斜率是 2 。
3
由点斜式的所求直线的方程是：y 4 2 (x 1). 3
即 2x 3y 10 0.
例2.求过点A（1，-4）且与直线 2 x+3 y +5=0平行的直线方程。
D、√3x+y-1=0与3x+√3y+6=0 2、经过点M（4，-1），且与直线3x-4y+6=0 互相平行的直线的方程是（ A）
A、3x-4y-16=0
B、4x+3y-13=0
C、4x+3y-9=0
D、3x-4y-8=0
3、如果直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1与 直线2x-3y=5互相平行，那么实数m的值等
则l1∥l2的充要条件是 a1 ≠ a2
y
0 l2
x l1
当直线l1和l2有斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，
直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2 且b1≠b2
例1.已知直线方程 l1: 2 x-4 y +7=0 ,
l2: x-2 y +5=0，证明 l1∥l2.
垂直
即l1 l2 k1 k2 1
例3 已知两条直线 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: 2x+ y -5=0，
求证 l1⊥l2.
证明：l1的斜率k1
1 2
，l2的斜率k2
2。
k1k2
1 2垂直
设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0.
解：已知直线的斜率是 2
3
因为所求直线与已知直线平行， 所以所求直线的斜率是 2 。
3
由点斜式的所求直线的方程是：y 4 2 (x 1). 3
即 2x 3y 10 0.
例2.求过点A（1，-4）且与直线 2 x+3 y +5=0平行的直线方程。
《两条直线平行和垂直的判定》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l1， l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
答案：设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量 分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是
l1⊥l2 ⇔a⊥b ⇔a·b=0 ⇔1×1+k1k2=0 ⇔k1k2=–1.
解：如图，
AB边所在直线的斜率kAB=
–
1，
2
CD边所在直线的斜率kCD=
–
1，
2
BC边所在直线的斜率kBC=
3，
2
DA边所在直线的斜率kDA=
3．
2
y
D
C
A
O
x
B
知识应用
例2
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)， 试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
解：
因为kAB=kCD，kBC=kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA． 因此四边形ABCD是平行四边形．
y
D
C
A
O
x
B
知识应用
例3
已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的
位置关系．
解：直线AB的斜率kAB=
2，
3
直线PQ的斜率kPQ=
–
3．
2
因为kABkPQ=23×
y l1
l2
α1
α2
O
x
若没有特别说明， 说“两条直线l1，l2”时， 指两条不重合的直线.
l1∥l2
α1=α2 tanα1=tanα2 k1=k2 ⇒l1∥l2
答案：设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量 分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是
l1⊥l2 ⇔a⊥b ⇔a·b=0 ⇔1×1+k1k2=0 ⇔k1k2=–1.
解：如图，
AB边所在直线的斜率kAB=
–
1，
2
CD边所在直线的斜率kCD=
–
1，
2
BC边所在直线的斜率kBC=
3，
2
DA边所在直线的斜率kDA=
3．
2
y
D
C
A
O
x
B
知识应用
例2
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)， 试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
解：
因为kAB=kCD，kBC=kDA， 所以AB∥CD，BC∥DA． 因此四边形ABCD是平行四边形．
y
D
C
A
O
x
B
知识应用
例3
已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的
位置关系．
解：直线AB的斜率kAB=
2，
3
直线PQ的斜率kPQ=
–
3．
2
因为kABkPQ=23×
y l1
l2
α1
α2
O
x
若没有特别说明， 说“两条直线l1，l2”时， 指两条不重合的直线.
l1∥l2
α1=α2 tanα1=tanα2 k1=k2 ⇒l1∥l2
高中数学必修二人教A版3.两条直线平行与垂直的判定 课件
二、导入新课
问题一：平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？
1、平行 2、相交
y
o
垂直是相交的特例
l1
y
l2
o
x
y l1
x
o
l2
l1 x l2
探究（一）：两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等，这两条直线
的位置关系如何？
反之成立吗？
y
l1
l2
α1 α2
O
x
思考2:若两条不同直线的斜率相等，这两条直线 的位置关系如何？反之成立吗？
§3.1.2 两直线的平行与
垂直的判定
一、复习
1．已知直线的倾斜角 ( 90 )，则直线的
斜率为 k tan 。
已知直线上两点 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 且 x1 x2，
则直线的斜率为
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
.
