讲复数复变函数及其导数

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(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。

一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。

二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。

主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。

四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。

第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。

一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。

所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。

而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。

二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。

就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。

而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。

而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。

三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。

第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。

但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。

可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。

§5.8复变函数的导数与解析函数

（2）u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处满足C R条件：
u
v ，v
u .
x y x y
则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导.
二、解析函数
定义2 若函数f (z)在点z0及z0的某邻域内可导，则称f (z)在点z0解析。若函数f (z)在区域D内的任一点处解析，则称f (z)在D内解析或f (z)为D 内的解析函数。
p Lnz
p ln z2k pi
z e q e q q , 取k 0,1,2, q 1时的q个值
特别，当 1 (n为正整数)时，即为z的n次方根
n
• 对其他的, z 有无穷多值
（2） Lnz取主值ln z时,相应的 z e ln z称为z的主值
(3) 解析性：
对应于Lnz的各个单值分支，z的各个单值分支在除原
如例2 中的 f (z) z 处处不可导，因而处处不解析。
例3 中的 f (z) Re z Im z 在 z 0处不可导，因而在 z 0处不解析。
f (z)在z0解析 f (z)在z0可导
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
由定理2即得：
定理3 : 函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析（1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在D内任一点处可微；（2）u( x, y),v( x, y)在D内任一点处满足C R条件：
(2) ez e x 0,(ez ) ez 0 复变函数中无中值定理
2. 对数函数
w Lnz ln z iArgz ln z i(arg z 2k ).
(对数函数为指数函数的反函数. 设 z e w , w u iv, z rei，则 euiv rei

复变函数与积分变换之复变函数的导数总结

大
学称df (z0 ) Az为函数f (z)在z0处的微分，
复变
或说函数在z0处可微。
函数与
若函数在点z0可微，则A f (z0 )，即
积分变
dw f (z0 )z f (z0 )dz
换
与一元函数一样，复变函数的可导和微分是
等价的。
3. 可导与连续的关系
哈尔
x
u x

1
v y

2y
u y

v x

0

iy2仅在直线Im(z
y )=

1 2
1 2
上
的各点可导
例3 讨论函数f (z) xy 在z 0的可微性．
哈
尔滨
解由于u( x, y) xy , v( x, y) 0所以
工
程大学
ux
(0, 0)

lim
x0
数与积分变
C

R方程：ux

v y

0，
u y

v x

0
换
但u( x, y)、v( x, y)在点(0, 0)不连续，所以复变
函数f (z)在z 0不连续,从而不可导.
三、解析函数
哈尔滨
1. 定义：如果函数f (z)在z0及z0的邻域内处处
工程
可导，则称f (z)在z0解析.

lim
z0
2yi yi

2
所以f (z) x 2 yi在其定义域内处处不可导.
2. f (z) | z |2
哈尔
解由导数的定义,有

数学导数复数知识点总结

数学导数复数知识点总结在本文中，我们将对导数的复数知识点进行详细总结，包括复数的定义、复数函数的导数、复数函数的全微分与全导数，以及一些相关的应用和例题。

一、导数的复数定义1.1 复数的定义在正式介绍导数的复数知识点之前，我们有必要先来回顾一下复数的概念。

复数是由一个实数部分与一个虚数部分组成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

因此，复数可以看作是实数与虚数的结合，是一个具有一定规律和性质的数。

而复数函数就是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)=z²+1，其中z是复数。

1.2 复数的运算对于复数的运算，我们可以通过实部和虚部的运算，实现加减乘除等操作。

例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和、差、积、商分别为z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2²+b2²)+((a2b1-a1b2)/(a2²+b2²))i。

通过这些运算，我们可以得到两个复数的和、差、积、商，这为后续导数的复数知识点打下了基础。

1.3 导数的复数定义在实数情况下，我们知道导数的定义是函数在某一点的极限。

而对于复数函数，我们同样可以根据实数的导数定义来给出复数函数导数的定义。

设f(z)是z的一个函数，如果存在复数w，使得对于任意给定的ε>0，存在另一个正数δ，当|z-z0|<δ时，|f(z)-w|<ε成立，则称f(z)在z=z0处有极限w，记作limz→z0f(z)=w。

如果函数f(z)在z0处有极限w，且对于z0的任何邻域内的点z≠z0，都有limz→z0(f(z)-f(z0))/(z-z0)=w，则称f(z)在z0处可导，并称w是f(z)在z0处的导数。

