数字信号处理第三章-2

解决方法：增加窗宽；改变窗函数，使窗谱的旁瓣能量更小
Y(ej) FT[y(n)]
1
2
X (e j) RN (e j)

1
2

X (e j )RN (e j())d

2 / N的部分称为主瓣，其余部分为旁瓣。
图 3.4.12
图 3.4.13
x(n)

Tp
参数选择原则： N

fs F

2 fc F
F

fs N

1 NT

1 Tp
TP

1 F
Tpmin

1 F
P98 3.4.2
（2）用DFT对序列进行谱分析
单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换：
X (e j ) X (z) ze j
x(n) X (k) : 是在区间[0，2 ]上对X (e j )的N点等间隔采样。
结论：
如果信号持续时间有限长，则其频谱无限宽； 如果信号频谱有限宽，则其持续时间无限长。
所以严格来讲，持续时间有限的带限信号是不存 在的。因此在利用DFT进行谱分析时要进行一些预处 理。
xa(t) 预滤
A/DC
数字信号处理
D/AC
平滑滤波 ya(t)
用以滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。 对于持续时间很长的信号，在时域要进行截断处理，取有限个点。
则xN (n)是~x(n)的主值序列 X (k)为X~(k)的主值序列
xN (n) X (k)

X~x~((nk))RRNN((nk))
X~(k) X ((k))N DFS[~x(n)]
~x(n) xN ((n))N IDFS[X~(k)]
将X(k)代入 ~x(n)的表达式

如果连续时间信号持续时间无限长，上述分析中就要进行
截断处理，会产生频率混叠和泄漏现象，从而使谱分析产生
误差。
书第97页
在对连续时间信号进行谱分析，主要关心两个问题：谱分 析范围（可以分析的信号的最高频率）和频率分辨率（频域采 样间隔）。
用DFT进行连续信号谱分析时参数的选择要遵循一定的原则。
T
P
F
n0
当 z e时j， 上面两式就变成了x(n)傅里叶变换 的X内(e j )
插函数和内插公式。 X (e j ) N1 X (k) ( 2 k)
k 0
N
()
1
sin(N
/
2)

e
j (
N 1) 2
N sin( / 2)
§3.4 DFT的应用举例
DFT的快速算法FFT的出现使得DFT在语音信号处理、 图象处理、数字滤波、功率谱分析、系统分析等各个领域 都有广泛的应用。

1 N
N 1

k0
X (k)WNkn

1 N
N 1
[


x(m)WNkm
]

WNkn
k0 m
IDFS


x(m)[
m
1 N
N1WNk(mn) ]
k0


x(m) (n rN m)
m
r
N 1
1 k(mn)
WN
N k0
因此可以用X(k)来表示序列的傅里叶变换。
（3）用DFT进行谱分析的误差问题
1、混叠现象：采样速率fs必须满足采样定理，否则会在 附 近发生频 谱混叠现象，对于模拟域频率，即在 f 附fs近/ 2发生频谱混叠现象。 解决方法：先对信号进行低通滤波滤除高频成分。
2、栅栏效应：N点DFT是在频率区间 [0,2上] 对信号的频谱进行N
1 N
N 1 X~(k)WNkn
k 0

1 N
N 1
X
(k
)W kn N
k 0

X (k)

X (z) z
e
j
2 N
k

x(n)WNnk, 0 k N 1
n

X (k)
wk.baidu.com
X (z) z
e
j
2 N
k

x(n)WNnk, 0 k N 1
n
x~(n)
zN z 1
1 N 1
1 zN
N k0 X (k)1 WNk z1
X
(z)

N 1 k 0
X
(k)[
1 N
1
1
zN
W k N
z
1
]
令：（k z）
1 N
1 zN
1

W k N
z
1
内插函数
N 1
则：X (z) X（k）（k z） 内插公式
取N的 范围内
L1
yc (n) h(n) x(n) h(m)x((n m))L RL(n)
m0

其中：L max[ N，M ]， x((n))L x(n qL)
q
L1


x((n))L x(n qL) q
yc (n) h(m) x(n m qL)RL(n)
信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
对连续信号进行时域采样
应用DFT进行近似谱分析
（1）用DFT对连续信号进行谱分析
连续信号xa(t)
FT
频谱函数 X a ( j)
采样得 x(n) xa (nT )
DFT
它是x(n)的傅里叶变换
X (k ) X (e j ) 在频率区间 [0,2 ]
上的N点等间隔采样。
m0 q
N 1
h(m)x(n qL m)RL(n)
q m0
N 1
h(m)x(n qL m) yl (n qL),
m0

即：yc (n) yl (n qL)RL(n) q
说明循环卷积是线性卷积以 L 为周期的周期延拓的主值序列。
cos ( 0 n), 0


4
, 其频谱为
X（e j） [ ( 2l) ( 2l)]
l
4
4
影响主要体现在以下几个方面：
1、泄漏：
图b可见，原来序列 x(n)的频谱是离散谱线时，经截断后，
对于实际工程来讲滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小 的部分时间信号是允许的。
书第96页 式（3.4.11）下面
连续信号的频谱可以通过对连续信号进行采样并进行 DFT再乘以T的近似方法得到。
对持续时间有限的信号，在满足时域采样定理时，上述方 法不丢失信息。但是直接由分析结果看不到全部频谱特性， 只能看到N个采样点的谱特性，产生“栅栏效应”。
数字信号处理 Digital Signal Processing
§3.3 频率域采样
1. 频域采样不失真条件
设任意序列x(n)的Z变换为X(z), 对X(z)等间隔采样N点得到：
X
(k)