2. 若直线过(－2,3)和(6，－5)两点， 则直线的斜率为 1 ,倾斜角为 135 .
3.直线l1过点(2m，1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)， (1，－2)，若l1与l2垂直，求实数m的值．
小结
结论1：对于两条不重合的直线 l1和l2 :
1l1 // l2 2 1
2l1 l2 k1 k2 ，或k1、k2都不存在
l1∥l2
k1＝k2. 条件：不重合、都有斜率
结论2： 对于任意两条直线l1代替文本，行 为代替 写作。 较之个 体性的 埋头创 作，不 少诗人 似乎更 喜欢混 个脸熟 ，在这 样的背 景和语 境下， 诗歌批 评基本 沦为诗 人间的 交际和 应酬。 哪怕是 纷纷攘 攘的流 派或主 义之争 ，也往 往是你 方唱罢 我登场 ，名目 噱头不 少，却 未见得 与文学 和读者 有何关 系。
高中数学人教A版必修二3.两条直线平行与垂直的判定课件
的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线
(1)平行
(2)垂直
解 : 经过A, B的直线的斜率kAB
1m , m 1
经过P, Q的直线的斜率kPQ (1)由AB // PQ得 1 m 1
1. 3
m1 3
解得m 1 ,所以当m 1 时AB // PQ
2
2
(2)由AB PQ得 1 m 1 1
二、思想方法上
(1)运用代数方法研究几何性质及其 相互位置关系
(2)数形结合的思想
课后思考: 在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10), B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直两 底,求顶点D的坐标.
❖
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
❖
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
❖
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
两条直线平行与垂直的判定
温旧知新
倾斜角: 当直线l与x轴相交时,我们取x作为基准,
x轴正方向与直线l向上方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角. (0<180) 当直线与x轴平行或重合时倾斜角为0
斜率: 把一条直线l的倾斜角 (90)的正切
值叫做这条直线的斜率k=tan （ 0<180 且90 ）。
L1// L2 直线倾斜角相等
L1// L2 k1=k2
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2
∵k1≠k2，k1k2≠－1
∴l1 与 lk1＝1，k2＝22－－11＝1，∴k1＝k2.
∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
栏
(3)k1＝－10，k2＝230－－210＝110.
目 链
接
∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(4)l1 的倾斜角为 90°，则 l1⊥x 轴， k2＝10－40（－－4010）＝0，则 l2∥x 轴，∴l1⊥l2.
经检验，当 a＝1 或 a＝6 时，l1∥l2.
栏
目
(2)若 l1⊥l2，
链
接
①当 k2＝0 时，a＝0，k1＝－12，不符合题意；
②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在，此时 k1＝2a－－4a.
∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
精选ppt
9
题型二 两条直线平行与垂直的应用
例 2 已知 A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求 D 点的坐标，使 四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时针方向排列)． 解析：设所求点 D 的坐标为(x，y)，如图，由于 kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即 AB 与 BC 不垂直，故 AB，BC 都不可作为直角梯形的直角边． ①若 CD 是直角梯形的直角腰，则 BC⊥CD，AD⊥CD. ∵kBC＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有 x＝3. 又 kAD＝kBC，∴y－x 3＝0，即 y＝3.
