流体力学第六章流体动力学积分形式基本方程-精选
流体动力学基本方程
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
流体力学-第六章 旋转流体力学
da A
da Ax
i
da Ay
j
d
a
Az
k
dt dr A
dt dA
dAx
dt
i
dAy
dt
j
dAz
k
dt dt dt
dt
dt
Chen Haishan NIM NUIST
da A da Axi Ay j Azk
dt
dt
展开
dA
dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt
dt
dt
Chen Haishan NIM NUIST
假定流体运动满足： RO 1 或者RO 0（即 Rossby 数很小）；
Ek
R0 Re
0
同时要求： RO L/UT 0 （即要求T很大，1/T 0，即 对应缓慢运动或者准定常流动）。
L R0 UT
V t
(V
•
)V
1 R0
1 p
1 Fr
g
Ek
一致，是衡量旋转效应的一个重要量。
Chen Haishan NIM NUIST
由Rossby数的定义可知： RO 1 ，偏向力的作用大，旋转效应重要； RO 1，偏向力的作用小，可不考虑地球的旋转效应。
另外的角度来考虑：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）偏差大 RO 1，旋转效应重要，采用旋转流体运动方程；
普鲁德曼--泰勒定理：不可压或正压流体，在有 势力作用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应 ，其速度将与垂直坐标无关，流动趋于两维化（ 流动是水平、二维的）。
普鲁德曼--泰勒定理的检验： 泰勒流体柱实验（P221)。
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船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
第六章流体力学10.8
第六章流体力学基础基本概念一、流体的粘滞性流体流动时，由于流体与固体壁面的附着力及流体本身的分子运动和内聚力，使各流体层的速度不相等。
在两个相邻流体层之间的接触面上，将产生一对阻碍两层流体相对运动的等值反向的摩擦力，叫做内摩擦力。
流体的粘滞性：流体流动时产生内摩擦力的性质。
二、理想流体与实际流体粘性流体：具有粘性的流体（实际流体）。
理想流体：忽略了粘滞性的流体。
三、流体流动的基本概念1．稳定流动与非稳定流动(1)稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p仅仅是空间坐标()z,的函数，而不x,y随时间变化而变化。
()zu,=,uyx()z,p,=xyp(2)非稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p不仅是空间坐标()z,的函数，也随x,y时间而不同。
()t z,,=u,yxu()t z,,=pp,yx2．迹线与流线(1)迹线流体质点的运动轨迹。
(2)流线流场：流体流动的空间。
流线：是流场中某一瞬间绘出的一条曲线，在这条曲线上所有各流体质点的流速矢量与该曲线相切。
流线的性质：①稳定流动时，流线形状不随时间而变化；②稳定流动时，同一点的流线始终保持不变，且流线上质点的迹线与流线重合，即流线上的质点沿流线运动；③流线既不会相交，又不能转折，只能是光滑的曲线。
假定某一瞬间有两条流线相交于M点或转折。
M处就该有两个速度矢量，这是不符合流线的定义。
3．流管、微小流速及总流(1)流管在流场中取出一段微小的封闭曲线，过这条曲线上各点引出流线，这些流线族所围成的封闭管状曲面。
(2)微小流束及总流流束：在流管中运动的流体。
微小流束：断面无穷小的流束称为微小流束。
微小流束断面上各点的运动要素相等。
流管内的流体只能在流管内流动，流管外的流体也只能在流管外流动。
伯努利方程一、理想流体的伯努利方程仅在重力作用下作稳定流动的理想流体gu g p Z g u g p Z 2//2//22222111++=++ρρ=常数1Z 和2Z ：过流断面1-1和2-2距基准面0-0的高度，1u 和2u ：断面1-1和2-2的流速，1p 和2p ：断面1-1和2-2的压力，ρ：为流体密度。
积分型流体动力学
流体动力学的积分形式基本方程 推导流体力学基本方程的根据是什么？ 系统和控制体系统：由确定的流体质点所组成的流体团。
系统的特点：1）系统的边界随着流体一起运动；2）系统的边界处没有质量的交换；3）在系统的边界上，受到外界作用在系统上的表面力；4）在系统的边界上可以有能量（热或功）交换。
系统和控制体控制体相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积。
控制体的特点：1）控制面相对于坐标系是固定的；2）在控制面上可以有质量的交换；3）在控制面上受到控制体外物体施加在控制体内物质上的力；4）在控制面上可以有能量（内能、动能、热或功）交换。
Lagrange 型基本方程00()t M d τρτ=∫∫∫()t D M Dd D t D tτρτ=≡∫∫∫一、流体的连续方程——质量守恒对于任何坐标系都成立（不论是惯性坐标系还是非惯性坐标系）系统内总质量：在系统中不存在源或汇的条件下，系统质量不随时间变化。
