西华师范大学数学分析(1)试题一

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华中师范大学数学分析和高等代数近几年试题

复试成绩
复试总分
ห้องสมุดไป่ตู้初复试比例
复试专业课总分
复试英语总分
330
总成绩＝初试总成绩+复试总成绩
120
60
复试专业课类型
笔试主观题
笔试客观题
面试题量
有无时间要求
有
有
专业基础知识的综合能力和应用能力。
20分钟左右
复试英语听力
无
复试英语笔试
阅读
作文
其他
无
无
无
复试英语面试
小组讨论
问答
翻译
其他
无
5个问题，10分钟左右
其他
普通本科
否
招收
无
无
初试科目
政治（满分100分）
英语（满分100分）
数学/专业课一（满分150分）
专业课二（满分150分）
专业研究方向
01李代数02代数群与量子群03代数几何04微分几何05泛函分析06函数论07信息安全
初试指定参考书
626数学分析a．实数的完备性（区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、确界定理、单调有界定理）；b．单变量函数（极限、连续性、导数与微分、泰勒公式（含微分中值定理）及函数的泰勒级数展开、不定积分、定积分及其应用、反常积分、周期函数的傅里叶级展开、数项级数的收敛性、函数项级数的收敛性及和函数的性质）；c．多变量函数（极限与累次极限、连续性、偏导数与全微分、泰勒公式与极值问题、含参变量积分，第一、二型曲线积分，重积分（含格林公式），第一、二型曲面积分（含高斯公式与斯托克斯公式），隐函数定理及其应用）。817高等代数多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。

西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)

西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=−∑B ．nn ∞=C ．21(1)nn n∞=−∑D ．11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x −++C ．发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）A ．1xB ．ln x xC ．21x −D ．xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1，则k =（）A ．2πB ．22πC ．2D ．24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）A ．x e<B ．x e>C ．x 为任意实数D ．1e x e−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =．3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为．6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxx x +∫．2、2ln x x dx ∫．3、 0(0)dx a >∫．4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫．5、dx ∫．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫（3分）11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++（3分）2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫（3分）33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+（3分）3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得0∫2220cos atdtπ=∫（3分）6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4.解由洛必达(L ＇Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分）lim cos x x→=1=（2分）5.解=（2分）20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫（2分）244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+（正整数）22sin nx n n ≤（3分）而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==，收敛区间为(1,1)−．（2分）易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−．（2分）01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑（2分）逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑（2分）3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(名校考研真题不定积分)【圣才出品】

解：f（x）的原函数为
．当 x≤1 时，有
当 x＞1 时，有
所以 f（x）的原函数为
．
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un
n1
收敛，从而 un
0 ，即
f
(xn )
0 ，也即
f (xn ) 0 ，故对上述的，存在 N N¢ ，使得
当 n N 时，
f (xn )
2
.
取 X a N ，则当 x X 时，因
x a, Ua (k 1) ,a k k 0
故存在惟一的 k N¢ ，使得 x a (k 1) , a k ，易见 k N ，且
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第 8 章不定积分
1．设 f (x) d x 收敛,且 f (x) 在 a,上一致连续，证明 lim f (x) ＝ 0. [上海
a
x
交通大学 2004 研]
证明：因 f (x) 在 a,上一致连续，故对于 0 ， 0 ，使得当

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4．求不定积分解：
[华东师范大学研]
5．求不定积分解：令 t＝lnx，则
[四川大学研]
6．求
（a 为常数）．[西安交通大学研]
解：（1）当 a＝－1 时，
（2）当 a≠－1 时，
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x2
x台2 )
dx
ln(1 x2 )d 1 x
ln(1 x2 )
1
2x dx
x
x 1 x2
ln(1 x2 ) 2 1 dx
x

华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)

x →+∞
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、（ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、（15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、（12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在区间 I 上严格单调.
二、（12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题实数的完备性)【圣才出品】

