复合材料力学 第四章 单层板的宏观力学基础
复合材料力学
3019《复合材料力学》考试大纲《复合材料力学》全面、系统地阐述了复合材料力学基础、宏观力学和细观力学的基本理论、分析方法和结果，并介绍了混杂复合材料，复合材料疲劳、断裂和连接等专题，以及纳米复合材料、生物／仿生复合材料和智能复合材料等现代新型复合材料及其分析方法。
考试内容及要求如下：第1章单层复合材料的宏观力学分析平面应力下单层复合材料的应力—应变关系，单层材料任意方向的应力—应变关系单层复合材料的强度，正交各向异性单层材料的强度理论第2章复合材料力学性能的实验测定纤维和基体的力学性能测定，单层板基本力学性能的实验测定，其他力学性能实验第3章层合板刚度的宏观力学分析层合板的刚度和柔度，几种典型层合板的刚度计算，层合板刚度的理论和实验比较第4章层合板强度的宏观力学分析层合板强度概述，层合板的应力分析，层合板的强度分析，层合板的层间应力分析第5章湿热效应单层板的湿热变形，考虑湿热变形的单层板应力—应变关系，考虑湿热变形的层合板刚度关系，考虑湿热变形的层合板应力和强度分析第6章层合平板的弯曲、屈曲与振动层合平板的弯曲，层合平板的屈曲，层合平板的振动，层合板中耦合影响的简单讨论第7章若干专题混杂复合材料及其力学分析，金属基复合材料和陶瓷基复合材料，纳米复合材料简介，复合材料的疲劳，复合材料的损伤和断裂，复合材料的蠕变，复合材料的连接，横向剪切的影响第8章复合材料的有效性质和均质化方法尺度和代表单元的概念，细观过渡方法第9章单层复合材料的细观力学分析刚度的材料力学分析方法，强度的材料力学分析方法，短纤维复合材料的细观力学分析，热膨胀的力学分析，刚度的弹性力学分析方法第10章复合材料线性有效模量预测的近似方法宏观整体坐标系和局部坐标系，稀疏方法，Mori—Tanaka方法，自洽方法，微分法，广—1—义自洽方法，Voigt和IReuss界限，复合材料有效热膨胀系数第11章复合材料计算研究方法等效性能计算中的代表体积单元选取与生成，载荷与边界条件的施加，计算分析方法—2—。
复合材料力学
(i, j 1,2,3, )
―分别为2-3，3-1，1-2平面内的剪切模量。 对于正交各向异性材料，只有9个独立的弹性常数，工程 弹性常数间有以下三个关系
i j ，但 该式常用来检验实验结果的可靠性或材料是否正交各向 异性。
Ej Ei
G23 , G31 , G12
ij
（2）宏观力学 它把单层复合材料看成均匀的各向异性材料，不 考虑纤维和基体的具体区别，用其平均力学性能表 示单层材料的刚度、强度特性，可以较容易地分析 单层和叠层材料的各种力学性质，所得结果较符合 实际。 宏观力学的基础是预知单层材料的宏观力学性 能，如弹性常数、强度等，这些数据来自实验测定 或细观力学分析。由于实验测定方法较简便可靠， 工程应用往往采用它。
满足（ 2.1 ）和（ 2.2 ）的应力 - 应变关系的材料为各向异 性材料，应变势能密度表达式为
1 1 T 1 T 1 T U i i σ ε σ Sσ ε Cε 2 2 2 2
2 具有一个弹性对称平面的材料 如果材料有一个性能对称面（z=0，xoy面），刚度 系数只剩下13个，刚度系数矩阵C为
C11 C 12 C13 C 0 0 C16 C12 C 22 C 23 0 0 C 26 C13 C 23 C33 0 0 C36 0 0 0 C 44 C 45 0 0 0 0 C 45 C55 0 C16 C 26 C36 0 0 C 66
若坐标方向为弹性主方向时，正应力只引起线应变 ，剪应力只引起剪应变，两者不耦合。
4 横观各向同性材料 若经过材料一轴线，在垂直该轴线的平面内，各点 的弹性性能在各方向上都相同，则此材料称为横观 各向同性材料，此平面是各向同性面。刚度系数只 剩下5个，刚度系数矩阵C为
复合材料单层板理论
复合材料单层板理论复合材料是一类新型材料复合材料是一类新型材料，其强度高、刚度大、质量轻，并具有抗疲劳、耐高温、减振、可设计等一系列优点，近几十年来，在航空航天、能源、交通、建筑、机械、信息、化工、医疗和体育等部门日益得到广泛应用。
复合材料是一种多相材料，它具有非均匀性和各向异性，其强度和刚度分析的理论与方法不同于金属材料。
随着对复合材料力学特性的深入研究，已经形成了复合材料力学学科体系并得到蓬勃发展。
ABC电子国内外许多高等院校巳将复合材料力学列为力学及相关专业本科生和研究生的必修和选修课程。
为了满足高等学校力学专业本科生和研究生的复合材料力学课程教学的需要，笔者在参考国内外复合材料力学书籍的基础上，结合多年来从事复合材料力学教学的体会，编写了这本《复合材料力学基础》。
本书阐述了连续纤维增强复合材料力学基础、复合材料宏观力学基本理论和分析方法。
全书内容分为7章。