精选ppt
此时 AB 与 CD 不平行，故所求点 D 的坐标为(3，3)．
栏 目 链 接
10
点评：(1)把哪条边作为直角梯形的直角腰是分类
的标准，解决此题时要注意不要丢根．
栏
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一是 要注意直线的斜率不存在时的情形，如本例中的
《平行与垂直》课件
物的高度、柱子和横梁等元素可以保持垂直，以实现视觉上的突出和力
量感。
02
城市规划
在城市规划中，垂直线用于划分不同的功能区域和空间层次。例如，商
业区、住宅区和公园等区域可以沿着垂直轴线进行布局，以实现空间的
有效利用和城市的可持续发展。
03
交通工程
在道路和桥梁设计中，垂直线用于支撑和连接不同的交通层面。这样可
如果一条直线与平面内的一条直 线垂直，那么这条直线与该平面
垂直。
斜线与平面
如果一条直线与平面内的两条相交 的直线都垂直，那么这条直线与该 平面垂直。
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一 条斜线在平面内的射影垂直，那么 这条直线与斜线垂直。
04
平行与垂直的应用
平行的应用
建筑学
在建筑设计中，平行线可以用来 构建对称、平衡和和谐的外观。 例如，窗户、门和墙面的线条可 以保持平行，以实现视觉上的统
填空题：若直线a与直线b平 行，且被直线c所截，则同位 角____，内错角____，同旁内
角____。
答案
判断题：错。应该是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
选择题：B。
填空题：相等，相等，互补。
THANKS
感谢观看
一和美感。
交通工程
在道路和轨道设计中，平行线用 于规划车辆行驶的方向和路线。 这样可以确保交通流畅，减少事
故风险，并提高运输效率。
艺术与设计
在绘画、摄影和图形设计中，平 行线可以用来创造平衡、稳定和 动态的效果。艺术家可以利用平 行线来表达特定的主题和情感。
垂直的应用
01
建筑学
在建筑设计中，垂直线用于构建高大、雄伟和稳定的外观。例如，建筑
高中数学课件___两条直线平行与垂直的判定
3 4
,直线l2经过点A(3a,-2),
B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.
【解题指南】已知l1的斜率存在,又l1⊥l2,所以l2的斜率也存在,
设为k2,则由k1·k2=-1,可得关于a的方程,解方程即可.
【解析】设直线l2的斜率为k2，
则
k2
a2
1 (2) 0 3a
a2 3a
_k_1_·__k_2=_-_1_．
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)互相平行的两条直线斜率相等.( ) (2)若直线l1,l2互相垂直,则其斜率满足k1·k2=-1.( ) (3)斜率都为0的两条直线平行.( )
提示：(1)错误.有时斜率不一定存在,只有斜率都存在 时,相互平行的两条直线的斜率才相等. (2)错误.只有斜率都存在时,相互垂直的两条直线的斜率才满 足k1·k2=-1. (3)正确.斜率都为0的两条直线,倾斜角都为0°,故两直线平 行. 答案：(1)× (2)× (3)√
【变式训练】已知△ABC中，A(0，3)，B(2，-1)，E，F分别
是AC，BC的中点，求直线EF的斜率.
【解题指南】利用三角形的中位线与第三边平行，即斜率相
等来解.
【解析】因为E，F分别是AC，BC的中点，所以EF∥AB，故
k EF
k AB
1 3 20
2.
