2020年上海市春季高考数学试卷-学生版
2017-2020年上海市春季高考数学试卷汇总
20.
已知双曲线 : x2
y2 b2
1 (b 0) ，直线 l : y
kx m
(km 0) ，l 与 交于 P 、
Q 两点， P 为 P 关于 y 轴的对称点，直线 PQ 与 y 轴交于点 N (0, n) ；
（1）若点 (2, 0) 是 的一个焦点，求 的渐近线方程；
（2）若
b
2017 年上海市春季高考数学试卷
2017.1
一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 设集合 A {1, 2,3} ，集合 B {3, 4} ，则 A B
；
2. 不等式 | x 1| 3 的解集为
；
3. 若复数 z 满足 2z 1 3 6i （ i 是虚数单位），则 z
1、不等式 x 1的解集为______________； 2、计算： lim 3n 1 _________ ；
n n 2
3、设集合 A x 0 x 2， B x 1 x 1，则 A B ________ ；
4、若复数 z 1 i （ i 是虚数单位），则 z 2 ______ ； z
4. 若 cos 1 ，则 sin( )
；
3
2
5.
若关于 x 、
x 2y 4 y 的方程组 3x ay 6 无解，则实数 a
6. 若等差数列{an}的前 5 项的和为 25，则 a1 a5
；
； ；
7. 若 P 、 Q 是圆 x2 y2 2x 4y 4 0 上的动点，则 | PQ | 的最大值为
D. (,1]
D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）
2020年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = ． 2．（4分）不等式13x>的解集为 ． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 ．4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 ． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = ． 7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为 ．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ． 10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 种．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为 ．12．（5分）已知()f x =其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n n n n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( )A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = 3 ． 【解析】3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3． 【评注】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 2．（4分）不等式13x >的解集为 1(0,)3． 【解析】由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<， 所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【评注】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 2π． 【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π． 【评注】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+， 可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．【评注】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【解析】3sin22sin x x =，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =． 故答案为：1arccos 3．【评注】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = 1 ． 【解析】根据题意，函数133x x y a =+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x xx xa a --+=+， 变形可得：(33)(33)x x x x a ---=-，必有1a =；故答案为：1．【评注】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则1l 与2l 的距离为d =．【评注】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【解析】41435(2)10C x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10． 【评注】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = 194． 【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴21111119()()(4)22224AD AB AB AC AB AB AB AC =+=+=⨯+=．故答案为：194． 【评注】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种． 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【评注】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为． 【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==，设1(0,0)A ，如图，求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴． 【评注】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知()f x =1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[,)4+∞ ． 【解析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x ，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[,)4+∞．【评注】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【解析】111133()5355limlim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ． 【评注】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【评注】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【解析】2AB ，2CD ∴，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【评注】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123nn n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =【解析】行列式131223nn n n n n n n aa a a a a c a a ++++++=-=，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，∴2122123n n n n n n a a a ca a a c +++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 作差整理得：1n n a a +=（常数列，0c =），或120n n n a a a ++++=，当120n n n a a a ++++=，则12n n n a a a +++=-及212n n na a a c ++=-， ∴方程220n nx a x a c ++-=有两根1n a +，2n a +，∴△2224()430n n n a a c c a =--=->，因为B 错，故选：B ． 【评注】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD DC ∴⊥．3CD =，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BC PD ∴⊥，BC CD ⊥，又PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ， BC PC ∴⊥，异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ，∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =，故PC =Rt PDC ∆中，3CD =，PD ∴=【评注】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【解析】（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--，100n nS a >，即为11112()100()22n n --->， 即2101n >，可得7n ，即n 的最小值为7．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离， 所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=， 由题意得，60(){|60|,|120|}min f x x x =--， 则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-； 综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||,|120|}t min f x t x x =--，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利． 【评注】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．点M，∴点M的横坐标22M x ==，2y x =，12p ∴=， M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=． （2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+， 直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011By y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴⋅为常数1-． （3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--， 联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P Ay y t y y y -=-，同理得00B Q By y t y y y -=-，1A B y y ⋅=，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++， 要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数1．【评注】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2,}A m =-，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值． 【解析】（1）()f x x =-为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞． （3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数； 当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数， 综上，m 为正奇数．【评注】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。
2020届上海市高三春季高考数学详解版(附专家点评)
.
x
3. 函数 y = tan 2x 的最小正周期为
.
4. 已知复数 z 满足 z + 2z = 6 + i ，则 z 的实部为
.