初数数学中的复变函数公式详解

初数数学中的复变函数公式详解在初等数学中，我们学习了很多关于实数的运算和函数的概念。

然而，在高等数学中，我们会遇到更加复杂且抽象的数学对象，其中之一就是复变函数。

复变函数是定义在复数域上的函数，它既包含了实变函数的性质，又有一些独特的特点。

在本文中，我们将详细解析一些与复变函数相关的重要公式。

1. 欧拉公式欧拉公式是复变函数中最为著名的公式之一。

它将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i以及三角函数之间建立了一个重要的数学关系。

欧拉公式的表达式如下：e^(iπ) + 1 = 0这个公式将复数的指数函数、三角函数和虚数单位统一了起来，展现了复数的神奇和优雅之处。

2. 复变函数的导数公式在实变函数中，我们学习了导数的概念和求导法则。

同样地，对于复变函数，我们也可以定义导数。

对于一般的复变函数f(z)，其导数f'(z)的定义如下：f'(z) = lim(Δz→0) [f(z+Δz) - f(z)] / Δz其中Δz是一个无穷小的复数。

利用导数的定义，我们可以推导出复变函数导数的一些重要公式，如幂函数、指数函数、三角函数等的导数公式。

这些公式在复变函数的研究中起到了非常重要的作用。

3. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复变函数理论中的基本方程之一。

它描述了复变函数的解析性质，是判断复变函数是否可导的重要依据。

假设有一个复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy为复变数，u(x,y)和v(x,y)为它的实部和虚部。

根据柯西-黎曼方程的定义，当函数f(z)可导时，其满足以下两个偏导数条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x这两个方程可以判断函数f(z)是否具有解析性，即在某个区域内是否可导。

4. 柯西积分公式柯西积分公式是复变函数中的重要定理之一。

它描述了函数在某个闭合曲线内的积分与曲线所围成的区域内的函数值之间的关系。

假设有一个复变函数f(z)在某个区域内解析，且有一条闭合的简单曲线C，围成的区域为D。

复变函数的导数

复变函数的导数
什么是复变函数？
复变函数是一种表示实现复数曲线的数学函数，复变函数将实数空间变换为复空间，这既
包括由实数 x 和实数 y 构成的笛卡尔坐标系，也包括由复数构成的复平面。

复数可以
表示为z=x+iy。

贝尔金斯定理称，每一个复变函数都能用它的实部函数和虚部函数来确定，复变函数的实部函数和虚部函数的导数就组成了复变函数的导数。

那么，什么是复变函数的导数？
复变函数的导数是指复变函数的实部函数以及虚部函数的导数的和，它可以用三个符号表示，即f″z= f′x+if′y。

如何计算复变函数的导数？
计算复变函数的导数，需要先解决实部函数和虚部函数导数的问题，并将它们相加。

1. 首先，计算实部函数的导数，也就是计算x的一阶导数。

一般情况下，可以用f′x= limΔx→0(f(x+Δx)-f(x)/Δx)来求解x的一阶导数；
2. 再计算虚部函数的导数，也就是计算y的一阶导数，可用同样的方法来求解，即
f′y= limΔy→0(f(y+Δy)-f(y)/Δy)；
3. 最后，将两个导数相加，得到一个复变函数的导数：f″z= f′x+if′y。

以上就是复变函数的导数的概念及求解方法，仿佛将复数的曲线画出来，它们也可以用复
变函数的导数来表示，这种表示将复数曲线的形状和特性清晰展示出来。

这代表我们可以
利用复变函数的导数来描述复数的曲线的许多性质，比如求复数曲线的局部最大值、最小值，以及曲线的单调性等。

从以上介绍，我们可以看出复变函数的导数扮演着重要的角色，可用来描述复数曲线的特
性和性质，深刻地影响着我们进行复数分析和复变函数研究的工作。

数学中的复变函数理论知识点

数学中的复变函数理论知识点复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究了以复数为自变量和因变量的函数。

在复变函数理论中，有许多重要的知识点需要了解和掌握，本文将就其中的一些重要知识点进行介绍和解析。

一、复数与复平面复变函数理论的基础是复数与复平面。

复数是由实数和虚数组成，形如z=a+bi，其中a、b均为实数，i为虚数单位。

复平面是将复数与二维平面相对应，将实部与虚部分别映射到x轴和y轴上。

二、复数的运算复数的加减法、乘除法都遵循一定的规律，其中加减法是按照实部和虚部分别相加减，乘除法运用复数的乘法公式进行计算。

复数的求模运算是取复数与原点的距离，可以用勾股定理来表示。

三、复变函数的定义复变函数是将复数映射为复数的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部，x和y是复数z=a+bi的实部和虚部。