0()t τρLagrange 型基本方程0000()()()n t t A t D K DV d fd p dA D t D tττρτρτ==+∫∫∫∫∫∫∫∫二、流体的运动方程——动量守恒0()t τρV在惯性坐标系中，系统的动量对于时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力。
系统的动量：00()t K Vd τρτ=∫∫∫A 0(t )Lagrange 型基本方程000000()()())))n t t A t Dr V d r f d r p dA Dt ττρτρτ×=×+×∫∫∫∫∫∫∫∫ （（（三、流体的动量矩方程在惯性坐标系中，系统对某点o 的动量矩对时间的变化率等于外界作用在该系统上所有为了对于同一点o 的力矩之和。
系统对o 点的动量矩：00()()o t M r V d τρτ=×∫∫∫0()t τρVOrA 0(t )Lagrange 型基本方程四、流体的能量方程系统的总能量E 对于时间的变化率等于单位时间内由外界传入系统的热量Q 与外力对系统所作功W 之和。
第六章流体动力学积分形式基本方程
一、静止控制体的动量方程 作用于控制体上的力为
作用于控制面上的力为 单位时间内控制体内动量的增量为 单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
第1页
Fd A pn dA
wd t
w nwdA
A
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
A
动量方程
A
按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第一节
式中Q为流管内的体积流量 （m3/s）。应该指出，对不可压 缩流体，
应该指出，对不可压缩流体， d d 0 t t 所以（6.3）式也适用于不定 常流动。
连续性方程
n
dA
pn A2
n2 w2
w
q
n1
d
A R
第1页
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第六章
流体动力学积分形式基本方程第四节 Nhomakorabea理想流体（
t pn np
能量方程
F U
二、能量方程的简化 对于定常（ 0 ）、绝热（ q qR 0 ）、质量力有势（ ）的流动，（6.8）式简化为
w2 A np wdA U wd A w n e 2 dA 0
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制 体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体 是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称 为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在 许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更 为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体 建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以 给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用 的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式 基本方程。
流体动力学基础工程流体力学
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
流体力学基本方程
∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)∂x∂y Nhomakorabea∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体 质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。 控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不 变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界 情况选定的。
7
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给 出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面 上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
20
江苏大学
Jiangsu University
对于定常流动：控制体内的质量增量 ，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平 行平板，上板以匀速v向下平 移，间隙中的油向左右挤出 ，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速 随位置变化的关系u(x)。
工程流体力学 第六章 孔口、管嘴和有压管流.