类型 二 直线的垂直
尝试解答下列问题,体பைடு நூலகம்有关直线垂直问题求解的过程,
答案：l1⊥l2
(3)由题知直线l1的斜率存在,则直线l1的斜率kl1
m4 2 m
,
因为
人教版高中数学必修二两条直线平行与垂直的判定(优质课)ppt模板
1 =
2 (两条直线平行，同位角相等 )
t an 2 （相同角的正切值相等）
= 1 tan
=1 k = t an1
(k2 . t an 2
) an ( 90 ) k t
2、由
k1 k2
又 0 1＜ ， 180
0 2＜ 180
1 2
k1 k 2 k1 , k 2 1、若两条直线的斜率 ，满足 ，则它们的位置关系为 （ ） C A、互相平行 B、互相垂直 C、互相平行或重合 D、互相平行或垂直
2、经过点 的值为 ( A、-1
P(2， 1), Q (3，a ) 的直线与倾斜角为
4 5 的直线 互相平行，则 a
） B、3
§3.1.2两条直线平行与垂直的判定
第1课时：两条直线平行的判定
一、复习回顾
1、直线倾斜角的定义: 当直线与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴 向上 α 叫做直线的倾斜角。 正向 与直线 方向之间所成的角 直线倾斜角的取值范围： ； 0 ,180 2、已知直线的倾斜角 ，则直线的斜率 k= ； ( 90 ) tan 3、已知直线上两点 且 ，则直线 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的斜率k= . y 2 y1 x1 x2 x2 x1
1、（2013广东） 若 过点 l1 M (0,2), N ( 1,1) , l 且 则 l2 的值是（ 1 // m A、0 B、 1 C、-3 2、（2013珠海）若 于 .- 3 3、（2012广一模）已知点 的坐标 k AB 2 . ， A(m,1 ), 过点 B(3,4) ） A D、4
k y 2 y1 x2 x1
变式训练：
新教材高中数学第二章两条直线平行和垂直的判定pptx课件新人教A版选择性必修第一册
A．相交
B．平行
C．重合
D．以上都不对
答案：B
解析：由题意，点A(2，5)和点B(－4，5)，可得kAB＝−54−−52＝0，所以AB的方程 为y＝5，
又由直线y＝3的斜率为0，且两直线不重合， 所以两直线平行．
5．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2， 则m＝____0____．
方法归纳
利用斜率公式判定直线垂直的步骤
巩固训练2 (1)若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．1a
B．a
C．－1a
D．－1a或不存在
答案：D 解析：若a≠0，则l2的斜率为－1a；若a＝0，则l2的斜率不存在．
(2)若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，
A．－3
B．3
C．－13
D．13
答案：B
解析：kAB＝33−−02＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.
3．如果直线l1的斜率为2，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．－12
B．2
C．12
D．－2
答案：A
解析：由于直线l1的斜率为2且l1⊥l2，所以直线l2的斜率为－12.
4．过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
答案：AD
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－ 4，3)，D(0，5)的直线平行．
解析：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．
kAB＝−5−m−m0+1
＝−6m−m，kCD＝0−5−−34
＝1，
2
3.1.2两条直线平行与垂直的判定(高中数学人教版必修二)ppt课件
分析： 判断四边形ABCD的形状
判断AB、CD、BC、DA有什么关系
分别求出AB、CD、BC、DA的斜率 直线过两点求其斜率的公式：K ( y2 y1) /(x2 x1)
变式训练：已知A(5, －1)，B(1, 1)，C(2, 3)三点,
试判断△ABC的形状.
6
2. 已知三点A（1，2），B（-1，0），C（3，4） 这三点是否在同一条直线上,为什么?
31 2 1
2
CA3
因为K ABKBC 1, 所以ABC 900
所以ABC是直角三角形
15
2.己知A(0,3) 、B(-1,0) 、C(3,0),求点D的坐
标,使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、
D按逆时针方向排列简).解：设Ｄ（a，b）
y
(1)当AB∥CD时,由于AD⊥AB
17
解 : 经过A, B的直线的斜率kAB
1m , m 1
经(1)由过APB,Q//的P直 Q得线1的 斜m 率 1kPQ
1. 3
m1 3
解得m 1 ,所以当m 1时AB // PQ
2
2
(2)由AB PQ得1 m 1 1
m1 3
解得m 2,所以当m 2时AB PQ18
学完一节课或一个内容，
2 1, a5 9
18 a 5, a 13
8
探究问题二：
直线 l1 l2 时， k1 与 k2 满足什么关系？
y l1
o
l2 x
几何画板演示
9
思考2：观察下列图像当l
1
l
时
2
k1与k2满足什么关系呢？
1 45 2 135
k1 1 k2 1
2
y 1
判断AB、CD、BC、DA有什么关系
分别求出AB、CD、BC、DA的斜率 直线过两点求其斜率的公式：K ( y2 y1) /(x2 x1)
变式训练：已知A(5, －1)，B(1, 1)，C(2, 3)三点,
试判断△ABC的形状.
6
2. 已知三点A（1，2），B（-1，0），C（3，4） 这三点是否在同一条直线上,为什么?