复变函数的定义域和值域都是复数集。

四、解析函数与调和函数解析函数是指在某个区域内处处可导的函数，也叫全纯函数。

调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即其二阶偏导数的混合二次导数等于零。

五、柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复变函数理论的重要定理之一，它表明解析函数的实部和虚部满足一组偏微分方程。

这个方程系统包括两个方程，分别是实部对应的方程和虚部对应的方程。

六、留数定理和留数求和公式留数定理是解析函数在奇点处的留数与曲线积分的关系，利用留数定理可以计算闭合曲线内的曲线积分。

留数是解析函数在奇点处的留下的一个特殊数值。

留数求和公式则是通过计算留数之和来求解曲线积分。

七、解析函数的级数展开解析函数可以用级数展开表示，其中最常用的是泰勒级数展开和劳伦茨级数展开。

泰勒级数展开适用于解析函数在某个点附近的展开式，劳伦茨级数展开适用于解析函数在圆环区域的展开式。

八、奇点与极点奇点是指函数在某个点上的值无限大或无定义的点，包括可去奇点、极点和本性奇点三种类型。

极点是一种特殊的奇点，是当该点的函数值趋于无穷大时的奇点。

复变函数知识点归纳

复变函数知识点归纳
本文旨在归纳复变函数的相关知识点，以下是一些主要内容：
1. 复数与复平面
复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为`z = a + bi`，其中`a`为实部，`b`为虚部。

复平面将复数表示为在平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。

2. 复变函数定义
复变函数是将复数映射到复数的函数。

常见的复变函数形式包括多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。

3. 解析函数与共轭函数
解析函数是在某个区域上处处可导的函数。

共轭函数是将解析函数的虚部取相反数得到的函数。

4. 复变函数的导数
复变函数的导数由实部和虚部的偏导数组成。

对于解析函数，其导数存在且连续。

5. 复变函数的积分
复变函数的积分可通过路径积分的方式计算，即沿着路径对函数进行积分。

路径可以是直线、曲线或任意闭合曲线。

以上是关于复变函数的基本知识点的简要归纳。

复变函数在数学、物理、工程等领域都扮演着重要的角色，深入理解这些知识点能够帮助我们更好地应用和解决实际问题。

需要深入研究和探索的读者可查阅相关教材和资料。

1-3复变函数的导数(1)

$1.3 复数函数的导数授课要点：导数的定义，柯西—黎曼条件1、复变函数的导数：0'()lim z df w f z dz z∆→∆==∆ 如果极限存在，且与0z ∆→的方式无关，则称()f z 在z 点可导。

'()f z 或df dz 称为函数在z 点的导数.从形式上看，复变函数的导数与实变函数的导数一样，实变函数中的一些关于求导的公式也可用于复变函数之中，比如121212122111212222()()''(1()dw dw d w w dz dz dz dw dw d w w w w dz dz dz w w w w w d dz w w dw dz dz dw dF dF dw F w dz dw dz ⎧+=+⎪⎪⎪=+⎪⎪-⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⋅⎪⎩ 1sin cos cos sin ln 1n n z z dz nz dz d e e dz d z z dz d z z dz d z dz z -⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎪⎩复变函数导数存在的条件是一个很严格的条件，因为 0limz w z∆→∆∆ 的值存在必须是在z ∆以任意方式趋于零的条件下成立，首先考虑两种特殊情况：（1）沿平行于x 轴方向，这意味着z x ∆=∆；从而： 0lim (,)(,)(,)(,)lim 0x w u x x y iv x x y u x y iv x y z z x∆→∆+∆++∆--=∆→∆∆ 0(,)(,)(,)(,)lim[]x u x x y u x y v x x y v x y i x x∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i x x∂∂=+∂∂ (1) 同样的道理，若考虑沿平行于y 轴的方向，有z i y ∆=∆，则：00(,)(,)(,)(,)lim lim z y w u x y y iv x y y u x y iv x y z i y ∆→∆→∆+∆++∆--=∆∆0(,)(,)(,)(,)lim[x u x y y u x y v x y y v x y i i y i y∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i y y∂∂=-+∂∂ (2) 函数的导数只能有一个，故由（1），（2）可得：u v x y v ux y ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩这就是柯西—黎曼方程，或柯西—黎曼条件（Cauthy—Riemann ）。

