2017年秋北师大版九年级数学上典中点习题2.5一元二次方程的根与系数的关系(PDF版)
北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程的跟和系数的关系(含答案及解析)
初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系一、单选题1.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A. 4B. 2C. 1D. ﹣22.若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（）A. ﹣2B. ﹣3C. 2D. 33.若，，则以，为根的一元二次方程是（）A. B. C. D.4.已知，是方程的两个实数根，则的值是( )A. 2023B. 2021C. 2020D. 20195.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别是( )A. b=-1，C=2B. b=1，C=-2C. b=1，c=2D. b=-1，c=-26.兰兰和笑笑分别解一道关于X的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（）A. x2+7x-12=0B. x2-7x-12=0C. x2+7x+12=0D. x2-7x+12=0二、填空题7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________.8.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________.9.若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0<m≤32)的两根，则矩形的周长为________三、计算题10.已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．四、解答题11.阅读材料：已知方程a22a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求的值.解：由a22a 1=0及1 2b b2=0，可知a≠0，b≠0，又∵ab≠1，.1 2b b2=0可变形为，根据a22a 1=0和的特征.、是方程x22x 1=0的两个不相等的实数根，则，即.根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：3m27m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求的值.五、综合题12.如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2（1）求B点的坐标.（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.答案：A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
北师大九年级数学上2.5 一元二次方程_根与系数的关系
( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
例2： 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2 kx 6 0 的两个根
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 有两个不相等的实数根
b2 4ac 0 有两个相等的实数根
0 没有实数根
新课讲解
如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 •x2=q 猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和， 两根之积是与各项系数之间有什么关系？
解得：x1=23
x2=1
所以得到,x1+x2=
5 2
x1 •x2=
3 2
问题2；对于一元二次方程的一般式是否也
分别是 x1 、x2
所以：x1 • x2 2
即：
x2
3 5
由于 x1 x2 2
得：k=-7
，其中
x2
6 5
( 3) 5
x1
k 5
2
。
答：方程的另一个根是
3 5
，k=-7
练习：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
北师大版九年级数学上册教案：2.5一元二次方程根与系数的关系
2.教学难点
-难点内容：
a.理解判别式Δ的含义及其与方程根的关系。
b.熟练运用韦达定理求解一元二次方程的根。
c.将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的了解一元二次方程根与系数关系的基本概念。一元二次方程根与系数关系是指在特定条件下，方程的根与其系数之间存在一定的数学规律。它是解决一元二次方程问题的重要工具，可以帮助我们快速找到方程的根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析方程ax^2+bx+c=0的判别式Δ和韦达定理，展示它们在实际问题中的应用，以及如何帮助我们解决方程的根。
此外，课堂总结环节，学生们的反馈让我意识到，他们在学习一元二次方程根与系数的关系时，对知识点的整体把握还有待加强。为了帮助学生更好地构建知识体系，我计划在下一节课中，通过思维导图等形式，梳理一元二次方程的相关知识点，使学生们能够更清晰地理解各个知识点之间的联系。
最后，我觉得自己在教学过程中，还需要注意以下几点：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调判别式Δ和韦达定理这两个重点。对于难点部分，如Δ与根的关系，我会通过列举具体方程和对应根的情况来帮助大家理解。
北师大版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.已知方程x 2+2x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则1211x x += ( )A.2B.-2C.-6D.62.若k>1,关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0的根的情况是( )A.有一正根和一负根B.有两个正根C.有两个负根D.没有实数根3.已知二次三项式2x 2+kx+c 分解因式为2(x-3)(x+1),则b,c 的值分别为( )A.3,-1B.-6,2C.-6,-4D.-4,-6 4.如果24410xx -+=,那么4x 等于( ) A.-2 B.2 C.4 D.-2或45.已知方程x 2+5x-2=0,求作一个新的一元二次方程, 使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数,则此新方程为( )A.4y 2-29y+1=0B.4y 2-25y+1=0C.4y 2+29y+1=0D.4y 2+25y+1=06.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.19二、填空题7.若方程x 2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是_______.8.某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是_________.9.关于x 的代数式x 2+(m+2)x+(4m-7)中,当m=_______时,代数式为完全平方式.10.已知a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a ≠b,则a+b=_______.11.某市计划在两年内将工农业生产总值翻两番,则平均每年工农业生产总值的增长率是________.12.关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______.2的两个实数根,则m 等于_________.14.在一元二次方程x 2+bx+c=0中,如果系数b 、c 可在1,2,3,4,5,6中任意取值, 那么其中有实数解的方程有______个.三、解答题15.已知x 1=q+p,x 2=q-p 是关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根,求p 、q 的值.16.已知: 321329m n m n +=⎧⎨=-⎩, 22m n m n-+-- 的值为根的一元二次方程.17.某小会议室的地面为长方形,长比宽多2米,如果地面用384块边长为25 厘米的正方形瓷砖恰好铺满,试算一算,这个小会议室的长和宽各是多少?18.已知x 1和x 2是方程(k 2-1)x 2-6(3k-1)x+72=0的两正根,且(x 1-1)(x 2-1)=4, 求k 的值.四、列方程解应用题19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路,已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满;第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升.答案一、ABDBAD 二、7．2；-1，-2 8．10%9．4或8 10．-3 11．100% 12．56-13．4 14．19三、15．203013ppqq⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或16．x2+2x-14=0 17.长6米，宽4米四、18．K=319. 宽6米20.10升构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。
北师大版九年级数学上册同步练习：2.5 一元二次方程的根与系数的关系
5 一元二次方程的根与系数的关系1．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是( )A．2 B．－2 C．4 D．－32．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( ) A．－10 B．10 C．－16 D．163．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是( ) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝04．已知关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是( )A．－6 B．－3 C．3 D．65．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－2，求方程的另一个根及m的值．6．已知一元二次方程x2－6x－3＝0的两个根分别为α与β，则1α＋1β的值的相反数为( )A．－1 B．1 C．－2 D．27．设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是( )A．19 B．25 C．31 D．308．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n ＋2)的最小值是( )A．7 B．11 C．12 D．169．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( )A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．110. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝________．11．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋1＝0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k 的值．12．方程ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0)的两个根的符号为( ) A ．同号 B ．异号 C ．两根都为正 D ．不能确定13．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)请选择一个整数k 值，使方程的两根同号，并求出方程的根．14.若关于x 的一元二次方程x 2＋2()m －1x ＋m 2＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ≤12且m ≠0 C ．m <1 D ．m <1且m ≠015．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m 的值．16．