高三理科数学《立体几何》测试题带答案.doc

高三理科数学《立体几何》测试题（带答案）

1、如图，在 C 中， C 45 ，点在上，且 C 2

，平3

面 C ， D // ， D 1

．2

1 求证：// 平面 C D ；

2 求二面角CD 的余弦值．（ 1）明：因PO 平面 ABC ，D// 所以 DA AB, PO AB

又 DA AO 1

PO ,所以AOD

4

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分2

又 AO 1

PO,即 OB OP, 所以 OBP ，即 OD // PB, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分2 4

又 PB 平面 COD, OD 平面 COD, 所以 PB // 平面 COD 。⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分

（ 2）解：A作AM DO,垂足为 M，过 M作MN CD于N ,连接

AN ,

ANM 即为二面角 O CD A的平面角。⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8分

设 AD a，在等腰直角AOD 中，得 AM 2

a，在直角COD 中，得 MN

3

a，2 3

在直角AMN 中，得 AN 30

a，所以 cos ANM 10 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .12分6 5

2、如图，在棱长为2的正方体CD11C1D1中，、F分别为1D1和CC1的中点．

1 求证：F// 平面CD1；

2 求异面直线 F 与所成的角的余弦值；

3 在棱 1 上是否存在一点，使得二面角C的

大小为 30 ？若存在，求出的长；若不存在，请说明理

由．

解：如分以DA、DC、DD1所在的直x 、 y 、 z 建立

空 直角坐 系

D-xyz ，

由已知得 D (0 ， 0， 0) 、 A (2 ， 0， 0) 、 B (2 ， 2， 0) 、 C (0 ， 2， 0) 、

B 1(2 ， 2， 2) 、 D 1(0 ， 0，2) 、 E (1 ， 0， 2 ) 、 F (0 ， 2， 1) ．

(1) 取 AD 1 中点 G ， G （ 1， 0， 1）， CG =（1， -2 ， 1），又 EF =

（ -1 ， 2， -1 ），由 EF = CG ，

∴ EF 与 CG 共 ．从而 ＥＦ ∥ ＣＧ，∵ CG 平面 ACD 1， EF

平

面 ACD 1，∴ EF ∥平面 ACD 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分

(2) ∵ AB =(0,2 ， 0) ，

cos< EF , AB >=

EF AB 4 6 ，

| EF | | AB | 2 6

3

∴异面直 EF 与 AB 所成角的余弦

6

. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8 分

3

(3) 假 足条件的点 P 存在，可 点 P (2 ， 2，t )(0< t ≤2) ，平面 ACP 的一个法向量

n =( x ，

y ， z ) ，

n AC

0,

AC =(-2 ， 2， 0) ，

∵ AP =(0 ， 2， t ),

n AP 0.

2x 2 y 0,

2

∴

tz

取 n (1,1,

) .

2 y 0,

t

易知平面 ABC 的一个法向量 BB 1

(0,0,2) ，

依 意知， < BB 1 ， n >=30°或 < BB 1 ， n >=150 °，

| 4 |

3

∴ |cos< BB 1 ， n >|=

t

4 ，

2

2

2

2

t

即4 3

(2

4

) ，解得 t 6 . t 2 4 t 2 3

6

(0,2]

∵

3

∴在棱 BB 上存在一点 P，当 BP的 6 ，二面角P- AC- B的大小30°⋯⋯⋯⋯⋯13 分1

3

3、如图所示，在四棱锥CD

在线段 C 上，C平面D．

1 求证：D平面 C ；

中，底面CD 为矩形，平面CD ，点2 若1， D 2 ，求二面角C的余弦值．

(1) 明：∵PA 平面 ABCD ，BD 平面 ABCD

∴PA BD ．

同理由 PC 平面 BDE ，可得 PC BD ．

又 PA PC P ，∴ BD 平面 PAC ．

(2)解：如，分以射 AB ， AD ， AP x， y ，z的正半建立空直角坐系

A xyz ．

由 (1) 知BD平面PAC，又AC平面PAC，∴BD AC ．

故矩形 ABCD 正方形，∴AB＝ BC＝ CD＝ AD＝2 ．

∴A(0，0，0)， B(2，0，0)， C( 2，2，0)， D (0，2，0)， P(0，01，) ．

∴ PB 2,0,1 , BC 0,2,0 , BD 2,2,0 ．

平面 PBC 的一个法向量n

n PB 0 2x 0 y z 0 (x, y, z) ，，即，

n BC 0 0 x 2y 0 z 0

z 2x

(1,0,2) ．

∴，取 x 1 ，得 n

y 0

∵ BD 平面 PAC ，∴BD ( 2,2,0) 平面PAC的一个法向量．