复变函数的基本概念与性质

复变函数的基本概念与性质复变函数是数学中一个重要的分支，它涉及复数域上的函数理论和分析。

本文将介绍复变函数的基本概念和性质，包括复数、复变函数的定义和解析性、调和函数、全纯函数等。

一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。

复数除了具有实数的加法和乘法运算，还有复数的共轭运算、模运算和幅角运算等。

二、复变函数的定义和解析性复变函数从复数域到复数域的映射，可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy。

其中，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部函数。

复变函数的解析性是指函数在其定义域内可导，用柯西-黎曼条件表述，即函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。

三、调和函数调和函数是一种特殊的复变函数，其实部和虚部函数均具有拉普拉斯方程，即Δu=0和Δv=0。

调和函数在物理学和工程学领域有广泛的应用，如电势问题、热传导问题等。

四、全纯函数全纯函数是复变函数中的重要概念，也称为解析函数。

全纯函数在其定义域内可导，并且导数也是全纯函数。

全纯函数具有很多良好的性质，如可分部积、洛朗级数展开、辐角原理等。

五、复变函数的性质1. 极限性质：复变函数的极限与实变函数类似，但多了收缩定理和全纯函数的唯一性。

2. 连续性质：全纯函数在其定义域内连续。

3. 导数性质：全纯函数的导数也是全纯函数，并且满足导数的性质。

4. 积分性质：沿简单闭曲线的积分与函数在该曲线内的积分无关，这是复变函数中的柯西积分定理。

综上所述，复变函数是由复数域到复数域的映射，具有许多独特的性质。

它为解决物理学、工程学等领域的问题提供了重要的数学工具。

希望本文可以帮助读者理解复变函数的基本概念和性质，并进一步探索其中的数学奥秘。

大学物理-复变函数的导数与解析性

又
得微分公式
(微分与导数的关系)
二、柯西——黎曼条件 (C–R 条件)
要解决的问题：给定一函数 w = f (z) = u(x , y) + i v(x, y)，
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
f (z) 在点 z 可导的必要条件是
存在，且
满足 C – R 条件：
证明：由函数导数的定义，z 以任何方式趋于零时,极限
z0 z
故 f (z) 在 z = 0 点不可导。
四、复变函数导数的几何意义设 w = f (z) 在 z0 可导，即有
复变函数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平面沿曲线 L' 变动。z, w, f ' (z0) 的表示式：
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由导数的定义式可得：
导数的几何意义： 1. 导数的模 f ' (z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z，映射为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 arg f ' (z0) 表示曲线 L 上点 z0 的切线与曲线 L' 上的点 w0 的切线的夹角，即从 Z 平面到 W 平面映射前后切线的转动角。
同理 f 'y 存在且等于 B，故
(全微分与偏导数及自变量微分间的关系)
对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，
偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微
性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：
定理：若 f 'x (x ,y) 及 f 'y (x ,y) 在点 (x ,y) 及某一邻域内存在，且在该点它们都连续，则函数 u = f (x,y) 在该点可微。

复变函数解析函数求导公式

复变函数解析函数求导公式复变函数解析函数求导公式是复变函数微分的一般公式，用于计算和表达复合函数的导数。

在复变函数中，解析函数是指在一些区域内处处可导的函数，即函数在该区域内处处满足解析性质。

对于解析函数而言，存在一套独立的求导规则，使得我们能够轻松地对解析函数进行求导。

设函数 f(z) 是复变量 z 的解析函数，z = x + yi 是复平面上的复数，其中 x 和 y 是实数。

对于区域内的任意一点 z0 = x0 + y0i，我们可以求出 f(z) 在该点处的导数。

导数的定义是函数的变化率，在复平面上的导数包含两个部分：实部的变化率和虚部的变化率。

实部的导数定义为：f'(z0) = lim (h→0) [Re(f(z0 + h)) - Re(f(z0))] / h虚部的导数定义为：f'(z0) = lim (h→0) [Im(f(z0 + h)) - Im(f(z0))] / h其中h是一个无穷小量，表示趋近于零的实数。