31 2 1
2
CA3
因为K ABKBC 1, 所以ABC 900
所以ABC是直角三角形
15
2.己知A(0,3) 、B(-1,0) 、C(3,0),求点D的坐
标,使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、
D按逆时针方向排列简).解：设Ｄ（a，b）
y
(1)当AB∥CD时,由于AD⊥AB
17
解 : 经过A, B的直线的斜率kAB
1m , m 1
经(1)由过APB,Q//的P直 Q得线1的 斜m 率 1kPQ
1. 3
m1 3
解得m 1 ,所以当m 1时AB // PQ
2
2
(2)由AB PQ得1 m 1 1
m1 3
解得m 2,所以当m 2时AB PQ18
学完一节课或一个内容，
2 1, a5 9
18 a 5, a 13
8
探究问题二：
直线 l1 l2 时， k1 与 k2 满足什么关系？
y l1
o
l2 x
几何画板演示
9
思考2：观察下列图像当l
1
l
时
2
k1与k2满足什么关系呢？
1 45 2 135
k1 1 k2 1
2
y 1
2-1-2两条直线平行和垂直的判定 课件(共35张PPT)
则直线 l 的倾斜角为__1_3_5_°___． 解析 ∵tanα＝1－＋43＝－1，∴α＝135°.
4．已知 A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点 D 在 x 轴上，
则当点 D 的坐标为__－__12_，_0__时，AB∥CD，当点 D 的坐标为 __(－__9_，_0_)_时，AB⊥CD.
题型三 两条直线平行条件的应用
例 3 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，求顶点 D 的坐标．
【思路分析】 本题主要考查两直线平行的性质以及综合应 用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得 D 点的坐标； 思路二，利用平行四边形的对边平行求得 D 的坐标．
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一定要注意直线 的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD 作为直角腰时，其斜率 便不存在．
思考题 4 已知点 A(－2，－5)，B(6，6)，点 P 在 y 轴上，
且∠APB＝90°，则 P 点坐标为___(0_，__－_6_)_或_(_0_，_7_)__． 【解析】 由∠APB＝90°，可知 AP⊥PB，且 AP 与 PB 的斜率
都存在． 设 P(0，y)，则有 kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66. 由 kAP·kBP＝－1，得y＋2 5·y－－66＝－1. 解得 y＝－6 或 y＝7.即点 P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．
课后巩固
1．已知直线 l1 的斜率为 0，且直线 l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜
角 α 为( C )
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，a＝0，此时 k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. 由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
4．已知 A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点 D 在 x 轴上，
则当点 D 的坐标为__－__12_，_0__时，AB∥CD，当点 D 的坐标为 __(－__9_，_0_)_时，AB⊥CD.
题型三 两条直线平行条件的应用
例 3 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，求顶点 D 的坐标．
【思路分析】 本题主要考查两直线平行的性质以及综合应 用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得 D 点的坐标； 思路二，利用平行四边形的对边平行求得 D 的坐标．
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一定要注意直线 的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD 作为直角腰时，其斜率 便不存在．
思考题 4 已知点 A(－2，－5)，B(6，6)，点 P 在 y 轴上，
且∠APB＝90°，则 P 点坐标为___(0_，__－_6_)_或_(_0_，_7_)__． 【解析】 由∠APB＝90°，可知 AP⊥PB，且 AP 与 PB 的斜率
都存在． 设 P(0，y)，则有 kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66. 由 kAP·kBP＝－1，得y＋2 5·y－－66＝－1. 解得 y＝－6 或 y＝7.即点 P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．
课后巩固
1．已知直线 l1 的斜率为 0，且直线 l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜
角 α 为( C )
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，a＝0，此时 k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. 由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
