三角函数恒等变换
三角函数与三角恒等变换
三角函数与三角恒等变换三角函数是数学中的一个重要分支，它研究的是与三角形内角或者圆周上的角度之间的关系。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数（sin）是一个周期为2π的周期函数，定义为直角三角形中对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）也是一个周期为2π的周期函数，定义为直角三角形的邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）是一个以π为周期的函数，定义为直角三角形的对边与邻边的比值。
在三角函数的研究中，常常会用到三角恒等变换。
三角恒等变换是指等式两边含有三角函数的等式，在一些条件下能够相互转换的变换关系。
以下是一些常见的三角恒等变换：1.度与弧度的转换：弧度=度数*π/180度数=弧度*180/π2.正弦函数的基本关系：sin²θ + cos²θ = 13.余弦函数的基本关系：1 + tan²θ = sec²θ1 + cot²θ = csc²θ4.正弦函数的正负关系：sin(-θ) = -sin(θ)5.余弦函数的正负关系：cos(-θ) = cos(θ)6.正切函数的正负关系：tan(-θ) = -tan(θ)7.三角函数的周期性：sin(θ + 2π) = sin(θ)cos(θ + 2π) = cos(θ)tan(θ + π) = tan(θ)此外，还有许多其他的三角恒等变换，包括和差公式、倍角公式、半角公式等等。
这些三角恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用，可以简化计算过程，拓宽解题思路。
三角函数与三角恒等变换在数学中有着广泛的应用，例如在解决三角方程、证明恒等式、描绘周期函数的图像等方面。
同时，它们也在物理学、工程学等应用科学中扮演着重要角色，如在振动、波动、电磁学等领域的研究中都会用到三角函数的知识。
总之，三角函数与三角恒等变换是数学中的重要知识点，它们的研究有助于我们更深入地理解角度与三角形之间的关系，并在实际问题中灵活运用这些知识。
三角函数的万能公式与恒等变换
三角函数的万能公式与恒等变换三角函数是数学中的重要概念，常常应用于解决各种数学问题和实际应用中。
在三角函数的学习过程中，万能公式与恒等变换是非常重要的内容。
本文将介绍三角函数的万能公式与恒等变换的概念和应用。
一、三角函数的万能公式三角函数的万能公式是指可以将一个三角函数转化为另外一个三角函数的公式。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些三角函数在数学中有着重要的地位，其万能公式可以帮助我们简化计算，解决复杂的三角函数相关问题。
1. 正弦函数的万能公式正弦函数的万能公式可以表示为：sin(x) = 2 * cos(x/2) * sin(x/2)通过这个公式，我们可以将正弦函数转化为余弦函数和正弦函数的乘积，从而简化计算。
2. 余弦函数的万能公式余弦函数的万能公式可以表示为：cos(x) = 2 * cos^2(x/2) - 1通过这个公式，我们可以将余弦函数转化为余弦函数的平方和一个常数的差，从而简化计算。
3. 正切函数的万能公式正切函数的万能公式可以表示为：tan(x) = (1 - cos(x)) / sin(x)通过这个公式，我们可以将正切函数转化为余弦函数和正弦函数的商，从而简化计算。
这些三角函数的万能公式在解决三角函数相关问题时非常有用，能够提供更简便的计算方法。
二、三角函数的恒等变换恒等变换是指一种将一个三角函数变换为另一个三角函数的等价变换，其原理是利用三角函数的基本性质和恒等式进行推导。
1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换包括以下两种常见形式：sin(x) = sin(pi - x)sin(x) = -sin(-x)这些恒等变换可以通过利用正弦函数的对称性和周期性进行推导，用来简化计算和变换问题。
2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换包括以下两种常见形式：cos(x) = cos(pi - x)cos(x) = cos(-x)这些恒等变换可以通过利用余弦函数的对称性和周期性进行推导，用来简化计算和变换问题。
三角函数的恒等变换与化简
三角函数的恒等变换与化简三角函数在数学中扮演着重要的角色，其中包括一系列的恒等变换和化简公式。
这些变换与化简公式不仅在解决三角函数问题时起着重要的作用，而且在数学推导和证明中也发挥着重要的作用。
本文将介绍一些常见的三角函数恒等变换和化简公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 三角恒等变换（1）余弦定理在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC。
这个定理在解决三角形问题中经常使用。
（2）正弦定理在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C为所对应的角。
（3）倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos2θ = cos²θ - sin²θ。
这些公式在求解具有倍角的三角函数问题时非常有用。
2. 三角函数化简公式（1）和差化积两角和公式可以表示为：sin(α +β) = sinαcosβ + cosαsinβ，cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
这个公式可以将两个角的三角函数和转化为单个角的三角函数和。
类似地，两角差公式可以表示为：sin(α - β) =sinαcosβ - cosαsinβ，cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
（2）平方公式正弦函数的平方公式可以表示为：sin²θ = (1 - cos2θ)/2，余弦函数的平方公式可以表示为：cos²θ = (1 + cos2θ)/2。
这些公式在化简复杂的三角函数表达式时非常有用。
（3）倒数公式正切函数的倒数公式可以表示为：cotθ = 1/tanθ，割函数的倒数公式可以表示为：secθ = 1/cosθ，余割函数的倒数公式可以表示为：cscθ =1/sinθ。
三角恒等变换知识点总结详解
三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。
这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。
1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。
2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。
3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。
- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。
- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。
4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。
- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。
- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要分支，它在许多科学与工程领域中具有广泛的应用。
而三角恒等变换公式是三角函数的重要性质之一。
它们可以将一个三角函数表达式转换为其他三角函数表达式，从而提供了在解决问题时的灵活性和简化计算的便利性。