2.流量比较
Q 孔口
A 2g
孔口 孔口
孔 H口
孔口 0.6 21
Q n
nA n 2gH n n 0.82
14
管流基本概念
简单管道是指管道直径不变且无分支的管道
复杂管道是指由两根以上管道组成管道系统。复杂管道又可 以分为串联管道、并联管道、分叉管道、沿程泄流管和管网。
短管是指管路中水流的流速水头和局部水头损失都不能忽 略不计的管道。
其中 K AC R
25
三、简单管道水力计算应用举例 1、虹吸管的水力计算
虹吸管是一种压力输水管道，顶部弯曲且其高程 高于上游供水水面。
虹吸管的工作原理图
26
虹吸灌溉
27
真空输水：世界 上最大直径的虹 吸管(右侧直径 1520毫米、左 侧600毫米),虹 吸高度均为八米， 犹如一条巨龙伴 游一条小龙匐卧 在浙江杭州萧山 区黄石垅水库大 坝上，尤为壮观， 已获吉尼斯世界 纪录 。
将产生汽化，破坏水流的连续性。故一般不使虹吸管
中的真空值大于7－8米。虹吸管应按短管计算。
31
例2：图示用直径d = 0.4m的钢筋混凝土虹吸管从河道向灌
溉渠道引水，河道水位为120m，灌溉渠道水位118m，虹
吸管各段长度为l1 = 10m，l2 =5m， l3 =12m，虹吸管进
口安装无底阀的滤网（ζ= 2.5）,管道有两个60o的折角弯管 （ζ=0.55）。求：
0.03327 2.5 20.551.0
0.4
0.383
QcA 2gz
0.3830.7850.42 29.82 0.30m3 s
33
（2）计算虹吸管的最大安装高度 列河道水面和虹吸管下游转弯前过水断面的能量方程
流体力学第6章流体运动微分方程
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程流体动力学基本方程000【本章重点】（1）稳定活动与不稳定活动的概念；（2）连续性方程式的推导及其应用；（3）柏努利方程式的推导及其应用。
【本章难点剖析】（1）流体动量通量的概念动量通量，特别是粘性动量通量是一个比较抽象而又难于理解的概念，这一概念又是纳维-斯托克斯方程推的重要基础，因此，必须讲深讲透。
此概念涉及到通量、动量、粘性力、切应力（粘性应力）、层流、紊流等基本概念和牛顿粘性定律等基础知识。
讲述此概念时，首先可以从同学们所熟悉的物理学中磁通量的概念进手，引出通量（即单位时间通过单位面积传递的量）的概念，再推演出动量通量的概念，即单位时间通过单位面积传递的动量。
然后在温习前面所学的层流与紊流以及紊流的脉动性和时均化等概念的基础上，引出对活动量通量（由流体的宏观运动引起，传递方向与流体运动方向一致）和粘性动量通量（包括层流粘性动量通量和紊流粘性动量通量，前者由层流过程流体的分子运动而引起，后者由紊流过程流体微团的横向脉动引起，它们的传递方向都与流体的宏观活动方向垂直）的概念。
值得指出的是，从量纲考虑，粘性动量通量与应力的量纲一致（kgm-1s-2），故层流粘性动量通量可以用切应力来表示，即可以用牛顿粘性定律来描述；但紊流粘性动量通量比较复杂。
（2）欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导前面的流体静力学基本方程、连续性方程等的推导为欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导打下了良好的微分法推导基础。
在此基础上比较轻易导出欧拉方程。
但纳维-斯托克斯方程的推导既有一定难度，又有一定深度，而且比较繁琐。
"难"，难在三维粘性动量通量的概念；"深"，深在二阶微分的运算和变换等数学基础；"繁"，繁在数学符号多，上下标多。
因此，在讲述推导过程时，需留意上述题目。
【本章主要内容】3.1流体活动的基本概念3.1.1流场的概念及其表示方法流场是指布满运动流体的空间。
流体力学基本方程
流体力学基本方程概述流体力学是研究流体的运动和力学性质的学科。
在复杂的流体运动中，我们需要基本方程来描述和求解物质的运动状态。
本文将介绍流体力学基本方程的概念、应用和求解方法。
基本概念在流体力学中，基本方程是用来描述流体运动和变形的物理和数学关系的方程。
这些方程基于守恒定律和质量、动量和能量守恒的原理。
根据流体的性质和具体情况，我们可以建立不同的基本方程。
质量守恒方程质量守恒方程描述了流体流动过程中质量的保持不变。
它可以用以下形式表示：∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂∂t 表示时间的偏导数，∇⋅表示散度运算。
这个方程表示了单位时间内流经某一体积元的质量变化与该体积元的质量流出量之和为零。
动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动中动量的变化。
它可以用以下形式表示：∂(ρv)∂t+∇⋅(ρv⊗v)=−∇p+∇⋅τ+ρf其中，p是流体的压力，f是外力矢量，τ是应力张量，符号⊗表示张量积。
这个方程表示了单位时间内流体动量的变化与压力、应力和外力的作用之和。
能量守恒方程能量守恒方程描述了流体运动中能量的变化。
根据流体的热力学性质和具体情况，能量守恒方程可以有不同的形式。
最常用的形式是Navier-Stokes方程。
例如在不可压流体情况下，能量守恒方程可以写作：∂(ρE)+∇⋅(ρvE)=−∇⋅q+∇⋅(τ⋅v)+ρf⋅v∂t其中，E是单位质量流体的总能量，q是单位面积的能量通量。
这个方程表示了单位时间内流体能量的变化与能量通量、应力和外力的作用之和。
基本方程的求解对于复杂的流体运动问题，基本方程的求解常常是挑战性的。
我们通常需要结合实际情况和数值方法来求解基本方程。
解析方法对于简单的流动情况，可以使用解析方法求解基本方程。
