数学建模预测模型
数学建模讲座--预测模型
年份
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （ t） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
总额 （ yt ） 604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
k
(一) 直线趋势外推法
适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线 上升或下降的情形。 该预测变量的长期趋势可以用关于时间 的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸 （外推），估计其预测值。 两种处理方式：拟合直线方程与加权拟合直线 方程
例 3.1 某家用电器厂 1993～2003 年利润额数据资料如表 3.1 所示。试预测 2004、2005年该企业的利润。
二 、趋势外推法经常选用的数学模型
根据预测变量变动趋势是否为线性，又分为线性趋势外推法 和曲线趋势外推法。
ˆt b0 b （一）线性模型y 1t （二）曲线模型 1.多项式曲线模型 2.简单指数曲线模型 3.修正指数曲线模型 4.生长曲线模型 （龚珀资曲线模型）
2
ˆt b0 b1t b2t bk t y 多项式模型一般形式：
预测模型简介
数学模型按功能大致分三种： 评价、优化、预测 最近几年，在大学生数学建模竞赛常常出 现预测模型或是与预测有关的题目：
1.疾病的传播； 2.雨量的预报； 3.人口的预测。
统计预测的概念和作用
（一）统计预测的概念
概念: 预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。 统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计 方法对事物的未来发展进行定量推测.
数学建模地震预测模型
数学建模竞赛论文题目：地震预测数学建模：志鹏学号：12291233 学院：电气工程学院：鑫学号：10291033 学院：电气工程学院：书铭学号：12291232 学院：电气工程学院目录摘要 (3)一、问题重述 (4)二、问题的分析 (4)三、建模过程 (5)问题1：地震时间预测 (5)1、问题假设 (5)2、参数定义 (6)3、求解 (6)问题2：地震地点预测 (7)1、问题假设：72、参数定义83、求解过程：8四、模型的评价与改进 (12)参考文献 (13)摘要大地振动是地震最直观、最普遍的表现。
在海底或滨海地区发生的强烈地震，能引起巨大的波浪，称为海啸。
在大陆地区发生的强烈地震，会引发滑坡、崩塌、地裂缝等次生灾害。
对人们的生产生活成巨大影响，严重威胁人们的生命和财产安全，所以，对地震的预测是十分必要的。
本文根据从1900年以来中国发生的八级以上地震的时间和地点分析，利用合理的数学建模方法，对下一次中国可能发生的八级以上地震的和时间和地点进行合理的预测。
建模方法分为对于时间的预测和地点的预测两个方面。
问题1：对于时间的预测采用的方法为指数平滑法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测。
其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。
问题2：对于地点的预测根据长久的数据表明，八级以上地震主要发生在东经70°——110°，北纬20°——50°这个围，据此将整个地震带划分为100个区域，按顺序进行编号。
建立时间与地震区域编号的数学模型，利用线性回归的方法对下次地震地点预测。
关键词：地震，预测，数学建模，指数平滑法，线性回归一、问题重述地震预报问题，大地震的破坏性是众所周知的，为了减少大地震带来的灾难，人们提出了各种预报地震的方法，以求减少大地震产生的破坏。
本赛题请大家用数学建模的方式预报下一次大地震发生的时间和地点。
数学建模预测类模型
数学建模预测类模型
数学建模预测类模型是一种采用数学模型的预测技术，可以通过对现有的数据进行建模、分析和推断，来预测未来的潜在发展情况。
这种技术的主要应用领域有金融、经济、市场预测、风险评估、贸易分析和营销策略等。
数学建模预测类模型的基本思想是利用现有的数据建立一个模型，来表示一种潜在的发展情况，以便预测未来发展趋势。
这种技术比较灵活，可用于很多不同的问题。
首先，我们需要确定所要求的模型建模形式。
有些模型可以采用统计方法，例如回归分析、相关分析等，有些模型可以采用数学优化方法，如对偶理论、回归分析、支配集理论等，还有些模型可以采用模糊逻辑、分类规则、神经网络等，具体选择哪种形式要根据实际情况而定。
