《大脑的思维体操-高中数学解题思维训练》
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《高中数学解题思维与思想》 一、高中数学解题思维策略
第一讲
数学思维的变通性
一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的， 必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。 根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高 级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径， 它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目 的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现 象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。 例如，求和 1 1 1 1 . + + ++ 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n(n + 1)
1 9 f ( x) = − ( x − 3) 2 + , 然后求极值点的 x 值，联系到 y 2 ≥ 0 ，这一条件，既快又准地 2 2 求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。 思维障碍 大部分学生的作法如下： 3 由 3 x 2 + 2 y 2 = 6 x 得 y 2 = − x 2 + 3 x, 2 3 1 9 ∴ x 2 + y 2 = x 2 − x 2 + 3 x = − ( x − 3) 2 + , 2 2 2 9 ∴ 当 x = 3 时， x 2 + y 2 取最大值，最大值为 2 这种解法由于忽略了 y 2 ≥ 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审 题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注 意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。
2
O
图 1－ 2
x
OA + OB ≥ AB 当且仅当 O 在 AB 上时，等号成立。 因此， a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a − c) 2 + (b − d ) 2 . 思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等， 而此题利用这些方法证明很繁。 学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离 公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此， 平时应多注意数学公式、定理的运用练习。 例2 解 已知 3 x 2 + 2 y 2 = 6 x ，试求 x 2 + y 2 的最大值。 由
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，因此，原式等于 1 − + − + + − 问题很快就 = 1− = − n(n + 1) n n + 1 2 2 3 n n +1 n +1 解决了。 （2）善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、 间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征， 灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。 x + y = 2 例如，解方程组 . xy = −3 这个方程指明两个数的和为 2 ，这两个数的积为 − 3 。由此联想到韦达定理， x 、
y 是一元二次方程 t 2 − 2t − 3 = 0 的两个根，
1
x = −1 x = 3 所以 或 .可见，联想可使问题变得简单。 y = 3 y = −1 （3）善于将问题进行转化 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见， 解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方 法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化 成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题 之后，就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如，已知 + + = , (abc ≠ 0, a + b + c ≠ 0) , a b c a+b+c 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为： (a + b)(b + c)(c + a ) = 0 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一 种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就 是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍， 必须加以克服。 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体 体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。 二、思维训练实例 （1） 观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须 重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征， 采用特殊方法来解题。 例1 已知 a, b, c, d 都是实数，求证 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a − c) 2 + (b − d ) 2 .
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， y 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 证明 不妨设 A(a, b), B(c, d ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图 1－2－1 所示，
则 AB = (a − c) 2 + (b − d ) 2 . OA = a 2 + b 2 , OB = c 2 + d 2 , 在 ∆OAB 中，由三角形三边之间的关系知：
3x 2 + 2 y 2 = 6 x 得
3 y 2 = − x 2 + 3 x. 2 3 y 2 ≥ 0,∴ − x 2 + 3x ≥ 0,∴ 0 ≤ x ≤ 2. 2 又 x2 + y2 = x2 − 3 2 1 9 x + 3 x = − ( x − 3) 2 + , 2 2 2
1 9 ∴ 当 x = 2 时， x 2 + y 2 有最大值，最大值为 − (2 − 3) 2 + = 4. 2 2 思路分析 要求 x 2 + y 2 的最大值，由已知条件很快将 x 2 + y 2 变为一元二次函数
第一讲
数学思维的变通性
一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的， 必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。 根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高 级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径， 它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目 的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现 象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。 例如，求和 1 1 1 1 . + + ++ 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n(n + 1)
1 9 f ( x) = − ( x − 3) 2 + , 然后求极值点的 x 值，联系到 y 2 ≥ 0 ，这一条件，既快又准地 2 2 求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。 思维障碍 大部分学生的作法如下： 3 由 3 x 2 + 2 y 2 = 6 x 得 y 2 = − x 2 + 3 x, 2 3 1 9 ∴ x 2 + y 2 = x 2 − x 2 + 3 x = − ( x − 3) 2 + , 2 2 2 9 ∴ 当 x = 3 时， x 2 + y 2 取最大值，最大值为 2 这种解法由于忽略了 y 2 ≥ 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审 题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注 意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。
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O
图 1－ 2
x
OA + OB ≥ AB 当且仅当 O 在 AB 上时，等号成立。 因此， a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a − c) 2 + (b − d ) 2 . 思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等， 而此题利用这些方法证明很繁。 学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离 公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此， 平时应多注意数学公式、定理的运用练习。 例2 解 已知 3 x 2 + 2 y 2 = 6 x ，试求 x 2 + y 2 的最大值。 由
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，因此，原式等于 1 − + − + + − 问题很快就 = 1− = − n(n + 1) n n + 1 2 2 3 n n +1 n +1 解决了。 （2）善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、 间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征， 灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。 x + y = 2 例如，解方程组 . xy = −3 这个方程指明两个数的和为 2 ，这两个数的积为 − 3 。由此联想到韦达定理， x 、
y 是一元二次方程 t 2 − 2t − 3 = 0 的两个根，
1
x = −1 x = 3 所以 或 .可见，联想可使问题变得简单。 y = 3 y = −1 （3）善于将问题进行转化 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见， 解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方 法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化 成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题 之后，就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如，已知 + + = , (abc ≠ 0, a + b + c ≠ 0) , a b c a+b+c 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为： (a + b)(b + c)(c + a ) = 0 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一 种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就 是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍， 必须加以克服。 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体 体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。 二、思维训练实例 （1） 观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须 重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征， 采用特殊方法来解题。 例1 已知 a, b, c, d 都是实数，求证 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a − c) 2 + (b − d ) 2 .
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， y 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 证明 不妨设 A(a, b), B(c, d ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图 1－2－1 所示，
则 AB = (a − c) 2 + (b − d ) 2 . OA = a 2 + b 2 , OB = c 2 + d 2 , 在 ∆OAB 中，由三角形三边之间的关系知：
3x 2 + 2 y 2 = 6 x 得
3 y 2 = − x 2 + 3 x. 2 3 y 2 ≥ 0,∴ − x 2 + 3x ≥ 0,∴ 0 ≤ x ≤ 2. 2 又 x2 + y2 = x2 − 3 2 1 9 x + 3 x = − ( x − 3) 2 + , 2 2 2
1 9 ∴ 当 x = 2 时， x 2 + y 2 有最大值，最大值为 − (2 − 3) 2 + = 4. 2 2 思路分析 要求 x 2 + y 2 的最大值，由已知条件很快将 x 2 + y 2 变为一元二次函数