第1窜是复合材料概述，第2章介绍变形体几何分析和基本守恒原理，第3章是线弹性各向异性弹性力学本构方程，第4章为复合材料单层板理论，第5章是复合材料单层板强度理论，第6章是复合材料层合板理论，第7章介绍复合材料层合板弯曲、屈曲和振动。
本书可供高等院校力学及相关专业本科生、研究生复合材料力学课程作为教材使用，也司供有关科技人员学习参考。
复合材料是指两种或两种以上具有不同性能的材料在宏观尺度上组合成的一种多相材料。
每一种组成材料称为复合材料的组分，包容组分称为基体IC现货材料(简称为基体)，被包容材料称为增强材料，基体与增强材料的结合面称为界面(基体与增强材料在其界面上束发生化学反应，无相互溶解)。
在工程上，复合材料是指通过物理和化学方法格一种(或几种)材料按照一定方式加入到另一种材料中，从而克服单一材料性能的某些弱点。
对于复合材料力学，单一材料性能的改善主要是指材料的力学性能(比强度、比刚度、耐腐蚀和耐磨损、湿热效应等)。
从不同的角度来看，复合材料具有不同的含义。
复合材料力学-第四章层合板的宏观力学行为
Q 12 t 3 12
D 22
Q 22 t 3 12
D 16 D 26 0
A 66 Q 66 t
D 66
Q 66 t 3 12
合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中面的曲率有关
Nx Ny
A A1121
A12 A22
0 0
00yx
Nx
y
0
0
A660x
y
Mx My
D D11
1 2
引言
有不同物理性质和几何尺寸单层组成的层合板 具有最一般的各向异性性质 层合板不一定有确定的主方向 另一方面，这种层合板在厚度方向具有客观的 非均匀性和力学性质的不连续性 对层合板的力学分析就变得更为复杂 已知单层的性质，主要关注沿厚度方向的应力 和应变的变化
引言
单层板的应力-应变性能
1 2
Q Q1211
Bij 0
相当于特殊正交各向异性单层板
正规对称正交铺层层合板 厚度和材料性能相同 材料主方向与层和板轴交替成0和90角
对称层合板
Q11Q11co4s2(Q122Q66)sin2co2sQ22sin4 Q12(Q11Q224Q66)sin2co2sQ12(co4ssin4) Q22Q11sin42(Q122Q66)sin2co2sQ22co4s Q16(Q11Q122Q66)sinco3s(Q12Q222Q66)sin3cos Q26(Q11Q122Q66)sin3cos(Q12Q222Q66)sinco3s Q66(Q11Q222Q122Q66)sin2co2sQ66(co4ssin4)
经典层合理论
z,w
x,u
u0
y,v
A
B
A
zc C x
复合材料力学第四章层合板的宏观力学行为
复合材料力学第四章层合板的宏观力学行为层合板是一种由多层材料在一定角度堆叠压制而成的复合材料结构。
它由胶合剂粘合在一起，形成一个整体的结构，具有较好的力学性能。
层合板在航空航天、汽车、建筑等行业中被广泛应用，因其具有良好的强度和刚度、较低的重量和成本等优势。
层合板的宏观力学行为可以从宏观角度和微观角度两个方面来研究。
从宏观角度来看，层合板可以看作是一个复合材料板。
在受力时，层合板主要承受拉、压、剪等力。
根据不同的力学模型，可以通过切变理论、薄板理论和剪切变形理论等方法来进行计算。
切变理论是最常用的方法之一、该理论是假设层合板在受力时，各层之间发生无滑移的切变变形，层间切应力在板的厚度方向分布均匀。
根据该理论，可以得到层合板的切变变形方程，进而计算出层合板的应力和变形。
薄板理论是另一种常用的方法。
该理论是假设层合板是一根薄板，其厚度远小于其他尺寸，因此在计算时可以忽略板厚度方向的变形。
根据薄板理论，可以得到层合板的挠度方程，并据此计算层合板的应力和变形。
剪切变形理论结合了切变理论和薄板理论的优点。
该理论考虑了层合板在受力时发生的切变变形和弯曲变形，对于层合板的力学行为具有较好的描述能力。
从微观角度来看，层合板的宏观力学行为可以理解为层与层之间的相互作用。
由于层合板是由多层材料堆叠而成的，不同材料的力学性质会影响整体的力学行为。
根据不同材料的应力应变关系和强度性能，可以得到层合板的宏观力学性能。
在层合板的设计和应用中，关键是如何选择合适的层厚度、层间胶合剂和夹层角度等参数。
通过合理选择这些参数，可以提高层合板的强度、刚度和耐疲劳性能。
总之，层合板的宏观力学行为是通过宏观角度和微观角度相结合来研究的。
在设计和应用层合板时，需要综合考虑材料的力学性能和结构的力学行为，以提高层合板的整体性能。
复合材料力学Lecture-4
s
s
方形
s
d
d
三角形
s
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
对方形排列，总面积A=s2，纤维面积
Af
=π d2 4
纤维的体积含量为：
Vf
=
Af