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根． (1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；(2)已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的长，求△ABC 的周长．17．2021·鄂州已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，是否存在这样的实数k ，使得|x 1|－|x 2|＝5成立？若存在，求出这样的k 值；若不存在，请说明理由．1．D [解析] ∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，∴x 1·x 2＝－3.故选D .2．A3．D [解析] 设此一元二次方程为x 2＋px ＋q ＝0.∵二次项系数为1，两个根分别为x ＝2，x ＝－3，∴p ＝－(2－3)＝1，q ＝(－3)×2＝－6，∴这个方程为x 2＋x －6＝0.故选D .4．B [解析] 设方程的另一个根为n ，则有－2＋n ＝－5，解得n ＝－3.故选B. 5．解：设方程的另一个根为t ，根据题意，得(3－2)t ＝7，∴t ＝73－2＝3＋ 2.所以－m ＝3－2＋3＋2＝6，即m ＝－6. 即方程的另一个根为3＋2，m 的值为－6.6．D [解析] ∵一元二次方程x 2－6x －3＝0的两个根分别为α与β， ∴α＋β＝6，αβ＝－3，∴－(1α＋1β)＝－α＋βαβ＝－6－3＝2.故选D.7．C [解析] ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－5，x 1x 2＝－3，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝25＋6＝31.故选C.8．D [解析] ∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－2tx ＋t 2－2t ＋4＝0的两实数根，∴m ＋n ＝2t ，mn ＝t 2－2t ＋4，∴(m ＋2)(n ＋2)＝mn ＋2(m ＋n )＋4＝t 2＋2t ＋8＝(t ＋1)2＋7.∵方程有两个实数根，∴Δ＝(－2t )2－4(t 2－2t ＋4)＝8t －16≥0，∴t ≥2，∴(t ＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16.故选D.9．D [解析] ∵x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝m 2－m －1.∵x 1＋x 2＝1－x 1x 2，∴2m ＝1－(m 2－m －1)，即m 2＋m －2＝0，解得m 1＝－2，m 2＝1. ∵方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0有实数根，∴Δ＝(－2m )2－4(m 2－m －1)＝4m ＋4≥0，解得m ≥－1.∴m ＝1.故选D. 10.214 [解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ，由x 12－x 22＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.∵x 1＋x 2＝5，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 11．解：设方程的两根为x 1，x 2，根据题意，得Δ＝(2k －1)2－4(k 2＋1)≥0，解得k ≤－34， x 1＋x 2＝－(2k －1)＝1－2k ，x 1x 2＝k 2＋1.∵方程的两根之和等于两根之积，∴1－2k ＝k 2＋1，∴k 2＋2k ＝0，∴k 1＝0，k 2＝－2. 而k ≤－34，∴k ＝－2.12．B [解析] ∵ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0)，∴Δ＝b 2＋4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0)的两个根为x 1，x 2， ∵x 1x 2＝－ca＜0，∴两根异号．故选B.13．解：(1)∵方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－3)2＋4k ＝9＋4k＞0，解得k ＞－94.(2)∵方程的两根同号，∴－k ＞0，即k <0.又∵k >－94，∴整数k ＝－2或－1.当k ＝－2时，原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.(答案不唯一)14．B [解析] ∵关于x 的一元二次方程x 2＋2(m －1)x ＋m 2＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝4(m －1)2－4m 2＝4－8m ≥0，∴m ≤12.∵x 1＋x 2＝－2(m －1)>0，∴m <1.∵x 1x 2＝m 2>0，∴m ≠0，∴m ≤12且m ≠0.故选B.15．解：∵α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－2m －3，α·β＝m 2， ∴1α＋1β＝α＋βαβ＝－2m －3m2＝－1， ∴m 2－2m －3＝0， 解得m ＝3或m ＝－1.∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2m ＋3)2－4×1×m 2＝12m ＋9＞0， ∴m ＞－34，∴m ＝－1不合题意，舍去，∴m ＝3.16．解：(1)由题意，得x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5. ∵(x 1－1)(x 2－1)＝28，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝28， ∴m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28.由题意，得b 2－4ac ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5－2（m ＋1）＋1＝28，[－2（m ＋1）]2－4（m 2＋5）≥0， 解得m ＝6.(2)当x 1＝x 2时，b 2－4ac ＝0，则m ＝2， ∴x 1＝x 2＝3.∵3＋3＜7，不符合三角形三边关系定理， ∴m ＝2舍去．当x 1＝7时，72－2(m ＋1)×7＋m 2＋5＝0， 解得m ＝4或m ＝10.当m ＝4时，x 2＝3，∴周长为3＋7＋7＝17； 当m ＝10时，x 2＝15.∵7＋7＜15，不符合三角形三边关系定理， ∴m ＝10舍去．∴这个三角形的周长为17. 注：x 2＝7的情况与x 1＝7的情况相同．17．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k －1)]2－4(k 2－2k ＋3)＝4k －11＞0，解得k ＞114.(2)存在．∵x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2－2k ＋3＝(k －1)2＋2＞0，∴将|x 1|－|x 2|＝5两边平方，可得x 12－2x 1x 2＋x 22＝5，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5，∴(2k －1)2－4(k 2－2k ＋3)＝5，即4k －11＝5，解得k ＝4.∵4>114，∴k ＝4.。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版) - 副本
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B)A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1 x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52 B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为（A ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx －8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x 的方程x 2＋mx －2n ＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m ＋n 的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x 2－3x －10＝0．10．已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两根，则m ＋n ＋mn ＝－1．11．若x 1＋x 2＝3，x 21＋x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2－3x ＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m＋m n 的值是452或2． 13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)＞0.解得a＜3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)∵x21＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∵x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2，∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16.解得a1＝－1，a2＝6.又由(1)知a＜3，∴a＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0.∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k －4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围．解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求mn＋nm的值． 解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1＋x1x2＝x21＋x22，求m 的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4m＋8＞0.∴m＜2.∴当m＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x1，x2是这个方程的两个实数根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2＝m－1＞0.∴m＞1.∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m≤2.∴m的取值范围是1＜m≤2.(3)由题意可得x1＋x2＝2，x1x2＝m－1.∵1＋x1x2＝x21＋x22，∴1＋x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，即1＋m－1＝22－2(m－1)．解得m＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0.(1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)．∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2.当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大新版九年级数学同步试卷：一元二次方程的根与系数的关系