5. 已知 3sin 2x = 2sin x ， x (0, ) ，则 x =
.
6.
若函数 y = a 3x
1 + 3x
为偶函数，则 a =
.
7. 已知直线 l1 : x + ay = 1 ， l2 : ax + y = 1 ，若 l1 ∥ l2 ，则 l1 与 l2 的距离为
m
=
n
，则
am122
= =
m2 + c a1m + c
m2 − c 2 = a12a2 a12 − 2c 2 = a12 a12 − c ,
即
3a12c
=
4c2
c
=
0
or
c
=
3 4
a12
;
( ) （2）若 m + n = −a1 ，则 (−a1 )2 = (m + n)2 4mn = 4
21. 已知非空集合 A R ，函数 y = f (x) 的定义域为 D ，若对任意 t A 且 x D ，不等式 f (x) f (x + t) 恒成立，则称函数 f (x) 具有 A 性质. （1）当 A = {−1} ，判断 f (x) = −x 、 g(x) = 2x 是否具有 A 性质；
2020 年上海市春季高考数学试卷
注：题目来源主要为网上流传的回忆版，如有错漏，欢迎指正. 一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
上海市春季高考数学试题
2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。
若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列。
2020年春季高考高等职业教育分类考试数学模拟测试卷（一）及参考答案
2020年春季高考高等职业教育分类考试数学模拟测试卷（一）及参考答案2020年春季高考高等职业教育分类考试数学模拟测试卷（一）（总分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==，则M N =IA ．{}2B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体是A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱柱D ．三棱锥3．当输入a 的值为1，b 的值为3-时，右边程序运行的结果是 A ．1 B ．2- C ．3- D ．2 4．函数2sin(2)6 y x π=-的最小正周期是A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 5．下列函数中，在()0,+∞上是减函数的是A ．1y x =B ．21y x =+C ．2xy = D ．()()00x x y x x >??=?-≤??6．不等式组101x y x -+≥??≤?表示的平面区域是7．函数x y sin 1+=的部分图像如图所示，则该函数在[]π2,0的单调递减区间是A ．[]0,πB ．3,22ππINPUT a ，b a=a+b PRINT a END-11OyDC yxO1-1-11OxyB A yxO1-1俯视图侧视图正视图C．3 0,2π??D．,22ππ2ππ32π2π8．方程320x-=的根所在的区间是A．()2,00,1 C．()1,2 D．()2,39．已知向量a(2,1)=，b(3,)λ=，且a⊥b，则λ=A．6- B．6 C．32D．32-10．函数()2log1y x=-的图像大致是二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在题中的横线上）11．如图，化简AB BC CD++=uuu r uuu r uuu r．12．若函数()f x是奇函数，且()21f=，则()213．某田径队有男运动员30人，女运动员10人．用分层抽样的方法从中抽出一个容量为20的样本，则抽出的女运动员有人．14．对于右边的程序框图，若输入x的值是5，则输出y的值是．15．已知ABC的三个内角,,A B C所对的边分别是,,a b c，且30,45,2A B a===o o，则b=．三、解答题（本大题有5小题，共75分。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
【解析】根据向量减法的运算规律，ai bj {1,2}可转化为以向量a1 和 a2 终点为圆心，作半径r1 1 和 r2 2
的圆，两圆交点即为满足题意的b ，由图知， k 的最大值为 6。
1 /6
二、 13.【答案】B 14.【答案】D 15.【答案】D 【解析】 延长 BC 至 M 点，使得CM 2 延长C1C 至 N 点，使得CN 3 ，
2
b4 a b2
，
所以有4＜ b4 ，解得b2＞2 2 5 ，或 b2＜2 2 5 （舍） 4 b2
又因为OM ON由 ON 在 OM 上的投影可知： OM ON b2 4
所 以 OM ON b2 4＞6 2 5
OM ON 6 2 5,
21.【答案】（1）对于第一个数列有 2 3 1， 5 3 2 ， 1 3 2 ， 满足题意，该数列满足性质 p
以 C 、 M 、 N 为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为 H ， 连接 A1P 、 PH 、 HC ，则易得四边形 A1PHC 为平行四边形，
因为点 P 在平面 ADD1A1内，点 H 在平面 BCC1B1 内，
且点 P 在平面 ABCD 的上方，点 H 在平面 ABCD 下方， 所以线段 PH 必定会在和平面 ABCD 相交， 即点Q 在平面 ABCD 内。 16.【答案】C 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质 P 的条件是，存在a R 且 a 0 ，
2022年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析
2022年上海市春季高考预测数学试卷 （学生版）时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a = .2.已知复数z 满足13z i =-(i 是虚数单位)，则z i -＝ .3.不等式2512x x +<-的解集为 . 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 5.求直线2x =-10y -+=的夹角为________.6.方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b = .7.()1nx +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 .8.已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a = . 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是10. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合11. 已知椭圆2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<θ的最小值是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( ) A. 2x B.sin x C. 2x D. 1x =14.