/
A
=
π
⎛ ⎜
d
2
⎞ ⎟
4⎝s⎠
最大值在s=d时出现： V f max = π / 4 = 0.785 (4.5)
类似，三角形排列的纤维体积含量为：
Vf
=
由前一章可知，单向复合材料是横观各向同性的， 共有5个独立的弹性常数，称为等效弹性常数，如果 将它们都一一确定，单层板的弹性问题也就完全解 决。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
解决的方法分为宏观力学（Macromechanics）与细 观力学（Micromechanics）两类 。
宏观力学的方法是分别针对不同的单向复合材料， 直接进行实验测定材料的5个等效弹性常数。
+ Vmε
m yy
=
V
f
(
σ
f yy
Ef
)
+
Vm
σ (
E
m yy
m
)
=
⎜⎛ ⎜⎝
Vf Ef
+
Vm Em
⎟⎟⎠⎞σ
yy
即,
1 E yy
= Vf Ef
+
Vm Em
(4.9)
4.3.3 面内剪应力
根据加载条件和基本假设，有：
σ xx
=
σ
f xx
=
σ
m xx
=0
σ
yy
复合材料力学-2014-4
Mx M y M xy
Q11 N Q 21 k 1 Q16
Q12 Q 22 Q 26
Q16 Q 26 Q 66
zx 0, zy 0
• 直法线不变假设
– 假设垂直于层合板中面的一根初始直线，在层合板受到拉伸和弯
曲后，仍保持直线并垂直于中面；变形前垂直与板中面的直线在
变形后仍保持垂直，且长度不变 – 板的克希荷夫假设(Kirchhoff)
z 0
– 壳的克希荷夫-勒普假设(Kirchhoff-Love)
D12 D 22 D 26
D16 k x D 26 k y k D 66 xy
经典层合理论
Ai j
Q ( z
N k 1 ij k
k
z k 1 )
1 N 2 2 Bi j Qi j k ( z k zk 1 ) 2 k 1 1 3 3 Di j Q i j k ( z k zk 1 ) 3 k 1
u 0 x v 0 {0 } y u 0 v 0 x y
经典层合理论
u0 v 0 u0 v 0 T {0 } { , ,( )} x y y x
2w 2w 2w T {k } { , ,2 } 2 2 x y x y
Nx A 11 N y A 21 A N x y 16
A 12 A 22 A 26
0 A 16 x 0 A 26 y 0 A 66 x y
复合材料力学(宏观力学,微观力学)
Determination of Longitudinal Modulus
under a Longitudinal stress Parallel model
Longitudinal direction
• σ1 Ac = σm Am + σf Af • σ1 = σm Am / Ac + σf Af / Ac • σ1 = σm V m/ V c + σf / V f Longitudinal composite stress: σ1 =σm vm + σf v f= σm vm + σf (1-v m) Longitudinal composite strain: ∆L ε1 = ε f = ε m = L
Longitudinal Modulus
• σ 1 / ε1 = σ m vm / εm + σ f vf / εf • For linear fiber and matrix (Hooke’s Law) • E1 = Em vm + E f vf
Generalized equation for composites with n constituents:
Void content determination
M c M f + M m ρ f V f + ρ mVm ρc = = = = ρ f v f + ρ m vm Vc Vc Vc
Mc Mc Mc ρc = = = Vc V f + Vm + Vv M f / ρ f + M m / ρ m + Vv ⇒ ρc = 1 m f / ρ f + mm / ρ m + vv ρc
复合材料结构设计第四章细观力学
• 玻璃纤维密度一般取2.54g/cm3，热固性树脂浇铸体的 密度近似取为1.27g/cm3 .则玻璃纤维增强塑料中纤维体 积含量可简化为：
1 mm vf 1 mm
（4.2.14）
4.3 单向连续纤维增强复合材料弹性 常数的预测
• 下图所示为复合材料单向板，将它简化为薄片 模型Ⅰ和薄片模型Ⅱ。模型Ⅰ的纤维薄片和基 体薄片在横向呈串联形式，故称为串联模型。 它意味纤维在横向完全被基体隔开，适用于纤 维所占百分比少的情况。模型Ⅱ的纤维薄片与 基体薄片在横向呈并联形式，故称为并联模型。 它意味纤维在横向完全连通，适用于纤维所占 百分比较高的情况。 • 一般说来，实际情况是介于两者之间的某个状 态。