在本文中，我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
1. 正弦、余弦和正切的平方和差公式：- 正弦的平方和差公式：sin²(A ± B) = sin²A*cos²B ±2*sinA*sinB*cosA*cosB- 余弦的平方和差公式：cos²(A ± B) = cos²A*cos²B -2*sinA*sinB*cosA*cosB- 正切的平方和差公式：tan²(A ± B) = (tan²A ± tan²B) / (1 ∓tanA*tanB)2. 正弦和余弦的倍角公式：- 正弦的倍角公式：sin2A = 2*sinA*cosA- 余弦的倍角公式：cos2A = cos²A - sin²A = 2*cos²A - 1 = 1 -2*sin²A3. 正切的倍角公式：- 正切的倍角公式：tan2A = (2*tanA) / (1 - tan²A)4. 正弦、余弦和正切的半角公式：- 正弦的半角公式：sin(A / 2) = ± √[(1 - cosA) / 2]- 余弦的半角公式：cos(A / 2) = ± √[(1 + cosA) / 2]- 正切的半角公式：tan(A / 2) = ± √[(1 - cosA) / (1 + cosA)]5. 正切的和差公式：- 正切的和公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA*tanB)6. 余弦的和差公式：- 余弦的和公式：cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB7. 三角函数的倒数公式：- sin(-A) = -sinA，cos(-A) = cosA，tan(-A) = -tanA8. 三角函数的互余关系：- sin(π/2 - A) = cosA，cos(π/2 - A) = sinA，tan(π/2 - A) = 1/tanA9. 三角函数的余角关系：- sin(π - A) = sinA，cos(π - A) = -cosA，tan(π - A) = -tanA10. 三角函数的化简公式：- sin(2π - A) = -sinA，cos(2π - A) = cosA，tan(2π - A) = tanA这些三角恒等变换公式为解决三角函数相关的数学问题提供了便利，读者在学习和应用时可根据具体情况选择合适的公式进行推导和计算。
三角函数式的恒等变换
三角函数式的恒等变换三角函数是一类非常重要的数学函数，它们在涉及角度和距离的问题上表现出色。
它们在各种学科中都有广泛的应用，尤其是物理、数学和工程领域，其中涉及到三角函数的概念。
恒等变换是三角函数的一种特殊变换，它能够将一个三角函数表达式以更容易理解的方式转换成另一种表达式。
恒等变换是一种关于三角函数表达式的特殊变换，它可以将一个三角函数式转换成另一种形式，这一新形式使用不同的变量，但其数值依赖性并未改变。
它可以用来简化复杂的表达式，并可以消除某些无用的组合，从而节约计算时间。
举例来说， sin(x+a)以通过恒等变换转换成 sin(x)cos(a) + cos(x)sin(a) 。
这样的变换可以简化计算过程，因为 sin(x+a) 中只有一个参数 x而 sin(x)cos(a) + cos(x)sin(a) 中既有 sin(x)有 cos(a) 两个参数，因此可以节省计算时间。
此外，恒等变换也可以结合其它变换，从而获得更复杂的结果。
例如， sin2x以通过将 sin2x换成 2sin(x)cos(x)再通过恒等变换转换成 sin(2x)形式，最终可以得到 sin(2x)结果。
恒等变换在物理、数学和工程领域都有重要的应用，它可以用来简化复杂的公式，节省计算时间，从而提高计算效率。
比如，在物理学中，非线性力学和声学分析中，都可以利用恒等变换来简化复杂的表达式，从而提高计算效率。
此外，恒等变换还可以用于统计学和机器学习领域中的对抗型计算，即用来衡量两个变量之间的相似度。
比如，在图像识别中，可以通过恒等变换来衡量两个图像之间的相似度，从而提高识别的准确率。
由于恒等变换的重要性，研究者们最近也开始研究关于三角函数的多元恒等变换，即用来将多个不同的三角函数表达式变换为一个更简单的表达式的变换。
目前，有关多元恒等变换的研究还处于初级阶段，但随着研究的不断深入，它们在更多的领域中肯定有着广泛的应用。
总之，恒等变换是一种重要的变换，它可以用来简化复杂的表达式，并可以用来提高计算效率，改善生活质量。
(完整版)三角恒等变换公式
三角恒等变换公式及其证明一、 两角和、差的三角函数公式（1）cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ……………………………………………………①证明：利用三角函数线证明.（详见课本必修4 P125）cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β ………………………………………………………② 证明：cos （α＋β）＝cos [α－（－β）]＝cos αcos （－β）＋sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β.例：求cos 105°.解：cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×2－2×2＝4. （2）sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ……………………………………………………③证明：sin （α＋β）＝cos ＝cos ＝cos cos β＋sin sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ………………………………………………………④ 证明：sin （α－β）＝sin [α＋（－β）]＝sin αcos （－β）＋cos αsin （－β）＝sin αcos β－cos αsin β.（3）tan （α＋β）＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－ …………………………………………………………⑤ 证明：tan （α＋β）＝sin()cos()αβαβ＋＋＝sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ＋－ ＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－. tan （α－β）＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋ ……………………………………………………………⑥ 证明：tan （α－β）＝tan [α＋（－β）]＝tan tan()1tan tan()αβαβ＋－－－＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋. [ ] π2－（α＋β） [ （ ） ] π2－α －β （ ） π2－α （ ）π2－α二、 二倍角公式（1）cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α ……………………………………………………………………⑦证明：cos 2α＝cos （α＋α）＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2 α－sin 2 α.（2）sin 2α＝2sin αcos α …………………………………………………………………………⑧证明：sin 2α＝sin （α＋α）＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α.（3）tan 2α＝22tan 1tan αα－ ………………………………………………………………………⑨ 证明：tan 2α＝tan （α＋α）＝tan tan 1tan tan αααα＋－＝22tan 1tan αα－. 