北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）一、选择题（共18小题）1．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜22．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1B．1C．﹣4D．43．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，35．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2＝0B．x2﹣6x+9＝0C．5x2﹣4x﹣1＝0D．3x2﹣4x+1＝0 7．方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2 8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．﹣＜m＜2D．＜m＜29．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤10．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m≤C．m≥D．m≤11．下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．4x2+2x+1＝0C．x2+12x+36＝0D．x2+x﹣2＝012．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2＝0B．x2+2x﹣19＝0C．x2+4＝0D．x2+x+l＝0 13．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或1014．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定15．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一16．一元二次方程x2+x+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况17．一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根18．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1二、填空题（共7小题）19．关于x的方程kx2﹣4x﹣＝0有实数根，则k的取值范围是．20．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．21．一元二次方程x2﹣5x+c＝0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c＝．（只需填一个）．22．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为．25．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．28．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．29．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．30．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）参考答案一、选择题（共18小题）1．C；2．B；3．B；4．A；5．B；6．A；7．B；8．D；9．D；10．D；11．C；12．B；13．B；14．B；15．D；16．B；17．C；18．D；二、填空题（共7小题）19．k≥﹣6；20．m＜﹣4；21．4；22．k≥1；23．k＜2且k≠1；24．3；25．a＜﹣1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）一、选择题（共14小题）1．方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠0 4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜15．若关于x的方程x2+2x+a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥16．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2 7．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0 8．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a＝0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12B．16C．20D．249．已知一元二次方程2x2﹣5x+3＝0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根10．若一元二次方程x2+2x+a＝0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥111．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．2x2﹣x+1＝0C．4x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣6x＝0 12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8＝0B．2x2﹣4x+3＝0C．9x2+6x+1＝0D．5x+2＝3x2 14．一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题（共11小题）15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．16．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．17．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．19．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝．20．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1＝0有两个相等的实数根，那么k的值等于．21．关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5＝0没有实数根，则m的取值范围是．24．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．25．已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求实数m的值．27．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）29．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）参考答案一、选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．A；5．B；6．D；7．D；8．C；9．A；10．C；11．A；12．C；13．C；14．A；二、填空题（共11小题）15．；16．0；17．①③；18．a＞﹣且a≠0；19．﹣1；20．3；21．m＞；22．m ≤1；23．m＜；24．4；2；25．a≤1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）一、选择题（共13小题）1．若关于x的方程式x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.252．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1＝0B．x2+x+1＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2﹣x﹣1＝0 3．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣14．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1＝0B．x2+x+1＝0C．（x﹣1）（x+2）＝0D．（x﹣1）2+1＝06．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．7．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（）A．b2﹣4ac＝0B．b2﹣4ac＞0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≥08．若+|n﹣2|＝0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥8B．a＜8且a≠0C．a≤8D．a≤8且a≠0 9．下列方程没有实数根的是（）A．x2+4x＝10B．3x2+8x﹣3＝0C．x2﹣2x+3＝0D．（x﹣2）（x﹣3）＝1210．一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤111．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1 12．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣2x+5＝0C．x2﹣2x＝0D．x2﹣2x﹣3＝0 13．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0二、填空题（共12小题）14．如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝．15．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为．16．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．17．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．18．一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是．20．若一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．21．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．22．关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是．23．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程x2+a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+＝0有两个相等的实数根，求k的值．27．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，求m．28．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．29．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．30．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）参考答案一、选择题（共13小题）1．D；2．D；3．D；4．D；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C；10．D；11．C；12．B；13．B；二、填空题（共12小题）14．9；15．6；16．；17．k＜1；18．k＜；19．b＜；20．9；21．0；22．没有实数根；23．k＜；24．a＞0；25．﹣3；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；。
北师版九年级数学上册第2章5一元二次方程的根与系数的关系
*5 一元二次方程的根与系数的关系
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为1 的一元二次方程的 性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋
bx＋c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设
b2－4a－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
知1－练
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根 方程”，求a，b，c 之间的关系. 解：由“倍根方程”的定义可设ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的 两个根为t 和2t，此时Δ=b2－4ac ≥ 0. 由根与系数的关系，知t＋2t =－ba，t·(2t)=ac，
知1－练
解题归纳：已知一根，利用根与系数的关系求方程 中字母的值的策略：求解此类问题时，若字母在一 次项系数中，则可先用两根之积的关系求出另一根， 然后代入方程求字母的值，或者用两根之和的关系 求字母的值. 若字母在常数项中，则可先用两根之和 的关系求出另一根，然后代入方程求字母的值，或 者用两根之积的关系求字母的值.