mm f 1 1 m m m
（4.2.10）
f / m m f / m m f / mm
（4.2.11）
或者
f / m mf f / m vm / v f m / f mm m / f v f / vm
（4.2.12）
（4.2.13）
静力关系为： 12 f 12 f m12m
几何关系为：
(4.3.28) (4.3.29) (4.3.30)
12 f 12 m12
物理关系为： 12 12G12 , f 12 f 12G f 12 , m12 m12Gm12
将(4.3.27)代入(4.3.27)得
(4.3.20)
假设基体和纤维中剪切应力相等，即
12 f 12 m12
将上述三式整理并除以b得
(4.3.21)
1 1 1 I vf I v m I G 12 G f Gm
(4.3.22)
复合材料力学沈观林编着清华大学出版社
《复合材料力学》沈观林编著清华大学出版社第一章复合材料概论1.1复合材料及其种类1、复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理和化学方法在宏观尺度上组成的具有新性能的材料。
2、复合材料从应用的性质分为功能复合材料和结构复合材料两大类。
功能复合材料主要具有特殊的功能。
3、结构复合材料由基体材料和增强材料两种组分组成。
其中增强材料在复合材料中起主要作用，提供刚度和强度，基本控制其性能。
基体材料起配合作用，支持和固定纤维材料，传递纤维间的载荷，保护纤维。
根据复合材料中增强材料的几何形状，复合材料可分为三大类：颗粒复合材料、纤维增强复合材料(fiber-reinforced composite)、层和复合材料。
(1)颗粒：非金属颗粒在非金属基体中的复合材料如混凝土；金属颗粒在非金属基体如固体火箭推进剂；非金属在金属集体中如金属陶瓷。
(2)层合（至少两层材料复合而成）：双金属片；涂覆金属；夹层玻璃。
(3)纤维增强：按纤维种类分为玻璃纤维（玻璃钢）、硼纤维、碳纤维、碳化硅纤维、氧化铝纤维和芳纶纤维等。
按基体材料分为各种树脂基体、金属基体、陶瓷基体、和碳基体。
按纤维形状、尺寸可分为连续纤维、短纤维、纤维布增强复合材料。
还有两种或更多纤维增强一种基体的复合材料。
如玻璃纤维和碳纤维增强树脂称为混杂纤维复合材料。
5、常用纤维（性能表见P7表1-1）玻璃纤维（高强度、高延伸率、低弹性模量、耐高温）硼纤维（早期用于飞行器，价高）碳纤维（主要以聚丙烯腈PAN纤维或沥青为原料，经加热氧化，碳化、石墨化处理而成；可分为高强度、高模量、极高模量，后两种成为石墨纤维（经石墨化2500~3000°C）；密度比玻璃纤维小、弹性模量比其高；应力—应变关系为一直线，纤维断裂前是弹性体；高模量碳纤维的最大延伸率为0.35%,高强度的延伸率为 1.5%；纤维直径6~10μm；各向异性，沿纤维方向热膨胀系数α1=-0.7×10-6~-0.9×10-6，垂直于纤维方向α2=22×10-6~32×10-6）芳纶纤维（Kevlar，聚芳酰胺，K-29绳索电缆、K-49复合材料制造、K-149航天容器；单丝强度比玻璃纤维高45%，弹性模量为碳纤维一半，α与碳纤维接近）碳化硅纤维与氧化铝纤维（同属于陶瓷纤维，碳化硅有抗氧化、耐腐蚀、耐高温优点，与金属相容性好；氧化铝纤维有多重制法）6、常用基体树脂基体（分为热固性树脂和热塑性，热固性有环氧、酚醛、不饱和聚酯树脂等；其中环氧应用最广，粘结力强、表面浸润性好、固化收缩性较高、耐热性固化方便；酚醛耐高温、吸水性小，电绝缘性好、便宜；聚酯工艺性好，室温固化，固化后均不能软化；热塑性有聚乙烯、聚苯乙烯、聚酰胺/尼龙、聚碳酸酯、聚丙烯等，加热转变温度会重新软化，制成模压复合材料）金属基体（耐高温、抗侵蚀、导电导热、不透气，应用较多的是铝）陶瓷基体（耐高温、化学稳定性好、高模量、高抗压强度、耐冲击性差）碳素基体（主要用于碳纤维增强碳基体复合材料，又称为碳/碳复合材料，C-CA、C-CE分别用聚丙烯腈氧化法和催化法生产）1.2复合材料的构造及制法1、纤维增强复合材料几种构造形式：（1）单层复合材料（单层板），纤维按一个方向整齐排列或由双向交织纤维平面排列。
《复合材料力学》4弹性力学基础
应力用矩阵表示：τyz来自σyσxτxy
τyx
y
⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ ⎣ ⎦
共六个应力分量。
x
（三）形变（应变）
形变就是形状的改变。物体的形变可 以归结为长度的改变和角度的改变。 1.线应变：图1-9中 线段PA、PB、PC每单 位长度的伸缩，即单位 伸缩或相对伸缩，称为 线应变。分别用 ε x、 ε y ε z、 表示。
