复合材料力学 第四章 单层板的宏观力学基础

注意：
1、采用沿轴坐标系，剪应力的负号不影响强度。（离轴时剪 应力的正负则有影响）
2、采用沿轴坐标系，拉伸于压缩强度是不同的。
3、在单层板中，强度是应力方向的函数；而且对正交各向异性 材料，主应力和主应变的概念是无意义的，我们更关心的是材料 主方向上的应力和应变。
§4-2
单层板沿轴性能ຫໍສະໝຸດ Baidu测定

sin cos sin cos cos2 sin 2
由[F]的定义式可知：
F
T
T F T F T
1 1 T 1 T


结合上述式子可得：
T T Q T QT T i、
与坐标轴的选择无关，为坐标变换的不变量函数。
若已由试验确定，则强度条件只是应力的函数，可写成：
（*）
写成矩阵形式：
S12 S 22 0
0 1 0 2 S 66 12
即 这里称
S
S 为沿轴柔度，用工程常数表示为：
1 E 1 1 21 2 E1 12 0
即 其中
Q
Q11 S 11 / E1 /
22 22 2
Q12 S12 / 21 E2 / 12 E1 /
Q66 1 / S 66 G12 S11 S 22 S12 , 1 12 21

Px (ult ) 2A
若单独测量
x
，则
Ex
x

4 1 1 2 12 G12 1 /( ) E x E1 E 2 E1
2、薄壁管轴扭转试验
12 12
M 2 2r t 45 45
12 G12 12
S 12 (ult ) M (ult ) 2r t
三个技术难点：1）克服荷载偏心； 2）避免试样失稳；
3）防止试样端部破坏。
压 缩 试 样 图
通过与拉伸结果的比较可知： 1、对模量和泊松比，对大多数材料来说，拉
压结果相同。 双模量材料：拉压弹性性能不同的材料 硼/环氧：
E1 206.9GPa; E1 234.4GPa
聚酯/橡胶：
E1 0.617GPa; E1 0.0369 GPa
对上式求逆有：
2 1 cos 2 sin 2 sin cos 12
即
T
1
1 2 sin cos 2 sin cos 2 cos2 sin 2 12
26
式中
U i (i 1,,5) 是单层的不变量（与

角无关）
Ui只有四个独立量，即：
1 U 1 8 (3Q11 3Q22 2Q12 4Q66 ) U 1 (Q Q ) 22 2 2 11 1 U 3 (Q11 Q22 2Q12 4Q66 ) 8 1 U 4 8 (Q11 Q22 6Q12 4Q66 ) U 1 (Q Q 2Q 4Q ) 1 (U U ) 22 12 66 1 4 5 8 11 2
2、对于强度，一般而言必须考虑拉、压强度
不相同。 3、横向应力-应变曲线对某些复合材料具有明
显的非线性关系。
四、面内剪切试验
1、45°离轴拉伸法
x Px 12 G 12 12 ( x y ) 2 A( x y )
S
45

x (ult )
2
P/ A
3）离轴柔度： 见《复合材料力学》（周履等）P35~36页。 2、讨论 1）工程常数随角 主观臆断，如： 对玻璃/环氧：沿纤维方向杨氏模量最大，垂直纤维方向杨氏 模量最小； 对硼/环氧：沿纤维方向杨氏模量最大，垂直纤维方向杨氏模 量不是最小，而当在60°附近时最小。

的变化情况。
各向异性的某些特性只有通过计算才能显示出来，不能
T

Q11 Q Q21 Q61
Q12 Q22 Q62
Q16 Q26 Q66

S ij S ji
S11 S S 21 S 61
S12 S 22 S 62
S16 S 26 S 66
按矩阵乘法可写出两者的元素为：
1）对称性：
66 66
U 4 U 3 cos4
5
Q16 (Q11 Q12 2Q66 ) sin cos3 (Q22 Q12 2Q66 ) sin 3 cos
26 12 11
1 U 2 sin 2 U 3 sin 4 2
（因为
Q16 0 ，所以仍有耦合现象）
2）离轴刚度：
Qij Q ji
Qij
Q11 Q11 cos4 2(Q12 Q66 ) sin 2 cos2 Q22 sin 4
22 22 11
U1 U 2 cos2 U 2 cos4
Q12 Q12 (Q11 Q22 2Q12 4Q66 ) sin 2 cos2
1 0 0 令 R 0 1 0 ，有： 0 0 2
F RT R
则
1
cos2 sin 2 2 sin cos
sin 2 cos2 2 sin cos
1 2 6
即
1 , 2 ,12
使上式成立便发生破坏。
该理论考虑了三个沿轴应力的共同影响，而且只有一个
强度判别式。
四、蔡-吴张量理论
1、一般形式： 单层复合材料的强度条件：
f ( ij , F ) 1
F 为该点的材料
其中
ij 为所研究点的应力状态，
强度特性，它包含了有关材料强度性能的所有方面。而且上式
i Sij j
31
E1
面外应变