§1　关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使n以…，即4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有理数集内不成立．（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M 的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）解：（1）有有所以即故H 能覆盖（0，1）．（2）设从H 中选出m 个开区间，它们是令则并集的下确界为于是的子集，实际上故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖从H 中选出98个开区间因为所以这些开区间覆盖了故可以从H 中选出有限个开区间覆盖6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身．证明：设的全体聚点的集合是M ．设不妨设则由实数集的稠密性知，集合中有无穷多个实数，故a 是的一个聚点．同理，b也是的一个聚点．设不妨设则故x 0的任意邻域内都含有中的无穷多个点，故x 0为的一个聚点．总之设令则即不是的聚点，即故M．综上所述，M＝，即闭区间的全体聚点的集合是本身．7．设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为的确界．证明：设是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ＝η－ξ，则δ＞0，按聚点的定义，中含有无穷多个中的点，设则当n＞n1时，x n 于是中只能含有{x n }中有穷多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若存在聚点，则必是惟一的．假设无界，则即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，x n＞M，于是小于M 的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在x N，使按上确界定义知综上，若有聚点，必惟一，恰为的确界．8．试用有限覆盖定理证明聚点定理．证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且假设S没有聚点，则任意都不是S 的聚点，于是存在正数使得中只含有S中有穷多个点．而开区间集是的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在的一个有限覆盖，设为它们也是S的一个覆盖．因为每一个中只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集．这与题设矛盾．故实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．9．试用聚点定理证明柯西收敛准则．证明：设收敛，令于是，对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m ＞N时，有于是设数列满足柯西收敛准则的条件．如果集合只含有有限多个不同的实数，则从某一项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立．此时，这个常数就是数列的极限．如果集合含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的．于是由聚点定理，集合至少有一个聚点假如有两个不等的聚点ξ，η，不妨设η＞ξ，令δ＝η－ξ，则与都含有集合中无限多个点．这与取，存在正整数N ，当n ，m ＞N 时，有矛盾．故的聚点是惟一的，记之为ξ．对于任意ε＞0，存在N ，使得当n ，m ＞N 时，又因为ξ是的聚点，所以存在n0＞N ，使得因而，当n ＞N 时，故数列收敛于ξ．10．用有限覆盖定理证明根的存在性定理．证明：根的存在定理：若函数f 在闭区间上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则至少存在一点，使得f （x 0）＝0．假设方程f （x ）＝0在（a ，b ）内无实根，则对每一点有由连续函数的局部保号性知，对每一点存在x 的一个邻域，使得f （x ）在内保持与f （x ）相同的符号．于是，所有的形成的一个开覆盖．根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖．把这些开区间的集合记为S ，则点a 属于S 的某个开区间，设为它的右端点x 1＋δ1又属于S的另一个开区间，设为以此类推，经过有限次地向右移动，得到开区间，使得δn ）这n 个开区间显然就是的一个开覆盖．f （x ）在每一个内保持同一个符号．在内f （x ）与f （a ）具有相同的符号．因为所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号．以此类推，f （b ）与f （a ）具有相同的符号．这与f （a ）与f （b ）异号矛盾．故至少存在一点，使得f （x 0）＝0．11．用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理．证明：一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，则f 在上一致连续．因为f 在上连续，所以任绐任意ε＞0，存在对任意有取．则H 是的无限开覆盖．由有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为取对任意不妨设，即当时，由于因此由一致连续定义，f 在上一致连续．§2　上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限。

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第8章　不定积分§1　不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2　换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。

西华师范大学2010级数学分析(1)期末试题a1(含答案)

5．证明：函数 f ( x) =
（p.175:3(2)）（12 分） x 在区间 [1 , + ∞ ) 一致连续。
证明： ε > 0 。若 x1 ≥ 1 ， x2 ≥ 1 ，由于
x1 −
x2 =
x1 − x 2 x1 +
ch e
≤
x1 − x 2
1 +1
因此，欲使
x1 −
x2 < ε ，只需
∀ ε > 0 ， ∃δ = 2 ε ， ∀ x1 、 x 2 ∈ [1 , + ∞ ) ： x1 − x2 < δ ，有
f ( x + T ) = f ( x) ，此式两边对 x 求导：
d d f ( x + T ) = f ′( x + T ) = f ( x ) = f ′( x ) dx dx
即 f ′( x + T ) = f ′( x ) ；因此，函数 f ( x ) 的导函数 f ′( x) 也是周期函数。
an
x1 − x2
2
x2
=
<ε 。
x2 ≤
x1 − x2 <ε ， 2
)(
)
3
.c o
x1 − x 2
2
，
S = {u u ≥ 0 , u ∈ R } 。
m
（2） y ′ = [ ln ( tan x ) ] =
′
( tan x )′ = sec2 x =
tan x
2x 1 − x4
，故：
tan x
.c o
m
⎛ cos x ′ = e x ln sin x ⋅ ( x ln sin x ) = e x ln sin x ⋅ ⎜ ⎜ ln sin x + x sin x ⎝

