第三章自动控制原理

K0
K
T02s2 2 0T0s (1 K0 ) T 2s2 2Ts 1
自己做！
T T0 1 K0
K K0 1 K0
0
1 K0
R(s) ＋ －
K 01 T01s 1
K02 C(s)
T02s 1
(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2 n s
n2
n
1 T
C(s)
(s)
1 s
s2
n2 2 n s
N (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
系统的响应为C(s)的拉氏反变换
c(t)
L1
N(s) D(s)
R(s)
L1
1 D(s)
Nr0
(s)
Nc0
(s)
由输入信号引起
由初始状态引起
C(s) N(s) R(s) N(s) P(s)
D(s)
D(s) Q(s)
R(s) P(s) Q(s)
n
展成部分分式： C(s)
Ai
l
Bk
i1 s si k1 s sk
si—D(s)=0的根，即系统传递函数的极点。
sk—Q(s)=0的根，和系统输入信号的形式有关。
得到系统的零状态响应为：
n
l
C(s) Aiesit Bkeskt
i1
k 1
零状态响应的暂态分量 零状态响应的稳态分量
给定输入是单位阶跃函数，系统输出即为单位阶跃响应
t
1 L[t] s2 0
1
t
三、抛物线函数（加速度阶跃函数）
r
(t
)
1 2
t
2
,
t 0
或
1 t2 1(t)
0, t < 0
2
r(t) 2
L
1 2
t2
1(t )
1 s3
t
0
2
四、脉冲函数
五、正弦信号 r(t) Asint
§3.2 线性定常系统的时域响应
时域分析—
就是分析系统的时间响应，也就是分析描述系统 运动微分方程的解。 一、微分方程解的形式
1 T
h’(0)=1/T
K’(0)=
1
Th2(TT)=0.632h(∞)
跃坡冲
h(2T)=0.865h(∞)
响 应响应响
问应
h(3T)=0.95h(∞) 11、、33个个图图各各如如何何求求TT？？h(42T、)2=、调0.调9节8节时2h时间(∞间ts)=t？s=？
3 3、、r(rt)(=t)v=tv时t时，?，esse=ss？=？ 4、4求、导求关导系关系
选取典型信号的原则： 1. 反映系统大部分的实际工作情况； 2. 尽可能简单，便于分析和处理； 3. 选取可能使系统工作在最不利的情况的实验信号。
一、单位阶跃函数
二、单位斜坡函数
1, t 0 1(t) 1(t) 0, t 0 1
L[1(t)] 1 s 0
r(t)
t, t 0 r(t) 0, t 0 1
零状态响应＝稳态分量＋暂态分量1（由输入信号引起）
零输入响应＝暂态分量2（由初始状态引起）
二、利用拉氏变换法分析系统的响应
考虑输出和输入的初始条件，对微分方程两端做拉氏变换得到：
C(s)
N (s) D(s)
R(s)
1 D(s) [Nr0 (s)
Nc0 (s)]
D(s) sn a1sn1 an1s an
1 K0
§３.4 控制系统暂态响应的性能指标
1. 最大超调量ＭＰ: 在暂态期间输出超过对应于输入的终值的
最大偏离量。表示相对稳定性。
% cmax c() 100 %
c()
2. 峰值时间tp: 对应于最大超调量发生的时间。 3. 上升时间tr： 第一次达到对应于输入的终值的时间 4. 调整时间ts: 又叫过渡过程时间,偏差达到容许的范围之内 所经历的暂态过程时间。
d n 1 2 称为阻尼振荡角频率。系统为欠阻尼系统。
c(s) 1
s 2n
s (s n jd )(s n jd )
1
s n
n
d
s (s n )2 d 2 d (s n )2 d 2
c(t)
1
ent
cos d t
n d
ent
sin dt
1 ent cosdt
1
2Байду номын сангаас
sin dt
ent
1
1 2
1 2 cosdt sin dt
n2
1 s
1 s
s2
s 2n 2ns n2
Css (s) C1(s)
(1) 当ζ=0时，特征方程有一对共轭虚根。s1,2=±jωn。瞬态响应为：
c1(t)
L1
s2
s
n2
cosnt
瞬态响应是无阻尼的周期振荡,振荡角频率是ωn
（2） 当0<ζ<1时，特征方程有一对共轭复根。
S1,2= n jn 1 2
R(s)
K0
＋ －
s
K0
C(s)
(s) C(s)
R(s)
1
s K
0
1
1 s
1
K Ts 1
s K0
K 1,T 1 K0
R(s) ＋ －