为了将复变函数的导数表达出来，我们可以使用偏导数来计算实部和虚部的导数。

偏导数表示在所有其他变量固定的情况下函数沿一些特定方向的变化率。

设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 是复变函数的实虚分解，其中 u(x, y) 是实部，v(x, y) 是虚部。

我们可以使用偏导数来计算实部和虚部的导数：Re(f'(z))=∂u/∂x+i∂v/∂xIm(f'(z))=∂u/∂y-i∂v/∂y其中i是虚数单位。

通过这个公式，我们可以将实部和虚部的导数表达出来。

这个公式的推导是基于 Cauchy-Riemann 方程，它是解析函数必须满足的一组条件。

Cauchy-Riemann 方程的表达式为：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x这个方程是解析函数存在的必要条件。

由于解析函数的实虚部分是相互关联的，因此实部的导数和虚部的导数之间存在一种推理关系。

复变函数第二章(1)导数

几何意义:
y
z
v f(z)
z0
O
A lim f ( z )
z z0

x O
意味着：
A u
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于 ( z ) e z 在 z 0时极限不存在。
证明: 当 z 沿实轴从
1
0的右方趋于
解： u ( x , y ) x 3 3 xy 2
v( x, y ) 3 x y y
2
3
u x
3x 3 y
2
2
u
v x
6 xy
v y
y
6 xy
2 2
3x 3 y
都是初等函数，在复平
面内处处连续；
针对柯西
v u x y 黎曼方程在复平面内处处成立 u v y x
D 内，
则 f ( z ) 在 D 内一点 z x iy 可导的充要条件；
（1 u ( x , y ), v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微；） v u x y （2）在点 ( x , y )满足柯西黎曼方程 u v y x
f ( z )在
性质： (1)连续函数的四则运算仍然连续(定理2.3)； (2)连续函数的复合函数仍然连续(定理2.4)；
( 3 ) 设 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ), z 0 x 0 iy 0 ,
则例3
f ( z )在点z0连续 u ( x, y ), v( x, y )在点( x0 , y0 )连续。
例5 解
讨论对数函数
Ln z 的连续性

复变函数的导数

复变函数的导数在学习数学过程中，求导数是一个重要的课题。

复变函数的导数更是数学研究者深入探索的一个领域。

复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。

首先，我们来了解一下什么是复变函数。

复变函数是一类具有特殊特性的函数，其中的变量可以是复数，且它的值也可以是复数。

复变函数的性质使其在许多应用方面变得非常有用，例如，复变函数可用于研究物理形态的变化，可用于解决天体的轨道变化问题，以及可以用来解释解析几何中的复形等。

接下来，我们来认识一下复变函数的导数。

复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。

复变函数的导数指的是在某一复数点处函数值的变化幅度，导数的符号表示为dF/dz”，其中F为复变函数，z为变量，z点为F在该点处的导数。

要求复变函数的导数，可使用复变函数的定义，通过求偏导数的方式进行求解。

复变函数的定义一般为 F(z)=f(z)，其中z为复变量，f(z)为单变量函数，假定形如f(z)=bz+c，其中b、c为常数，则导数为dF/dz=b。

在复变函数中，还存在着一类特殊的复变函数，即复数函数。

复数函数除了可以用复变函数形式表示外，还可以用复分式的形式表示，其形式为F(z)=A/B，其中A、B为复多项式，A、B的共同的纯量因子除外。

要求复数函数的导数，直接用其定义来求偏导数，即可求出F(z)在z点处的导数，导数的表达式为dF/dz=(AB’-BA’)/(BB’)。

复变函数的导数在复数分析函数和复数分析函数的研究中发挥着重要的作用，它可以帮助我们理解复变函数形式及其特性，以及复数函数在复数空间中变化的特征，为了能够更好地研究复变函数，必须充分理解复变函数的导数的概念和表达式。

综上所述，复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数，它可以帮助我们理解复变函数以及复数函数变化的特征，从而为我们更好地利用复变函数提供有效的帮助。

西安电子科技大学《复变函数》课件第三讲-复变函数的导数和微分PPT47页

西安电子科16、人民应该为法律而战斗，就像为了城墙而战斗一样。 ——赫拉克利特 17、人类对于不公正的行为加以指责，并非因为他们愿意做出这种行为，而是惟恐自己会成为这种行为的牺牲者。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强者做什么事都横行霸道。— —奥维德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含义是财富。— —爱献生
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特