变式：公式⑦变式：cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝（1－sin 2 α）－sin 2 α＝1－2sin 2 α ……………………………⑩＝cos 2 α－（1－cos 2 α）＝2cos 2 α－1 ……………………………○11公式⑩变式：cos 2α＝1－2sin 2 α2sin 2 α＝1－cos 2αsin 2 α＝1cos 22α－. ○12 公式○11变式：cos 2α＝2cos 2 α－12cos 2 α＝cos 2α＋1cos 2 α＝cos 212α＋. ○13 公式○12和○13合称降幂公式.公式○12变式：sin 2α………………………………………………○14 证明： sin 2 α＝1cos 22α－ sin 2 2α＝1cos 2α－sin2α公式○13变式：cos 2α………………………………………………○15 证明： cos 2 α＝cos 212α＋cos 2 2α＝cos 12α＋ cos2α公式○14和○15合称半角公式. 三、 辅助角公式a sin x ±b cos x（x ±ϕ），其中tanϕ＝b a . …………………………○16 证明：（如图）a sin x ±b cos xsin xxsin x cos ϕ±cos x sin ϕ）（x ±ϕ）.）。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。
下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。
1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。
2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。
它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。
它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。
复杂的三角恒等变换
复杂的三角恒等变换三角恒等变换（Trigonometric Identity Transformation）是初级数学中的重要章节之一，通过对三角函数间的恒等式进行变形和化简，加深对三角函数的理解和掌握，提高解题能力。
以下是一些常见的三角恒等变换及其演化过程：1. 和差公式$\sin(a+b)=\sin a\cos b + \cos a\sin b$$\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b$$\tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$2. 镜像公式$\sin(\pi - a)=\sin a$$\cos(-a)=\cos a$$\tan(-a)=-\tan a$3. 反三角函数公式$\sin(\arcsin a)=a$$\cos(\arccos a)=a$$\tan(\arctan a)=a$4. 积分与微分公式$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ 5. 简化公式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ $\sec^2 x = \tan^2 x +1$ $\csc^2 x = \cot^2 x +1$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$\tan^2 x = \sec^2 x -1$6. 和积公式$\sin a\sin b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))$ $\cos a\cos b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) + \cos(a+b))$ $\sin a\cos b = \frac{1}{2}(\sin(a-b) + \sin(a+b))$ 7. 特殊角度公式$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\tan 45^\circ =1$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$以上是一些常见的三角恒等变换，希望能对初学者有所帮助。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。
1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。
2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。
3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。
4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。
5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。
高中三角恒等变换公式
高中三角学习中不可避免的一个重点是恒等变换公式。
这些公式可以帮助我们在解决各种三角函数的问题时，简化计算过程，提高效率。
本文将详细介绍高中三角恒等变换公式。
一、正弦、余弦恒等变换公式正弦、余弦恒等变换公式是最基本的恒等变换公式之一，它们可以用来将三角函数的某一个角度表示为另一个角度的函数形式。
具体来说，正弦恒等变换公式为：$$\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)$$而余弦恒等变换公式为：$$\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)$$这些公式通常用于求正弦、余弦的补角。
二、正切、余切恒等变换公式与正弦、余弦恒等变换公式类似，正切、余切恒等变换公式也可以通过将三角函数的角度表示为其他角度的函数形式简化计算。
具体来说，正切恒等变换公式为：$$\tan(\pi/2 - x) = \cot(x)$$而余切恒等变换公式为：$$\cot(\pi/2 - x) = \tan(x)$$这些公式通常用于求正切、余切的补角。
三、和差公式和差公式常常被用来化简三角函数的和差，使得它们更容易计算。
对于正弦和余弦来说，和差公式为：$$\sin(x \pm y) = \sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)$$$$\cos(x \pm y) = \cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)$$对于正切和余切来说，它们的和差公式则为：$$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x) \tan(y)}$$$$\cot(x \pm y) = \frac{\cot(x)cot(y) \mp 1}{\cot(y) \pm \cot(x)}$$四、倍角公式倍角公式用来表示一个角度的两倍与它自身的关系，它们在三角函数的求解中也很常用。