K0 T0 s 1
K0
K0
C(s)
(s)
C(s) R(s)
T0s 1 1 K0
1 T0
K0 s 1
K Ts 1
T0s 1 1 K0
K K0 ,T T0
1 K0
1
ent
1 2
sin dt
瞬态响应是一个衰减的振荡过程。
arctg 1 2
d n 1 2
（3）当ζ=1时，有一对相等的负实数根。S1,2= -ωn
c1(t)
L1
s2
s 2n 2ns n2
L1
s
1
n
(s
n n )2
ent
ntent
(1 nt)ent
(1 t )et T T
第三章 控制系统的时域分析
建立系统数学模型的目的是为了分析控制系统的性能。 系统的性能分为动态性能和稳态性能 如何评价？ 动态性能：用控制系统在典型输入下的响应来评价 稳态性能：一般是通过系统在典型输入信号下引起的稳态误 差来评价 。
• 建立稳态误差的概念； • 介绍稳态误差的计算方法； • 讨论消除或减少误差的途径。
第三章 控制系统的时域分析
§3.1 §3.2 §3.3
§3.4 §3.5
§3.6
典型的输入信号 线性定常系统的时域响应 一阶系统的暂态响应
控制系统暂态响应的性能指标 二阶系统的暂态性能指标
高阶系统的动态性能
§3.7 控制系统的稳态误差 §3.8 稳定性和代数稳定性判据 §3.9 劳斯－赫尔维茨稳定判据 §3.10 基本控制规律分析
本章重点
1. 时域响应的基本概念； 2. 一阶系统的时域响应、性能指标和参数的求取； 3. 二阶系统的时域响应及欠阻尼状态下性能指标的
计算； 4. 系统暂态性能随极点变化的规律； 5. 代数稳定性判据； 6. 输入信号和扰动信号作用下稳态误差的计算。
本章难点
1. 二阶系统的时域响应； 2. 改善系统动态性能的方法； 3. 输入信号和扰动信号同时作用时稳态误差的计算； 4. 代数稳定性判据的应用。
二、单位脉冲响应 g(s) 1 Ts 1
g(t) L1[C(s)] 1 et T T
g(t) d h(t) dt
三、单位斜坡响应
C
(s)
1 Ts
1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
c(t) t T et T
t T (1 et T )
e(t) r(t) c(t) T (1 et T )
自动控制系统的时域分析 研究自动控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间 的变化。
§3.1典型的输入信号
为何要采用典型输入信号进行系统性能研究？ • 实际系统的输入信号千差万别； • 典型信号便于进行数学分析和实验研究； 确定性能指标，使分析系统化，便于比较系统的性能。 • 预测系统在更为复杂的输入下的响应。
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k Ts+1
, T 时间常数
(画图时取k=1,T=0.5)
k(t)=
1 T
e-
t T
h(t)=1-e-t/T
c(t)=t-T+Te-t/T
r(t单)= δ(t)
r(t)= 1(t)
r(t)= t
单单位 位 阶位斜脉
k(0)= K’(0)=
1 T
1 T
2
k(0)=
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%%==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间tptp BB
上上 升升 时时间间trtr
调调节节时时间间tsts
tt
§3.5 二阶系统的动态性能指标
一、二阶系统的结构
K01K02
R(s)
K01
(s) s(T0 1)
1 K01K02
T0 s 2
K 01K 02 s K01K02
dn dt n
c(t)
a1
d n1 dt n1
c(t)
an1
d dt
c(t)
anc(t)
b0
dm dt m
r(t) b1
d m1 dt m1
r(t) bm1
d dt
r(t) bmr(t)
f [r(t)]
齐次微分的特征方程为：
n a1n1 an1 an 0
齐次方程通解： c1(t) k1e1t k2e2t knent
h(t)
L1
N(s) D(s)
1
s
n i1
Ai e sit
B
常数B是稳态分量。
给定输入是单位斜坡函数，系统输出即为单位斜坡响应
h(t)
L1
N(s) D(s)
1 s2
n i1
Aiesit
B0
Bit
如果多项式输入具有如下形式：
r(t)
R0
R1t
R2 2!