已知集合{}220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ⊆ B. R R C A C B ⊆ C. A B ⋂=∅ D. A B ⋃=R15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得0AB CE ⋅=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°， 求PD 与AC 所成角的大小.18. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-.（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4cos()45A π-=，求c .19.（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足-=千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴PA PB||||20正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QB千米，||||10-=千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）QC QD20. 已知函数()f x x=.（1）若1a=，求函数的定义域；（2）若0a≠，若()=有2个不同实数根，求a的取值范围；f ax a（3）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的 等差中项（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值.2022年上海市春季高考数学试卷（参考答案版）1时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.等差数列{}n a中，13,2a d==，则10a= .【答案】21【解析】101+921a a d==2.已知复数z满足13z i=-(i是虚数单位)，则z i-= .【解析】12z i i-=+=3.不等式2512x x +<-的解集为 . 【答案】(7,2)- 【解析】251(7)(2)722x x x x x +<⇒+-⇒-<<- 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 【答案】4π【解析】24S rl ππ==5.求直线2x =-10y -+=的夹角为________. 【答案】6π 【解析】1212123(1,0),(3,1),cos 26n n n n n n πθθ⋅==-==⇒= 6.方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b = .【答案】0 【解析】11220a b D a b == 7.()1nx +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 . 【答案】20【解析】316336,202r n rr n n T C x n r n n C -+=⇒-=⇒=-⇒== 8.已知函数()()3031x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = . 【答案】9 【解析】()()303111593131x xx x a a f x a a =+>=++-≥=⇒=++ 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 【答案】(4,0)(0,4)-【解析】由题意，(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，∴214a a q q ==∈(4,0)(0,4)-11. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合【答案】23【解析】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组 合是不符题意的，∴54325555323C C C C +++-=11. 已知椭圆2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 【答案】12x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立24y cx y x c⎧=⎨=+⎩，∴(,2)P c c ，∴212PF F F ⊥，2122PF F F c ==，122PF c =，∴12(222)2221PF PF c a c +=+==⇒=-，即准线方程为12x c =-=-12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是 【答案】25π 【解析】在单位圆中分析，由题意，n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中6AOx BOx π∠=∠=），∴3AOB πθ>∠=，∵对任意*n ∈N 要成立，∴*2πθ∈N ，即2k πθ=，*k ∈N ，同时3πθ>，∴θ的最小值为25π 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( )A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动 7点-8点 8点-9点 9点-10点10点-11点 11点-12点 30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟A. 2xB.sin xC. 2xD. 1x = 【答案】C14.已知集合{}220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ⊆ B. R R C A C B ⊆ C. A B ⋂=∅ D. A B ⋃=R 【答案】D15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 【答案】D【解析】反例如图所示. 选项D ，易得()f n n =，n ∈Z16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得0AB CE ⋅=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立 【答案】B【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，① (12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，∴2(21)(1)20x x y -+--=， ∴2(21)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 明显存在，∴①成立； ② F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 交点即重心G ， ∵G 为AD 三等分点，E 为AD 中点，∴CE 与CG 不共线， 即②不成立；故选B三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PD 与AC 所成角的大小. 【答案】（1）3233P ABCD V -=；（2)2arccos 6【解析】（1）∵正方形ABCD 边长为4，△PAB 为等边三角形，E 为AB 中点，∴23PE =，2132342333P ABCD V -=⨯⨯=；（2）如图建系，(0,0,4)P ，(2,4,0)D -，(2,0,0)A -，(2,4,0)C ，∴(2,4,4)PD =--，(4,4,0)AC =，∴82cos 6642||||PD AC PD AC θ⋅===⨯⋅， 即PD 与AC 所成角的大小为2arccos618. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-.（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4cos()45A π-=，求c .【答案】（1）1b =,6c =（2）5302c =【解析】（1）sin 2sin 2A B a b =⇒=，∴1b =，222211cos 62214c C c +-==-⇒=⨯⨯；（2）472cos()cos 4510A A π-=⇒=，∴2sin 10A =，∵115cos sin 44C C =-⇒=，由正弦定理，2530sin sin 2c c A C =⇒=19.（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°）【答案】（1）221100300x y -=,P ;(2)19OQ ≈,Q 点位置北偏东66︒【解析】（1）10a =，20c =，∴2300b =，双曲线为221100300x y -=；直线:OP y =，联立双曲线，得(22P ； （2）①||||30QA QB -=，15a =，20c =，∴2175b =，双曲线为221225175x y -=；② ||||10QC QD -=，5a =，15c =，∴2200b =，双曲线为22125200y x -=；联立双曲线，得Q ，∴19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒20. 已知函数()f x x =. （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围.【答案】（1）(,2][0,)x ∈-∞-+∞; (2)1(0,)4a ∈;(3)14a ≤-【解析】（1）()f x x =，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞；（2）()f x x a ==+，设0x a t +=≥t =有2个不同实数根，∴整理得2a t t =-，0t ≥，同时0a ≠，∴1(0,)4a ∈；（3）当x a ≥-，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a ≤-时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x =，在(,2]a -∞-上递减，∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a ≤-时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a ≤-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列， 并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =， 求111r s t a a a +++++的最大值.【答案】（1）31a =;（2）见解析；（3）2164【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+， ∴231321a a a a =+⇒=，321324a a a a =+⇒=，经检验，31a =（2）∵1470a a a ===，∴322a a =，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2532a a a =-=-（舍），∴254aa =；∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍），∴268a a =；∴628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍），∴2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，2112102r r r r r r a a a a a a -----=⇒=⇒-=-，∴31112211111110()()1()()222222i r i i r r r r r a a a a a a a --+---=⇒==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-，*i ∈N ，∴1max 1()4r a +=，同理，21111111()1()()22224j s r j j s r r a a a ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅，*j ∈N ，∴1max 1()16s a +=，同理，1max 1()64t a +=，∴111r s t a a a +++++的最大值为21642022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k2，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk，当b2=4时，满足n=，当b2=kk0时，由2b2=k2+k2，得k=k（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．解：（1）∵f（x）=log2=1，∴=2，解得；（2）令g（x）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()2f x x =-的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A. π B.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为，底面边长为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π 2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。
2020年上海春季高考数学试卷及解析
2020年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间 120 分钟．试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴 在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．若集合{}1,3A =，{}1,2,B a =，若A B ⊆，则a =________. 2．不等式13x>的解集是________. 3．函数tan 2y x =的最小正周期为________. 4. 已知复数26z z i +=+，则z 的实部为________. 5．已知()3sin 2sin ,0,x x x π=∈，则x =________. 6．函数133xx y a =⋅+为偶函数，则a =________. 7．两条直线1:1l x ay +=，212:1l ax y l l +=，若∥，则12l l 与的距离为________.8．二项式(52x ，则3x 的系数为________.【答案】1. 3 2. 1|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3. 