北师大版数学九年级上册：2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.-32C.32D.-22.已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<03.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是()A.x2-7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0D.x2-7x-12=04.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为()A.0或2B.-2或2C.-2D.2二、填空题5.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为.6.若关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是.7.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式x12-2x1+2x2的值等于.三、解答题8.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x-11=0;(2)3x2-1=2x2-5x.9.已知方程3x2-x-1=0的两根分别为α,β,求下列各式的值:(1)α2+β2;(2)1α+1β.10.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.11. 已知一直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长.详解详析1.A[解析] 由x2-3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=-3,由根与系数的关系,得x1+x2=-ba =--31=3.故选A.2.A[解析] A项,∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,A项正确.B项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a.∵a的正负不确定,∴B项不一定正确.C项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2<0,C项错误.D项,∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,D项错误.故选A.3.A4.D[解析] ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2, ∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2+2k-4-4=-3,解得k=±2.当k=2时,原方程为x2-x=0,∴Δ=(-1)2-4×1×0=1>0,∴该方程有两个不相等的实数根,∴k=2符合题意;当k=-2时,原方程为x2+3x+4=0,∴Δ=32-4×1×4=-7<0,∴该方程无解,∴k=-2不合题意,舍去.故k=2.故选D.5.-2[解析] ∵a=1,b=-k,c=-2,∴x1·x2=ca=-2.∵关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根为1, ∴另一个根为-2÷1=-2. 故答案为-2.6. m>12 [解析] 设x 1,x 2为关于x 的方程x 2+2x-2m+1=0的两个实数根.由题意,得{Δ>0,x 1x 2<0,即{4-4(1-2m )>0,-2m +1<0, 解得m>12. 故答案为m>12.7.2028 [解析] ∵x 1,x 2是方程x 2-4x-2020=0的两个实数根,∴x 1+x 2=4,x 12-4x 1-2020=0,即x 12-4x 1=2020,则原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028. 故答案为2028. 8.解:(1)a=1,b=-3,c=-11, Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-11)=53>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=3,x 1x 2=-11. (2)原方程可变形为x 2+5x-1=0. a=1,b=5,c=-1,Δ=b 2-4ac=52-4×1×(-1)=29>0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=-5,x 1x 2=-1. 9.解:由根与系数的关系,得α+β=13,αβ=-13. (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=132-2×-13=19+23=79.(2)1α+1β=α+βαβ=13-13=-1.10.解:(1)证明:∵在方程x 2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t 2-6t+9=(t-3)2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根.(2)当t=1时,方程的两个根互为相反数.理由:设方程的两个根分别为m,n.∵方程的两个根互为相反数,∴m+n=t-1=0,解得t=1.∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.11.[解析] 首先根据根的判别式求出k的取值范围,再根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2k;x1x2=k2+3,再根据勾股定理得到x12+x22=52,接着利用完全平方公式变形得到(x1+x2)2-2x1x2=25,则(1-2k)2-2(k2+3)=25,求出k的值,进而求出两条直角边长.解:∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k-1)2-4(k2+3)>0,.∴-4k-11>0,∴k<-114令方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1-2k,x1x2=k2+3.∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5, ∴x12+x22=52,∴(x1+x2)2-2x1x2=25,即(1-2k)2-2(k2+3)=25,∴k2-2k-15=0,解得k1=5,k2=-3.∵k<-11,∴k=-3.4把k=-3代入原方程,得x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.。
北师大版九年级数学上《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》
初中数学试卷《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》一、选择题1．若方程3x 2﹣4x ﹣4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．﹣4 B ．3C ．D ．2．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=﹣1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1+x 2=3 D ．x 1x 2=23．关于x 的一元二次方程：x 2﹣4x ﹣m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（）=（ ）A ．B ．C ．4D ．﹣44．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0C ．2D ．35．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2﹣ab+b 2=18，则+的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．5D ．﹣56．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ） A ．B ．C ．D ．7．定义运算：a ⋆b=a （1﹣b ）．若a ，b 是方程x 2﹣x+m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b ﹣a ⋆a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关8．设α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣19．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=1，则b a 的值是（ ） A ．B ．﹣C ．4D ．﹣110．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ） A ．4，﹣2 B ．﹣4，﹣2 C ．4，2 D ．﹣4，211．若关于x 的方程x 2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1D ．312．已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ） A ．5 B ．﹣1 C ．2D ．﹣5二、填空题13．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7=0的两个根，则m 2+3m+n= ． 14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．15．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x+m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ． 16．方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．17．关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 ． 18．已知一元二次方程x 2+3x ﹣4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22= ． 19．关于x 的方程2x 2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ． 20．设x 1、x 2是方程5x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ．21．设一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2（x 22﹣3x 2）= ． 22．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n= ． 三、解答题23．关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值． 24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．25．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．27．已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》参考答案与试题解析一、选择题1．若方程3x 2﹣4x ﹣4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．﹣4 B ．3C ．D ．【考点】根与系数的关系．【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x 1+x 2=”，由此即可得出结论． 【解答】解：∵方程3x 2﹣4x ﹣4=0的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=﹣= 故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x 1+x 2=﹣=”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．2．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=﹣1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1+x 2=3 D ．x 1x 2=2 【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出“x 1+x 2=﹣=3，x 1•x 2==﹣2”，再结合四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵方程x 2﹣3x ﹣2=0的两根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=﹣=3，x 1•x 2==﹣2， ∴C 选项正确． 故选C ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x 1+x 2=3，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．3．关于x 的一元二次方程：x 2﹣4x ﹣m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（）=（ ）A ．B ．C ．4D ．﹣4【考点】根与系数的关系．【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简． 【解答】解：∵x 2﹣4x ﹣m 2=0有两个实数根x 1、x 2， ∴，∴则m 2（）===﹣4．