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－2)x＋3my＋2m＝0，若 l1∥l2，求实数 m 的值； (2)已知两直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和 l2：x＋(a－1)y
＋(a2－1)＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【解析】(1)方法 1： ①当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2； ②当 m≠0 时，l1：y＝－m12x－m62， l2：y＝23－mmx－32， 由－m12＝23－mm，且－m62≠－23，所以 m＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
解三：取l上两点0(0，0), P(1，2)
它们关于A（2,3）的对称点 为O '(4, 6)，P '(3，4）
直线O ' P '即直线l ' : y 2x 2
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
Q A到l的距离 A到l'的距离,
| 22 3|
|
2
2
3
l
a
|
,
22 (1)2
22 (1)2
即|1+a|=1. a=0或-2. (a 0舍去) 故 l'的方程为2x y 2 0
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
由所给直线方程可得 a·1＋2(a－1)＝0⇒a＝23. 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
(2) l 关于 A 对称的直线 l / 的方程； (3)直线 l1 ：2 x — y =4 关于 l 对称的直线 l2 的方程。
kPQ • kl 1 PQ的中点在l上
a b
' '
3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
4. 直线关于直线的对称直线问题可转化为点关于直线的 对称点问题。
【反馈检测】
1、点 P(2，5)和 Q(4，3)关于直线( D )对称
A．x+y=0
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
【预习自测】
1、当 a =__0___时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
则 a =_6____，此直线间的距离为_1_0___。
(2)方法 1：由直线 l1 的方程知其斜率为－2a. 当 a＝1 时，直线 l2 的斜率不存在，l1 与 l2 不垂直； 当 a≠1 时，直线 l2 的斜率为－a－1 1. 由－2a·(－a－1 1)＝－1⇒a＝23. 故所求实数 a 的值为32.
方法 2：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 垂直的等价条件是 A1A2＋B1B2＝0.
B．x－y=0
C．x+y—1=0
D．x－y+1=0
2、直线 3x—4y—5=0 关于y原x 点 轴对称的直线方程为( BCA )
A．3x+4y－5=0
B．3x－4y+5=0
C．3x+4y+5=0
D．3x－4y－5=0
3. 实数 m 为何值时， l1 ：( m +3) x +4 y =5—3 m 和
l2 ：2 x +( m +5) y =8：
y kx b的对称点P(x，y)的基本方法是转化为
求方程组的解，
y y0 k 1；
即由
PP' l 线段PP
'的中点p 0
l
x x0
y y 0 k x
x. 0
b
2
2
特例：当k 0，1或b 0时，分别有以下规律： ⅰ( )P(x，y)关于x轴、y轴对称的点分别为
掌握两直线平行与垂直的条件、中心 对称和轴对称的概念，能根据直线的 方程判断两直线的位置关系，能把握 对称的实质，并能应用对称性解题．
诊断例题
例题2. 判断下列各对直线的位置关系.
① l1: x－y=0，
l2: 3x＋3y－10＝0；
② l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
③ l1: 3x＋4y－5＝0， l2: 6x＋8y－10＝0.
1l1 //l2 _k_1___k_2且b1 b2或 __A_1_B_2___A_2_B_1 0
且A2C1 A1C2 0(或B1C2 B2C1 0)．
2l1 l2 _k1_k_2_____1__ 或 _A_1_A_2___B_1_B__2__ .0
故，B的坐标为(6 , 17 ) 55
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0，
求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
解二：设B(a,b),Q l是线段AB的垂直平分线,
kAABB的 k中l 点1在l上
b a
3 2
2
1
2
方法 2：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 平行的等价条件是：A1B2－A2B1＝0，且 B1C2－B2C1≠0 或 A1C2－A2C1≠0.
由所给直线方程可得： 1·3m－m2·(m－2)＝0，且 1·2m－6·(m－2)≠0 ⇒m(m2－2m－3)＝0 且 m≠3⇒m＝0 或＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0，
求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
解一：(1)Q kl 2
1 kAB 2
AB : y 3 1 (x 2) 2
即y 1 x 4 2
AB与直线l的交点为(8 , 16) 55
3l1与l2相交 k_1____k_2__ 或 _A_1_B_2___A_2_B_1___0. 4 l1与l2重合 k_1 __k_2_且__b_1__b2
或 __A_1_B_2 __A_2_B_1___0且. A1C2 A2C1 0(或B1C2 B2C1 0)．
(1)垂直；
m 13 ; 3
(2)平行；
m 7
(3)相交。
m 1且m 7.