2π4. 25. 1arccos 36. 17.8. 109．在△ABC 中，D 是BC 的中点，2,3,4AB BC AC ===，则AD AB =________. 【答案】194【解析】法一：因为2,3,4AB BC AC ===，所以22224311cos 22416A +-==⨯⨯，在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以2AB ACAD +=， 因此，AD AB =()22111119224222164AB AC AB AB AB AC +⎛⎫⋅=+⋅=+⋅⋅=⎪⎝⎭. 法二：因为2,3,4AB BC AC ===，所以2222341cos 2234B +-==-⨯⨯，在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以12AD AB BD AB BC =+=+， 因此，AD AB =22111192232244AB AB BC ⎛⎫+⋅=+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭. 法三：在△ABC 中，D 是BC 的中点，所以2AB ACAD +=， 平方后，2211131(422416)24164AB AC AD ⎛⎫+==+⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 在△ABD中，32,,2AB BD AD ===所以3194cos BAD +-∠==，因此，AD AB=19cos 224AD AB BAD ⋅⋅∠=⨯=.10．已知{}3,2,1,0,1,2,3,,A a b A =---∈，则满足a b <的情况有________种. 【答案】18 【解析】枚举法11．已知12345,,,,A A A A A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，1121n n n n A A A A n +++⋅=+，其中123n =，，，则15A A 的最小值为________.【答案【解析】设120A A a =>，因为12230A A A A ⋅=12232A A A A ⋅=，所以232A A a=，且1223A A A A ⊥； 同理，3432a A A =，4583A A a=，且2334A A A A ⊥，3445A A A A ⊥. 要使得15A A 最小，则需如图排布（将A 1置于原点处）此时，532823a A a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，即5223a A a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 因此215A A =222224223493a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当a =时取得等号.12. 已知函数()f x =()f x 的反函数为1()f x -，若方程1()()f x a f x a --=+有实数根，则实数a 的取值范围为________.【答案】3[+4∞，）【解析】因为1()y fx a -=-与()y f x a =+互为反函数，所以“方程1()()fx a f x a --=+有实数根”意味着“函数1()y f x a -=-的图像与函数()y f x a =+的图像有公共点”，互为反函数的图像关于直线y=x 对称，问题转化为：函数()y f x a =+的图像与直线y=x 有公共点，求a 的范围.即方程()f x a x +=有实数根，x =等价于方程21a x x =-+在01x x a⎧⎨-⎩≥≥上有解.当12a >时，112a -<，21131224a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭≥，所以34a ≥；当12a ≤时， ()21(1)1a a a ---+≥，所以2(1)0a -≤，无解； 综上，34a ≥.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．1135lim 35n nn n n --→∞++的值为 ( ) Ａ．3 Ｂ．53 Ｃ．35Ｄ．5 【答案】D14．“αβ=”是22sincos 1αβ+=的 ( )Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 【答案】A15．已知椭圆221,2x y +=垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，垂直于y 轴的直线交椭圆于C D ，两点，且AB CD =，则两直线交点P 所在的曲线是 ( )Ａ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线 【答案】B【解析】方法一：依据图形对称性，选项D设(),()A s t C m n ，，，则()P s n ，， 因为AB CD =，所以t m =，又22221(1)21(2)2s t m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，将（1）—（2）х2得22212s n -=， 因此动点P 的轨迹方程为22212x y -=，轨迹为双曲线的一部分.方法二：设sin )sin )A C ααββ，，，，则sin )P αβ，, 因为AB CD =，所以sin αβ=，平方后，22sin 2cos αβ=，即221cos22sin αβ-=-，设()P x y ，，则sin x y αβ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以cos sin y αβ==⎩代入上式，因此动点P 的轨迹方程为22212x y -=，轨迹为双曲线的一部分.16．对于数列{}n a 有3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=，下列选项中不可能的是的 ( )Ａ．11,1a c == Ｂ．12,2a c == Ｃ．11,4a c =-= Ｄ．12,0a c == 【答案】B 【解析】因为123n n n n a a c a a +++=，所以312n n n n a a a a c +++-=，又3n n a a +=，所以212n n n a a a c ++-=， ①同理2123n n n a a a c +++-=，即212n n n a a a c ++-=， ②②-①，22121()0n n n n n a a a a a +++-+-=， 因此，10n n a a +-=或120n n n a a a ++++=，当10n n a a +-=时，数列{}n a 为常数列，D 正确；当120n n n a a a ++++=时，12n n n a a a +++=-，且212n n n a a a c ++=-，于是12,n n a a ++是方程2n x a x ++20n a c -=的两个根， 由∆≥0，得2340n a c -<，经检验选项A ，C 符合.三、解答题（本大题74分）本大题共有５题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）已知底面ABCD 为正方形的四棱锥P ABCD -,底面边长为3，PD ABCD ⊥面，若AD 与BP 夹角为60．（1）求PD 的长度；（2）求四棱锥P ABCD -的体积． 