其次，建立数学建模预测类模型是需要考虑的一个重要因素是数据的质量。
通常来说，模型的准确性取决于所使用的数据是否足够准确和完整。
因此，在建立模型之前，必须首先确定数据的收集与准备方式，确保数据的准确性和完整性。
最后，模型建立完毕后，还需要进行模型检验，以评估模型的预测准确性和可靠性。
一般来说，可以采取两种方法来进行模型检验：使用已有数据进行模型训练和验证，或使用未来的数据来测试模型的准确性。
如果模型具有较高的准确性，则可以放心使用该模型进行未来的预测。
综上所述，数学建模预测类模型是一种采用数学模型分析已有数据，预测未来发展趋势的技术。
为了有效地使用现有数据建立准确的数学模型，在建立模型之前，需要确定模型的建模形式，同时保证数据的准确性和完整性；建立完毕模型后，还要进行模型检验，以评估模型的准确性和可靠性。
希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解数学建模预测类模型，并熟练地应用它们。
数学建模中的预测方法：时间序列分析模型
自相关函数
k 满足 ( B) k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
3）ARMA（ p, q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
（2）模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主 要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则 X t 是MA（ q ）序列
注：实参数 1 ,2 ,
,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq 则模型【3】可简写为
X t ( B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
2
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
用AIC准则定阶是指在
得 AIC (S )
p, q
最小的点
ˆ,q ˆ) (p
作为
( p, q)
的估计。
2p N 2( p q ) 2 ( p , q ) ˆ ARMA 模型 ： AIC ln N
AR（ p ）模型 ：
ˆ2 AIC ln
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；
（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；
（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测 应用案例
k 在
2） kk 的截尾性判断 作如下假设检验：M N
H0 : pk , pk 0, k 1, , M H1 : 存在某个 k ，使kk
数学建模——预测模型简介
数学建模——预测模型简介在数学建模中，常常会涉及⼀些预测类问题。
预测⽅法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到现在的灰⾊预测法、专家系统法和模糊数学法、甚⾄刚刚兴起的神经元⽹络法、优选组合法和⼩波分析法等200余种算法。
下⾯将简要介绍⼏类预测⽅法：微分⽅程模型、灰⾊预测模型、差分⽅程预测、马尔可夫预测、插值与拟合、神经元⽹络。
⼀、下⾯是这⼏种类型的使⽤场景对⽐：模型⽅法适⽤场景优点缺点微分⽅程模型因果预测模型，⼤多为物理、⼏何⽅⾯的典型问题，其基本规律随着时间的增长呈指数增长，根据变量个数确定微分⽅程模型。
适⽤于短、中、长期的预测，既能反映内部规律以及事物的内在关系，也嫩能够分析两个因素之间的相关关系，精度⾼便与改进。
由于反映的内部规律，⽅程建⽴与局部规律的独⽴性为假定基础，长期预测的偏差性较⼤。
灰⾊预测模型该模型不是使⽤原始数据，⽽是通过求累加、累减、均值中的两种或者全部⽅法⽣成的序列进⾏建模的⽅法。
不需要⼤量数据，⼀般四个数据即可，能够解决历史数据少、序列完整性及可靠性低的问题。
只适⽤于指数增长的中短期预测。
差分⽅程预测常根据统计数据选⽤最⼩⼆乘法拟合出差分⽅程的系数，其稳定性依赖于代数⽅程的求根。
差分⽅程代替微分⽅程描述，在⽅程中避免了导函数，可以⽤迭代的⽅式求解。
精度较低（⽤割线代替切线。
）马尔可夫预测某⼀系统在已知情况下，系统未来时刻的情况只与现在时刻有关，与历史数据⽆关的情况。
对过程的状态预测效果良好，可考虑⽤于⽣产现场危险状态的预测。
不适宜于中长期预测。
插值与拟合适⽤于物体轨迹图像的模型。
例如，导弹的运动轨迹测量的预测分析。
