初一数学方程组解法综合(含答案)

方程组解法综合
知识框架
知识点说明：
一、方程的历史
同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元 263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。

方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。

清朝初年，中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。

从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。

二、学习方程的目的
使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。

三、解二元一次方程组的一般方法
解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。

消元方法：代入消元法和加减消元法
代入消元法：
⒈ 取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①；
⒉ 将①代入另一个方程，得一元一次方程；
⒊ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
⒋ 将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
加减消元法：
⒈ 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）；
⒉ 将两条方程相加或相减消元；
⒊ 解一元一次方程；
⒋ 代入法求另一未知数．
加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．
重难点
（1） 解分数系数方程组 （2） 代入法消元法的基础理解
例题精讲
一、二元一次方程组
【例 1】 解方程5
1x y x y +=⎧⎨-=⎩
（,x y 为正整数）
【考点】二元一次方程组 【解析】 ()()51x y x y ++-=+
26x = 3x = 3
2x y =⎧⎨=⎩
方法二：解 代入消元法，由5x y +=得到5x y =-，代入方程1x y -=中，得到()51y y --=，整理得2y =，
所以3x =，所以方程的解为3
2x y =⎧⎨=⎩
【答案】3
2x y =⎧⎨=⎩
【巩固】 试用代入消元法和加减消元法求解方程组()()
{
713172x y x y +=+=
【考点】、二元一次方程组
代人消元法：由①知Y=7-x ，代人②式得3x +7-x =17．
【解析】 即x =5，代入①式，得Y=2，所以
{
52x y ==
加减消元法：②-①得2x =10，即x =5，代入①式，得Y=2．所以
{
52x y ==
【答案】
{
52x y ==
【例 2】 解方程3410u v ⎨+=⎩
（,u v 为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：加减消元法
化v 的系数相同，加减消元法计算得 2(92)(34)22010u v u v +-+=⨯- 去括号和并同类项得 18320u u -=
1530u = 2u = 2
1u v =⎧⎨=⎩
方法二：代入消元法由9220u v +=得到10 4.5v u =-，代入方程3410u v +=中得到()3410 4.510u u +-=，整理得2u =，1v =，所以方程解为2
1
u v =⎧⎨=⎩
【答案】2
1u v =⎧⎨=⎩
【巩固】 小吴和小林两人解方程组， ()
(){
221712ax y x by -=-= 由手小吴看错了方程①中的a 而得到方程组的解为
{
49
x y ==,小林看错了方程②中的b 而得到的解为{
38
x y ==,如果按正确的a 、b 计算，试求出原方程组的解．
【考点】二元一次方程组
因为小吴同学没有看错②，所以{
4
9x y ==是符合②的解，有4×7-b×9=1，解得b=3；因为小林同
学没有看错①，所以
{
3
8x y ==是符合①的解，有a ×3-2×8=2，解得a =6；
【解析】 即原方程组为
{
622731
x y x y -=-=解得{
12
x y == 【答案】{
12x y ==
【例 3】 解方程组3217x y ⎨+=⎩
（,x y 为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 加减消元，若想消掉y ，应将y 的系数统一，因为[]2,510=，所以第一个方程应该扩大2倍，第
二个式子应该扩大5倍，又因为y 的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：2(5)5(32)20517x y x y -++=⨯+⨯，1785x =得5x =，所以550y -=，解得1y =。

