流体力学第六章流体动力学积分形式基本方程-精选
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A w n w d A A w r u n w r d A A w r n w r d A u A w r n d A （a）
单位时间内控制体内动量的增加
twd twrud twrd tud twrd u tdu td
（b）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：
A w n w d A F d A p n d A tw d （6.4）
对于定常流动
t
wd
0，则（6.4）式变为
A w n w d A F d Ap nd A
（6.5）
（6.5）式表示定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位
第二节 动量方程
代入上式得到流体对弯管的作用力
FiF xjF yip 1p2co sw 1 21co A sjp2w 1 2A sin
二、运动控制体的动量方程 控制体速度为u，流体在控制体内运动的相对速度为w r ，其绝对速度为
wuwr ，参照静止控制体的动量方程（6.4），可推导出 运动控制体的 动量方程。 流入控制体的动量为
时间内流出控制体的动量。
例题6.1 如图6.2所示，不可压流体定常流过截面积为A的等截面弯管，求 流体作用于弯管上的力F。已知进出口截面流动均匀，忽略质量力，且已
知w1，A，，p1，p2及出口截面方向。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
解：选取流体与弯管壁面的交界
面及进出口截面为控制面，并选
第六章 流体动力学积分形式基本方程
流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制 体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体 是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称 为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在 许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更 为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体 建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以 给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用 的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式 基本方程。
流体力学
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
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dA
q A
n1 d
R
qR
R
F
A1
o
第3页
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图6.1 控制体和控制面
返回
n2 w2
A2
第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
如图6.1所示，令 p n 为流体应力，即外部作用于dA 控制面上单位面积的 力，p为压力，F为外部作用于d 控制体上单位质量流体的质量力。在
重力场中 Fg， g为重力加速度。将动量守恒定律应用于控制体可
如流体是不可压缩的，则（6.2）式可写成
w 1A 1w 2A 2Q
（6.3）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
Hale Waihona Puke Baidu第一节 连续性方程
式中Q为流管内的体积流量 （m3/s）。应该指出，对不可压 缩流体，
应该指出，对不可压缩流体，
tdtd0
所以（6.3）式也适用于不定
常流动。
w1
n pn w
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
AwnwdA
第1页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
式（6.1）称为积分形式连续性方程。对于定常流动，上式等号右边为
零。若控制体 由流管及其进出口横截面A1，A2构成，且假设进出口
截面上流动参数均匀，即 1 、 2 、w 1 、w 2 均为常数，则（6.1）式变为
1w 1A 12w 2A 2m
（6.2）
式中 m为流管内的质量流量（kg/s）。该式仅适用于定常流动。
y
取xoy坐标系。
已知 n1 i ，n2ico sjsin，
pn1 n1p1 ，pn2 n2p2，w 1w 1n 1w 1i
w 2 w 2 n 2 w 2 ico jss i ，n
12 ，A1 A2， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA，这里Ab为弯管壁面
w1 o
p2
w2
Fy
Fx x
面积，代入（6.5）式得
图6.2 流体流过等截面弯管
p 1 A 1 i p 2 A 2 i c j s o F i s n w 1 2 A 1 i w 2 2 A 2 i c j s o i s n
又由连续性方程（6.3）可知
w2
w1A1 A2
w1
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
室内气体的质量为mf ，排出气体的
（6.6）式称为运动控制体的动量方程。
例题6.2 求如图6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。 解：首先求火箭发动机排出气体对火箭壳体的作用力。选取燃烧室内的
气体作为控制体，由于火箭不需要空气，所以控制面没有进口。
第5页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
火箭发动机喷嘴的截面积为A，燃烧
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
AwrnwrdAuAwrndAF dApndA
twrd u tdu td
（c）
由连续性方程可知 u tduAw rndA0，则（c）式变为
A w r n w r d A F d A p n d A t w r d u t d（6.6）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
如图6.1所示，令 为控制体体积，A为控制面面积，n为 dA 控制面外
法线单位向量，w和分别为流体速度和密度。将质量守恒定律应用于控
制体 可知，单位时间内流入控制体的质量等于控制体内质量的增加，
其数学表达式为 AwndAtd
（6.1）
单位时间内控制体内动量的增加
twd twrud twrd tud twrd u tdu td
（b）
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第二节 动量方程
按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：
A w n w d A F d A p n d A tw d （6.4）
对于定常流动
t
wd
0，则（6.4）式变为