分为曲线拟合和曲⾯拟合，通过找到⼀个函数使得拟合原来的曲线，这个拟合程度可以⽤⼀个指标来进⾏判断。
神经元⽹络在控制与优化、预测与管理、模式识别与图像处理、通信等⽅⾯有⼗分⼴泛的应⽤。
多层前向BP⽹络适⽤于求解内部机制复杂的问题，有⼀定的推⼴、概括能⼒。
数学建模之预测模型总结
数学建模之预测模型总结数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的过程，它可以帮助我们理解和预测各种现实世界中的现象。
在数学建模中，预测模型是一个非常重要的部分，它可以帮助我们预测未来的趋势和结果，为决策提供重要的参考依据。
本文将从数学建模的角度出发，总结预测模型的基本原理和常见方法。
预测模型的基本原理。
预测模型的基本原理是通过已知的数据来建立一个数学模型，然后利用这个模型来预测未来的结果。
在建立模型的过程中，我们需要首先确定预测的目标，然后收集相关的数据，进行数据分析和处理，最后选择合适的数学方法建立模型。
预测模型的建立过程需要考虑到多种因素，如数据的可靠性、模型的可解释性和预测的准确性等。
常见的预测模型方法。
在数学建模中，有许多常见的预测模型方法，其中最常见的包括线性回归模型、时间序列分析、神经网络模型和机器学习模型等。
下面将对这些方法进行简要介绍。
线性回归模型是一种基本的预测模型方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法来估计模型参数。
线性回归模型简单易懂，但对数据的要求较高，需要满足一些前提条件才能得到可靠的结果。
时间序列分析是一种专门用于处理时间序列数据的预测模型方法，它包括自回归模型、移动平均模型和ARIMA模型等。
时间序列分析适用于具有一定规律性和周期性的数据，可以很好地捕捉数据的趋势和季节性变化。
神经网络模型是一种基于人工神经网络的预测模型方法，它通过模拟人脑神经元之间的连接来实现对复杂非线性关系的建模。
神经网络模型适用于大规模数据和复杂问题，但需要大量的数据和计算资源来训练模型。
机器学习模型是一种基于数据驱动的预测模型方法，它包括决策树、随机森林、支持向量机和深度学习等。
机器学习模型适用于大规模数据和复杂问题，可以自动学习数据的特征和规律，但对数据的质量和标注要求较高。
预测模型的应用领域。
预测模型在各个领域都有着广泛的应用，如经济学、金融学、管理学、环境科学、医学和工程等。
数学建模的预测模型
11周的大米销售数量。
表1 4
§1 时间序列预测法
•分析： –大米是日常生活必需品，不受季节、周期的影响；
–数据记录的时间单位为周，时间间隔短很少受趋势的长时期 因素的影响。
t 1 t t
F t 1为 第 t+ 1 时 期 的 时 间 序 列 预 测 值 yt Ft 为第t 为第t 时间的时间序列的实际值 时间的时间序列的预测值
（2）
为平滑系数
0
1
求解例1
分析: 为了预测第11周的大米销售量，除了要知道前10周的实际销量 外，还要知道第10周的预测值。而要知道第10周的预测值，必须知道第9
在此用移动平均法预测。
步骤：
1.选定n的取值，取n为3； 2.选取距离第11周最近的3周数据。第8、9、10周的数据分别为54， 63，73； 3.按公式计算，得 第11周销售量预测值为：
54 63 73 3
管 理 运 筹 学
5
6 3.3 3
§1 时间序列预测法
（续例1 ）
4.用同样方法，获得第4—10周各周的预测值。
147.93
158.76 170.78
13
§1 时间序列预测法
三、用时间序列趋势进行预测
假定时间序列趋势为线性。
例2 某种品牌的冰箱最近十年的销售数量,如表5所示：
表5
年（t） 销量（万台）（yt） 年（t） 销量（万台）（yt）
1
2
40.3
44.2
6
7
54.8
64.1
评价模型预测模型优化模型数理统计模型
评价模型预测模型优化模型数理统计模型1.引言1.1 概述概述本文旨在评价模型预测模型优化模型数理统计模型，并探讨这些模型在实际应用中的价值和局限性。
模型在科学研究和实践中扮演着重要的角色，它们被广泛运用于各个领域，包括金融、医学、工程等。
通过对模型的评价、预测、优化和数理统计的研究，我们可以更好地理解和预测系统的行为，提高系统的性能和效率。
在本文中，我们将分别介绍评价模型、预测模型、优化模型和数理统计模型的概念、方法和应用。
评价模型主要关注模型的准确性、鲁棒性和可解释性，通过评估模型的性能，可以判断模型在实际应用中的可行性和可靠性。
预测模型则旨在预测未来的趋势和结果，它可以通过历史数据和统计方法来建立，并对未来的情况进行预测和分析。
优化模型则致力于寻找最优解或最优策略，通过优化模型，我们可以在给定的约束条件下达到最佳的效果。
数理统计模型是一种基于数学和统计学原理的理论模型，它能够以概率和统计的方式分析和描述数据的规律和特征。
