2020年上海市春季高考数学试卷-学生版

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝．

2．（4分）不等式＞3的解集为．

3．（4分）函数y＝tan2x的最小正周期为．

4．（4分）已知复数z满足z+2＝6+i，则z的实部为．

5．（4分）已知3sin2x＝2sinx，x∈（0，π），则x＝．

6．（4分）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝．

7．（5分）已知直线l

1：x+ay＝1，l

2

：ax+y＝1，若l

1

∥l

2

，则1

1

与l

2

的距离为．

8．（5分）已知二项式（2x+）5，则展开式中x3的系数为．

9．（5分）三角形ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝．

10．（5分）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有种．

11．（5分）已知A

1、A

2

、A

3

、A

4

、A

5

五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||

•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为．

12．（5分）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)

13．（5分）计算：＝（）

A．3 B．C．D．5

14．（5分）“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

15．（5分）已知椭圆+y2＝1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB＝CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）

A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线

16．（5分）数列{a

n }各项均为实数，对任意n∈N*满足a

n+3

＝a

n

，且行列式＝c为定

值，则下列选项中不可能的是（）

A．a

1＝1，c＝1 B．a

1

＝2，c＝2 C．a

1

＝﹣1，c＝4 D．a

1

＝2，c＝0

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)

17．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．（1）若PC＝5，求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）若直线AD与BP的夹角为60°，求PD的长．

18．（14分）已知各项均为正数的数列{a

n }，其前n项和为S

n

，a

1

＝1．

（1）若数列{a

n }为等差数列，S

10

＝70，求数列{a

n

}的通项公式；

（2）若数列{a

n }为等比数列，a

4

＝，求满足S

n

＞100a

n

时n的最小值．

19．（14分）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点ω

1

，若以O为原点，OA为x轴

正半轴建立直角坐标系，设点B（x，0），现要建设另一座垃圾投放点ω

2（t，0），函数f

t

（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．

（1）若t＝60，求f

60（10）、f

60

（80）、f

60

（95）的值，并写出f

60

（x）的函数解析式；

（2）若可以通过f

t

（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：

垃圾投放点ω

2

建在何处才能比建在中点时更加便利？

20．（16分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x

0，y

），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两

点，交直线x＝t于A、B两点．

（1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；

（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y

A •y

B

为常数；

（3）是否存在t，使得y

A •y

B

＝1且y

P

•y

Q

为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，

请说明理由．

21．（18分）已知非空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质．

（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；

（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；

（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．