数分真题答案

华东师大2000年数分考研试题解答一．（1）解：()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()0ln 1lim ln 1x x x x x →-+=+()0111limln 11x xx x x→-+=+++()()0lim1ln 1x xx x x→=+++()011lim ln 1112x x →==+++；解：32cos sin 1cos x x dx x +⎰ ()()22cos 1cos cos 1cos x x d x x -=-+⎰()221cos 1t t t x dt t-=+⎰()22121t t dt t+-=+⎰221t t dt t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰ ()221ln 12t t C =-++ ()221cos ln 1cos 2x x C =-++；解：121222x xz F yzF xF z F xyF zF +=-=-+，121222yy z F zxF yF z F xyF zF +=-=-+，(),x y gradz z z =；二、证明（1） (应用比值法与贝努里不等式) 由于=+n n e e 112])1()2([2++⋅++n n n n n n 12])1(11[2++⋅+-=n n n n 12])1(1[2++⋅+->n n n n 11)1(])1()1([22+++⋅+-+=n n n n n 1)1(1)1(33>+++=n n , 于是有1+<n ne e ,所以}{n e 是严格递增的;(2) (应用比值法与贝努里不等式)由于=+1n n E E 21])2()1([12++⋅+++n n n n n n 21])2(11[1++⋅++=+n n n n n 21])2(11[++⋅+++>n n n n n 21])2()1(111[2++⋅++++=n n n n n n 121]111[=++⋅++>n n n ,于是有1+>n nE E ,所以}{n E 是严格递减的;（3）因为11111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nn e n ，所以11ln 11(1)ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立三．证明0ε∀>，取2kεδ=，当(),x a a δ∈+时，若()()f x f a ≡，则f 在a 右连续；否则()0,x a a δ∃∈+，使得()()0f x f a ≠.不妨设()()0f x f a <，μ∀满足：()()0f x f a μ<<， ()02f x εμ-<，由题设条件，()10,x a x ∃∈，使得()1f x μ=，于是对于一切(),x a a δ∈+，有()()()()()()11f x f a f x f x f x f a -≤-+-()()()1f x x f a ξμ'=-+-22k kεεε<⋅+=，所以f 在a 右连续.同理可证f 在b 左连续.四、证明（1）因为120(1)nn I xdx =-⎰1222101(1)2(1)0nn x x n x x dx -=-+-⎰122102[(1)1](1)n n x x dx -=-+-⎰122n n nI nI -=-，所以有1221n n nI I n -=+，2,3,...n =；（2）由（1），12102(1)3I x d x =-=⎰， 1222421215n n n I I n n -=⋅⋅⋅⋅+-22242212153n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅+-=>>=（1,23,...n =）。

西华师大大一考试题

西华师大大一年级本科数学分析期末考试试题
一、判断题（正确的记（√），错误的记（×））（共18分，每题3分）：
1.设错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上连续，错误！未找
到引用源。

与错误！未找到引用源。

分别是错误！未找到引用源。

的最大值和最小值，则对于任何数错误！未找到引用源。

，均存在错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

( )
2.设错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

内可导，且错误！未
找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）
3.设错误！未找到引用源。

的极限存在，错误！未找到引用源。

的极限不
存在，则错误！未找到引用源。

的极限未必不存在. （）
4.如错误！未找到引用源。

是函数错误！未找到引用源。

的一个极值点，
则错误！未找到引用源。

（）
5.存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大值点和无穷多个极小
值点。

（）
二、计算下列极限：（18分）
三、计算下列函数的导数：（20分）
16.设错误！未找到引用源。

二阶可导，求错误！未找到引用源。

四、计算不定积分（12分）：
七、（8分）求母线为错误！未找到引用源。

的圆锥之最大体积。

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(章节题库定积分的应用)【圣才出品】

3．求曲线
的全长．
解：将曲线改写成参数方程，并计算微弧：
因此
4．已知抛物叶形线作 M．求
如图 10-3 所示，其中当 0≤x≤3 时的叶形部分记
（1）M 的面积；
（2）M 的周长；
（3）M 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
（4）M 绕 x 轴旋转所得旋转体的侧面积
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图 10-1 则
的切线，切线与 x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
于是切线斜率为
（2）所求的旋转体的体积为
切线方程是
Hale Waihona Puke 2．求圆的渐伸线和连接
两个端点：起点 A（a，0）与终点 B（a，-2πa）的直线段 AB 所围成图形的面积，并求
渐伸线的弧长
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第 10 章定积分的应用
1．过点（4，0）作曲线
的切线．
（1）求切线的方程；
（2）求由这条切线与该曲线及 x 轴所围成的平面图形（如图 10-1 所示）绕 x 轴旋转
一周所得的旋转体的体积．
解：（1）令过点（4，0）作曲线
（5）M 的重心．
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解：（1）由对称性，只要求出果，即
图 10-3 与 x 轴所围成的面积，两倍即得结
（2）由此即得
（3）（4）（5）由对称性，
5．求抛物体
的重心和绕 z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为 1）．
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华中师范大学成人教育《数学分析(进阶)》期末考试复习题及参考答案