导数和复数知识要点

导数知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得xx x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''复数知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程.③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- . 3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z znn②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有 ③n n n n m n m n m n mz z z z z z z z z2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i iii i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg . 注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值. ②辐角是多值的，都相差2π的整数倍. ③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化： )sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，rb r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。

1讲复数、复变函数及其导数

如
生物物理：《生命是什么》、负熵自然辩证法：物相互转化
第六页，共36页。
3、物理学推动的三次技术革命 (1)Watt蒸汽机代替手工 (2)Maxwell为代表的电气化：扩大了生产规模，提高了效率
(3)自动化和新能源革命：纳米科技及量子计算机、自然能与氢能、原子能
第七页，共36页。
二、数学与物理（相辅相成）
图2：光电效应光路
第四页，共36页。
2、物理学的发展方向：深度和广度
（1）深度（方向细化）
弹性力学力学流体力学
理论力学
场与波电磁学微波
磁性学：顺、抗、铁磁
声子元激发（场）自旋（电子学）
等离极元
实物
光子快子
第五页，共36页。
（2）广度（学科交叉）
天体物理：实验手段-天文望远镜数学物理
2
2
cosh b cos a i sinh b sin a.
第二十五页，共36页。
解法二：三角函数的和差角公式对复数仍成立(见下节)
cos(a ib) cos a cos(ib) sin a sin(ib).
cos ib
1 2
ei(ib)
e-i(ib)
1 2
eb eb
cosh b,
4. 令z=iz，则siniz=(e-z-ez)/(2i)= isinhz, cosiz=(e-z+ez)/2= coshz。
第二十八页，共36页。
四、初等函数例题
例、（上节例3.2）化简ia+ib
解：利用指数函数的换底公式得
iaib e(aib)ln i .
ln
i
ln
i
i(
2
2k

复变函数形式导数

复变函数形式导数复变函数是数学中的一个重要概念，它是实数域到复数域的映射。

复变函数的形式导数是指函数在某一点处的导数，即函数在该点的切线斜率。

形式导数用于衡量函数在某一点的变化趋势，是复变函数分析的重要工具之一。

复变函数的形式导数可以用几何的方式来理解。

对于实数函数，我们可以用图像上的切线来表示函数在某一点的导数。

而对于复变函数，我们需要考虑两个方向上的变化率。

这是因为复数可以表示为实部和虚部的和，它们可以分别看作是两个独立变量的函数。

因此，复变函数的形式导数可以看作是函数在两个独立方向上的导数。

具体而言，对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中 z = x + iy 是复平面上的点，u(x,y) 和 v(x,y) 分别是 f(z) 的实部和虚部。

复变函数的形式导数可以表示为：f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x = ∂v/∂y - i∂u/∂y其中，∂u/∂x 和∂v/∂x 分别表示u(x,y) 和v(x,y) 对x 的偏导数，∂v/∂y 和∂u/∂y 分别表示 v(x,y) 和 u(x,y) 对 y 的偏导数。

形式导数的几何意义可以通过复平面上的向量来理解。

对于复变函数 f(z) 来说，其形式导数 f'(z) 在复平面上的表示就是一个向量。

这个向量的方向表示函数在该点处的变化方向，而向量的模表示函数在该点处的变化速率。

形式导数的模越大，表示函数在该点处的变化越快。

形式导数在复变函数的分析中有着重要的应用。

它可以用来刻画函数的性质，比如函数的连续性、可导性等。

形式导数还可以用来求解复变函数的极值点、奇点等。

通过研究形式导数，我们可以深入理解复变函数的性质，并应用于实际问题的解决中。

复变函数的形式导数是函数在某一点处的导数，用于衡量函数在该点的变化趋势。

形式导数可以通过几何的方式来理解，并用于复变函数的分析和求解。

了解形式导数的概念和应用对于深入理解复变函数是非常重要的。

讲复数复变函数及其导数

(完整版)复变函数知识点梳理解读

§5.8复变函数的导数与解析函数

复变函数与积分变换之复变函数的导数总结

数学导数复数知识点总结

初数数学中的复变函数公式详解

复变函数的导数

数学中的复变函数理论知识点

复变函数知识点归纳

1-3复变函数的导数(1)

复变函数的基本概念与性质

大学物理-复变函数的导数与解析性

复变函数解析函数求导公式

复变函数第二章(1)导数

复变函数的导数

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导数和复数 知识要点

1讲 复数、复变函数及其导数

复变函数 形式导数

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1讲复数、复变函数及其导数

复变函数形式导数