3 S13 1 S 23 2 23 0 31 0
1
32
E2
2
面内应变：

1 S11 1 S12 2 2 S12 1 S 22 2 12 S 66 12
1 S11 2 S 21 0 12
即
[Q]
[Q] T QT
T
——离轴刚度
T
ii、 F F S F S T F S F
1
即
[S ]
[S ] F S F ——离轴柔度
2 2 1 2 s s s
2 x 2 s
x y
2 xy
蔡-希尔理论：对正交各向异性材料（平面应力状态）有

a
2 1 2


b
2 2 2

1 2
a
2

S
2 12 2
1
X , 1 0 其中 a X , 1 0
Y , 2 0 b Y , 2 0
即
sin 2 cos2 sin cos
2 sin cos 1 2 sin cos 2 cos2 sin 2 12
T
sin cos2 sin cos
2

即


F
1 1 1 1 R 2 R T 2 R T R 2 12 12 6 2 2
其中之一等号成立即破坏。
其中
1 12 1 E E 2 1 2 21 2 1 2 E1 E2
该理论考虑了两个正应力对强度的互相影响。
三、蔡-希尔（Tsai-Hill）理论
各向同性材料平面应力状态的Mises屈服准则为：
2 y
2）离轴拉伸的面内应变：
yx xy, x 1 x x , y x , xy x Ex Ex Ex
上式表明，离轴拉伸时除纵向伸长，横向收缩外，还会
产生剪应变（即有拉剪耦合现象），另外，各向异性体变形 后的形状凭直观是难以预料的。
三、沿轴强度
对单层板，一般采用沿轴强度作为基本强度参数，它们分 别是： （a）纵向拉伸强度X （b）纵向压缩强度X （c）横向拉伸强度Y （d）横向压缩强度Y （e）纵横（或面内）剪切模量S
2
因上式没有明显包含
Q
3
，故
Q 不是 C ，所以称
为平面应力时的折算沿轴刚度。
由
3 C13 1 C23 2 C33 3 0
可以推出
Qij 与 Cij 的关系，即：
Q11 C11 C13 C13 / C33
12 22 12 22 13 23 23 23
12 S
（其中之一满足等号成立即破坏；没有考虑互相间的影响）
二、最大应变理论
单层在应力
1 , 2 , 12
共同作用下，只要沿轴应变
之一达到相应的沿轴强度所产生的应变便发生破坏。即：
X X 1 E2 E1 Y Y 2 E1 E2 S 12 G12
第四章 单层板的宏观力学基础
§4-1 平面应力下单层板的本构关系 · 沿轴强度
一、沿轴柔度与刚度
材料主轴O123如图所
示：1为沿纤维方向，3为
垂直于单层的中面方向。
在面内受力情况下，单层处 于平面应力状态，即：
3 23 31 0
（面外应力为零）
利用正交异性材料的胡克定律 可写出：
P 1 A
一、纵向拉伸试验
1 E1 1 2 21 1
Pult X 1ult A
A ：横截面面积
二、横向拉伸试验
P 2 A
2 E2 2 1 12 21 12 (应满足 ) 2 E2 E1
Pult Y A
三、压缩试验
对（*）式求逆，有

12
E2 1 E2 0
0 1 0 2 12 1 G12
1 Q11 2 Q21 0 12
Q12 Q22 0
0 1 0 2 Q66 12
2
§4-3平面应力下单层板的强度理论
对正交各向同性材料：
1）将沿轴材料主轴单一受力的应力状态称为单一应力状态；
2）其余统称为非单一（或复杂）应力状态。
一、最大应力理论
单层在应力共同作用下，只要
1 , 2 , 12 其中之一达到沿轴强度
便发生破坏。即：
X 1 X Y 2 Y
Q66 C66
二、离轴柔度和刚度
1、基本关系式 离轴柔度与刚度——非材料主轴单层板的柔度与刚度。 已知旧坐标系（O12）里的柔度
里的离轴柔度
[S]和刚度[Q]，求新坐标系（Oxy）
[S ]
和刚度
[Q]
由坐标变换可得：
2 1 cos 2 sin 2 sin cos 12