对于正弦和余弦，倍角公式的形式如下：$$\sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x)$$$$\cos(2x)= \cos^2(x) - \sin^2(x)$$对于正切和余切，则分别为：$$\tan(2x)= \frac{2\tan(x)}{1- \tan^2(x)}$$$$\cot(2x)= \frac{\cot^2(x)-1}{2\cot(x)}$$五、半角公式半角公式可以表示一个角度的一半与它自身的关系，也是三角函数的量角公式之一，它的形式如下：$$\sin^2(x/2) = \frac{1-\cos(x)}{2}$$$$\cos^2(x/2) = \frac{1+\cos(x)}{2}$$$$\tan(x/2) = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$$$$\cot(x/2) = \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} = \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)}$$无论是在三角函数的理论研究还是在实际应用中，上述五类高中三角恒等变换公式都是不可或缺的工具。
三角函数恒等变换
三角函数恒等变换三角函数是数学中非常重要的一类函数，它在解决各种问题中都发挥着重要的作用。
而恒等变换是指在三角函数中，某些特定的式子可以通过一些代数变换，得到与之等价的式子。
本文将介绍一些常用的三角函数恒等变换，以及它们在数学和物理中的应用。
首先，我们来了解一下常用的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、正割函数（csc）、余割函数（sec）和余切函数（cot）。
这些函数在我们的日常生活和学习中随处可见，它们与角度之间存在着一种本质的关系。
那么，什么是三角函数的恒等变换呢？恒等变换是指，两个式子在定义域上处处相等，即无论角度取何值，两个式子始终相等。
通过恒等变换，我们可以将一个复杂的三角函数式子简化为一个更简单的形式，从而更方便地计算和分析。
首先让我们来看一下最常用的三角函数恒等变换之一：反正弦函数与正弦函数的恒等变换。
我们知道，反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
而正弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1，1]。
因此，我们可以通过恒等变换将反正弦函数写成正弦函数的形式：sin(arcsin(x)) = x，并且该恒等变换在定义域上处处成立。
接下来，我们再来看一下正弦函数和余弦函数的恒等变换。
通过三角函数的定义，我们可以得到一个重要的恒等变换：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个恒等变换被称为三角恒等式，它表明，任意一个角度的正弦和余弦的平方之和为1。
这个恒等变换在许多问题中都有着重要的应用，比如在三角函数的积分计算中，可以常常通过利用这个恒等变换来完成计算。
除了上述两个常见的恒等变换之外，三角函数还有许多其他的恒等变换。
比如，正切函数和余切函数之间存在一个重要的恒等变换：tan(x) = 1/cot(x)。
通过这个恒等变换，我们可以将一个正切函数的式子转化为一个余切函数的式子，从而进行更方便的计算。
在物理学中，三角函数恒等变换也有着广泛的应用。
三角恒等变换万能公式
三角恒等变换万能公式
三角恒等变换（Trigonometric Identities）是指由三角函数相互组合而成的等式。
其中，最为常用的三角恒等变换是万能公式（Universal Formula），也称作Euler公式。
该公式如下：
cos²x + sin²x = 1
这个公式表明，在任何角度下，正弦（sin）和余弦（cos）的平方和等于1。
这个公式可以用来化简和证明许多其他的三角函数等式，例如：
tan x = sin x / cos x，代入万能公式可得：
sin²x / cos²x + 1 = 1 / cos²x
整理后得到：
sin²x = 1 - cos²x
这个等式被称为余弦的补充公式。
sin(-x) = -sin x，代入万能公式可得：
cos²(-x) + sin²(-x) = 1
由于cos函数是偶函数，即cos(-x) = cos x，所以上式可以改写为：
cos²x + sin²(-x) = 1
同时，由于sin函数是奇函数，即sin(-x) = -sin x，所以上式可以进一步改写为：
cos²x - sin²x = 1
这个等式被称为正弦和余弦的差公式。
通过这些等式，我们可以将三角函数的复杂计算转化为更为简单的形式，从而更加便捷地进行求解和证明。
三角函数的恒等变换的推导
三角函数的恒等变换的推导三角函数是数学中的重要概念，它们在解决几何和物理问题中具有广泛的应用。
而三角函数的恒等变换则是指通过一些等式的推导和变形，使得原本复杂的三角函数表达式可以简化成更简单的形式，从而方便我们在计算和应用中的使用。
本文将对三角函数的恒等变换进行详细的推导和解释。
一、正弦函数的恒等变换1. 倍角公式：正弦函数的倍角公式是三角函数恒等变换中的一项重要公式，其表达式如下：sin 2θ = 2sinθcosθ这个公式可以通过利用三角函数的定义和三角函数的和差公式来推导。
具体推导过程如下：根据三角函数的定义，sinθ = y/r，其中y为三角形的对边长度，r为斜边长度。
设一个角2θ，则根据三角函数的定义，sin2θ = y'/(2r)，其中y'为角2θ对应的三角形的对边长度，2r为角2θ对应的三角形的斜边长度。
根据三角形的定义，可以得到y' = 2y，即：sin2θ = (2y)/(2r) = y/r = sinθ进一步变换得：sin2θ = 2sinθcosθ (符合正弦函数的倍角公式)2. 余弦函数的平方公式：余弦函数的平方公式也是三角函数恒等变换中常用的公式之一，其表达式如下：cos²θ = 1/2 (1 + cos2θ)这个公式可以通过利用三角函数的定义和三角函数的和差公式来推导。
具体推导过程如下：根据三角函数的定义，cosθ = x/r，其中x为三角形的邻边长度，r 为斜边长度。
设一个角2θ，则根据三角函数的定义，cos2θ = 2x'/(2r)，其中x'为角2θ对应的三角形的邻边长度。
根据三角形的定义，可以得到x' = 2xcosθ，即：cos2θ = (2xcosθ)/(2r) = x/r = cosθ进一步变换得：cos²θ = 1/2 (1 + cos2θ) (符合余弦函数的平方公式)二、余弦函数的恒等变换1. 倍角公式：余弦函数的倍角公式是三角函数恒等变换中的一项重要公式，其表达式如下：cos 2θ = cos²θ - sin²θ这个公式可以通过利用三角函数的定义和三角函数的和差公式来推导。
三角函数的恒等变换
三角函数的恒等变换
三角函数恒等变换是指把三角函数的形式在一定的变量的乘性和加性变换时不变的性质。
换句话说，只要给定函数原形式是三角函数，只要满足变化的函数形式也是三角函数，就称为三角函数恒等变换。
三角函数恒等变换有三类基本恒等变换：乘积形式恒等变换，
被加令恒等变换和被乘令恒等变换。
1.乘积形式恒等变换
所谓乘积形式恒等变换，就是把三角函数乘以因式形成的积函数，其函数形式仍然是
三角函数。
其表达式形式：
f(x) = a*sinx*cosbx
f(x)=a*cosx*sina
其中a，b为任意数值。
2.被加令恒等变换。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
三角恒等变换的总结与应用
三角恒等变换的总结与应用三角恒等变换是解决三角函数问题中常用的重要工具。
它们是一些基本的等式，它们可以将一个三角函数表达式转化为另一个等价的形式，从而使计算变得更简单、更方便。
在这篇文章中，我们将对三角恒等变换进行总结，并探讨一些它们在实际问题中的应用。
一、三角恒等变换总结1. 正弦、余弦和正切的平方和恒等式：sin²θ + cos²θ = 11 + tan²θ = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ这些恒等式表明，在平方和为1的限制下，正弦、余弦和正切之间存在着特殊的关系。
通过利用这些关系，我们可以大大简化三角函数的计算。
2. 互余恒等式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθcot(π/2 - θ) = tanθ这些恒等式表明，对于一个角度θ，其互余角度为π/2 - θ，而互余角度的正弦、余弦、正切和余切与原角度的三角函数有特殊的对应关系。