在本文的结论部分，我们将对评价模型预测模型优化模型数理统计模型进行总结和回顾。
通过对这些模型的研究，我们可以看到它们在实际应用中的重要性和优势。
同时，我们也需要认识到这些模型存在的局限性和挑战，例如数据的质量问题、模型假设的合理性等。
在未来的研究中，我们需要继续优化和改进这些模型，以更好地应对实际问题和需求。
总之，本文将对评价模型预测模型优化模型数理统计模型进行深入研究和探讨，并总结它们在实际应用中的价值和局限性。
通过对这些模型的理解和应用，我们可以推动科学研究和实践的发展，并提高系统的性能和效率。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。
具体结构如下：引言部分首先对文章的主题进行了概述，介绍了评价模型、预测模型、优化模型和数理统计模型这四个主要内容，并指出了本文的目的。
正文部分主要分为四个部分，分别是评价模型、预测模型、优化模型和数理统计模型。
数学建模之灰色预测模型
简介
特点:模型使用的不就是原始数据列,而就是生成的数据列。
优点:不需要很多数据,一般只用4个数据就能解决历史数据少,序列的完整性与可靠性低的问题。
缺点:只适用于中短期的预测与指数增长的预测。
1
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程,且只含有一个变量的灰色模型。
1、1模型的应用
①销售额预测
②交通事故次数的预测
3
波形预测,就是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时,可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化,以便进行决策。从本质上来瞧,波形预测就是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。
3、1模型的应用
①区域降水量预测(下载文档)
②运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档)
光滑比为
若序列满足
则序列为准光滑序列。
否则,选取常数c对序列 做如下平移变换
序列 的级比
②对原始数据 作一次累加得
建立模型:
(1)
③构造数据矩阵B及数据向量Y
其中:
④由
求得估计值 = =
⑤由微分方程(1)得生成序列预测值为
则模型还原值为
⑥精度检验与预测
残差
相对误差
相对误差精度等级表
级比偏差
若 <0、2则可认为达到一般要求;若 <0、1,则可认为达到较高要求。
③某地区火灾发生次数的预测
④灾变与异常值预测,如对旱灾,洪灾广州市人口预测与分析(下载的文档)
⑥网络舆情危机预警(下载的文档)
1、2步骤
①级比检验与判断
由原始数据列 计算得序列的级比为
若序列的级比 ∈ ,则可用 作令人满意的GM(1,1)建模。
数学建模预测类模型
数学建模预测类模型近些年来，紧随科技的发展，许多科学上的技术前进了一大步。
尤其是建立数学模型，它的作用是帮助研究人员更好地描述客观实际中的现象，探究其机理，找出其发展规律，从而分析和预测未来的情况。
数学建模预测模型就是这样的一种模型。
数学建模预测模型通过建立数学模型，以定量的方式表达出待预测的系统，从而探究其结构，提出待求问题，推断出相应结果，从而根据不断变化的实际情况做出准确的预测。
它在实践中具有广泛的应用，比如，在气象研究中，它用于预测空气污染、流域水资源变化、决策决策过程等。
另外，数学建模预测模型还在经济，社会和环境等领域有着其重要作用。
数学建模预测模型的建立包括三个主要步骤：首先，要确定模型结构，即在模型里平衡哪些变量，它们又如何相互影响；其次，对模型进行解析，以确定数据的参数分配；最后，验证模型的可靠性，通过实际情况进行模拟，以确保预测结果的准确性。
在建立数学建模预测模型时，要求有序而系统地阐述，确保模型的合理性，以便从中抽取有效信息。
此外，要求设计者对各种概念、原理和方法有系统的了解，以及辨别、汇集、分析、评价有关系统的数据，这样才能保证模型的准确性和有效性。
数学建模预测模型的应用，有助于我们更好地运用它，满足特定的研究目的。
它有助于我们全面掌握和分析各种复杂的实际现象，正确判断发展趋势，知晓影响因素，从而有效地掌控和推动实践发展，造福社会。
数学建模预测模型具有特殊的优势，它除了能够作为一个预测工具外，还能够有效地表达和解释复杂实际现象，帮助我们分析和掌握客观实际发展规律，从而创造出新的研究方法和理论，这也是它影响着科学研究和实践发展的原因之一。
总之，数学建模预测模型的建立和应用具有重要的意义，是一种能够有效揭示实际现象规律，分析未来发展趋势的重要工具。