4、平行四边形的两邻边所在直线的方程分别是 x+y=1、
3x—y+4=0，且其两条对角线的交点是 M(3，2)，
(1)求点 M 关于 x+y=1 对称的点 M′的坐标M' (1, 2)
解设不：妨 C(B2设DC) 求:: 3AAx这xBD个::yx3y平xa行yby四10边40(1(形)20)其,,解他方两程边组所得 在的xy直线74的34 方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
Q l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
【总结提升】
1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为_(_2_a__-_x_,_2_b__-_y_).
2. 点P(a,b)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q(a’,b’)可利 用l是PQ的垂直平分线列方程组求得.
2
2
a
3
2
b
0
a 2b 2a b
8 1
a b
6 5 17 5
点B的坐标为(6 ,17) 55
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
解一：依题意知l' / /l,故可设l' : 2x y a 0.
Q M 是AC的中点, A( 3 , 7 ), M (3, 2),C( 27 , 9).
把C
(
27
,
9
44
)代入(1)(2)可得
44
44
a 9, b 18.
CD : x y 9 0,
BC : 3x y 18 0.
P1_(_x_，___y_)，_, _P_2_(__x_，___y_)
(ⅱ)P(x，y)关于直线y x，y x对称的点分别
为 _P_3_(_y_，__x_),、__P_4_(___y_，__x. )
(ⅲ)P(x，y)关于直线y x b，y x b对称的 点分别为P5 ( y b，x b)，P6 ( y b， x b)． (ⅳ)P(x，y)关于直线x a，y b对称的点分别为
解二： 设l'上任一点坐标为D(x, y), Q D(x,y)关于A(2,3)的对称点为E(4 x, 6 y),
且E在直线l上,
2(4 x) (6 y) 0
化简得2x y 2 0 即直线l '的方程.
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
＋(a2－1)＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【解析】(1)方法 1： ①当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2； ②当 m≠0 时，l1：y＝－m12x－m62， l2：y＝23－mmx－32， 由－m12＝23－mm，且－m62≠－23，所以 m＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
解三：取l上两点0(0，0), P(1，2)
它们关于A（2,3）的对称点 为O '(4, 6)，P '(3，4）
直线O ' P '即直线l ' : y 2x 2
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
Q A到l的距离 A到l'的距离,
| 22 3|
|
2
2
3
l
a
|
,
22 (1)2
22 (1)2
即|1+a|=1. a=0或-2. (a 0舍去) 故 l'的方程为2x y 2 0
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
由所给直线方程可得 a·1＋2(a－1)＝0⇒a＝23. 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
(2) l 关于 A 对称的直线 l / 的方程； (3)直线 l1 ：2 x — y =4 关于 l 对称的直线 l2 的方程。
kPQ • kl 1 PQ的中点在l上
a b
' '
3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
4. 直线关于直线的对称直线问题可转化为点关于直线的 对称点问题。
【反馈检测】
1、点 P(2，5)和 Q(4，3)关于直线( D )对称
A．x+y=0
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
【预习自测】
1、当 a =__0___时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
则 a =_6____，此直线间的距离为_1_0___。
(2)方法 1：由直线 l1 的方程知其斜率为－2a. 当 a＝1 时，直线 l2 的斜率不存在，l1 与 l2 不垂直； 当 a≠1 时，直线 l2 的斜率为－a－1 1. 由－2a·(－a－1 1)＝－1⇒a＝23. 故所求实数 a 的值为32.
方法 2：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 垂直的等价条件是 A1A2＋B1B2＝0.