3. 余切和正切的倒数的恒等式：cotθ = 1/tanθtanθ = 1/cotθ这些恒等式表明，余切和正切是彼此的倒数关系。
我们可以通过这一关系，将一个三角函数的计算转化为另一个三角函数的计算，从而简化问题求解的过程。
二、三角恒等变换的应用1. 证明与简化：三角恒等变换常用于证明三角恒等式及简化复杂的三角函数表达式。
通过灵活应用三角恒等变换，并结合基本的三角函数性质，我们可以将复杂的三角函数等式逐步化简为更简明的形式，从而解决三角函数相关的证明问题。
2. 三角函数的恒等式证明：利用三角恒等变换，我们可以轻松证明各种三角恒等式。
例如，利用平方和恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以证明tan²θ + 1 = sec²θ；利用互余恒等式sin(π/2 - θ) = cosθ，我们可以证明sin²θ + cos²θ = 1等等。
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§6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数【复习目标】1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明．【双基诊断】（以下巩固公式）1、163°223°253°313°等于 （ ）A.－21 B.21C.－23 D.232、在△中，已知2，那么△一定是 （ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形3、︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ）A.21 B.23 C.3D.24、已知α－β=21，α－β=31，则（α－β）.5、已知53sin ),,2(=∈αππα，则=+)4tan(πα 。
6、若t=+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则=-)cos(απ 。
7、化简1tan151tan15+-等于 （ ）()A ()B ()C 3 ()D 18、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ）()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 169、已知α和（4π－α）是方程20的两个根，则a 、b 、c 的关系是（ ）B.210、0015tan 75tan += 。
11、设14°14°，16°16°，66，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c12、△中，若2a ，60°，则.13、f （x ）=x x xx cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ）A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1） B.（213--，213-） C.［212--，－1］∪（－1，212-） D.［212--，212-］14、已知∈（0，2π），β∈（2π，π），（α+β）=6533，β=－135，则α.15、下列各式中，值为21的是 ( )15°15° B.2212π－ 1 C.230cos 1︒+D.︒-︒5.22tan 15.22tan 216、已知2θ2θ332，那么θ的值为，2θ的值为.17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。
18、222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ ．19、23tan123sin12(4cos 122)-- = ；20、=-+βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222 . 21、02210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-= 。
22、1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+-（ ）()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a23、已知()f x =53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简（ ）()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α24、若α53，且α∈（0，2π），则2α.25、(cottan )(1tan tan )222αααα-+⋅= 。
26、若f （）2x ，则f （－1）的值是 （ ）A.－2B.－1C.21 D.127、sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos2αα+= ．（以下巩固题型）28、=-++-A A A 20202sin )30(sin )30(sin .29、（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x++=-； （2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B BA B A A+-+=．30、=-04045.67cos 5.67sin 。
313tan10+= ．32、已知（x －4π3）（x －4π）=－41，则4x 的值为 .33、若)2,0(,,πγβα∈，αγβ，βγα，则β－α的值为 .【深化拓展】（巩固三角变换）1．设（α－2β）=－91，（2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求（α+β）.2. 已知（4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x+4πcos 2cos 的值.3．已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈， 求：（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值．4． 已知A 为一三角形的內角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围．5．已知62ααα－22α=0，α∈［2π，π］，求（2α+3π）的值.6.已知α为第二象限角，2α2α－25，求2α－2α和2α2α的值.7．已知2α=53，α∈（4π5，2π3）.（1）求α的值；（2）求满足（α－x ）－（α）+2α=－1010的锐角x .8．已知4171217,53)4cos(πππ<<=+x x ，求xxx x tan 1tan 2sin 2sin -+的值。