故答案选D ．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0C ．2D ．3【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系得出“x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1”，将代数式x 12﹣x 1+x 2变形为x 12﹣2x 1﹣1+x 1+1+x 2，套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣=2，x 1•x 2==﹣1．x 12﹣x 1+x 2=x 12﹣2x 1﹣1+x 1+1+x 2=1+x 1+x 2=1+2=3． 故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系找出两根之积与两根之和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系，找出两根之和与两根之积是关键．5．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2﹣ab+b 2=18，则+的值是（ ）A ．3B ．﹣3C ．5D ．﹣5【考点】根与系数的关系．【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p ，利用完全平方公式将a 2﹣ab+b 2=18变形成（a+b ）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p 的一元一次方程，解方程即可得出p 的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵a 、b 为方程x 2﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根， ∴a+b=3，ab=p ，∵a 2﹣ab+b 2=（a+b ）2﹣3ab=32﹣3p=18， ∴p=﹣3．当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0， ∴p=﹣3符合题意． +===﹣2=﹣2=﹣5．故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．6．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】根与系数的关系．【分析】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【解答】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根， ∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2， ∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=． 故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．7．定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【考点】根与系数的关系．【专题】新定义．【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m，根据新运算，找出b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，∴a+b=1，ab=m．∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．8．设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，∴αβ==，故选D．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．9．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=1，则b a 的值是（ ） A ．B ．﹣C ．4D ．﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根， ∴x 1+x 2=﹣a=﹣2，x 1•x 2=﹣2b=1， 解得a=2，b=﹣， ∴b a =（﹣）2=． 故选：A ．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ） A ．4，﹣2 B ．﹣4，﹣2 C ．4，2 D ．﹣4，2 【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m 的值即可． 【解答】解：由根与系数的关系式得：2x 2=﹣8，2+x 2=﹣m=﹣2， 解得：x 2=﹣4，m=2，则另一实数根及m 的值分别为﹣4，2， 故选D【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．11．若关于x 的方程x 2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1D ．3【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的另一根为m ，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m 的方程，求出方程的解即可得到m 的值．【解答】解：关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m，可得﹣1+m=2，解得：m=3，则方程的另一根为3．故选D．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．12．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【考点】根与系数的关系．【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m=，解得，m=﹣1，故选B．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．二、填空题13．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= 5 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，∴m+n=﹣2，∵m是原方程的根，∴m 2+2m ﹣7=0，即m 2+2m=7， ∴m 2+3m+n=m 2+2m+m+n=7﹣2=5， 故答案为：5．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m 2+3m+n 转化为m 2+2m+m+n 的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】利用韦达定理求得x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，然后将其代入通分后的所求代数式并求值． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2， x 1+x 2=2， x 1•x 2=﹣1， ∴+==﹣2．故答案是：﹣2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x+m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= 4 ，m= 3 ． 【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ，将其代入等式x 1+x 2﹣x 1x 2=1中得出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出m 的值，从而此题得解． 【解答】解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣4x+m=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ． ∵x 1+x 2﹣x 1x 2=4﹣m=1， ∴m=3．故答案为：4；3．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x 1+x 2=4，x 1x 2=m ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．16．方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得出“x 1+x 2=﹣=，x 1•x 2==﹣”，再利用完全平方公式将x 12+x 22转化成﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=﹣=，x 1•x 2==﹣， ∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=﹣2×（﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x 1+x 2=，x 1•x 2=﹣．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键．17．关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 m ＞ ． 【考点】根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式．【分析】设x 1、x 2为方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：设x 1、x 2为方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两个实数根， 由已知得：，即解得：m ＞． 故答案为：m ＞．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m 的一元一次不等式组是关键．18．已知一元二次方程x 2+3x ﹣4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22= 13 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2﹣x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣4，所以x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13． 故答案为13．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．19．关于x 的方程2x 2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ．【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．【分析】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到1•t=，然后解关于t 的方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t ， 根据题意得1•t=，解得t=． 故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．20．设x 1、x 2是方程5x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ﹣ ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1•x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵方程x 1、x 2是方程5x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，∴+===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．21．设一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2（x 22﹣3x 2）= 3 ． 【考点】根与系数的关系．【分析】由题意可知x 22﹣3x 2=1，代入原式得到x 1+x 2，根据根与系数关系即可解决问题． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根分别是x 1，x 2， ∴x 12﹣3x 1﹣1=0，x 22﹣3x 2﹣1=0，x 1+x 2=3， ∴x 22﹣3x 2=1，∴x 1+x 2（x 22﹣3x 2）=x 1+x 2=3， 故答案为3．【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．22．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n= 2016 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m 2=﹣2m+2018，则m 2+3m+n 可化简为2018+m+n ，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m 为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的实数根，∴m 2+2m ﹣2018=0，即m 2=﹣2m+2018， ∴m 2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n ，∵m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根， ∴m+n=﹣2，∴m 2+3m+n=2018﹣2=2016．