这些方法通常基于一些简化假设和边界条件，例如定常流动、恒定密度等。
解析方法可以得到精确的解析解，但通常只适用于简单的情况。
数值方法数值方法是对基本方程进行离散化和数值逼近的方法。
流体动力学微分形式的基本方程
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
流体力学的基本公式
1.3.1 基本概念
一．稳定流动与不稳定流动
流体流动时，若任一点处的流速、压力、密度等与流动有关的流动参数都不随时间而变 化，就称这种流动为稳定流动。反之，只要有一个流动参数随时间而变化，就属于不稳定流 动。
别为p+(p/x)dx，p+(p/y)dy和p+(p/z)dz。 对微元体作x方向力的平衡，有：
化简得：
（1-7a）
同理，在y、z方向有：
（1-7b）
（1-7c）
写成矢量形式则为：
(1-8)*
式中FBM为单位质量流体的质量力。式1-7或1-8为流体静力学微分方程式。 若仅考虑重力，在图1-3所示的坐标系中，gx=gy=0，gz= -g，代入式1-7中得：
可见，p只是z的函数，于是：
对连续、均质且不可压缩流体，r=常数，积分上式得： 对于静止流体中任意两点1和2，则有：
（1-9） （1-10）
将式1-10两边同除以rg，得：
（1-11）
式中，p1/rg、p2/rg具有高度单位，称为静压头；相应地，z1、z2称为位头。
式1-9~11是积分形式的静力学方程，适用于重力场中静止的、连续的、均质的不可压缩流
（2）双液柱压差计
双液柱压差计又称微差压差计。由式1-13可见，若所测广 义压力头之差很小，则U形压差计的读数R可能很小，读数的相 对误差就会很大，这时若采用如图1-8所示的双液柱压差计将 会使读数放大几倍或更多。该压差计的特点是在U形管两侧增 设两个小室，使小室的横截面积远大于管横截面积，且在小室 和U形管中分别装入两种互不相溶而密度又相差不大的指示 液，设其密度分别为r1、r2，且r1略小于r2。 将双液柱压差计与两测压点相连，在被测压差作用下，两侧指 示液显示出高度差。因为小室截面积足够大，故小室内液面高 度变化可忽略不计。由静力学原理可推知：
积分形式的基本方程(1)流体力学
求： Q2 及各管的平均速度 解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。
血液按不可压缩流体处理
可得
Q Q out in
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1－(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1－(0.07+0.04+0.78)Q
= 0.11Q1= 0.66 L / min
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程(2-2) 各管的平均速度为
V 1π 4d Q 1 1 2π 4 2 6. 52 10 0 6 0 020.4cm /s V 2 π 4 Q d 2 2 2 4 π 0 .1 6 .6 1 2 1 6 0 0 0 0 1 1 .6 cm /s
v2 gz p 常数 (沿流线)
2
ρ
动能 常用形式
重力势能
压强势能
v212gz1p1 v222gz2p2 (沿流线)
B4.3.1 沿流线的伯努利方程(4-4)
伯努利方程的限制条件
条件的放宽
①沿流线
沿流束(B4.3.2)
12 V12g1zp 122 V22g2zp 2
(沿流束)
②定常流
不定常流(B4.3.4) （取α1＝α2＝1）
B4.1 流体系统的随体导数(4-3)
δ lt i0m 1 t[N C(tV t) N C(tV ) ][N 2 3(tt) ][N 4 5(tt)]
①
②
③
① t NCV
对τ 2 、τ 3 , v ·n < 0 (流进) , dτ =－ ( v ·n ) dAdtN d Biblioteka vndAdtAe(c)
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第二节 动量方程
代入上式得到流体对弯管的作用力
FiF xjF yip 1p2co sw 1 21co A sjp2w 1 2A sin
二、运动控制体的动量方程 控制体速度为u，流体在控制体内运动的相对速度为w r ，其绝对速度为
wuwr ，参照静止控制体的动量方程（6.4），可推导出 运动控制体的 动量方程。 流入控制体的动量为
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
AwrnwrdAuAwrndAF dApndA
twrd u tdu td
（c）
由连续性方程可知 u tduAw rndA0，则（c）式变为
A w r n w r d A F d A p n d A t w r d u t d（6.6）
第六章 流体动力学积分形式基本方程
流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制 体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体 是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称 为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在 许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更 为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体 建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以 给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用 的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式 基本方程。