§1.4 弹性力学的发展和研究方法 弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期 研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发 现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验 方法探索物体的受力与变形之间的关系。 1807年，Thomas Young （1773～ 1829，英国物理学家、医生、波动光学的奠基 人） 做了大量的实验，提出和测定了材料的弹 性模量。
3.应力集度： ΔA面积上的内力的平均集度为：
r ΔF r P点的应力为： p = lim ΔA→0 ΔA
z
B ΔF σ p m △A
P o A
r ΔF ΔA
τ
n
P点的应力分量为 σ τ 、 σ --正应力 τ ---切应力 因次是[力][长度]-2。
y
x
图1-4
4.应力分量 应力不仅和点的位置有关，和截面的方位 也有关，不是一般的矢量，而是二阶张量。
弹性力学的解法也在不断地发展。首 先是变分法（能量法）及其应用的迅速发 展。贝蒂（ 1872 ）建立了功的互等定理， 卡斯蒂利亚诺（1873－1879）建立了最小 余能原理，以后为了求解变分问题出现了 瑞利－里茨（1877，1908）法，伽辽金法 （1915）。此外，赫林格和瑞斯纳（1914， 1950 ）提出了两类变量的广义变分原理， 胡海昌和鹫津（1954，1955）提出了三类 变量的广义变分原理。
复合材料原理第4章 ppt课件
（3）、使特殊表面能的影响最小；
（4）、控制凝聚作用使总表面能最小。
PPT课件
18
4.3.2.4 氧化结合 氧化结合是一种特殊的化学结合，因为它是增强体表面
吸附的空气所带来的氧化作用。
4.3.2.5 混合结合
这是一种实际情况中常会发生的重要界面结合形式，而 且，在某些情况下，外场的条件会导致不同的界面类型发生 转变，导致混合结合。
4.3.1.5 晶面角守恒特性、各向异性与解理面
图4.5
几种晶体的晶面角 PPT课件
15
4.3.1.6 固体的熔点
在恒压下对晶体加热时，晶体温度升高但状态不变， 到达熔点温度时，晶体温度保持不变而由固体熔融为液态 。
晶体材料除上述性质外，还存在其他一些性质，如晶 体中粒子的热运动、晶格振动、缺陷及其生长与消失，这 些均与晶体结构和性质紧密联系在一起。
胶束（胶粒）：固化反应后，密度大的中心部位。 胶絮：固化反应后，密度小的中心部位。 树脂抑制层：在增强体表面形成的有序树脂胶束层。 结构：类似胶束的高密度区、类似胶絮的低密度区。 复合材料中界面区的作用使基体与增强体结合形成材料整 体，并实现外力场作用下的应力传递。 界面结构：Eg 环氧树脂的固化；增强体高表面能：内部致密层,外部松散层；
复合材料备课笔记
C22 0
0 C22 C23 2
0 0
0
0
0 0 0 0 0 0
0
C55
0
0
0 C55
• 五个独立常数
• ④ 二维单向板弹性本构
• 平面应力假设：薄板上、下两面均没有外载，
即 3 0,13 0, 23 0
• 三维本构 二维本构
• 单向板属于正交异性材料，如果单向板较薄，
• 应变能：弹性体在外力作用下，储存在
单位体积中的应变能是
W
1 2
(
x
x
y y
zz
xy
xy
yz
yz
zx zx )
• 例：截面积为A的圆柱，均质各相同性体，模量E • 写出各应力、应变及应变能表达式
x
P ,
A
y
0, z
0, xy
0,
yz
C21 C22 C23 0
0
0
C C031
C32 0
C33 0
0 C44
0 0
0
0
0
0
0
0
C55
0
0 0 0 0 0 C66
• 9个独立常数 • 同理也可写出[S]：
S11 S12 S13 0 0 0
S21 S22 S23 0
0
0
1 S111, 2 S121, 12 0
E1
1 1
1 S11
12
2 1
S12 S11
• 在2方向拉伸：
1 0, 2 0,12 0
复合材料力学Lecture-5
(4.22)
再假定该复合材料只受横向力作用。根据横向应变方 程，类似有：
f m f m σ 22 σ 22 σ 22 ⎛ V f / E22 + Vm a / E ⎞ ⎟σ 22 ε 22 = = V f f + Vm m = ⎜ ⎜ ⎟ E22 E22 E V f + Vm a ⎝ ⎠
(4.23)
第四章、单层板弹性理论
复合材料力学
因此，a11、a22、a21、a33可以看作为多变量（即材料 参数和几何参数）的函数，因而可以相对材料参数作 幂级数展开。 由于当两种组成材料（纤维和基体）的性能变的完 全相同时，桥联矩阵必须要能够退化为单位矩阵， 据此写出一般的展开式为：
f a11 = 1 + λ11 (1 − E m / E11 ) + ...