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．也考查了一元二次方程根的定义． 三、解答题23．关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【解答】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0， 解得：m ＜．∴m 的取值范围为m ＜．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ， ∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】计算题．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0， 解得m ≤4；（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1， 而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m ≥3， 而m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．也考查了根与系数的关系．25．关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx+2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根．（2）设x 1，x 2是方程（k ﹣1）x 2+2kx+2=0的两个根，记S=+x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得x1+x2=﹣，x1x2=，代入到+x1+x2=2中，可求得k的值．【解答】解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，解得：k=1（舍）或k=2，∴S的值能为2，此时k=2．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x 1+x 2，x 1•x 2的值，代入x 12+x 22=6x 1x 2求解即可． 【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4（m ﹣1）≥0， 整理得：4﹣4m+4≥0， 解得：m ≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ﹣1，x 12+x 22=6x 1x 2， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=6x 1•x 2， 即4=8（m ﹣1）， 解得：m=． ∵m=＜2，∴符合条件的m 的值为．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．27．已知在关于x 的分式方程①和一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k ）n=0②中，k 、m 、n 均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k 的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x 1、x 2，k 为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x 1、x 2，满足x 1（x 1﹣k ）+x 2（x 2﹣k ）=（x 1﹣k ）（x 2﹣k ），且k 为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k 的取值； （2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m 的等式，由根与系数的关系和两个整数根x 1、x 2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m ＞0或m ＜﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．（3）根据（1）中k 的取值和k 为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m 的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．【解答】解：（1）∵关于x 的分式方程的根为非负数，∴x ≥0且x ≠1， 又∵x=≥0，且≠1，∴解得k ≥﹣1且k ≠1，又∵一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k ）n=0中2﹣k ≠0， ∴k ≠2，综上可得：k ≥﹣1且k ≠1且k ≠2；（2）∵一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k ）n=0有两个整数根x 1、x 2，且k=m+2，n=1时， ∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx 2+3mx+（1﹣m ）=0，即：mx 2﹣3mx+m ﹣1=0， ∴△＞0，即△=（﹣3m ）2﹣4m （m ﹣1），且m ≠0， ∴△=9m 2﹣4m （m ﹣1）=m （5m+4）＞0， 则m ＞0或m ＜﹣；∵x 1、x 2是整数，k 、m 都是整数， ∵x 1+x 2=3，x 1•x 2==1﹣，∴1﹣为整数， ∴m=1或﹣1，由（1）知k ≠1，则m+2≠1，m ≠﹣1∴把m=1代入方程mx 2﹣3mx+m ﹣1=0得：x 2﹣3x+1﹣1=0， x 2﹣3x=0， x （x ﹣3）=0， x 1=0，x 2=3；（3）|m|≤2成立，理由是： 由（1）知：k ≥﹣1且k ≠1且k ≠2， ∵k 是负整数， ∴k=﹣1，（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==n，x 1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），x 12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，x 12+x22═x1x2+k2，（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，（﹣m）2﹣3×n=（﹣1）2，m2﹣4n=1，n=①，△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，把①代入②得：9m2﹣48×≥0，m2≤4，则|m|≤2，∴|m|≤2成立．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．。
北师大版九年级上册2.5 一元二次方程根与系数的关系典型例题(有答案)
一元二次方程根与系数的关系设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1、x 2，当方程有解时，则x 1+ x 2=-a b ，x 1 x 2=ac，其常见应用有：1、 求方程中字母系数的值例1、 已知方程2x 2+4x+m=0的两根的平方和为34，求m 的值.解：设方程的两根为x 1、x 2，根据题意有 x 12+ x 22=34 ①根据根与系数的关系得x 1+ x 2= -2 ②x 1 x 2 =2m③ 联立①②③可解得 m=-30③ 检验：当m=-30时，△=256＞0 ∴ m=-30注意：当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0。
具体运用时，可先求出字母的值，再来检验△，如例1；也可先由△≥0，求出字母的范围，再来取值.例1中由△=42-8m ≥0得m ≤2.练习1、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+k+2=0的两根的平方和是13，求k 的值. 【±4】2、已知方程2x 2+bx-2b+1=0的两根的平方和是429，则b 的值是（ ）. 【 A 】 A 、3 B 、-3或11 C 、-11 D 、 3或-112、 求方程两根对称式的值若α、β为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，运用根与系数的关系，可求①α2+β2=（α+β）2-2αβ②（α-β）2=（α+β）2-4αβ③ ∣α-β∣=()2βα-=()αββα42-+④αββαβα+=+11⑤()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+ ⑥()αβαββααββαβααβ2222-+=+=+等对称式的值. 例2、已知α、β为一元二次方程2x2-6x+3=0的两根，求下列各式的值 ①（α-β）2②⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11 ③2211βα+ 解：根据根与系数的关系得3=+βα 23=αβ① （α-β）2=（α+β）2-4αβ=3② ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11=αβαβ111+++=23+1+1+32=625 ③ ()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+=38只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含βα+、αβ的代数式，代入求值即可.练习：1、若α、β是方程2x 2-4x-3=0的两根，则223βαβα+-=【223】 2、已知方程0422=--mx x 的两根为α、β，且211=+βα，则m= 【 -8 】3、 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值例3、已知m 、n 是一元二次方程0132=+-x x 的两根，求下列代数式的值①964222--+n n m ②1142323++n m 解：由根与系数的关系得 m+n=3、mn=1由根的定义得 0132=+-n n 0132=+-m m①964222--+n n m=96222222--++n n n m=()()9324222--+-+n n mn n m=3②由0132=+-m m 得m m m -=233则1142323++n m =()11432322++-n m m =114232922++-n m m =11442321222+++-n m m m =()()118432122+-++-mn n m m m=385此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的.常常需要结合根的定义,将式中的高次降低,直至出现对称式,再利用根与系数的关系求值.如果例3中要求33n m +的值，我们只需要利用根的定义降次即可求出.由根的定义可得132-=m m 132-=n n即 n n n -=233则33n m +=n n m m -+-2233=()()n m nm +-+223 再运用根与系数的关系即可.练习1、已知α、β为方程0722=-+x x 的两个实数根，求ββα4322++的值. 【 32 】2、已知x 1、x 2是方程2x 09=--x 的两个实数根，求代数式663722231-++x x x 的值. 【 16 】4、 判断两根的特殊关系在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当方程有根时，若两根互为相反数，有x 1+ x 2=-ab=0，即b=0；若两根互为倒数，有x 1 x 2 =ac=1，即a=c. 例4、关于x 的方程()042222=-++-m x m x 的两根互为倒数，则m 的值是（ ）A 、5B 、5±C 、-5D 、-2解：设方程两根为x 1、x 2，根据题意得，x 1 x 2=442=-m ①△=()()442422--+m m ≥0 ②由①得m=5±m m m -=233由②得m ≥-2 ∴m=5练习1、方程()01212=-++-m x m x ，当m= 时，方程两根互为相反数；当m= 时，方程两根互为倒数.【 -1， 1 】2、当k 为何值时，方程()0152222=+--+k x k k x 的两根互为相反数. 【 -2 】5、 判断方程两根的符号一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）当△≥0且x 1 x 2＞0时，两根同号；当△≥0且x 1 x 2＜0时，两根异号.若x 1+ x 2＞0 x 1 x 2＞0，则x 1＞0、x 2＞0；若x 1+ x 2＜0 x 1 x 2＞0，则x 1＜0、x 2＜0. 反之，也成立。
秋北师大版九年级数学上册习题课件：2.5 一元二次方程的根与系数的关系(共22张PPT)
(2)(x＋1)2＝4x(x－1)． 解：整理得：3x2－6x－1＝0， x1＋x2＝2, x1x2＝－13.
4. 若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－3＝0 的两 个实数根为 x1，x2，且满足 x1＝3x2，试求出方程的两个 实数根及 k 的值．
解：x1＝3，x2＝1，k＝6.
5. (2017·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m －3)x－m＝0.
◎基础训练
1. (2017·烟台)若 x1，x2 是方程 x2－2mx＋m2－m－
1＝0 的两个根，且 x1＋x2＝1－x1x2，则 m 的值为( D )
A．－1 或 2
B．1 或－2
C．－2
D．1
【解析】由题意，x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1， ∵x1＋x2＝1－x1x2，∴2m＝1－(m2－m－1)，解得
7. 若两个不等实数 m、n 满足条件：m2－2m－k＝0， n2－2n－k＝0.
(1)求 k 的取值范围； (2)若 m2＋n2 的值是 6，求 k 的值．
解：(1)由已知得 m、n 分别是方程 x2－2x－k＝0 不
相等的实数根，Δ＝4＋4k>0，得：k>－1.