流体力学
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
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dA
q A
n1 d
R
qR
R
F
A1
o
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图6.1 控制体和控制面
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n2 w2
A2
第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
如图6.1所示，令 p n 为流体应力，即外部作用于dA 控制面上单位面积的 力，p为压力，F为外部作用于d 控制体上单位质量流体的质量力。在
重力场中 Fg， g为重力加速度。将动量守恒定律应用于控制体可
如流体是不可压缩的，则（6.2）式可写成
w 1A 1w 2A 2Q
（6.3）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
式中Q为流管内的体积流量 （m3/s）。应该指出，对不可压 缩流体，
应该指出，对不可压缩流体，
tdtd0
所以（6.3）式也适用于不定
常流动。
w1
n pn w
（6.6）式称为运动控制体的动量方程。
例题6.2 求如图6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。 解：首先求火箭发动机排出气体对火箭壳体的作用力。选取燃烧室内的
气体作为控制体，由于火箭不需要空气，所以控制面没有进口。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
火箭发动机喷嘴的截面积为A，燃烧
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
AwnwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
y
取xoy坐标系。
已知 n1 i ，n2ico sjsin，
pn1 n1p1 ，pn2 n2p2，w 1w 1n 1w 1i
w 2 w 2 n 2 w 2 ico jss i ，n
12 ，A1 A2， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA，这里Ab为弯管壁面
w1 o
p2
w2
Fy
Fx x
面积，代入（6.5）式得
图6.2 流体流过等截面弯管
p 1 A 1 i p 2 A 2 i c j s o F i s n w 1 2 A 1 i w 2 2 A 2 i c j s o i s n
又由连续性方程（6.3）可知
w2
w1A1 A2
w1
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
时间内流出控制体的动量。
例题6.1 如图6.2所示，不可压流体定常流过截面积为A的等截面弯管，求 流体作用于弯管上的力F。已知进出口截面流动均匀，忽略质量力，且已
知w1，A，，p1，p2及出口截面方向。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
解：选取流体与弯管壁面的交界
面及进出口截面为控制面，并选
式（6.1）称为积分形式连续性方程。对于定常流动，上式等号右边为
零。若控制体 由流管及其进出口横截面A1，A2构成，且假设进出口
截面上流动参数均匀，即 1 、 2 、w 1 、w 2 均为常数，则（6.1）式变为
1w 1A 12w 2A 2m
（6.2）
式中 m为流管内的质量流量（kg/s）。该式仅适用于定常流动。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
如图6.1所示，令 为控制体体积，A为控制面面积，n为 dA 控制面外
法线单位向量，w和分别为流体速度和密度。将质量守恒定律应用于控
制体 可知，单位时间内流入控制体的质量等于控制体内质量的增加，
其数学表达式为 AwndAtd
（6.1）
第二节 动量方程
按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：
A w n w d A F d A p n d A tw d （6.4）
对于定常流动
t
wd
0，则（6.4）式变为
A w n w d A F d Ap nd A
（6.5）
（6.5）式表示定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位
室内气体的质量为mf ，排出气体的
A w n w d A A w r u n w r d A A w r n w r d A u A w r n d A （a）
单位时间内控制体内动量的增加
twd twrud twrd tud twrd u tdu td
（b）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程