【回顾思悟】1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．三角函数求值问题一般有三种基本类型：1．给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2．给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3．给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．（二）主要方法：1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．1.化简要求：（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数尽量少.（3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数.（5）尽量使被开方数不含三角函数.2.常用方法：（1）直接应用公式.（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如α2α22α…2nα的函数式，只需将分子、分母分别乘以21α，应用二倍角正弦公式即可.1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成（ω ）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之. 【答案提示】1、解析：原式17°·（－43°）+（－73°）（－47°）=－17°43°17°43°60°=21. 答案：B2、解析：由2知2（），∴2. ∴－0.∴（B －A ）=0.∴. 答案：B3、解析：原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（︒︒20cos 20cos 33. 答案：C4、解析：（α－β）2=41，（α－β）2=91.两式相加，得2－2（α－β）=3613. ∴（α－β）=7259. 答案：72597、化简1tan151tan15+-等于 （ A ）8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ B ）9、解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+，）（，）（a c a b αααα4πtan tan 4πtan tan ∴4πa c a b--1 1. ∴－ab =1－ac .∴－－c .∴. 答案：C10、解析一：15°15°︒︒15cos 15sin ︒︒15sin 15cos ︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22︒⋅30sin 211 4.解析二：由15°（45°－30°）︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan 331331+-3333+-.∴原式3333+-3333-+ 4.11、解析：259°，260°，261°，∴a ＜c ＜b .12、解析：利用正弦定理，由2⇒2⇒（60°）－20⇒3－30⇒（30°－A ）=0⇒30°－0°（或180°）⇒30°. 答案：30° 13、解析：令2（4π）∈［－2，－1］∪（－1，2），则f （x ）tt +-121221-t ∈［212--，－1］∪（－1，212-）. 答案：C14、解析：由0＜α＜2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π3.故由（α+β）=6533，得（α+β）=－6556. 由β=－135，得β=1312.∴α［（α+β）－β］（α+β）β－（α+β）β=6533·（－135）－（－6556）·1312=－845507. 答案：－84550715、解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 22145°=21. 答案：D16、解析：由2θ2θ332，得1θ=34，θ=31，2θ=1－22θ=1－2·91=97. 答案：31 9718、 1 ．；19、原式213sin12cos12)3cos12222sin12cos12(2cos121)sin 24cos 24--==-sin 482==-21、分析：原式=22020210sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅-16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(00000020002000000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-=注：化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式还需用到代数变形公式，如平方差公式。
22（ B ） 23、（D ） 24、若α=53，且α∈（0，2π），则2α.24、解析一：由α=53，α∈（0，2π），得αα2cos 1-54， 2α2cos 2sinαα2cos 2sin 22sin 22αααααsin cos 1-54531-21. 解析二：2αααcos cos 1+1-531531+-21. 答案：21 25、原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅ 2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin cos cos ααααααα-=+=+-=．26、解析：f （－1）［（－4π）］=－2π－1. 答案：B27、sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos2αα+=75- ． 29、证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+== 22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x xx x x x x x ---+====---42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x xx+++===--右边，∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B AA++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A +-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．31、解：原式2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5++=2sin 802sin 50cos(6010)cos10cos5+-=22(sin 50cos50)22cos5+=2cos(5045)2cos5-== 32、剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得（x －2π－4π）（x －4π）=－41，∴2（x －4π）=41.∴2（2π－2x ）=22（4π－x ）－1=－87.∴41－2221－6498=－3217.33、剖析：由已知首先消去γ是解题关键. 解：由已知，得γβ－α，γα－β.平方相加得（β－α）2+（α－β）2=1.∴－2（β－α）=－1.∴（β－α）=21.∴β－α=±3π.∵γβ－α＞0，∴β＞α.∴β－α=3π.评述：本题极易求出β－α=±3π，如不注意隐含条件γ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.1．剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之.解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π.故由（α－2β）=－91，得（α－2β）=954.由（2α－β）=32，得（2α－β）=35.∴（2βα+）［（α－2β）－（2α－β）］=…=2757.∴（α+β）=222βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.2．分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π）=2π及2π－22（4π－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x ）+（4π）=2π，∴（4π）（4π－x ）.