t2
Rk k!
tk
稳态响应为：c(t)ss
5. 延迟时间td： 输出第一次达到稳态值的50％所需要的时间。 6. 振荡次数N： 在调整时间内响应曲线偏离稳态值的振荡次数。
7. 稳态误差ess： ess 1 c()
tp、ts、tr、td、是阶跃响应过程的快速性指标。σ%、N是 时间响应的平稳性指标。它们描述了瞬态响应过程，反映了系 统的动态性能。称为动态性能指标。
R(s) 1 C(s) Ts 1
分析在零初始条件下对一些典型信号的响应
一、一阶系统的单位阶跃响应
h(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
做拉氏反变换
h(t) 1 et T
• t=0处斜率最大，为1/T • 没有超调 • 经过３T和４T响应分别
达到稳态值的95%和 98% 。 • T越小响应速度就越快。
B0
B1t
B2 2!
t2
Bk k!
tk
如果输入是单位脉冲函数
L[ (t)]
(t )e st
dt
1
0
单位脉冲响应为：
g(t)
L1
N (s) D(s)
—权函数
只有暂态响应，而稳态响应总是为零。
• 系统的单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数。
§3-3 一阶系统的暂态响应
R(s)
1
＋ －
Ts
C(s)
这是一个单调的衰减过程 （4）当ζ>1时，方程有两个不同的负实数根。
s1,2 n n 2 1
c1(t)
L1
s2
s 2n 2ns
n2
L1
2 1
2 1
(2 2 1)(s n n 2 1) (2 2 1)(s n n 2 1)
2 1 exp[ (
11
T1 1 1
T2
T1 T2
T2 T1
1 exp( t ) 1 exp( t )
T2 1
T1 T1 1
T2
T1
T2
注意： 1. c1(t)的形状？
2. c1(0)=？ c1(∞)=？
3. 单调性。c′(t)的符 号。
二阶系统的瞬态响应有如下特点： 1.参数ζ 对瞬态响应曲线的形状影响极大。 •当ζ＝0，瞬态响应是等幅振荡，频率为ωn。ωn称为无阻尼振 荡角频率，系统被称为无阻尼系统。 • 0<ζ<1时，瞬态过程是一个按指数衰减的振荡过程，ζ越小， 衰减越慢，振荡也就越剧烈，振荡频率也就越高。振荡频率
ess描述了稳态响应，反映了稳态性能，称为稳态性能指标。
其它性能指标：
误差平方积分：
ISE e2 (t)dt 0
时间乘误差平方积分： ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分： IAE e(t) dt 0
时间乘误差绝对值积分：ITAE t e(t) dt 0
动态性能指标定义1
ki为待定常数，λi为n个互异的根。
非齐次方程特解： c2 (t) k1(t)e1t k2 (t)e2t kn (t)ent
微分方程的解：
c(t)=c1(t)+c2(t)
1. 线性常微分方程的通解=齐次方程通解+非齐次方程任一特解 2. 网络的响应=暂态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量） 3. 系统的响应=零状态响应+零输入响应
＋ － T0s 1
s(T0 1)
T0
1 s2 1
s
1
T
2s2
K
2Ts
1
K K 01 02
K K 01 02
T T0
1
1
K01K02
2 K01K02T0
K 1
K02 C(s) s
K0
(s)
1
T02s2 2 0T0s 1
T02 s 2
K0
2 0T0s
1
R(s) ＋ －
K0
C(s)
T02 s 2 2 0T0 s 1
2 2 1
2
1)nt]
2
2 1 exp[ (
2 1
2 1)nt]
瞬态响应是两个单调衰减的过程。
令： T1
(
1
2 1)n
T2
(
1
2 1)n
2 1 exp[ (
2 2 1
2
1)nt]
2
2 1 exp[ (
2 1
2 1)nt]
1
1
T2 exp( t ) T1 exp( t )