它不仅能够在实践中作为一个科学的工具，帮助我们有效的解决问题，也可以作为一个综合复杂实际现象的理论工具，发现新的规律，给我们带来新的研究视角。
数学建模之预测模型
第六章 预测模型（Forecast Models ）本讲主要内容1. 预测和预测模型2. 时间序列预测模型3. 灰色预测模型4. 数学建模案例：SARS 疫情对某些经济指标影响问题6.1预测和预测模型6.1.1 什么是预测预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学技术高度发达的当今才产生的。
“预测”是来自古希腊的术语。
我国也有两句古语：“凡事预则立，不预则废”， “人无远虑，必有近忧” 。
预测的目的在于认识自然和社会发展规律，以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，使其为人类和社会进步服务。
因而预测是决策的重要的前期工作。
决策是指导未来的，未来既是决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。
预测和决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。
20世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的。
而且借助可靠的数据和科学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。
6.1.2 预测的方法和内容为保证预测结果的精确度，预测之前的主要工作是数据的准备，数据是预测工作的前提和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结，从中找出规律，便可科学地推断未来。
1.数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。
数学建模-灰色预测模型(讲解
列 x1 x1 1, x1 2, , x1 n 称为数列 x0的
1次累加生成数列。类似有
k
xr k xr1 i
k 1, 2, , n, r 1
i 1
称之为 x0的r次累加生成，记
常用的方法有：
累加生成 累减生成 均值生成
1）累加生成
把数列各时刻数据依次累加的过程称为累加生 成过程，记为AGO，有累加生成过程所得到的新 数列称为累加生成数列。
设原始数列为 x0 x0 1, x0 2, , x0 n ，令
k
x1 k x0 i k 1, 2, , n i 1
z0 k x0 k 1 x0 k 1
为有数列x0的邻值在生成系数（权） 下的邻值生成数
特别地，当生成系数 0.5 时则称
z0 k 0.5x0 k 0.5x0 k 1
为邻均值生成数，即等权邻值生成数
注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我 们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常 微分方程。
7.2 灰色系统的模型
4.GM(1,1)的建模步骤 综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
销售额预测
7.3 销售额预测
随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是 增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋 势. 因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。
3）均值生成
设原始数列
x0 x0 1, x0 2, , x0 k 1, x0 k x0 n
则称 x0 k 1与 x0 k 为数列 x0 的邻值，x0 k 1
为后邻值，x0 k 为前邻值。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模：建立统计模型进行预测
费用统计表
1个月工资 2个月工资 3个月工资
全职工资
/人
/人
/人
2 000
4 800
7 500
15 840
7
3
13
10
14 000 14 400 97 500 158 400
313 175
培训费用
875 33 28 875
从计算结果可以看出，总费用会比全部雇用临时工少350 RMB，因为培训费用虽然 可以减少 8 750 RMB，但是工资却增加 8 400 RMB，所以在培训费用较高的情况下， 多雇用全职员工可减少总费用；在培训费用较低的情况下，就尽量少雇用全职员 工．例如：当培训费用减少至700 RMB时，若雇用10名全职工，总费用将增加 5 000 RMB.