又2（2π－2x ）2（4π－x ）=2（4π－x ）（4π－x ），∴）（x x +4πcos 2cos =2（4π－x ）=2×1312=1324. 3．已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈， 求：（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值．解：（1）由根与系数的关系，得1sin cos 2sin cos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，∴原式2222sin cos sin cos 1sin cos sin cos cos sin sin cos 2θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---．（2）由①平方得：12sin cos θθ+⋅=sin cos θθ⋅=2m =，故m =．① ②（3）当221)02x x -+=，解得121,22x x ==，∴sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵(0,2)x π∈，∴3πθ=或6π． 4． 已知A 为一三角形的內角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围．解：2221cos 2()21cos 23cos cos ()322A A A A ππ+++++=+441cos 2cos cos 2sin sin 233A A A ππ=++-11cos 221cos(2)23A A A π=++=+-．∵A 为一三角形內角，1cos(2)123A π-<-≤， ∴222cos cos ()3y A A π=++的取值范围是1(,1]2．5．已知62ααα－22α=0，α∈［2π，π），求（2α+3π）的值.分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知（3α+2α）（2α－α）=0⇔3α+2α=0或2α－α=0.由已知条件可知α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）.于是α＜0，∴α=－32.（2α+3π）2α3π2α3παα+23（2α－2α）αααα22sin cos cos sin +23×αααα2222sin cos sin cos +-αα2tan tan +123×αα22tan tan 1+1-.将α=32代入上式得（2α+3π）232132）（）（-+-23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知α≠0，则α≠2π，∴原式可化为62αα－2=0， 即（3α+2）（2α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴α＜0，∴α=－32.下同解法一.6.已知α为第二象限角，2α2α－25，求2α－2α和2α2α的值.解：由2α2α－25平方得 1+22α2α45，即α=41，α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵2α2α－25＜0，2α2α81＞0，∴2α＜0，2α＜0.∴2α为第三象限角. ∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z .∴2α＜2α，即2α－2α＜0. ∴2α－2α－αsin 1-=－23，2α2α=2αα+1－22α=8157-.评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.7．解：（1）因为4π5＜α＜2π3，所以2π5＜2α＜3π.所以2α=－α2sin 12-=－54.由2α=22α－1，所以α=－1010.（2）因为（α－x ）－（α）+2α=－1010，所以2α（1－）=－1010.所以21.因为x 为锐角，所以6π. 8． 南通P ：76【同步训练】 1、满足αβ23αβ的一组α、β的值是 （ ）A.α=12π13，β=4π3 B.α=2π，β=3π C.α=2π，β=6πD.α=3π，β=6π解析：由已知得（α+β）=23，代入检验得A. 答案：A2、已知（4π+α）=2，则ααα2cos cos sin 21+的值为 .解：由（4π+α）ααtan tan 1-1+2， 得α=31.于是ααα2cos cos sin 21+ααααα222cos cos sin 2cos sin ++1+1+ααtan 2tan 213121312+⨯+）（32.3、在ABC ∆中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则2log sin C =12- ．4、要使α－3α=mm --464有意义，则应有 ( )≤37≥－1 ≤－1或m ≥37D.－1≤m ≤37解析：2（α－3π）mm --464⇒（α－3π）=mm --432.由－1≤mm --432≤1⇒－1≤m ≤37. 答案：D5(1sin cos )(sincos ) (0)θθθθθπ++-<< = ．5、原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--==∵0θπ<<，∴022<<，∴|cos|cos22θθ=，∴原式cos θ=-．6、已知α=71，（α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），则β= .解：由α=71，（α+β）=－1411，得β［（α+β）－α］=21，得β=3π.7、（2005年春季上海，14）在△中，若A a cos B b cos Cc cos ，则△是（ ）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 解析：由A acos =B b cos ，得b a =BA cos cos . 又A asin =Bb sin ，∴ba =BA sin sin .∴BA sin sin =BA cos cos .∴，（A －B ）=0，.同理. ∴△是等边三角形. 答案：B 8、若8（4π+α）（4π－α）=1，则4α4α.解析：由已知得8（4π－α）（4π－α）=1，∴4（2π－2α）=1.∴2α=41.4α4α=（2α2α）2－22α2α=1－2122α=1－21（1－22α）=1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：3217 9、若2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--. 解析：原式x x x x sin cos sin cos +-x x tan 1tan 1+-2121+-1212--）（22－3.答案：22－310化简x x x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+= .解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx x x x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin222））（（+-=xxxx x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos⋅+-））（（x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（x x x x cos 2cos 2sin cos ⋅⋅2x . 11、已知0＜α＜2π，2α2α25，则（α－3π）的值为 .解：由已知2α2ααsin 225，得α=54.∵0＜α＜2π，∴αα2sin 1-53.从而（α－3π）α·3π－α·3π=54×21－53×23=101（4－33）. 