B．x－y=0
C．x+y—1=0
D．x－y+1=0
2、直线 3x—4y—5=0 关于y原x 点 轴对称的直线方程为( BCA )
A．3x+4y－5=0
B．3x－4y+5=0
C．3x+4y+5=0
D．3x－4y－5=0
3. 实数 m 为何值时， l1 ：( m +3) x +4 y =5—3 m 和
l2 ：2 x +( m +5) y =8：
y kx b的对称点P(x，y)的基本方法是转化为
求方程组的解，
y y0 k 1；
即由
PP' l 线段PP
'的中点p 0
l
x x0
y y 0 k x
x. 0
b
2
2
特例：当k 0，1或b 0时，分别有以下规律： ⅰ( )P(x，y)关于x轴、y轴对称的点分别为
掌握两直线平行与垂直的条件、中心 对称和轴对称的概念，能根据直线的 方程判断两直线的位置关系，能把握 对称的实质，并能应用对称性解题．
诊断例题
例题2. 判断下列各对直线的位置关系.
① l1: x－y=0，
l2: 3x＋3y－10＝0；
② l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
③ l1: 3x＋4y－5＝0， l2: 6x＋8y－10＝0.
1l1 //l2 _k_1___k_2且b1 b2或 __A_1_B_2___A_2_B_1 0
且A2C1 A1C2 0(或B1C2 B2C1 0)．
2l1 l2 _k1_k_2_____1__ 或 _A_1_A_2___B_1_B__2__ .0
故，B的坐标为(6 , 17 ) 55
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0，
求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
解二：设B(a,b),Q l是线段AB的垂直平分线,
kAABB的 k中l 点1在l上
b a
3 2
2
1
2
方法 2：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 平行的等价条件是：A1B2－A2B1＝0，且 B1C2－B2C1≠0 或 A1C2－A2C1≠0.
由所给直线方程可得： 1·3m－m2·(m－2)＝0，且 1·2m－6·(m－2)≠0 ⇒m(m2－2m－3)＝0 且 m≠3⇒m＝0 或＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0，
求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
解一：(1)Q kl 2
1 kAB 2
AB : y 3 1 (x 2) 2
即y 1 x 4 2
AB与直线l的交点为(8 , 16) 55
3l1与l2相交 k_1____k_2__ 或 _A_1_B_2___A_2_B_1___0. 4 l1与l2重合 k_1 __k_2_且__b_1__b2
或 __A_1_B_2 __A_2_B_1___0且. A1C2 A2C1 0(或B1C2 B2C1 0)．
(1)垂直；
m 13 ; 3
(2)平行；
m 7
(3)相交。
m 1且m 7.
4、平行四边形的两邻边所在直线的方程分别是 x+y=1、
3x—y+4=0，且其两条对角线的交点是 M(3，2)，
(1)求点 M 关于 x+y=1 对称的点 M′的坐标M' (1, 2)
解设不：妨 C(B2设DC) 求:: 3AAx这xBD个::yx3y平xa行yby四10边40(1(形)20)其,,解他方两程边组所得 在的xy直线74的34 方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
Q l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
【总结提升】
1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为_(_2_a__-_x_,_2_b__-_y_).
2. 点P(a,b)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q(a’,b’)可利 用l是PQ的垂直平分线列方程组求得.
2
2
a
3
2
b
0
a 2b 2a b
8 1
a b
6 5 17 5
点B的坐标为(6 ,17) 55
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
解一：依题意知l' / /l,故可设l' : 2x y a 0.
Q M 是AC的中点, A( 3 , 7 ), M (3, 2),C( 27 , 9).
把C
(
27
,
9
44
)代入(1)(2)可得
44
44
a 9, b 18.
CD : x y 9 0,
BC : 3x y 18 0.
P1_(_x_，___y_)，_, _P_2_(__x_，___y_)
(ⅱ)P(x，y)关于直线y x，y x对称的点分别
为 _P_3_(_y_，__x_),、__P_4_(___y_，__x. )
(ⅲ)P(x，y)关于直线y x b，y x b对称的 点分别为P5 ( y b，x b)，P6 ( y b， x b)． (ⅳ)P(x，y)关于直线x a，y b对称的点分别为
解二： 设l'上任一点坐标为D(x, y), Q D(x,y)关于A(2,3)的对称点为E(4 x, 6 y),
且E在直线l上,
2(4 x) (6 y) 0
化简得2x y 2 0 即直线l '的方程.
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；