雇用一个月人数为7人，雇用二个月的人数为3人，雇用三个月人数为33人．
当培训降低至700 RMB/人时运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份 雇佣一个月人数 雇佣二个月人数 雇佣三个月人数 总雇佣人数
1月份
10
0
2月份
23
0
3月份
19
0
4月份
26
0
5月份
20
0
6月份
14
0
合计
112
0
0
10
0
23
5
19
14
15
5月份
0
0
0
0
6月份
0
0
0
0
合计
7
3
33
43
项目
费用 人数 合计 总费用
费用统计表
2个月工资/
1个月工资/人
数学建模-灰色预测模型(讲解
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
一、灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统； 称信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是 否具有确定的关系。
1灰色系统的定义和特点
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法.
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分 析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较 大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领 域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的 有效工具.
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§4 名词解释与符号说明
一、名词解释 1．土壤背2．土壤重金属污染：由于人类活动将重金属带入到土壤中，致使土壤中重金属含 量明显高于背景含量，并可能造成现存或潜在的土壤质量退化、生态与环境恶化的现象
[2]。
3．污染源：造成环境污染的污染物发生源，通常指向环境排放有害物质或对环境 产生有害影响的场所、设备、装置或人体。 4．地质环境：自然环境的一种，指由岩石圈、水圈和大气圈组成的环境系统。 二、符号说明 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 符号 符号说明 Pij 第 i 区域土壤中第 j 种元素的污染指数（ i = 1, L 5 ， j = 1,2 L8 ）
Pi C ij S ij
第 i 区域综合污染指数（ i = 1, L 5 ） 第 i 区域土壤中第 j 种重金属元素的平均实测浓度 （ i = 1, L 5 ，j = 1,2 L8 ） 第 i 区域土壤中第 j 种重金属元素的平均背景值（ i = 1, L 5 ， j = 1,2 L8 ） 参与评价的重金属种类总数 综合污染指数值 重金属浓度的特征向量矩阵 分别代表母质、废弃物、废水和沉降因子（ i = 1,L 4 ） 不同年份的地质环境综合评价值（ i = 1, 2,L , 30 ） 地质环境评价指标( i = 1, 2,..., 7 ) 非负约束因子的矩阵迭代运算终止的判定条件参数 非负因子载荷矩阵 第 i 种评价因子的相关性比值( i = 1, 2,...,8 ) 修正内梅罗指数法的第 i 个指标权重值( i = 1, 2,...,8 )
§2 问题的分析
城市表层土壤重金属污染状况涉及多方面问题，比如如何确定污染源、污染原因以 及评价城区污染程度。为了解决此类问题，更好研究城市地质环境的演变模式，我们分
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析题目及附录中所给的相关信息，从不同角度建立多个模型分别加以讨论。 一、对问题一的分析 问题一涉及到两个小问题，首先要给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布， 以直观了解不同区域重金属的污染程度。 通过附表数据， 利用 MATLAB 画出各种重金属 污染物在五个不同区域环境的分布图。对该城区土壤 319 个采样点的 8 种重金属浓度实 测均值与背景均值（见图 1）进行比较，可以发现 8 种重金属浓度平均值都高于背景值 上限，说明该城区存在一定程度的污染。其次要定量解决该城区内不同区域重金属的污 染程度问题，需建立一个指标进行综合评价。采用单因子污染指数法和内梅罗综合污染 指数法，构建城市土壤污染的评价指标体系，利用其计算式得到对应的指数值，定量评 价不同区域土壤重金属污染的程度。