A w n w d A F d Ap nd A
（6.5）
（6.5）式表示定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位
第二节 动量方程
代入上式得到流体对弯管的作用力
FiF xjF yip 1p2co sw 1 21co A sjp2w 1 2A sin
二、运动控制体的动量方程 控制体速度为u，流体在控制体内运动的相对速度为w r ，其绝对速度为
wuwr ，参照静止控制体的动量方程（6.4），可推导出 运动控制体的 动量方程。 流入控制体的动量为
时间内流出控制体的动量。
例题6.1 如图6.2所示，不可压流体定常流过截面积为A的等截面弯管，求 流体作用于弯管上的力F。已知进出口截面流动均匀，忽略质量力，且已
知w1，A，，p1，p2及出口截面方向。
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第二节 动量方程
解：选取流体与弯管壁面的交界
面及进出口截面为控制面，并选
第六章 流体动力学积分形式基本方程
流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制 体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体 是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称 为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在 许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更 为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体 建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以 给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用 的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式 基本方程。
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第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
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dA
q A
n1 d
R
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F
A1
o
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图6.1 控制体和控制面
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n2 w2
A2
第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
如图6.1所示，令 p n 为流体应力，即外部作用于dA 控制面上单位面积的 力，p为压力，F为外部作用于d 控制体上单位质量流体的质量力。在
重力场中 Fg， g为重力加速度。将动量守恒定律应用于控制体可
如流体是不可压缩的，则（6.2）式可写成
w 1A 1w 2A 2Q
（6.3）
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Hale Waihona Puke Baidu第一节 连续性方程
式中Q为流管内的体积流量 （m3/s）。应该指出，对不可压 缩流体，
应该指出，对不可压缩流体，
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所以（6.3）式也适用于不定
常流动。
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知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
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一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
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单位时间内控制体内动量的增量为
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式（6.1）称为积分形式连续性方程。对于定常流动，上式等号右边为
零。若控制体 由流管及其进出口横截面A1，A2构成，且假设进出口
截面上流动参数均匀，即 1 、 2 、w 1 、w 2 均为常数，则（6.1）式变为
1w 1A 12w 2A 2m
（6.2）
式中 m为流管内的质量流量（kg/s）。该式仅适用于定常流动。
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取xoy坐标系。
已知 n1 i ，n2ico sjsin，
pn1 n1p1 ，pn2 n2p2，w 1w 1n 1w 1i
w 2 w 2 n 2 w 2 ico jss i ，n
12 ，A1 A2， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA，这里Ab为弯管壁面
w1 o
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Fx x
面积，代入（6.5）式得
图6.2 流体流过等截面弯管
p 1 A 1 i p 2 A 2 i c j s o F i s n w 1 2 A 1 i w 2 2 A 2 i c j s o i s n
又由连续性方程（6.3）可知
w2
w1A1 A2
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室内气体的质量为mf ，排出气体的
（6.6）式称为运动控制体的动量方程。
例题6.2 求如图6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。 解：首先求火箭发动机排出气体对火箭壳体的作用力。选取燃烧室内的
气体作为控制体，由于火箭不需要空气，所以控制面没有进口。
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第二节 动量方程
火箭发动机喷嘴的截面积为A，燃烧
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
AwrnwrdAuAwrndAF dApndA
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（c）
由连续性方程可知 u tduAw rndA0，则（c）式变为
A w r n w r d A F d A p n d A t w r d u t d（6.6）
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第一节 连续性方程
如图6.1所示，令 为控制体体积，A为控制面面积，n为 dA 控制面外
法线单位向量，w和分别为流体速度和密度。将质量守恒定律应用于控
制体 可知，单位时间内流入控制体的质量等于控制体内质量的增加，
其数学表达式为 AwndAtd
（6.1）