中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院期末考试答案

1、 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c ，每台电视机的销售价格为p ，销售量为x ，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。

根据市场预测，销售量x 与销售价格p 之间有下面的关系：
(0,0)p x Me M αα-= >>，其中M 为市场最大需求量，α是价格系数。

同时，生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c 有如下测算：0ln (0,1)c c k x k x =- >>，其中0c 是只生产一台电视机时的成本，k 是规模系数。

根据上述条件，应如何确定电视机的售价p ，才能使该厂获得最大利润？
解：设厂家获利为u ，则()u p c x =-。

作拉格朗日函数
0(,,)()()(ln ).p L x p c p c x x Me c c k x αλμ-=-+-+-+
令 ()000x p p c L p c k x L x Me
L x αμλλαμ-⎧=-++=⎪⎪=+=⎨⎪=-+=⎪⎩
解之得 01ln *.1c k M k p k αα-+
-=-
因为最优价格必定存在，所以*p 是电视机的最优价格。

2、 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为36000h = km ，运行的角速度与地球的角速度相同。

试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径6400R =km ）。

α
z
x y
解：假设卫星轨道以地心为圆心的圆。

取地心O 为坐标原点，地心到通讯卫星中心连线为z 轴，建立坐标系。

通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分，∑的方程为2222222,sin z R x y x y R α=-- +≤，于是通讯卫星的覆盖面积为
222221,xy xy D D z z R A dxdy dxdy x y R x y ⎛⎫∂∂⎛⎫=++ = ⎪ ⎪∂∂⎝⎭--⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 其中xy D 是曲面∑在xOy 面上的投影区域，利用极坐标得 2sin 222002(1cos ).R R A d d R R παθρρπαρ==--⎰⎰ 由于cos R R h α=
+，代入上式得 222(1)2.R h A R R R h R h
ππ=-=++ 由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值为 6
26361042.5%.42()2(36 6.4)10
A h R R h π⨯==≈++⨯ 3、 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是
),/(100/56ml mg 又过两个小时，含量降为),/(100/40ml mg 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)/(ml mg ）.
解：设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为,/kC C -=其通解是,)0()(kt e C t C -=而)0(C 就是所求量.由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有
56)0(3=-k e
C 和 ,40)0(5=-k e C 由此解得 .9456)0(17.040/5632≈=⇒≈⇒=k k e C k e 可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定。