高等数学练习题附答案
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高等数学练习题附答案文件编码(008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256)
《高等数学
》
专业年级学号姓名
一、判断题.将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ()1.收敛的数列必有界.
()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量. ()3.闭区间上的间断函数必无界.
()4.单调函数的导函数也是单调函数. ()5.若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导.
()6.若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.
()7.若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续.
()8.若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微.
()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
()10.设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且1)0()0(+'=''f f ,则
)0(f 为)(x f 的一个极小值.
二、填空题.(每题2分,共20分)
1.设2)1(x x f =-,则=+)1(x f .
2.若1
212)(11+-=
x x
x f ,则=+
→0lim x .
3.设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g ,6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .
4.设y
x
xy u +
=,则=du . 5.曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为.
6.设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f x
f x F f +==',则=')1(F .
7.若),1(2)(0
2x x dt t x f +=⎰
则=)2(f .
8.x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为. 9.广义积分=-+∞⎰
dx e x 20
.
10.设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D
5221,1.
三、计算题(每题5分,共40分)
1.计算))
2(1)1(11(
lim 222n n n n ++++∞
→ . 2.求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在(0,+∞)内的导数. 3.求不定积分dx x x ⎰-)
1(1.
4.计算定积分dx x x ⎰
-π
53sin sin .
5.求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值.
6.设平面区域D 是由x y x y ==,围成,计算dxdy y
y
D
⎰⎰
sin . 7.计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8.求微分方程y
x
y y 2-
='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分)
1.
证明:tan arc x =)(+∞<<-∞x .
2.设)(x f 在闭区间[],b a 上连续,且,0)(>x f
证明:方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题.将√或×填入相应的括号内(每题2分,共20分)
1.√;
2.×;
3.×;
4.×;
5.×;
6.×;
7.×;
8.×;
9.√;10.√. 二、填空题.(每题2分,共20分)
1.442++x x ;;2;4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++;
3;;7.336;;2;.
三、计算题(每题5分,共40分)
1.解:因为21(2)n n +22
211
1(1)
(2)n n n <+++
<+2
1
n n
+ 且21lim
0(2)n n n →∞+=,2
1
lim
n n n →∞+=0 由迫敛性定理知:))
2(1
)1(11(
lim 222n n n n ++++∞
→ =0 2.解:先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y 3.解:原式=⎰-x d x
112
=⎰
-x d x 2
)
(112
=2c x +arcsin
4.解:原式=dx x x ⎰π
023cos sin
=⎰-20
2
3sin cos π
xdx x ⎰ππ
2
2
3sin cos xdx x
=⎰-20
2
3sin sin π
x xd ⎰ππ
2
2
3sin sin x xd =2025][sin 52πx ππ2
25
][sin 52
x - =4/5
5.解:02832=--='y x x f x 022=-='y x f y 故⎩⎨
⎧==00y x 或⎩⎨⎧==2
2
y x 当⎩⎨
⎧==0
y x 时8)0,0(-=''xx
f ,2)0,0(-=''yy f ,2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆ 且A=08<-