【解析】
16.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】C
【解析】
17.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】A
【解析】
18.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】D
【解析】
19.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】D
【解析】
38.题目见图片（2分）
A.对
B.错
【答案】A
【解析】
39.题目见图片（2分）
A.对
B.错
【答案】A
【解析】
40.题目见图片（2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
41.题目见图片（2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
42.题目见图片（2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
43.题目见图片（2分）
【答案】B
【解析】
4.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】C
【解析】
5.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】A
【解析】
6.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】B
【解析】
7.题目见图片（2分）
A. A
B. B
C. C
D. D

西华师范大学数学史题库答案

西华师范大学数学史题库选择题（每题2分）1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( A )A.纸草书B.羊皮书C.泥版D.金字塔内的石刻2.对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于( C )A.纸草书B.羊皮书C.泥版D.金字塔内的石刻3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( B )A.棱柱B.棱锥C.棱台D.楔形体4.《九章算术》中的“壍堵”是指一种特殊的( A )A.三棱柱B.三棱锥C.四棱台D.楔形体5.射影几何产生于文艺复兴时期的( C)A.音乐演奏B.服装设计C.绘画艺术D.雕刻艺术6.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( A )。

A.斐波那契B.卡尔丹C.塔塔利亚D.费罗7.被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是( B )A.欧几里得B.泰勒斯C.毕达哥拉斯D.阿波罗尼奥斯8.被称作“非欧几何之父”的数学家是( B)A.波利亚B.高斯C.魏尔斯特拉斯D.罗巴切夫斯基9.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( C)A.伽利略B.哥白尼C.开普勒D.牛顿10.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C )A.不可公度数B.化圆为方C.倍立方体D.三等分角11.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( C )A.阿耶波多B.婆罗摩笈多C.马哈维拉D.婆什迦罗12.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( A )A.康托尔B.欧拉C.魏尔斯特拉斯D.柯西13.下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？( C )A.阿耶波多B.马哈维拉C.奥马.海亚姆D.婆罗摩笈多14.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是( A )A.希尔伯特B.庞加莱C.罗素D.F·克莱因15.与祖暅原理本质上一致的是( D)A.德沙格原理B.中值定理C.泰勒定理D.卡瓦列里原理16．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是( B )A.刘徽B.祖冲之C.阿基米德D.卡瓦列里17．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C )A.秦九韶B.杨辉C.朱世杰D.贾宪18．就微分学与积分学的起源而言( A )A.积分学早于微分学B.微分学早于积分学C.积分学与微分学同期D.不确定19．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D )A.《孙子算经》B.《墨经》C.《算数书》D.《周髀算经》20．发现著名公式e iθ=cosθ+i sinθ的是( D )A.笛卡尔B.牛顿C.莱布尼茨D.欧拉21．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )A.两汉时期B.隋唐时期C.魏晋南北朝时期D.宋元时期22．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )A.莱布尼茨B.约翰·伯努利C.雅各布·伯努利D.欧拉23．1834年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B ) （注意，书上给的例子是1861年魏尔斯特拉斯给出的，但不是历史上最早的）A.高斯B.波尔查诺C.魏尔斯特拉斯D.柯西24．大数学家欧拉出生于（ A ）A.瑞士B.奥地利C.德国D.法国25．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )A.塔塔利亚B.卡当C.费罗D.费拉利26．《九章算术》的“少广”章主要讨论（ D ）A.比例术B.面积术C.体积术D.开方术27．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )A.美索不达米亚B.埃及C.阿拉伯D.印度28．数学的第一次危机的产生是由于( B )A.负数的发现B.无理数的发现C.虚数的发现D.超越数的发现29．