2017-2018学年高中物理第六章万有引力与航天习题课2变轨问题双星问题教学案新人教版必修2

习题课2 变轨问题双星问题[学习目标] 1.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别.2.会分析卫星(或飞船)的变轨问题.3.掌握双星的运动特点及其问题的分析方法.一、“赤道上物体”“同步卫星”和“近地卫星”的比较例1如图1所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星.三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为v A、v B、v C，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为T A、T B、T C，向心加速度分别为a A、a B、a C，则( )图1A.ωA＝ωC<ωBB.T A＝T C<T BC.v A＝v C<v BD.a A＝a C>a B答案 A解析同步卫星与地球自转同步，故T A＝T C，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得v C>v A，a C>a A同步卫星和近地卫星，根据GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma，知v B>v C，ωB>ωC，T B<T C，a B>a C.故可知v B>v C>v A，ωB>ωC＝ωA，T B<T C＝T A，a B >a C >a A .选项A 正确，B 、C 、D 错误.同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较1.同步卫星和近地卫星相同点：都是万有引力提供向心力即都满足GMm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma n .由上式比较各运动量的大小关系，即r 越大，v 、ω、a n 越小，T 越大. 2.同步卫星和赤道上物体 相同点：周期和角速度相同 不同点：向心力来源不同 对于同步卫星，有GMm r2＝ma n ＝mω2r 对于赤道上物体，有GMm r2＝mg ＋mω2r ， 因此要通过v ＝ωr ，a n ＝ω2r 比较两者的线速度和向心加速度的大小.针对训练1 (多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( ) A.都是万有引力等于向心力B.赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等C.赤道上的物体和近地卫星的线速度、周期不同D.同步卫星的周期大于近地卫星的周期 答案 CD解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A 项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B 项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r 得v ＝GMr ，T ＝2π r 3GM，由于r 同>r 近，故v 同<v 近，T 同>T 近，D 项正确；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T 赤＝T 同>T 近，根据v ＝ωr 可知v 赤<v 同，则线速度关系为v 赤<v 同<v 近，故C 项正确. 二、人造卫星的变轨问题 1.卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据. 2.飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图2甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.图2(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.例2 如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )图3A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D.卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝ GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误， 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确；在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速. 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误.在同一点P ，由GMmr 2＝ma n 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度，D 项错误.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝Fm ＝G M r2判断.针对训练2 (多选)如图4所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P 点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点)，到达远地点Q 时再次变轨，进入同步轨道.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v 1，在椭圆形转移轨道的近地点P 点的速率为v 2，沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为v 3，在同步轨道上的速率为v 4，三个轨道上运动的周期分别为T 1、T 2、T 3, 则下列说法正确的是( )图4A.在P 点变轨时需要加速，Q 点变轨时要减速B.在P 点变轨时需要减速，Q 点变轨时要加速C.T 1＜T 2＜T 3D.v 2＞v 1＞v 4＞v 3 答案 CD解析 卫星在椭圆形转移轨道的近地点P 时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G Mm r 1 2＜m v 2 2r 1，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G Mm r 1 2＝m v 12r 1，所以v 2＞v 1；同理，由于卫星在转移轨道上Q 点做离心运动，可知v 3＜v 4，故选项A 、B 错误；又由人造卫星的线速度v ＝GMr可知v 1＞v 4，由以上所述可知选项D 正确；由于轨道半径r 1＜r 2＜r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k (k 为常量)得T 1＜T 2＜T 3，故选项C 正确.三、双星问题例3 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图5所示.已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图5答案 r 1＝Lm 2m 1＋m 2 r 2＝Lm 1m 1＋m 2 T ＝4π2L3G (m 1＋m 2)解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m 1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2， 对m 2：Gm 1m 2L2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ， 解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2. 由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得周期T ＝4π2L3G (m 1＋m 2).1.双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点. (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供. (3)两星的运动周期、角速度相同.(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .2.双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2.针对训练 3 如图6所示，两个星球A 、B 组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.已知A 、B 星球质量分别为m A 、m B ，万有引力常量为G ，求L 3T2(其中L 为两星中心距离，T 为两星的运动周期).图6答案G (m A ＋m B )4π2解析 设A 、B 两个星球做圆周运动的半径分别为r A 、r B .则r A ＋r B ＝L ，对星球A ：G m A m B L 2＝m A r A 4π2T 2，对星球B ：G m A m B L 2＝m B r B 4π2T 2，联立以上三式求得L 3T 2＝G (m A ＋m B )4π2.1.(“同步卫星”与“赤道物体”及近地卫星的比较)(多选)如图7所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是( )图7A.a 1a 2＝rR B.a 1a 2＝(R r)2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝R r答案 AD解析 地球同步卫星：轨道半径为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1； 地球赤道上的物体：轨道半径为R ，随地球自转的向心加速度为a 2； 以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星，其轨道半径为R . 对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m v 2r ，故 v 1v 2＝Rr. 对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则a ＝ω2r ，故 a 1a 2＝r R.2.(卫星的变轨问题) (多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图8所示，在距月球表面100 km 的P 点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P 点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P 点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )图8A.“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C.“嫦娥三号”经过P 点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D.“嫦娥三号”经过P 点时，在三个轨道上的加速度相等 答案 AD解析 由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为T Ⅰ＞T Ⅱ＞T Ⅲ，故A 正确，B 错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P 点进行“刹车制动”，所以经过P 点时，在三个轨道上的线速度关系为v Ⅰ＞v Ⅱ＞v Ⅲ，所以C 错误；由于“嫦娥三号”在P 点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D 正确.3.