两直线所成的角(夹角)

两直线所成的角（夹角）

教学目标 (一) 知识教学点：

一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题． (二) 能力训练点

通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力． (三) 学科渗透点

训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯． 二、教材分析

1． 重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两

直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请1l 、2l 的公式的推导方法及这一公式的应用． 2，难点：公式的记忆与应用．

2． 疑点：推导1l 、2l 的角公式时的构图的分类依据． 三、活动设计

分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 学生活动

答1：通过直线的斜率或从方程的特点来观察

答2：通过它们相交所得到的角的大小。

教师活动

前言：不重合的两条直线的位置关系，除了平行就是相交，在相交的情况下垂直关系是非常特殊的，那么还有那么多的一般的相交情况值得我们去研究。 一、提出问题、

1． 解析几何中怎样判断两条直线的平

行和垂直？

2． 对于两条相交的直线，怎样来刻画它

们之间的相交程度呢？

二、新课、

（出示图形）两条直线相交就构成了两对对顶角，同学们已经想到用角的大小来刻画两

答：学生说出哪个角为2l 到1l 的角。 归纳：“到”角的三个要点：

始边、终边和旋转方向。就此提出“到”角实际上是一个“方向角”。

答：1l 到2l 的角与2l 到1l 的角的和是180° 答：“到”角的范围为：),0(π

通过动画的演示由学生归纳出两直线的斜率变化的的确确导致了1l 到2l 的角的变化，增强信心推导公式。

条直线的相交程度。（取个名字是很重要的） 1、 概念的建立：

（1）“到”角：两直线相交，把直线1l 按逆

时针方向旋转到与2l 重合时所转的角，叫做

1l 到2l 的角。

题一：

（1） 求直线1l ：13+=

x y 到直线2l ：

1=x 的角的大小。

（2） 求直线1l ：2=y 到直线2l ：

1+-=x y 的角的大小。

（3） 求直线1l ：32+-=x y 到直线2l ：

2

3

-

=x y 的角的大小。 （第3小题的解决带来的困难引出新课） 2．1l 到2l 的角的计算公式的推导： （几何画板演示）

问题1：两条直线的平行和垂直关系从解析几何研究的角度我们只要研究一下他们斜率的关系就可以，那么大胆预测1l 到2l 的角与两直线的斜率会有关系吗？

答：从图形中发现与1l 到2l 的角有直接联系的还应该是角。于是得到

12ααθ-=

学生活动：关于第二幅图的情况由学生进行找角和推导的工作，教师做适当和必要的提示。

)

tan()](tan[tan )

()(12121221ααααπθααπααπθ-=-+=∴-+=--=

学生活动：归纳理解公式 （1） 应用了两角差的正切公式 （2） 只能求斜交的两直线的夹角。 （3） 两直线垂直时应直接进行判断。

问题2：1l 到2l 的角与它们的斜率有关，是直接的关系吗？

问题3：公式如何得以推导？ 设1l 、2l 的倾斜角分别为12,αα，则

11tan k =α，22tan k =α（如图）

12ααθ-=

所以：

1

212

1212121tan tan 1tan tan )

tan(tan k k k k +-=+-=

-=ααααααθ

3． 概念的建立二：

夹角（两直线所成的角）的定义

两直线相交，不大于90°时的角叫做两直线所成的角，简称夹角。范围是]2

,0(π

4． 两直线夹角公式的推导： 若设1l 到2l 的角的角为θ

（1） 当0tan >θ时，︒<<︒900θ，

则夹角就等于“到”角。

（2） 当

tan <θ时，

︒<<︒18090θ，则夹角就等于

θπ-

则：1

21

21tan k k k k +-=α

题二：

（1） 求直线1l ：32+-=x y 与直线2l ：

2

3

-

=x y 的夹角。

学生活动：求两直线所成角的步骤：

1． 判断

（1）是否存在斜率 （2）是否垂直 2． 求斜率 3． 利用公式计算 4． 求出角。 （2） 求直线1l ：33

1

+=

x y 与直线2l ：43--=x y 的夹角。

（3） 求直线1l ：1=x 与直线2l ：

12-=x y 的夹角。

三、课堂练习：

1． 两条直线06=+-y x 与06=++y x 的夹角是（ ） A.

4

π B.

4

3π C. 0 D.

2

π 2． 直线52

1

-=

x y 与直线23+=x y 的夹角是______________。 3． 直线012=-+y x 到直线03=++my x 的角是4

3π

，则m 的值是（ ）

A. 3

B. 31

C. －3

D. －3

1

4． 直线α的夹角为与32:3:21+==x y l x l ，则=αtan （ ） A.

2

1

B. －

2

1 C.

2 D. －2

5． 已

知

直

线

0:1111=++C y B x A l 和

直

线

:2222=++C y B x A l （0,0,0212121≠+≠≠B B A A B B ），直线1l 到直线2l 的角是θ， 求证：2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ

四、小结

1．求角推导求角公式定义角⇒⇒ 2．主要的数学思想：

3.对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．