X
(z)
z
e
j
2 N
k

x(n)zn
n
z
e
j
2 N
k



x(n)e
j
2 N
kn
如果取L=N+M-1，则可用DFT(FFT)来计算线性卷积。如下图示：
p90
h(n) 补L-N
L点
N点 个零点
DFT
x(n) 补L-M
L点
M点 个零点
DFT
用DFT计算线性卷积框图：
y(n) L点IDFT
实际中经常N和M值相差很大，这样就要求对短序列补充很多零， 不仅加大了计算量；而且时延也可能不满足处理要求。这时，可以采 取将长序列分段成短序列进行卷积，然后把各段计算结果组合起来得 到原卷积计算结果。这就是所谓分段卷积计算方法。该方法可以减少 计算量、满足实时处理要求。
这些应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据， 或用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换的近似为基础。
这里主要介绍利用DFT计算线性卷积和对信号进行谱 分析等基本应用。
1、用DFT计算线性卷
如果：积y(n) x1(n) x2 (n) L1 x1(m)x2 ((n m)) L RL (n) m0

1 0
m n rN，r为整数 其他m
j 2
WN e N


x(m) (n rN m) x(n rN )
rm
r
~x (n)


x(n

rN )
r
xN (n) ~x (n)RN (n)

x(n rN )RN (n)
r
说明：
X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X (k) 的IDFT为原序
列x(n) 以N为周期的周期延拓序列的主值序列。
频率采样定理：
如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM 时，有
xN (n) IDFT[X (k)] x(n)
满足此条件可由频域采样X(k)恢复原序列x(n) ，否则产生时 域混叠现象。
用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数：
设序列x(n)长度为M，在频域 0 ~之2间等间隔采样N点， N M
N 1
X (z) x(n)zn
(1)
n0
X
(k)

X
(z)
, k z
e
j
2 N
k

0 ，1...，N
1
(2)
其中：x（n）
IDFT[X（k）]
1 N
N 1

k 0
X（k）WNkn
(3)
将（3）式代入（1）式中，可得
x(n)
X(z)

Nn01
1 N
N 1

k0
X
(k
)WN
kn


zn

1 N
N 1
X
(k
)
N1WNkn
z
n
k0
n0

1 N
N 1 k0
X
(k
)
1 WNkN 1 WNk
点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数值是不知道的。这就好 象从（N+1）个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况 ，仅得到N个缝 隙中看到的频谱函数值。这种现象称为栅栏效应。 解决方法：使频域抽样更密 ，即增加频域的采样点数 ，时域在
原数据末尾加0。
3、截断效应
由于实际中信号可能是无限长的，而DFT处理的是有限长 序列，因此实际中经常要把观测的时域信号截断，相当于时域 中乘了一个矩形窗，在频域中则为信号频谱和矩形窗频谱相卷 积，卷积的结果和原信号频谱不同。
记录时间Tp： 时域信号的长度，记录长度
时域采样间隔：T 1 fs
记录点数 （采样点数）： N
b）参数选择 已知：信号最高频率fc
F fs / N
Tp NT
如果N不变，要提高谱分辨率（减小F），必须
降低采样频率。这样会使谱分析范围变小。fc fs / 2
如果 fs不变，T不变，要提高谱分辨率（减小F）， 可以增加采样点数N。即增加时域的记录时间 。
n
对应着时域的
0 k N 1
周期延拓
该式也表示在区间[0，2]上对x(n)的傅里叶变换的N点等间隔采样。
设: xN (n) IDFT[X (k)], 0 n N 1
下面推导序列xN(n)与原序列x(n)的关系。
IDFT
设 ~x(n) 是xN(n)的周期延拓，其离散傅里叶级数为X~(k)
分段卷积可以有两种方法：(1)重叠相加法 (2)重叠保留法
y(n) h(n)* x(n)

h(n)* xk (n) k 0
h(n)* xk (n) k 0
yk (n) k 0
yk (n) h(n)* x(n)
图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图
2、用DFT对信号进行谱分析
图 3.4.5 用DFT计算连续信号频谱原理
a）谱分析范围和频率分辨率
时域采样间隔
谱分析范围： 受采样频率 fs 的限制 fc fs / 2
fs 2 fc
频率分辨率： 用频率采样间隔 F 描述，表示谱分析中能够分辨的
两个频谱分量的最小间隔。
F

fs

1
1
N NT Tp
F越小，谱分析就越接近原信号频谱，所以F较小时频率分辨率就较高。
DFT
X1（k）
x1（n） * x2（n）
IDFT
x2（n）
DFT
X2（k）
用DFT计算循环卷积
计算循环卷积很容易，如 何计算线性卷积
*循环卷积与线性卷积相等的条件
设 h(n) 和 x(n) 都是有限长序列，长度分别为N和M。
它们的线性卷积和循环卷积分别表示为：
N 1
yl (n) h(n) * x(n) h(m)x(n m) m0
X1(k) DFT[x1(n)] X2(k) DFT[x2(n)]
0 k L 1
则由时域卷积定理得：
Y (k) DFT[ y(n)] X（1 k）X（2 k），0 k L 1
y(n) IDFT[Y (k)] IDFT[X（1 k）X（2 k）]
x1（n）
*如何确定延拓的周期L呢？
因为长度为N和M的两个序列的线性卷积是一个长度为 M+N-1的序列，所以： (1)如果L<M+N-1，则线性卷积yl(n) 的周期延拓必有一部分非 零值序列相重叠，从而产生混叠失真，这时循环卷积不等于 线性卷积。 (2)如果L≥M+N-1，则线性卷积yl(n)的周期延拓不会产生混叠 失真，这时循环卷积等于线性卷积。