【答案】5
1x y =⎧⎨=⎩
【巩固】 解方程组
【考点】二元一次方程组
把①变形为y=4-x ③ 把③代入②得：
-=1 即
-=1,=-1,= ∴x= 把x=
代入③得y=4-=3 【解析】 所以原方程的解是
【答案】
【例 4】 解方程组37
528x y x y -=⎧⎨+=⎩
（,x y 为正整数）
4
132x y x y x
+=⎧⎪
+⎨-=⎪⎩
43
x x +-2x 432x 2x 432x 132
323231
3
23133x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
231
33x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩
【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将第一个式子扩大2倍和二式相减得2(3)(52)2512x y x y -++=⨯+，去括号整理1122x =解得
2x =，所以方程的解为2
1x y =⎧⎨=⎩
【答案】2
1x y =⎧⎨=⎩
【巩固】 20%8%30015%,
300
x y x y +=⨯⎧⎨+=⎩
【考点】二元一次方程组 【解析】 先整理，再利用带入或消元法解题
【答案】175,
125.x y =⎧⎨=⎩
【例 5】 解方程组2(150)5(350)
0.10.060.085800x y x y -=+⎧⎨+=⨯⎩
（,x y 为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得：
215550
538.5400
x y x y -=⎧⎨
+=⨯⎩，若想消掉y ，将方程二扩大3倍，又因为y 的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：(215)5(53)55058.5400x y x y -++=+⨯⨯，去括号整理得2717550x =，解得650x =，所以方程的解为650
50x y =⎧⎨
=⎩
【答案】650
50x y =⎧⎨=⎩
【巩固】 2(150)5(350)
0.10.060.085800
x y x y -=+⎧⎨+=⨯⎩
215550
538.5400
x y x y -=⎧⎨
+=⨯⎩【考点】二元一次方程组 【解析】
(215)5(53)55058.5400x y x y -++=+⨯⨯
2717550x =
650x =
【答案】x=650，y=50
【例 6】 解下面关于x 、y 的二元一次方程组：43204
13x y y x +-=⎧⎪
⎨-=-⎪⎩
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 整理这个方程组里的两个方程，可以得到：4320
4330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，
可以看出，两个方程是不可能同时
成立的，所以这是题目本身的问题，无解
【答案】无解
【巩固】 743
2143
2x y
y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，．
【考点】二元一次方程组
【解析】 整理的（1）3x+4y=84（2）4x+3y=84，利用消元法求出x=y=12 【答案】x=12，y=12
【例 7】 解方程组3
4
341
92
24
1
x y x y ⎧+=⎪--⎪
⎨
⎪-=⎪--⎩（,x y 为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将4x -与1y -看出相应的未知数，因为每一项的分
母不同，所以先将分母系数化成同样的，所以第二个式子等号两边同时乘以2整理得：3492(
)2()3224141x y x y ++-=+⨯----，去括号整理后得到21
74
x =-，根据分数的性质计算得7x =，所以方程的解为：7
3
x y =⎧⎨
=⎩ 【答案】7
3x y =⎧⎨=⎩
【巩固】 632
3()2()28
x y x y
x y x y +-⎧+=⎪
⎨⎪+--=⎩
【考点】二元一次方程组
【解析】 整理的式1:5x-y=36；式2：x+5y=28，利用消元法得x=8，y=4 【答案】x=8，y=4
二、多元一次方程
【例 8】 解方程组347
2395978x z x y z x y z -=⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
（,,x y z 为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 观察,,x y z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中y 的系数是3倍关系，所以将第二个式子扩
大3倍与第三个式子相减得到：3(23)(597)398x y z x y z +-+--=⨯+，去括号整理得111035x z -=，与第一个式子整理得347
111035x z x z -=⎧⎨-=⎩
，若想消掉z ，，因为[]4,1020=，所以第一
个方程应该扩大5倍，第二个式子应该扩大2倍，又因为z 的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：2(1110)5(34)23557x z x z ---=⨯-⨯，去括号整理得735x =，5x =，所以方程解为5
72x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
【答案】572x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
【巩固】 272829x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
【考点】二元一次方程组
【解析】
(2)(2)87x y z x y z ++-++=- 1y x -=
2(2)(2)289x y z x y z ++-++=⨯-
37y x +=
()(3)17y x y x -++=+
48y = 4y =
1
23x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
【答案】123x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
【例 9】 解方程组12527
x y z y z u z u v u v x v x y -+=⎧⎪-+=⎪⎪
-+=⎨⎪-+=⎪-+=⎪⎩（,,,,x y z u v 为正整数）
【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 将5个式子相加得17x y z u v ++++=，将1式与2式相加得3x u +=，将2式与3式相加得
7y v +=，同理连续相加得到37798x u y v z x u y v z +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎩，整理后解为06731
x y z u v =⎧⎪=⎪⎪
=⎨⎪=⎪=⎪⎩
【答案】0
6731
x y z u v =⎧⎪=⎪⎪
=⎨⎪=⎪=⎪⎩
解下列方程组
【巩固】 解下列方程组
()2712829x y z x y z x y z ++=⎧⎪===⎨⎪++=⎩
【考点】二元一次方程组 【解析】
()()
()()()()()2711282,123293x y z x y z x y z ++=⎧⎪===++⎨⎪++=⎩
得4x +4y+4z=24，
6,x y z ++=依次代入（1）
、（2）（3）有1x =，2y =，3z =， 【答案】1x =，2y =，3z =，
课堂检测
【随练1】 解方程组292232202a b
c a c
b b c
a +⎧+=⎪⎪
+⎪+=⎨⎪
+⎪+=⎪⎩
，则b ＝_______
【考点】解方程组 【解析】 292232202a b
c a c
b b c
a +⎧+=⎪⎪
+⎪+=⎨⎪+⎪+=⎪⎩
三式相加()27236a b c a b c +++=⇒++= 每个式子都乘2减去上式，得410
22a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
【答案】b =10
【随练2】 解方程组()2525221126
x y x z z u u x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩
【考点】解方程组 【解析】
(2)252821126
x y y z z u u x +=⎧⎪==⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 依次叠代有：
5252(82)4114(112)11338338(62)1615x y z z u u x x =-=--=-=--=-=--=-。

