自考线性代数02198 复习要点、公式

1、｜A｜=｜A T｜、｜A*｜=｜A｜n-1、A=(A-1)-1、A=(A*)*、｜kA-1｜=k n｜A-1｜、｜A-1｜=1/｜A｜

2、n（n≥2）阶行列式的第i行元素与第k行元素的代数余子式乘积之和为0

3、n元线性方程组的系数行列式｜A｜≠0，则方程组有惟一解，且x

i =｜B

j

｜/｜A｜,当所有常数项都

为0时，则方程组有惟一零解；反之，若n元齐次线性方程组有非零解，则系数行列式｜A｜＝0

4、一般情况下AB≠BA、（AB）k≠A k B k

5、A T A=0 => A=0

6、A T A=E <=> A是一个正交矩阵、A可逆，｜A｜=±1，且A T=A-1

7、（AB）T＝B T A T、（AB）-1＝B-1A-1、（AB）*＝B*A*、A*A=AA*=｜A｜E

8、若AB =E，则A、B互为可逆矩阵(AB=BA=E)、AA-1= A-1A=E、｜A｜≠0、｜B｜≠0

9、若｜B｜≠0，则r(AB)= r(A)

10、若P、Q为m、n阶可逆矩阵，则对任意m×n阶矩阵A有r(PA)=r(AQ)= r(PAQ)= r(A)

若n阶方阵A，当r(A)=n时，r(A*)=n；当r(A)=n-1时，r(A*)=1；当r(A)﹤n-1时，r(A*)=0

11、A可逆 <=> r(A)=n

12、A不可逆（或｜A｜＝0） <=> r(A)＜n

13、R n中的向量组α

1,α

2

,…,α

s

线性相关 <=> 存在不全为0的常数k

1

,k

2

,…,k

s

,使得

k

1α

1

+k

2

α

2

+…+k

s

α

s

=0 成立

14、如果s=n，α

1,α

2

,…,α

s

线性相关（线性无关） <=>｜A｜＝0（｜A｜≠0）

α1,α2,…,αs线性相关（线性无关） <=> s元齐次线性方程组有非零解（仅有零解）α1,α2,…,αs线性相关（线性无关） <=> r(A)＜s(r(A)=s)

如果s＞n，(向量个数大于微量的维数)，则α

1,α

2

,…,α

s

线性相关

15、部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关

16、本身相关，则缩短也相关；本身无关，则加长也无关

17、设α

1,α

2

,…,α

s

可以由β

1

，β

2

，…,β

t

线性表出，则r(α)≤r(β),且有：

若α

1,α

2

,…,α

s

线性相关，则s＞t；若α

1

,α

2

,…,α

s

线性无关，则s≤t

18、r(AB) ≤min(r(A),r(B))。

19、若α

1,α

2

,…,α

s

为一个正交向量组，则α

1

,α

2

,…,α

s

线性无关

20、若ζ

1,ζ

2

,…,ζ

t

均为齐次线性方程组Ax=0的解，则k

1

ζ

1

+k

2

ζ

2

+…+k

t

ζ

t

也是Ax=0的解

21、当r（A）= r（A,β）=n时，方程组Ax=0有惟一解；

当r（A）= r（A,β）＜n时，方程组有无穷多解；

当r（A）≠ r（A,β）时，方程组无解

22、λ

1+λ

2

+…+λ

n

=a

11

+a

22

+…+a

nn

=tr(A);

λ1λ2…λn=｜A｜; tr(AB)=tr(BA)

若λ是A的特征值,且A可逆,则｜A｜/λ是A*的特征值。

若Aα=λα，则A kα=λkα（若A可逆，则｜A｜≠0，λ≠0）

23、若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B,则A与B相似，相似矩阵有相同的特征值、相同的秩、相同的

行列式、相同的迹（矩阵主对角线上的所有元素之和）。A n=PΛn P-1

24、实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定是正交的

25、设A、B是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵C使得B=C T AC，则称矩阵A与B是合同的

26、实对称矩阵A正定 <=> 必存在可逆矩阵C使得A=C T C、A的特征值都大于零、A合同于单位矩阵。

实对称矩阵A正定 => A-1、A*也正定、｜A｜＞0