(2)由 m＋n＝2，mn＝－k， m2＋n2＝(m＋n)2－2mn，得 4＋2k＝6, 解得 k＝1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月12日星期日2021/9/122021/9/122021/9/12 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/122021/9/12September 12, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/12
北师大数学九年级上册第二章一元二次方程的根与系数的关系
2.5一元二次方程的根与系数的关系知识精讲韦达定理（1）如果20(0)ax bx c a++=≠的两根是1x，2x，则12bx xa+=-，12cx xa=（隐含条件：0∆≥）（2）当二次项系数为1时，20x bx c++=的两个根，则12x x b+=-，12x x c⋅=()221244+=2=b b ac b b acx xaba------＋＋221244=22=b b ac b b acx xa aca----⋅⋅＋－应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；若方程240x x c-+=的一个根为23+，则根据韦达定理，124x x+=，∴()2423=23x=-－＋12x x c⋅=，∴c=1（2）已知方程，求方程的两根；2320x x+=－123x x+=，122x x⋅=1212x x==（3）公式的变形例：x1，x2是一元二次方程x2＋2x＋2m＝0的两个根，且x12＋x22＝8，求m的值x1＋x2＝-2，x1 x2＝2mx12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4－4m＝8，∴m＝-1，当m＝-1时，△＞0，∴成立，m＝-1（4）已知方程的两根，求作方程；例：已知一元二次方程的两根为1+212、－，求该方程121+2122bx xa+===-+－()()121+212-1cx xa⋅=⋅==－2c a b a∴=-=-令a=1，则方程为2210x x--=（5）结合根的判别式，讨论根的符号特征；若0ca<，0ba-≥，则12x x≥若0ca<，ba-<，则12x x<若0ca>，0ba->，则12x x≥>若0c a >，0ba-<，则210x x ≤< （6）逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把代数式看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理（a + b ）+（c +d ）=8（a + b ）（c +d ）=16运用韦达定理可得a + b =4， c +d =4易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3．已知方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；5．逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立韦达定理例题1、 若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为______，c =______． 【答案】 231c =【解析】 根据韦达定理，124x x +=，因为123x =+223x =-(1223231c x x =⋅== 例题2、 设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是 ． 【答案】 1k =【解析】 由根与系数的关系得 ()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >． 所以()()12118x x ++=． 从而2230k k +-=， 解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．例题3、 如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值． 【答案】 当a b =时，2b a a b +=；当a b ≠时，12522b a a b +=【解析】 当a b =时，2b aa b+=；当a b ≠时，a 、b 为方程2130x x m -+=的两个根，所以 13a b +=，则2a =，11b =或2b =，11a =． 所以21112511222b a a b +=+=．例题4、 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值． 【答案】 （1）m≤4 （2）﹣12【解析】 （1）∵方程有实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0， ∴m≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2， ∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0， 得：m=﹣12．例题5、 已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【答案】 104a <≤【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．随练1、 已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，那么m n +=_______．【答案】 3【解析】 由于m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，所以方程的另一个根是2-．由韦达定理知：(2)2)m -=-+-，(2)2)n =-⨯-∴4m =，1n =-，∴4mn =-，3m n +=．随练2、 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+a=0的两个实数根，且x 12﹣x 22=10，则a=_____．【答案】 214【解析】 由两根关系，得根x 1+x 2=5，x 1•x 2=a ， 由x 12﹣x 22=10得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）=10， 若x 1+x 2=5，即x 1﹣x 2=2，∴（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=25﹣4a=4，∴a=214．随练3、 如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值【答案】 当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当1a b ==-+时，111a b +，当1a b ==--时，111a b+=【解析】 由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：113x =-+213x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为113x =-+213x =--当13a b ==-+1123131a b a ∴+==-；当13a b ==-1121331a b a ∴+===---随练4、 已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值． 【答案】 -1【解析】 有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-随练5、 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】 52m >【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<， 因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练6、 关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0的两个根，且x 12＋x 22＝8，求m 的值．【答案】 （1）12m ＜（2）－1【解析】 （1）∵一元二次方程x2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝b 2－4ac ＝4－8m ＞0，解得：12m ＜∴m 的取值范围为12m ＜．（2）根据根与系数关系得： x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝2mx 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝4－4m ＝8， ∴m ＝－1，当m ＝－1时，△＞0， ∴m 的值为－1．课后练习1、 已知方程22240x mx m -+-=的一个解为1，则另一个解为__________，m =__________．【答案】 0；2【解析】212mx +=，212x m ⋅=-，解得20x =，2m =． 2、 已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________．【答案】 ±【解析】 设2230x mx -+= 的两根分别为12,x x ，则12,2m x x +=123.2x x =而22222121212()23,35,44m m x x x x x x +=+-=-∴-=即232,m m =∴=±3、 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2（m ＋1）x ＋m 2－1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足（x 1－x 2）2＝16－x 1x 2，求实数m 的值． 【答案】 （1）m≥－1（2）1【解析】 （1）由题意得△＝[2（m ＋1）]2－4（m 2－1）≥0， 整理得8m ＋8≥0， 解得m≥－1，∴实数m 的取值范围是m≥－1；（2）由两根关系，得x1＋x2＝－（2m ＋1），x 1•x 2＝m 2－1， （x 1－x 2）2＝16－x 1x 2（x 1＋x 2）2－3x 1x 2－16＝0，∴[－2（m ＋1）]2－3（m 2－1）－16＝0， ∴m 2＋8m －9＝0， 解得m ＝－9或m ＝1 ∵m≥1 ∴m ＝1．4、 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值． 【答案】 （1）m ≤4（2）m=﹣12 【解析】 （1）∵方程有实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0， ∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2， ∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0， 解得：m=﹣12．5、 实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．（1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？ （3）一根大于3，一根小于3？【答案】 （1）2k >（2）322k <<（3）72k >【解析】 []2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =- （1）若两根均为正，则240k ->，故2k >；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； （3）由13<可知，72432k k ->⇒>．6、 阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x 、2x ，则根与系数关系为：12b x x a +=-，12cx x a =．已知210p p --=，210q q --=，且1pq ≠，求1pq q +的值． 【答案】 1【解析】 由210p p --=，210q q --=有0p ≠，0q ≠，又1pq ≠，所以1p q≠则210q q --=可变形为211()10q q --=．由210p p --=及1p q ≠，可知p 与1q是方程210x x --=的根，因此111pq p q q+=+=．。
新北师版初中数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系3过关习题和解析答案
2.5 一元二次方程的根与系数的关系1. 如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
2. 如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
3、如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +=____ ；21x x =____4、已知方程0432=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x += ____；21x x = ____.5. 如果方程26302x x -+=的两个实数根分别为x x 12、，那么x x 12的值是（ ）A. 3B. -3C. -32D. 326、已知方程22x x -=，则下列说中，正确的是 （ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积是两根和的2倍7. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于（ ）A. -3B. 3C. 13D. -138、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±19、已知方程062=-+ax x 的一个根是2，求方程的另一个根及a 的值。