给出“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”这个关于数学本质的论述的人是( B )A.笛卡尔B.恩格斯C.康托D.罗素30．提出“集合论悖论”的数学家是( B )A.康托尔B.罗素C.庞加莱D.希尔伯特填空题（每空2分）1．古希腊著名的三大尺规作图问题分别是：化圆为方、倍立方体、三等分角.2．欧几里德是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编撰出旷世巨著《原本》.3．中国古代把直角三角形的两条直角边分别称为勾和股，斜边称为弦. 4．“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条.5．毕达哥拉斯学派的基本信条是万物皆数.6．1687年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，它具有划时代的意义，是微积分创立的重要标志之一，被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”.7．1637年，笛卡儿发表了他的哲学名著《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，解析几何的发明包含在这本书的附录《几何学》中.8．非欧几何的创立主要归功于数学家高斯、波约、罗巴切夫斯基 . 9．解析几何的发明归功于法国数学家费马和笛卡尔.10．徽率、祖率(或密率)分别是157/50和355/113.11．徽率、祖率(或密率)、约率分别是157/50、355/113和22/7. 12．《海岛算经》的作者是___刘徽_____，《四元玉鉴》的作者是___朱世杰____.13．秦九韶的代表作是《____数书九章______》，他的提出__正负开方术________是求高次代数方程的完整算法，他提出的_大衍总数术_________是求解一次同余方程组的一般方法. 14．我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫__割圆________术，用来计算面积和体积的一条基本原理是__“出入相补”________原理.15．对数的发明者_纳皮尔___是一位贵族数学家，_拉普拉斯__曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”.16.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是__牛顿______，第一个公开发表微积分论文的数学家是_莱布尼茨_____.17.古代美索不达米亚的数学常常记载在_泥板_______上，在代数与几何这两个传统领域，他们成就比较高的是___代数_____领域.18．阿拉伯数学家__花拉子米________的《还原与对消计算概要》第一次给出了_一元二次_________方程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明.19.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中__欧几里得平行公设___的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是____罗巴切夫斯基____.20．起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是___分形几何_________，它诞生于___20_____世纪.21．四色问题是英国青年大学生__________于__________世纪提出的.22．在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在__________方面，美索不达米亚的数学成就主要在__________方面.23．用圆圈符号“O”表示零，可以说是__印度_______的一大发明，有零号的数码和十进位值记数在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至___欧洲______. 24．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：________、_________、_________.25．被称为“现代分析之父”的数学家是_______，被称为“数学之王”的数学家是____.26.“数学无王者之道”，这里的“王”是指.27.被著名数学史家贝尔称为“最伟大的埃及金字塔”是指.28. 是中算史上第一个建立可靠理论来推算圆周率的数学家.判断题，请在括号内划∨或×（每题2分）：1.分别在直角三角形三边向外作正五边形，则两直角边上的正五边形的面积之和等于斜边上的正五边形的面积. (∨)2.分别以直角三角形的三边为边向外作三个相似的多边形，则两直角边上的多边形的面积之和等于斜边上的多边形的面积. ( ×)3.《几何原本》传入中国，首先应归功于数学家李善兰. ( ×)4．《几何原本》传入中国，首先应归功于数学家徐光启和利玛窦. ( ∨)5．我国的古代数学是建立在算法基础之上的，这可以从中国古代数学家的著作中看出端倪，其中最具代表性的就是《九章算术》. ( ∨)6．牛顿创造了现在通用的微分和积分的符号. ( ×)7．莱布尼茨创造了现在通用的微分和积分的符号. ( ∨)8．秦九韶的代表作是《九章算术》. ( ×)9．朱世杰的代表作是《四元玉鉴》和《算法统宗》. ( ×)10．数学符号系统化首先归功于数学家花拉子米. ( ×)11．毕达哥拉斯学派是一个带有浓厚宗教色彩的严密组织，属于唯心主义学派，在古希腊有很大的影响. ( )12．笛卡尔的《方法论》是一部伟大的数学著作. ( )13．欧几里得在公元前600年左右写了《几何原本》. ( )14．黎曼几何在二维的情形最初是高斯发展的. ( )15．黎曼所创立的几何把几何整体化，可以说是几何学的第四个发展. ( )16．牛顿是在其力学研究中得到微积分成果的，所以这些成果明显地带有力学的痕迹.( ) 17．1908年，策梅罗提出公理化集合论，将原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上，解决了第二次数学危机. ( )18．球面三角形三内角之和小于180°. ( )简答或证明（每小题5分）：1.请列举《九章算术》各章的名称和主要研究内容.答:方田”，主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则。