【解析】（1） 因为AD BC ∥，所以PBC ∠为异面直线AD 与BP 所成角（或其补角）由AD 与BP 夹角为60，所以PBC ∠=60．PD ABCD PD BC BC PCD BC PC BC ABCD ABCD CD BC ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊂⎬⎭⎪⇒⊥⎭面面面底面为正方形，在直角△PDC 中，PBC ∠=60，=3BC ，所以=6BP ， 在直角△PDB 中， =6BP，BDPD （2） 四棱锥P ABCD -的体积为11==33P ABCD ABCD V PD S -⋅⋅⋅18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =；（1）若已知{}10=70n S a ，成等差数列，求{}n a 的通项公式 （2）若{}41=8n a a ，成等比数列，求>100n n S a 时n 的最小值. 【解析】（1） 已知{}n a 成等差数列，所以1101010()==702a a S +，因为11a =，所以1013a =，公差10141013a a d -==-，因此，{}n a 的通项公式为141(1)3n n a a n d -=+-=；（2） 若{}n a 成等比数列，首项11a =，41=8a ，所以公比1=2q ，因此，11=2n n a -，112=112nn S --，代入>100n nS a ，化简得2101n >， 因为672=642=128，，所以满足>100n n S a 时n 的最小值为7.19. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(),0B x ，现要建设另一座垃圾投放点()2,0t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离；（1）若60,t =求()()()606060108095f f f ，，，并写出()60f x 的函数解析式；（2）定义：将()t f x 与坐标轴围成的面积估计为扔垃圾的便利程度，问：垃圾投放点2ω要建立在何处才能比建在中点时更加便利？ 【解析】（1）()()()60606010=60105080806020951209525f f f -==-==-=，，，()60f x 的函数解析式为()60|60|[090]=120(90120]x x f x x x -∈⎧⎨-∈⎩，，，，；（2）由(1)知()60f x 与坐标轴围成的面积为2011=60+6030=903022S ⨯⨯⨯⨯， 而()t f x 的函数解析式为()||[060]2=120(60120]2t t x t x f x t t x ⎧-∈+⎪⎪⎨⎪-∈+⎪⎩，，，，，()t f x 与坐标轴围成的面积为22111203=+(120)()=60+60602224t S t t t t -⨯⨯-⨯⨯-⨯，据题意，当0S S <时，垃圾投放点2ω比在中点时更加便利，即2360+1203090304t t ⨯-⨯<⨯，解得2060t <<. 因此，垃圾投放点2ω要建立在()20,0和()60,0两点之间，才能比建在中点时更加便利.20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分）已知抛物线2y x =上动点()00,M x y 过M 分别作两条直线交抛物线于,P Q 两点，交直线x t =交于,A B 两点.（1）若点M M 到抛物线焦点的距离； （2）若1,(1,1),Q(1,1)t P =--，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数，若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 若点M M 的横坐标为2，依据抛物线的定义，点M 到抛物线焦点的距离等于到准线的距离， 因为抛物线2y x =的准线方程为1=4x -，所以点M 到抛物线焦点的距离为19244+=； （2） 设2(,)M a a ,直线MP 方程为：11(1)1y x a -=-+，令1x =-，得=A y 11a a -+； 直线MQ 方程为：11(1)1y x a +=--，令1x =-，得=B y 11a a +--， 因此A B y y ⋅=11a a -⨯+1=11a a +⎛⎫-- ⎪-⎝⎭为常数； （3） 设2(,)M a a ,(,)A t s ，1(,)B t s直线MA 方程为：2()a sy s x t a t--=--， 因为2y x =，代入上式整理得22220a s sa aty y a t a t---+=--，所以=P M y y ⋅2sa at a s--，即=P y sa ta s --；同理=Q y 11ata st s as a s--=--； 因此P Q y y ⋅=sa t a s -⨯-1a st as --=22222(1)+(1)sa s ta st sa s a s-+-++， 假设存在t ，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数，记常数为k ，则22222(1)+=(1)sa s ta st k sa s a s-+-++，整理得，222(1)(1)()()0s k a s k t a s k t --+-+-=对于变量a 恒成立，当且仅当22(1)=0(1)()0()0s k s k t s k t -⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩，解得1k t ==，因此假设存在1t =，使得A B y y ⋅=1且P Q y y ⋅为常数1.21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知A R ⊆,对于定义域为D 的函数，任意,t A x D ∈∈,恒有()(),f x t f x +≥则称函数()f x 具有性质A .（1）若{}=1A -，判断()=,()2f x x g x x -=是否具有性质A ；（2）已知()=01A ，，[)1()=+,,f x x x a x∈+∞，若()f x 具有性质A ，求正实数a 的范围； （3）{}=2A m -，，m 为整数，()f x 是定义在整数集上的函数，若仅当()f x 为常值函数时，()f x 具有性质A ，求m 的所有可能值.【解析】（1）当{}=1A -，即1t =-时，若()=f x x -，则(1)=1f x x --+x -≥，恒有()(),f x t f x +≥所以()f x 具有性质A ；若()2g x x =，则(1)=22g x x --2x <，所以()g x 不具有性质A. （2）若[)1()=+,,f x x x a x∈+∞具有性质A ， 不等式[)11,,x t x x a x t x+++∈+∞+≥，()01t ∈，恒成立， 不等式[)210,,x tx x a +-∈+∞≥，()01t ∈，恒成立，（视作关于x 的二次函数） 记函数[)2()1,h x x tx x a =+-∈+∞，，其图像为对称轴1=,022t x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭的抛物线， 因为0a >，[)2()1,h x x tx x a =+-∈+∞，上单调递增，最小值为2()1h a a at =+-，所以只需210at a +-≥在()01t ∈，恒成立，（视作关于t 的一次函数） 只需当0t =时，210a -≥即可，所以1a ≥.（3） 征解。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
.