§3 模型的假设
1．由于该城区海拔变化较小，在建模过程中不考虑海拔对重金属浓度含量的影响； 2．在因子分析中，假设公共因子彼此不相关且具有单位方差；
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3. 假设通过 MATLAB 运用插值法所得数据能较好反映各种污染物的实际分布； 4．假设地质环境综合评价模型中各因素所需数据均能合理的渠道获取； 5．我们在确定污染源位置时，假设污染物由污染源向四周连续扩散； 6．在研究地质环境演变模式时，假设所考虑地区地势没有较大的变化。
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§1 问题的提出
一、背景知识 1．概述 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响 日显突出，导致城市土壤污染日益严重。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应 用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境 的演变模式，日益成为人们关注的焦点。因此，对城市土壤污染的研究分析工作显得尤 为重要。 2．现状与对策 城市土壤作为城市环境中重金属的主要蓄积库，很大程度上反映了城市环境受重金 属污染状况。 土壤重金属污染主要来源于人为污染源的输入， 主要是工业生产活动中“三 废”物质的排放、交通运输过程中产生的废物、居民生活中丢弃的废弃物质等。考虑到 不同的区域环境受人类活动影响的程度不同，将城区按功能划分为生活区、工业区、山 区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为 1 类区、2 类区、……、5 类区。污染源在 城市区域分布的差异性导致了不同功能区土壤中重金属的含量有所不同。土壤重金属含 量影响植物、动物的基本元素的组成 ，直接影响人类和其它生物的健康。 我们针对某城市城区土壤重金属污染状况，选取 319 个土壤采样点作为样本，将所 考察的城区划分为间距 1 公里左右的网格子区域，按照每平方公里 1 个采样点对表层土 （0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用 GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试 分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照 2 公里的间距 在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 利用这些数据开展该城市环境质量评价，研究该城市地质环境的演变模式，可为城市生 态环境调控及其可持续发展提供基础科学决策依据。 二、相关试验数据 针对某城市城区土壤重金属污染状况，得到该城市城区表层土壤的相关信息： 1．表层土壤 319 个采样点位置、海拔高度及其所属功能区的信息数据（见附件的 表 1） ； 2．表层土壤 319 个采样点 8 种主要重金属元素浓度的信息数据（见附件的表 2） ； 3．表层土壤 8 种主要重金属元素背景值的信息数据（见附件的表 3） 。 三、要解决的问题 1．问题一：根据附表的相关数据，给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布， 并分析该城区内不同区域重金属的污染程度； 2．问题二：通过对数据分析，说明重金属污染的主要原因； 3．问题三：分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置； 4．问题四：通过对前三个问题讨论，分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城 市地质环境的演变模式，搜集相关信息，并利用这些信息建立模型解决问题。
n
P* V Xi
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C Ri Wi