10、若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0，求下列关于两根代数式的值：（1）(x 1-x 2)2； （2）21x x -11、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
数学北师大版九年级上册2.5 一元二次方程根与系数的关系.5 一元二次方程的根与系数的关系练习
2.5一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝____，x1x2＝____．知识点：一元二次方程的根与系数的关系1．下列一元二次方程两实数根之和为－4的是()A．x2＋2x－4＝0B．x2－4x＋4＝0 C．x2＋4x＋9＝0 D．x2＋4x－1＝02．若m，n是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则m＋n－mn的值是()A．－7B．7C．3D．－33．已知方程x2－2x－1＝0，则此方程()A．无实数根B．两根之和为－2 C．两根之积为－1 D．有一根为－1＋ 24．x＋y＝－6和xy＝－7有相同的解，若求x和y的值，可将x，y看作某方程的两根，则该方程应是()A．m2＋6m＋7＝0 B．m2－6m－7＝0 C．m2＋6m－7＝0 D．m2－6m＋7＝05．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：(1)4x2＋1＝7x，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；(2)3x2－1＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；(3)x2－6x＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；(4)2x2－(m＋1)x－m＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____．6．已知x1，x2是一元二次方程2x2－5x－1＝0的两根，则x1－1＋x2－1＝____．7．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程____________________________．8．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程______________________________．9．(2014·常州)已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则m＝____，另一个根为____．10．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之积．(1)x2＋4x＝0 (2)2x2－3x＝511．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．12．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值．。
北师大版九年级数学上 第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系.docx
初中数学试卷桑水出品北师大版九年级上册第二章一元二次方程 2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习题1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是( )A．2 B．1 C．－2 D．－12．若m，n是一元二次方程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是( ) A．－7 B．7 C．3 D．－33．设x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1x1＋1x2的值为________．4．已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)＝________．5．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x12＋x22；(2)x2x1＋x1x2；(3)x12＋x22－3x1x2.6．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1 C．5 D．－17．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是()A.14B．－14C．4 D．－18．若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝________．9．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．10．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．11．关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，若x12＋x22＝11，求实数k的值．12．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为( )A．5 B．－1 C．2 D．－513．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n－1)＝－6，则a＝( )A．－10 B．4 C．－4 D．1014．已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为________．15．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝________．16．已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；(2)若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．18．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝______，q＝________．19．已知在关于x的分式方程k－1x－1＝2①和一元二次方程(2－k)x2＋3mx＋(3－k)n＝0②中，k，m，n均为实数，方程①的根为非负数．(1)求k的取值范围；(2)当方程②有两个整数根x1，x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；(3)当方程②有两个实数根x1，x2，满足x1(x1－k)＋x2(x2－k)＝(x1－k)(x2－k)，且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．答案： 1. D 2. B3. －32 4. 95. (1) 由题意得：x 1＋x 2＝12，x 1·x 2＝－32.x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(12)2＋2×32＝134.(2) x 2x 1＋x 1x 2＝x 12＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝134－32＝－136. 6. 6．关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－1 7. A 8. 49. 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4，①x 1x 2＝k －3.②又∵x 1＝3x 2，③联立①，③解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝6.10. (1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m ＋1)≥0，解得m≤4.(2)根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，所以2(2m ＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4.11. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝k ＋2，x 1x 2＝2k ＋1.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝11，∴(k ＋2)2－2(2k ＋1)＝11，∴k 2－9＝0，解得：k ＝±3.∵ 当k ＝3时，原方程为x 2－5x ＋7＝0，Δ＝－3＜0，故只取k ＝－3. 12. B 13. C 14. 23 15. 516. (1)由题意得m ≠0且(－2m)2－4m(m －2)>0，∴m>0.(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －2m ，又∵|x 1－x 2|＝1，∴(x 1－x 2)2＝1，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1，即22－4×m －2m ＝1，∴m ＝8，经检验m ＝8是原方程的解，且符合题意，∴m ＝8.17. (1)由题意得[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋2k)≥0，∴k ≤14.(2)不存在．理由如下：假设存在实数kx 1·x 2＝k 2＋2k ，∴3(k 2＋2k)－(2k ＋1)2≥0，即－(k －1)2≥0，∴k ＝1，但k ＝1不满足k ≤14，即不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立． 18. －2 －319. (1)∵关于x 的分式方程k －1x －1＝2的根为非负数，∴x ≥0且x ≠1，∴x ＝k ＋12≥0，且k ＋12≠1，∴解得k ≥－1且k ≠1，又∵一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0中2－k ≠0，∴k ≠2.综上可得k ≥－1且k ≠1且k ≠2.(2)当k ＝m ＋2，n ＝1时，把k ，n 代入原方程得－mx 2＋3mx ＋1－m ＝0，即mx 2－3mx ＋m －1＝0，∵一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0有两个整数根x 1，x 2，∴Δ≥0，即Δ＝(－3m)2－4m(m －1)＝m(5m ＋4)，且m ≠0，∵k 为整数，由k ＝m ＋2得m ＝k －2，∴m 也为整数，∵x 1，x 2是整数，x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝m －1m ＝1－1m ，∴1－1m 为整数，∴m ＝1或－1.∴把m ＝1代入方程mx 2－3mx ＋m －1＝0得x 2－3x ＋1－1＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，当m ＝－1时，k ＝－1＋2＝1，与k ≠1相矛盾，舍去，即方程②的整数根为x 1＝0，x 2＝3.(3)|m|≤2成立，理由如下：由(1)知k ≥－1且k ≠1且k ≠2，∵k 为负整数，∴k ＝－1，方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－3m 2－k ＝3mk －2＝－m ，x 1x 2＝（3－k ）n 2－k＝43n ，x 1(x 1－k)＋x 2(x 2－k)＝(x 1－k)(x 2－k)，整理得x 12＋x 22＝x 1x 2＋k 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－x 1x 2＝k 2，即(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝k 2，∴(－m)2－3×43n ＝(－1)2，即m 2－4n ＝1，n ＝m 2－14，③Δ＝(3m)2－4(2－k)(3－k)n ＝9m 2－48n ≥0，④把③代入④得9m 2－48×m 2－14≥0，m 2≤4，则|m|≤2，∴|m|≤2成立．。
北师大版数学9年级上册练习2.5 一元二次方程的根与系数的关系3
2.5 一元二次方程的根与系数的关系1. 如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
2. 如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
3、如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +=____ ；21x x =____4、已知方程0432=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x += ____；21x x = ____.5. 如果方程26302x x -+=的两个实数根分别为x x 12、，那么x x 12的值是（ ） A. 3B. -3C. -32D. 32 6、已知方程22x x -=，则下列说中，正确的是 （ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积是两根和的2倍7. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于（ ） A. -3B. 3C. 13D. -13 8、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ）A 、0B 、－1C 、1D 、±19、已知方程062=-+ax x 的一个根是2，求方程的另一个根及a 的值。
10、若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0，求下列关于两根代数式的值：（1）(x 1-x 2)2； （2）21x x -11、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。