(双星问题) 如图9所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图9A.m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B.m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C.m 1做圆周运动的半径为25LD.m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，选项C 正确.课时作业一、选择题(1～6为单项选择题，7～10为多项选择题)1.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2之间的距离为r ，已知万有引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为( ) A.4π2r 2(r －r 1)GT2B.4π2r 13GT 2C.4π2r3GT 2D.4π2r 2r 1GT2答案 D解析 设S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，对于S 1有G m 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1，得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.2.两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大 C.两个天体的向心力大小一定相等 D.两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 错误；根据牛顿第二定律，有：Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2 其中：r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2L r 2＝m 1m 1＋m 2L故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1故质量大的天体线速度较小，故A 错误.3. 如图1所示，地球赤道上的山丘e 、近地卫星p 和同步卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动.设e 、p 、q 的线速度大小分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( )图1A.v 1＞v 2＞v 3B.v 1＜v 2＜v 3C.a 1＞a 2＞a 3D.a 1＜a 3＜a 2答案 D解析 卫星的速度v ＝GMr，可见卫星距离地心越远，即r 越大，则线速度越小，所以v 3＜v 2.q 是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v 3＝ωr 3＞v 1＝ωr 1，选项A 、B 均错误.由G Mm r 2＝ma n ，得a n ＝GM r2，同步卫星q 的轨道半径大于近地卫星p 的轨道半径，可知向心加速度a 3＜a 2.由于同步卫星q 的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e 的角速度相同，但q 的轨道半径大于e 的轨道半径，根据a ＝ω2r 可知a 1＜a 3.根据以上分析可知，选项D 正确，选项C 错误.4.设地球半径为R ，a 为静止在地球赤道上的一个物体，b 为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r .下列说法中正确的是( ) A.a 与c 的线速度大小之比为r R B.a 与c 的线速度大小之比为R rC.b 与c 的周期之比为r RD.b 与c 的周期之比为R rR r答案 D解析 物体a 与同步卫星c 角速度相等，由v ＝rω可得，二者线速度大小之比为R r，选项A 、B 均错误；而b 、c 均为卫星，由T ＝2πr 3GM 可得，二者周期之比为R r Rr，选项C 错误，D 正确.5.如图2所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图2A.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2B.v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3C.v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3D.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D解析 根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma n 得：a n ＝GMr2，由图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，根据GMm r 2＝mv 2r得：v ＝GMr，又因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，故v 1＞v 3＞v 2.故选D.6.如图3，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动.据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动.以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小.以下判断正确的是( )图3A.a 2>a 3>a 1B.a 2>a 1>a 3C.a 3>a 1>a 2D.a 3>a 2>a 1答案 D7.如图4，航天飞机在完成太空任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图4A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A 的向心加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的向心加速度 答案 ABC8.我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a 2，近地卫星做圆周运动的速率为v 2，向心加速度为a 3，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )A.a 1a 2＝r RB.a 2a 3＝R 3r 3C.a 1a 3＝r RD.a 1a 2＝R 2r2 答案 AB解析 由于在地球赤道上的观测站的运动和同步卫星的运动具有相同的角速度，根据a n ＝rω2可知a 1a 2＝rR ，A 项正确，D 项错误；再根据近地卫星做圆周运动的向心加速度为a 3，由万有引力定律和牛顿第二定律F ＝GMm r 2＝ma n 可知a 1a 3＝R 2r 2，由a 1a 3＝R 2r 2，a 1a 2＝r R 知a 2a 3＝R 3r3，因此B 项正确，C 项错误.9.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起.如图5所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )图5A.质量之比m A ∶m B ＝2∶1B.角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C.线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2D.向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1 答案 AC解析 双星都绕O 点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A 星：G m A m B L2＝m A ω2r A ① 对B 星：Gm A m B L2＝m B ω2r B ② 联立①②得m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1.根据双星的条件有：角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，向心力大小之比F A ∶F B ＝1∶1，选项A 、C 正确，B 、D 错误.10. 如图6所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )图6A.b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B.a 加速可能会追上bC.c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的cD.a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大 答案 BD解析 因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等.又由b 、c 轨道半径大于a 轨道半径，由v ＝GMr可知，v b ＝v c ＜v a ，故选项A 错；当a 加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b 所在轨道相切(或相交)，且a 、b 同时来到切(或交)点时，a 就追上了b ，故选项B 正确；当c 加速时，c 受的万有引力F ＜m v c2r c ，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b 减速时，b 受的万有引力F ＞m v b2r b，它将偏离原轨道，做向心运动，所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故选项C 错；对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v ＝GMr可知，r 减小时，v 逐渐增大，故选项D 正确. 二、非选择题11.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图7所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求：图7(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？ (2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小. (3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2.答案 (1)加速 (2)gR 2(R ＋h 1)2 (3)3gR 2t 24n 2π2－R 解析 (2)在地球表面重力提供向心力，有mg ＝GMm R 2① 根据牛顿第二定律有：GMm(R ＋h 1)2＝ma A ② 由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2.(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝tn④由①③④式联立解得h 2＝3gR 2t 24n 2π2－R . 12.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为M 的恒星和质量为m 的行星(M ＞m )在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着.如图8所示，我们可认为行星在以某一定点C 为中心、半径为a 的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星).设万有引力常量为G ，恒星和行星的大小可忽略不计.图8(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置； (2)试计算恒星与点C 间的距离和恒星的运行速率v . 答案 见解析解析 (1)恒星运动的轨道和位置大致如图.(2)对行星m ：F ＝mω2a ① 对恒星M ：F ′＝Mω2R M ②根据牛顿第三定律，F 与F ′大小相等 由①②得：R M ＝mMa对恒星M ：Mv 2R M ＝G Mm(a ＋R M )2代入数据得：v ＝mM ＋mGMa.。