2021西华师范大学学科教学（数学）考研真题经验参考书

2021西华师范大学学科教学（数学）考研真题经验参考书作为男生，可能有学习数学的优势，考研的时候也是选择了数学，不过想出来以后当老师，大家可以参考一下我的复习经历。

英语是个很神奇的科目，单词不懂，地动山摇，所以很多人单词还没背完，就想着做真题，真题一共就那么多，你单词看不懂，就百度一下，这样的全文都看懂了，题做了，然后呢，单词还是不会，所以英语前期的基础一定要打好，单词一定要背会，对单词的用法，在具体语境下的解释等等，这些就要求靠生们深入地掌握每个核心的词汇。

总之一句话，关于单词，求深不求多，大家可以平时看看《一本单词》这本书。

真题当中阅读是大头，这样用阅读检验自己的单词记忆水平，还有长难句，虽然英语的句子简单些，长难句还是要学，这个也是长期积累的，不可能立竿见影，每天坚持学，不用花很多时间，贵在坚持冲刺阶段做少量模拟题，要严守时限，主要是感觉一下气氛，把握一下自己的速度，看看自己该怎么分配时间，每年都有人因为时间不够做不完考题的，训练的时候我自己用的是《木糖英语真题手译版》。

其他的一些建议就是，基础差的可以报一下蛋核英语的课程，里面的老师会帮你制定一个大概复习计划，我自己也是一直在关注木糖英语和蛋核英语的微信。

政治今年我考了71，单选错1个，多选错6个，主观题34分。

我是9月开始政治复习的，用的李凡老师全套复习资料，每天看《政治新时器》的一章，同时配套完成真题。

同时我还一直跟了李凡老师的视频课，他把政治讲解得十分生动，不会枯燥，同时他会帮你总结各种各样的选择题的坑，也告诉你最后主观题要怎么答，李凡老师的8套卷4套卷一定要仔细的做，特别是4套卷的主观题一定要认认真真背完，到了考场你就会感叹李凡老师太神了，他后期总结的题则偏向于模板，告诉你这类的主观题应该怎么答，分为哪几个部分，每一部分应该写什么，能够比较条理清楚的展示出来，也容易拿到高分。

考前1个月，我刷了市面上绝大部分的模拟题，只做选择题，政治也是需要每天做题来提升你做题的直觉的，长时间训练以后，很多选项可能你不知道哪错了，但你直觉就会告诉你这个说法不对。

西华师范大学数字信号处理复习题(含答案)

n
ww
w. z
结构的输出误差最大。五、用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率 1.2kHz，截止频率为 400Hz 。要求⑴求该数字滤波器的系统函数，并画出其级联型结构；（归一化的三阶巴特沃思低通滤波器的模拟系统函数为
2．设采样频率 f s = 1000Hz ，则当 ω 为 π /2 时，信号的模拟角频率 Ω 和实际频率 f 分别为 3． N 点序列 x( n ) 的 DFT 表达式为，其物理意义是
ww
w. z
)处。
7、下列对 IIR 滤波器特点的论述中错误的是( A．系统的单位冲激响应 h(n)是无限长的
B.结构必是递归型的 D.肯定是稳定的
C.系统函数 H(z)在有限 z 平面（0<|z|<∞）上有极点 8、线性相位 FIR 滤波器主要有以下四类 (Ⅰ)h(n)偶对称，长度 N 为奇数
(Ⅱ)h(n)偶对称，长度 N 为偶数
2.下列系统（其中 y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？（ A.y(n)=y(n-1)x(n) B.y(n)=x(n)/x(n+1) C.y(n)=x(n)+1 D.y(n)=x(n)-x(n-1) 3.已知某序列 Z 变换的收敛域为 5>|z|>3，则该序列为（ A.有限长序列 4.实偶序列傅里叶变换是（ A.实偶序列 B.右边序列） B.实奇序列 C.虚偶序列 C.左边序列
m
， x( n − 3) 的 Z 变换
4．序列 x(n)和 h(n)，长度分别为 N 和 M（N>M），二者线性卷积的长度为 N 点循环卷积中混叠的点有 5．全通系统的极零点分布特点是三、分析计算题：（共 50 分） 1．（15 分）已知序列 x( n) = {−1, 2, − 3, 2, − 1} ，n=0,1…,4 (1) 该序列是否可以作为线性相位 FIR 滤波器的单位脉冲响应？为什么？ (2) 设序列 x( n ) 的傅立叶变换用 X ( e ) 表示，不用求 X ( e ) ，分别计算