12、已知x ∈（－2π，0），54，则2x 等于 （ ）A.247B.－247C.724D.－724解析：∵54，x ∈（－2π，0），∴－53.∴－43.∴2x x2tan 1tan 2-169123--－23×716=－724.答案：D13、已知（θ+π）＜0，（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是 ( )2θ＜2θ 2θ＞2θ 2θ＜2θ 2θ＞2θ解析：由已知得θ＞0，θ＜0，则2θ－2θ2cos 2sinθθ－2sin2cosθθ=－θθsin cos 2＞0. ∴2θ＞2θ. 答案：B14、下列四个命题中的假命题是 （ ）A.存在这样的α、β，使得（α+β）αβαβB.不存在无穷多个α、β，使得（α+β）αβαβC.对于任意的α、β，（α+β）αβ－αβD.不存在这样的α、β，使得（α+β）≠αβ－αβ 解析：由（α+β）αβαβαβ－αβ，得αβ=0.∴απ或βπ（k ∈Z ）. 答案：B15、函数52x 的最大值是.解析：5251－22－2（－45）2+833.∴1时，4. 答案：416、求周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值.解法一：22b a +≥2ab+ab 2.∴ab≤22+L. ∴21≤21（22+L）2=21·［222L ）（-］24223-2.解法二：设θ，θ.abc∵，∴c （1θθ）. ∴θθcos sin 1++L.∴212θθ=22L 2cos sin 1cos sin ）（θθθθ++. 设θθ∈（1，2］，则22L ·22121）（t t +-=42L ·11+-t t =42L （1－12+t ）≤42L （1－122+）4223-2.17、（2004年湖南，17）已知（4π+2α）·（4π－2α）=41，α∈（4π，2π），求22αα－α－1的值.解：由（4π+2α）·（4π－2α）（4π+2α）·（4π+2α）21（2π+4α）214α=41，得4α=21.又α∈（4π，2π），所以α=12π5.于是22αα－α－1=－2αααααcos sin cos sin 22-－2α+αα2sin 2cos 2-=－（2α+22α）=－（6π526π5）=－（－23－23）=253.18、α、β∈（0，2π），32α+22β=1，① 32α－22β=0②，求α+2β的值.解：由①得32α=1－22β2β. 由②得2β232α.∴（α+2β）α2β－α2β =3α2α－α·232α=0.∵α、β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，2π3）.∴α+2β=2π.19、求证：2sin 2sin 12αα-1+=2tan 12tan 1αα-+.证明：左边ααcos sin 1+2sin2cos2cos2sin 222αααα-+）（2sin2cos2sin 2cosαααα-+，右边2cos2sin 12cos 2sin 1αααα-+2sin2cos2sin 2cos αααα-+，∵左边=右边，∴原式成立. 20、（2005年春季北京，15）在△中，22，2，3，求的值和△的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.解法一：∵2（A －45°）=22，∴（A －45°）=21.又0°＜A ＜180°， ∴A －45°=60°，105°. ∴（45°+60°）3131-+－2－3.∴105°（45°+60°） 45°60°45°60°=462+.∴S △21·=21·2·3·462+=43（2+6）. 解法二：∵22，①∴（）2=21.∴2－21.∵0°＜A ＜180°，∴＞0，＜0. ∴90°＜A ＜180°. ∵（－）2=1－223，∴－26.②①+②得462+. ①－②得462-.∴AAcos sin 462+·624-=－2－3.（以下同解法一）21、锐角x 、y 满足（）且≠2π，求的最大值.解：∵（）， ∴－， （）. ∴x x x csc sin cos +x xx sin 1cos sin +x x x x 22cos sin 2cos sin +x x 2tan 21tan +≤xx tan 22tan =42，当且仅当22时取等号.∴的最大值为42.22、已知α、β∈（0，4π），3β（2α+β），42α1－22α.求α+β的值.解：∵42α1－22α，∴2·α=1，α=21. ∵3β（2α+β），∴3β（α+β）α（α+β）α. ∴3（α+β）α－3（α+β）α （α+β）α（α+β）α. ∴（α+β）α=2（α+β）α. ∴（α+β）=2α=1.∴α+β=4π.评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.23、是否存在两个锐角,αβ满足（1）223παβ+=；（2）tantan 22αβ⋅=,αβ的值；若不存在，说明理由． 解：由（1）得23απβ+=tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ+=+=-，∴tan tan 22tan tan 32αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，∴tan 22tan 1αβ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或tan 2tan 12βα⎧=⎪⎨=⎪⎩024απ<<，∴tan12α≠，舍去），∴64παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求满足条件的两个锐角．24、已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值．解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-， ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=，得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+，若cos()cos 0αβα+≠，则13tan()tan 3αβα+⋅=， 若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义． 说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()βαβαβαα=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()αβαβα+=++等，解题过程中应充分利用这种变形．25、已知β（2α+β）（m ≠1），求证：（α+β）mm -+11α.证明：∵β（2α+β），∴［（α+β）－α］［（α+β）+α］. ∴（α+β）α－（α+β）α （α+β）α（α+β）α. ∴（1－m ）（α+β）α =（1）（α+β）α. ∴（α+β）mm -+11α.26、αβ=22，求αβ的取值范围.解：令αβ，① αβ=22，② ①2+②2，得t 2212+2（α－β）.∴2（α－β）2－23∈［－2，2］.∴t ∈［－214，214］.27、已知（23，23），（2x ，－2x ），x ∈［0，2π］.（1）求a ·b 及；（2）若f （x ）·b －2λ的最小值是－23，求λ的值.解：（1）a ·232x －232x 2x .222sin 23sin 2cos 23cos）（）（x x x x -++2x2cos =2（∵x ∈［0，2π］）.（2）f （x ）2x －4λ2（－λ）2－1－2λ2. ∵x ∈［0，2π］，∴∈［0，1］.①当λ＜0，0时，f （x ）－1，矛盾.②当0≤λ≤1，λ时，f （x ）－1－2λ2，由－1－2λ2=－23，得λ=21.③当λ＞1，1时，f （x ）1－4λ， 由1－4λ=－23，得λ=85＜1，矛盾.综上，λ=21为所求.。