所以 1x =，2y =，3z =，4u =；
【答案】1x =，2y =，3z =，4u =；
家庭作业
【作业1】 解方程组2220 (1)30 (2)
x y x y -=⎧⎨-+=⎩
【考点】二元一次方程组
【解析】 由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y
【答案】x=1，y=2
【作业2】 343419224
1
x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩ 【考点】二元一次方程组
【解析】 3492()2()3224141
x y x y ++-=+⨯----
2174
x =- 7x =
73
x y =⎧⎨=⎩
【答案】73x y =⎧⎨=⎩
【作业3】 (0.04)0.4%0.04,0.04205,x y x x y ++=+⎧⎨++=-⎩
【考点】二元一次方程组
【解析】 先整理成整系数方程组，然后求解。

【答案】0.02,10014.94
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
【作业4】
2()60,
5
7
x y
y x
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
【考点】二元一次方程组
【解析】把②代入①，得2（x+5
7
x）=60
解得x=35 2
把x=35
2
代入②，得y=
5
2
×
35
2
∴y=25 2
【答案】x=35
2
，y=
25
2
【作业5】
60460, 20820, 3,
y x z
y x z ty tx z
⨯-=⎧
⎪
⨯-=⎨
⎪-=
⎩
【考点】二元一次方程组
【解析】主要目的为求t，消掉其他未知数即可。

【答案】t=120
【作业6】解方程组()
1
2 35
5
7
x y z
y z u
z u v
u v x
u x y
-+=
⎧
⎪-+=
⎪⎪
-+=
⎨
⎪-+=
⎪
-+=
⎪⎩
【考点】解方程组
()()()
()()()
11223535475x y z y z u z u v u v x u x y -+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪-+=⎪⎩ （1）+（2）+（3）+（4）+（5）得17,x y z u v ++++= ()()()()()()()()()()123237347459518
x u y v z x u y v z ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩得得得得得 从上到下每两个方程相加代入17,x y z u v ++++=有 【解析】 7z =,3u =,v 1=，0x =,6y =.
【答案】7z =,3u =,v 1=，0x =,6y =。