高考总复习 中学教学案空间向量单元(教师版全套)

空间向量2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.第1课时空间向量及其运算量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有和的量．(2) 向量相等：方向且长度．(3) 向量加法法则：．(4) 向量减法法则：．(5) 数乘向量法则：．2．线性运算律(1) 加法交换律：a＋b＝．(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝．(3) 数乘分配律：λ(a＋b)＝．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b等价于存在实数λ，使．(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量．(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量．(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．6．空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： ．(2) 空间向量的长度或模： ．(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．空间向量的数量积的常用结论：(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ⎪a ⎪2＝ ；(c) a ⊥b ⇔ ．(4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ ； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是( )A ．-21a ＋21b ＋cB ．21a ＋21b ＋cC ．21a -21b ＋cD ．-21a -21b ＋c解：A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1AA ===则ABCD ABCC DC AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB DC =+=+,∴11,,DC AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设.)1(,k k k ACMCEB NB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,,21,)122(22=+-=k a k k 即当也即时AC AM21=a 22=例3. 已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD ⊥BC ； (2) GH ∥BD ．证明：(1) AD ⊥BC ⇔0=⋅BC AD ．因为AB ⊥CD 0=⋅⇔，0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ，而0)()(=+⋅+=⋅．所以AD ⊥BC ．(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF ，+=＝32(+)＝32． 变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．解：+=＝1GC +＝1FC ++＝FC A ++11＝+2，所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 21，过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．1++F A∴m m m 2343++=又∵E 、F 、G 、P 四点共面，∴12343=++m m m ∴193=m ∴AP ︰PC 1＝3︰16变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证QN PM ⊥．证明：法一：)(21+=)(21OC OA ON +=)(21OC AB OM PO PM +=+=∴)(21AB OC ON QO QN -=+=0)41==⋅∴QN PM 故QNPM ⊥法二：PM ·＝(＋)·(＋)＝)(21+·)(21BA OC +＝)(4122-＝01．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，为与共线的向量，则｜.5．设平面α的一个法向量为，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d o .第2课时 空间向量的坐标运算)，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝ (2) λa ＝ ． (3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则＝ ，=AB ． AB 的中点M 的坐标为 ． 例1. 若a ＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)（1）若(k +)∥(－3)，求实数k 的值； （2）若(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值； （3）若k k 的值． 解：(1)31-=k ； (2)3106=k ； (3)278-=k 变式训练1. 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ．解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，∴()()30,1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解此方程组，得7211,1,,101010x y z λ=-===。

∴721,1,1010OC ⎛⎫=-⎪⎝⎭，3711,1,1010AC OC OA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

例2. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，CA ＝CB ＝1， 90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值； (3) 求证：C B A 11⊥．解：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.(1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1）．3)01()10()01(222=-+-+-=. (2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）.563),2,1,0(),2,1,1(1111===⋅=-=∴CB BA CB BA1030,cos 11=>=<∴CB BA . (3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11=--=∴C A .C A C A 1111,002121⊥∴=++-=⋅∴变式训练2. 在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离； (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离．解：(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3, 0, 0)、C(3, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,21, 1)，依题设N(x , 0, z )，则＝(－xyA BCPED·x ,21, 1－z )，由于NE ⊥平面PAC ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒163z x ，即点N 的坐标为(63, 0, 1)，从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，63.(2) 设N 到平面PAC 的距离为d ，则d ||NE＝1233121|)0,21,63(||)0,21,63()1,0,63(|=⨯=--⋅.例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠ a PD PB 2==，点E 在PD 上，且PE :ED ＝2:1． (1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；(2) 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC解：（1）证明略； （2）易解得 30=θ； （3）解 以A 为坐标原点，直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为)0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A - )31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以=AE )31,32,0(a a ，=AC )0,21,23(a a ， =AP ),,0,0(a =PC ),21,23(a a a - =BP ),21,23(a a a -，设点F 是棱PC 上的点，==λ),21,23(a a a λλλ-，其中10<<λ，则))1(),1(21),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF ．令AE AC BF 21λλ+=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-221131)1(3221)1(2123)1(23λλλλλλλa a a a a a aC解得23,21,2121=-==λλλ，即21=λ时，AE AC BF 2321+-=．亦即，F 是PC 的中点时，AE AC BF ,,共面，又⊄BF 平面AEC ，所以当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4.(1) 求和点G 的坐标； (2) 求GE 与平面ABCD 所成的角；(3) 求点C 到截面AEFG 的距离．解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴)1,0,1(-= 又∵=，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=)2,4,1(=，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则21212||||)2cos(=⋅=-GE DG θπ∴21212arcsin=θ (3)设0n ⊥面AEFG ，0n ＝(x 0，y 0，z 0)∵0n ⊥，0n ⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)∴),43,(430340000000000000z z z n z y z x z y z x -=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+- 取z 0＝4，则0n ＝(4，－3，4) ∵414116||),4,0,0(00=∴=n d 即点C 到截面AEFG 的距离为414116． 变式训练4. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 31=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF的值． 解：(1)以G 点为原点，GC 、、为x 轴、y 轴、yP AGBCDFEz 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。