高等代数习题x2-7

§2。7 复数和实数域上的多项式

1．证明：奇数次实系数多项式至少有一个实数根．

2．求多项式1-n x 在复数域C 和实数域R 上的标准分解式．

3．设23)(23-+-=x x x x f ．求

１）以)(x f 根的相反数为根的多项式；

２）以)(x f 根的平方为根的多项式；

３）以)(x f 根的倒数为根的多项式．

4．设24353)(234-++-=x x x x x f 有一个根i +1．求)(x f 在实数域R 上和复数域C 上的标准分解式．

5．设][)(0x C x f ∈≠且)()(n x f x f ，其中整数1>n ．证明：)(x f 的根只能是零或单位根．

6．设][)(),(x C x g x f ∈且)(),(x g x f 的次数均1≥．m 次多项式)(x f 有m 个不同的复根且)()(x f x g ．证明：

))()(),(())(),((x g x f x g x f x g ''='

7．设n a a a ,,,21 是首项系数为1的n 次实系数多项式)(x f 的根．证明：i a 是)(x f 的重根的充要条件是)()(x D a x i -),,2,1(n i =．其中

n a x

x x a x x x

a x D

21)(= 8．设)(x p 为R 上的不可约多项式，对于)(x f ∈][x R 如果)(x p 与)(x f 在复数域C 中有公根α，则)(x p |)(x f ．