x 2 y 3≤0
a a a
答
8.已知an是公差不为零的等差数列，且 a 1 a10 a ，9 则 1
2
a10
9
.
9.从 6 人中挑选 4 人去值班，每人值班 1 天，第一天需要 1 人，第二天需要 1 人，第三
天需要 2 人，则有
种排法.
题
10.椭圆 x2 y2 1 ，过右焦点F 作直线 l 交椭圆于P 、 Q 两点， P 在第二象限已知 43
性质 p . （1）判断数列 3，2，5，1 和 4，3，2，5，1 是否具有性质 p ，请说明理由. （2）若 a1 1 ，公比为q 的等比数列，项数为 10，具有性质 p ，求 q 的取值范围.
（3）若 an 是 1，2，…， m 的一个排列m≥4， bk ak1 k 1, 2 m 1 ，an， bn，都具有性质 p ，求所有满足条件的an .
PF1 8 ，求∠F1PF2 ；
（3）过点 S
0, 2
b2 2
且斜率为
b的直线l 2
交曲线 于 M
、N
两点，用 b
的代数式
表示OM ON，并求出OM ON的取值范围。
21.有限数列an，若满足 a1 a2 ≤ a1 a3 ≤≤ a1 an ， m 是项数，则称an满足
数学试卷 第 3 页（共 4 页）
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18.【答案】（1）
1， 2
x
x∣x
3
4k或x
5
3
4k
,
k
Z；
（2）
1 2
,
0
19.【答案】（1）
x
0,
80 3
；
（2）
x
上海市春季高考数学试卷(含答案).doc
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。
若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
2020年上海市春季高考数学试卷及答案
2020年上海市春季高考数学试卷2020.1一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）：1、集合{}3,1=A ，{}a B ,2,1=，若B A ⊆，则_______=a ；2、不等式31>x的解集为____________；3、x 2tan 的最小正周期为______________；4、已知复数i z z +=-62，则z 的实部为__________；5、已知()π,0,sin 22sin 3∈=x x x ，则________=x ；6、函数xxa y 313+⋅=为偶函数，则_______=a ；7、已知直线1:1=+ay x l ，1:2=+y ax l ，21//l l ，则1l 与2l 的距离为________；8、已知二项式()52x x +，则3x 的系数为__________；9、三角形ABC 中，D 是BC 中点，3,4,2===AC BC AB ，则=________AD AB ⋅；10、已知{}3,2,1,0,1,2,3---=A ，a 、A b ∈，则b a <有__________种情况；11、已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，向量1120n n n n A A A A +++⋅=，1121n n n n A A A A n +++⋅=+ ，则15A A的最小值为_________；12、已知()1-=x x f ，()a x f a x f +=--)(1有实数根，则a 的取值范围为______；二、选择题（每题5分）：13、=++--∞→115353lim n n n n n （）A、3B 、51C、31D、514、“βα=”是“1cos sin 22=+βα”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件15、已知椭圆1222=+y x ，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且CD AB =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是（）A、椭圆B、双曲线C、圆D、抛物线16、对于数列{}n a 有n n a a =+3，且行列式c a a a a n n n n =+++321，下列选项中不可能的是（）A、1,11==c aB、2,21==c aC、4,11=-=c a D、0,21==c a 三、解答题（14+14+14+16+18=76分）17、已知底面ABCD 为正方形，底面边长为3，⊥PD 面ABCD .（1）若4=PD ，求ABCD P -的体积；（2）若AD 与BP 夹角为60，求PD 的长.18、已知数列{}n a ，{}n S 是数列{}n a 的和，首项11=a .（1）已知7010=S ，{}n a 成等差数列，求n a 的通项；（2）814=a ，{}n a 是等比数列，当n n a S 100>时，求n 的最小值；19、有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点()0,x B ，现要建设另一座垃圾投放点()0,2t ω，函数()x f t 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离.（1）若60=t ，求()()()95,80,10606060f f f ，并写出()x f 60的函数解析式；（2）定义：将()x f t 与坐标轴围成的面积估计为仍垃圾的便利程度，面积越小越便利，问：垃圾投放点2ω要建立在何处才能比建在中点时更加便利？20、抛物线x y =2上的动点()00,y x M ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线t x =于A 、B 两点.（1）若点M 纵坐标为2，求M 与焦点距离；（2）若1-=t ，())1,1(,1,1-Q P ，求证：B A y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使1=⋅B A y y 且Q P y y ⋅为常数，若存在，求出t 的所有结果；若不存在，说明理由.21、函数()x f 的定义域为D ，A 为D 的非空子集，若对于任意A t ∈且D x ∈，满足()()t x f x f +≤，则称()x f 具有“A 性质”.