m f f m f m ( S11 − S11 + S 22 − S 22 )a12 = ( S12 − S12 )(a 22 − a11 )
(4.21)
现在，假定纤维和基体分别是各向同性材料如玻璃 纤维与环氧树脂。此时，上式的左边恒为0，右边 a22≠a11。因此，上述等式成立的必要条件是 ：
第四章、单层板弹性理论
f a11 = E m / E11
(4.25) (4.26) 0<β <1 (4.27)
a21=0
Em a 22 = β + (1 − β ) f E 22
第四章、单层板弹性理论
Gm a33 = α + (1 − α ) f G12
复合材料力学
(4.28)
0<α <1
将(4.26)代入(4.20)，得到非0因变量a12为： (4.26)代入(4.20)，得到非
复合材料的宏观力学
S 22 2 S 11S 22 S 12 S 12 2 S 11S 22 S 12
1 S11 E1 S12 S 22 12 21 E1 E2
Q 11 Q 12 Q 22
E1 1 12 21 12E 2 21E 1 1 12 21 1 12 21 E2 1 12 21
x x y R y xy xy
2
Router矩阵转换的优点消除了刚度或柔度矩阵表达式 中的很麻烦的1/2 或2，推导或计算方便！
简单层板在任意方向上的应力-应变关系
对于材料主轴和坐标系一致的特殊正交各向异性简单层板
很麻烦！
简单层板在任意方向上的应力-应变关系
T 1
cos2 s i n2 2 s i n cos 2 2 sin cos 2 s i n cos s i n cos s i n cos cos2 s i n2
1 2 3 23 31 12 S11 S 12 S13 0 0 0 S12 S 22 S 23 0 0 0 S13 S 23 S 33 0 0 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 0 0 S 55 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 S 66 12
0 1 0 2 S 66 12
1 S11 E1
其中
12 21 S12 E1 E2 S 22 1 1 , S 66 E2 G12
正交各向异性材料 平面应力问题的应力应变关系
复合材料力学 第四章 单层板的宏观力学基础
Px (ult ) 2A
若单独测量
x
，则
Ex
x
4 1 1 2 12 G12 1 /( ) E x E1 E 2 E1
2、薄壁管轴扭转试验
12 12
M 2 2r t 45 45
12 G12 12
S 12 (ult ) M (ult ) 2r t
2）离轴刚度：
Qij Q ji
Qij
Q11 Q11 cos4 2(Q12 Q66 ) sin 2 cos2 Q22 sin 4
22 22 11
U1 U 2 cos2 U 2 cos4
Q12 Q12 (Q11 Q22 2Q12 4Q66 ) sin 2 cos2
三个技术难点：1）克服荷载偏心； 2）避免试样失稳；
3）防止试样端部破坏。
压 缩 试 样 图
通过与拉伸结果的比较可知： 1、对模量和泊松比，对大多数材料来说，拉
压结果相同。 双模量材料：拉压弹性性能不同的材料 硼/环氧：
E1 206.9GPa; E1 234.4GPa
聚酯/橡胶：
E1 0.617GPa; E1 0.0369 GPa
12 S
（其中之一满足等号成立即破坏；没有考虑互相间的影响）
二、最大应变理论
单层在应力
1 , 2 , 12
共同作用下，只要沿轴应变
之一达到相应的沿轴强度所产生的应变便发生破坏。即：
X X 1 E2 E1 Y Y 2 E1 E2 S 12 G12
2
§4-3平面应力下单层板的强度理论
对正交各向同性材料：
第四章 单层复合材料的强度
第四章 单层复合材料的强度4.1 复合材料的强度特征材料强度是材料承载时抵抗破坏的能力。
破坏是与结构的技术要求相关的，多数情况下，宏观强度理论将(塑性)材料的屈服和(脆性材料的)断裂视为破坏或失效。
对于各向同性材料，强度在各个方向上均相同，没有方向性。
常用的强度理论有：1. 最大应力理论材料破坏是由于最大应力(拉伸应力1σ、压缩应力3σ或剪切应力m ax τ)达到极限值(屈服极限或强度极限)，tm σσ≤1，cm σσ≤3，m ττ≤max式中tm σ、cm σ和m τ分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应力。