§5 模型的建立与求解
从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，分别对四个问题进行详细的分析与求 解。 一、模型Ⅰ 重金属污染综合评价模型 重金属污染综合评价模型 1．模型的分析 问题一涉及到两个小问题， 对于第一小问， 需借助 MATLAB 软件分别画出 8 种重金 [1] 属浓度的空间分布图 。由于该城区的海拔为 0~308m，变化幅度较小。为了研究方便，
Cd 的空间分布
Cr 的空间分布
Cu 的空间分布
Zn 的空间分布
Ni 的空间分布
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Pb 的空间分布 图2
Zn 的空间分布 8 种重金属元素的分布
由图 2 可以看出，8 重金属元素没有一个固定的变化趋势，在各区域均有不同特点 的分布，无法看出各采样点的综合污染水平，整体看污染源呈零星分布。 对于第二小问，评价一个地区污染程度的方法有很多，目前常用方法有模糊贴近度 法、综合评价法、主成分分析法等，但这些方法都存在一定的缺陷性，不能明确的分出 不同区域环境的污染程度。这里我们采用单因子污染指数法和内梅罗综合指数法[2][3]， 其中单因子污染指数法是计算出 8 种重金属污染指数，可以表示出某个区域环境的不同 重金属污染程度，评价较为具体；内梅罗综合指数法是将 8 种重金属污染性进行综合分 析，表示某个区域各种重金属的总体污染程度。为了具体全面的评价，模型要以各种重 金属背景值为评价参照标准，计算出五个功能区域 8 种重金属的单因子污染指数和内梅 罗综合指数。 2．模型的准备 模型的准备 ⑴首先计算出五个区域环境的八种重金属单因子污染指数和内梅罗综合指数。 其计算公式分别为： Pij = Cij / Sij
城市表层土壤重金属污染的 城市表层土壤重金属污染的探析
摘 要
本文针对城市表层土壤重金属污染问题，以表层土壤重金属浓度为切入点，构建 城市土壤污染的评价指标体系，建立重金属污染综合评价模型、污染因子模型、污染源 主成分模型和地质环境综合评价模型。依据附件数据，运用数值分析、多元统计分析和 模糊综合评价等相关知识与算法，得出有关城市环境质量评价的相关结论。最后经过讨 论分析，对模型做出改进和推广。 模型Ⅰ 模型Ⅰ 建立重金属污染综合评价模型。借助 MATLAB 软件，采用四维样条插值法 画出该城区 8 种重金属浓度的空间分布图。同时采用单因子污染指数法，对不同区域的 8 种重金属污染程度进行定量分析。考虑到不同区域重金属污染程度不同，我们定义了 土壤污染综合评价指标，运用内梅罗综合指数法得出生活区、工业区、山区、主干道路 区及公园绿地区的综合评价值为 3.170，13.533，1.253，9.426，2.734，表明山区重金属 污染程度最轻，工业区污染最严重，评价结果合理。 模型Ⅱ 模型Ⅱ 建立重金属污染因子模型。依据因子分析原理，分别用几个公共因子来解 释该城区不同区域土壤 8 种重金属污染指标，借助 SPSS 软件得出不同区域污染因子载 荷值， 并结合不同功能区域污染的具体情况， 进行综合分析得出整个城区重金属污染的 主要原因：工矿企业污染、燃煤污染、交通污染和居民生活污染。 模型Ⅲ 模型Ⅲ 建立污染源主成分模型。利用主成分分析法，得到 8 种重金属污染指标的 四个主成分指标，即母质因子、废物因子、废水因子和沉降因子。借助 MATLAB 软件 编程计算出土壤 319 个采样点不同因子得分， 利用排名结果判断出各属性因子的污染源 位置。其中废物因子污染源在以主干道路区点（3299，6018，4）为中心的一平方公里 、工业区点（1647， 范围内；废水因子污染源在以主干道路区点（18134，10046，41） 2728， 6） 为中心的一平方公里范围内； 沉降因子污染源在以主干道路区点 （18134， 10046， 41）为中心的一平方公里范围内。 模型Ⅳ 模型Ⅳ 建立地质环境综合评价模型。结合前三个模型，针对城市地质环境演变模 式，总结区域地质、水文环境、土壤质量及地质灾害等主要因素，最终选择 7 个地质环 境评价指标，构建地质环境综合评价体系。通过综合评价值的变化趋势，可以完成对城 市地质环境演变模式的分析。 在模型改进中，建立模型Ⅴ（非负因子约束模型） ，消除了模型Ⅱ中因子载荷矩阵 出现负值的情况，使模型结果贴近实际，具有较强的解释力。 最后，本文对模型进行了误差分析、优缺点评价与推广。 关键词：重金属污染；地质环境演变；内梅罗综合指数法；因子分析； MATLAB 关键词：