（1）若{}1-=A ，判断函数()x x f -=1，()x x g 2=是否具有“A 性质”；（2）已知()[)0,,,1>+∞∈+=a a x xx x f 具有“A 性质”，且()1,0=A ，求a 的取值范围；（3）{}m A ,2-=，若定义域为整数集，且具有“A 性质”的所有函数均为常值函数，求m 的值.2020年春考——参考答案一、填空题：1、3；2、⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0；3、2π；4、6-；5、31arccos；6、1；7、2；8、10；9、45；10、18；11、36；12、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43；二、选择题：13、D ；14、A ；15、B ；16、B ；三、解答题：17、（1）12；（2）23；18、（1）314-=n a n ；（2）7；19、（1）501060)10(60=-=f ，()2060808060=-=f ,2595120)95(60=-=f ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=12090,120900,60)(60x x x x x f ；（2）圾投放点2ω建立点()0,20和()0,60之间时，比在中点时更便利；20、（1）49；（2）1-；（3）存在，1=t ；21、（1）()x f 具有“A 性质”，()x g 不具有“A 性质”；（2）1≥a ；（3）()*∈-=Nk k m 12.。
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一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝．
2．（4分）不等式＞3的解集为．
3．（4分）函数y＝tan2x的最小正周期为．
4．（4分）已知复数z满足z+2＝6+i，则z的实部为．
5．（4分）已知3sin2x＝2sinx，x∈（0，π），则x＝．
6．（4分）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝．
7．（5分）已知直线l
1：x+ay＝1，l
2
：ax+y＝1，若l
1
∥l
2
，则1
1
与l
2
的距离为．
8．（5分）已知二项式（2x+）5，则展开式中x3的系数为．
9．（5分）三角形ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝．
10．（5分）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有种．
11．（5分）已知A
1、A
2
、A
3
、A
4
、A
5
五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||
•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为．
12．（5分）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．（5分）计算：＝（）
A．3 B．C．D．5
14．（5分）“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
15．（5分）已知椭圆+y2＝1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB＝CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线
16．（5分）数列{a
n }各项均为实数，对任意n∈N*满足a
n+3
＝a
n
，且行列式＝c为定
值，则下列选项中不可能的是（）
A．a
1＝1，c＝1 B．a
1
＝2，c＝2 C．a
1
＝﹣1，c＝4 D．a
1
＝2，c＝0
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)
17．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．（1）若PC＝5，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若直线AD与BP的夹角为60°，求PD的长．
18．（14分）已知各项均为正数的数列{a
n }，其前n项和为S
n
，a
1
＝1．
（1）若数列{a
n }为等差数列，S
10
＝70，求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若数列{a
n }为等比数列，a
4
＝，求满足S
n
＞100a
n
时n的最小值．
19．（14分）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点ω
1
，若以O为原点，OA为x轴
正半轴建立直角坐标系，设点B（x，0），现要建设另一座垃圾投放点ω
2（t，0），函数f
t
（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若t＝60，求f
60（10）、f
60
（80）、f
60
（95）的值，并写出f
60
（x）的函数解析式；
（2）若可以通过f
t
（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：
垃圾投放点ω
2
建在何处才能比建在中点时更加便利？
20．（16分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x
0，y
），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两
点，交直线x＝t于A、B两点．
（1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；
（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y
A •y
B
为常数；
（3）是否存在t，使得y
A •y
B
＝1且y
P
•y
Q
为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，
请说明理由．
21．（18分）已知非空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质．
（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；
（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；
（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．。