2. 最大应变理论材料破坏是由于最大应变(拉伸应变1ε、压缩应变3ε或剪切应变m ax γ)达到极限值，tm εε≤1，cm εε≤3，m γγ≤max式中tm ε、cm ε和m γ分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应变。
3. 最大歪形能理论材料破坏是由于歪形能达到一定极限值，ym y U U ≤式中)(31133221232221σσσσσσσσσν---+++=EU y ，231tm ymEU σν+=，tm σ为单向拉伸时的极限应力，因而得 2133221232221tm σσσσσσσσσσ≤---++对于复合材料，其强度的特点是具有方向性。
对于正交各向异性材料，存在三个材料主方向，不同主方向的强度是不同的。
例如，纤维增强复合材料单向板，沿纤维方向强度通常为沿着垂直纤维方向强度的几十倍。
与各向同性材料不同，正交各向异性单向板有如下强度特征：1．对于各向同性材料，主应力与主应变是与材料主方向无关的应力应变极值，对各向异性材料，由于强度的方向性，最大作用应力不一定对应材料的危险状态，而材料主方向的应力比最大作用应力更重要。
2．对正交各向异性单向板，沿材料的主方向的强度极限值称为基本强度，它们是：X－沿纤维方向(材料主方向1)的强度；Y－垂直于纤维方向(材料主方向2)的强度；S－(1－2平面内)剪切强度。
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因上式没有明显包含
Q
3
，故
Q 不是 C ，所以称
为平面应力时的折算沿轴刚度。
由
3 C13 1 C23 2 C33 3 0
可以推出
Qij 与 Cij 的关系，即：
Q11 C11 C13 C13 / C33
12 22 12 22 13 23 23 23
1 0 0 令 R 0 1 0 ，有： 0 0 2
F RT R
则
1
cos2 sin 2 2 sin cos
sin 2 cos2 2 sin cos
1 2 6
26
式中
U i (i 1,,5) 是单层的不变量（与
角无关）
Ui只有四个独立量，即：
1 U 1 8 (3Q11 3Q22 2Q12 4Q66 ) U 1 (Q Q ) 22 2 2 11 1 U 3 (Q11 Q22 2Q12 4Q66 ) 8 1 U 4 8 (Q11 Q22 6Q12 4Q66 ) U 1 (Q Q 2Q 4Q ) 1 (U U ) 22 12 66 1 4 5 8 11 2
sin cos sin cos cos2 sin 2
由[F]的定义式可知：
F
T
T F T F T
1 1 T 1 T
结合上述式子可得：
T T Q T QT T i、
即
sin 2 cos2 sin cos
2 sin cos 1 2 sin cos 2 cos2 sin 2 12
T
sin cos2 sin cos
2
66 66
U 4 U 3 cos4
5
Q16 (Q11 Q12 2Q66 ) sin cos3 (Q22 Q12 2Q66 ) sin 3 cos
26 12 11
1 U 2 sin 2 U 3 sin 4 2
（因为
Q16 0 ，所以仍有耦合现象）
i Sij j
31
E1
面外应变
3 S13 1 S 23 2 23 0 31 0
1
32
E2
2
面内应变：
1 S11 1 S12 2 2 S12 1 S 22 2 12 S 66 12
1 S11 2 S 21 0 12
P 1 A
一、纵向拉伸试验
1 E1 1 2 21 1
Pult X 1ult A
A ：横截面面积
二、横向拉伸试验
P 2 A
2 E2 2 1 12 21 12 (应满足 ) 2 E2 E1
Pult Y A
三、压缩试验
Px (ult ) 2A
若单独测量
x
，则
Ex
x
4 1 1 2 12 G12 1 /( ) E x E1 E 2 E1
2、薄壁管轴扭转试验
12 12
M 2 2r t 45 45
12 G12 12
S 12 (ult ) M (ult ) 2r tFra bibliotek即
F
1 1 1 1 R 2 R T 2 R T R 2 12 12 6 2 2
即
[Q]
[Q] T QT
T
——离轴刚度
T
ii、 F F S F S T F S F
1
即
[S ]
[S ] F S F ——离轴柔度
2 2 1 2 s s s
2 x 2 s
x y
2 xy
蔡-希尔理论：对正交各向异性材料（平面应力状态）有
a
2 1 2
b
2 2 2
1 2
a
2
S
2 12 2
1
X , 1 0 其中 a X , 1 0
Y , 2 0 b Y , 2 0
3）离轴柔度： 见《复合材料力学》（周履等）P35~36页。 2、讨论 1）工程常数随角 主观臆断，如： 对玻璃/环氧：沿纤维方向杨氏模量最大，垂直纤维方向杨氏 模量最小； 对硼/环氧：沿纤维方向杨氏模量最大，垂直纤维方向杨氏模 量不是最小，而当在60°附近时最小。
的变化情况。
各向异性的某些特性只有通过计算才能显示出来，不能
三个技术难点：1）克服荷载偏心； 2）避免试样失稳；
3）防止试样端部破坏。
压 缩 试 样 图
通过与拉伸结果的比较可知： 1、对模量和泊松比，对大多数材料来说，拉
压结果相同。 双模量材料：拉压弹性性能不同的材料 硼/环氧：
E1 206.9GPa; E1 234.4GPa
聚酯/橡胶：
E1 0.617GPa; E1 0.0369 GPa
第四章 单层板的宏观力学基础
§4-1 平面应力下单层板的本构关系 · 沿轴强度
一、沿轴柔度与刚度
材料主轴O123如图所
示：1为沿纤维方向，3为
垂直于单层的中面方向。
在面内受力情况下，单层处 于平面应力状态，即：
3 23 31 0
（面外应力为零）
利用正交异性材料的胡克定律 可写出：
其中之一等号成立即破坏。
其中
1 12 1 E E 2 1 2 21 2 1 2 E1 E2
该理论考虑了两个正应力对强度的互相影响。
三、蔡-希尔（Tsai-Hill）理论
各向同性材料平面应力状态的Mises屈服准则为：
2 y
T
Q11 Q Q21 Q61
Q12 Q22 Q62
Q16 Q26 Q66
S ij S ji
S11 S S 21 S 61
S12 S 22 S 62
S16 S 26 S 66
按矩阵乘法可写出两者的元素为：
1）对称性：
2
§4-3平面应力下单层板的强度理论
对正交各向同性材料：
1）将沿轴材料主轴单一受力的应力状态称为单一应力状态；
2）其余统称为非单一（或复杂）应力状态。
一、最大应力理论
单层在应力共同作用下，只要
1 , 2 , 12 其中之一达到沿轴强度
便发生破坏。即：
X 1 X Y 2 Y
即 其中
Q
Q11 S 11 / E1 /
22 22 2
Q12 S12 / 21 E2 / 12 E1 /
Q66 1 / S 66 G12 S11 S 22 S12 , 1 12 21
12 S
（其中之一满足等号成立即破坏；没有考虑互相间的影响）
二、最大应变理论
单层在应力
1 , 2 , 12
共同作用下，只要沿轴应变
之一达到相应的沿轴强度所产生的应变便发生破坏。即：
X X 1 E2 E1 Y Y 2 E1 E2 S 12 G12
（*）
写成矩阵形式：
S12 S 22 0
0 1 0 2 S 66 12
即 这里称
S
S 为沿轴柔度，用工程常数表示为：
1 E 1 1 21 2 E1 12 0
对（*）式求逆，有
12
E2 1 E2 0
0 1 0 2 12 1 G12
1 Q11 2 Q21 0 12
Q12 Q22 0
0 1 0 2 Q66 12
即
1 , 2 ,12
使上式成立便发生破坏。
该理论考虑了三个沿轴应力的共同影响，而且只有一个
强度判别式。
四、蔡-吴张量理论
1、一般形式： 单层复合材料的强度条件：
f ( ij , F ) 1
F 为该点的材料
其中
ij 为所研究点的应力状态，
强度特性，它包含了有关材料强度性能的所有方面。而且上式
2、对于强度，一般而言必须考虑拉、压强度
不相同。 3、横向应力-应变曲线对某些复合材料具有明
显的非线性关系。
四、面内剪切试验
1、45°离轴拉伸法
x Px 12 G 12 12 ( x y ) 2 A( x y )
S
45
x (ult )
2
P/ A
注意：
1、采用沿轴坐标系，剪应力的负号不影响强度。（离轴时剪 应力的正负则有影响）
2、采用沿轴坐标系，拉伸于压缩强度是不同的。
3、在单层板中，强度是应力方向的函数；而且对正交各向异性 材料，主应力和主应变的概念是无意义的，我们更关心的是材料 主方向上的应力和应变。
§4-2
单层板沿轴性能的测定
与坐标轴的选择无关，为坐标变换的不变量函数。
若已由试验确定，则强度条件只是应力的函数，可写成：