第5章 数值微积分与常微分方程求解
西交计算方法总结
1
t
l
1 lt
2
由于1
d1
,有
x
1
l
x fl( x) 1 1t
x
2
第1章 绪论
例.为了使计算y 10 3 4 6 的乘除法次数尽可
x -1 x -12 x -13
能少,应该式如何计算:_______
例.在浮点数系下,计算x2 16x 1 0的两个根,应如何 计算才能使精度较高？
例: 设x ( x1 , x2 , x3 )T ,则 x1 2x2 3x3 是否是范数, x1 2x2 3x3 是否是范数
条件数:当输入数据具有 x的误差,引起问题的结果误差为 f (x) 则cond( f ) sup f (x) x
5.方法的稳定性
数值稳定:若初始误差导致最终解的误差能被有效地控制 数值不稳定:若初始误差导致最终解的误差不能被有效地控制
6.算法 由有限个无二义性法则组成的一个计算过程
算法的特点,描述
第2章 线性代数方程组
1
-
1
1
2
例:矩阵A= 1
3
01
,则A1 _______, A ___, A ___
1
1 4
0 0 1
P36, P37
2 1
例:
若矩阵A
1
2
a
可以分解为GGT的形式,
其中G为下三角阵,
a 1
且对角元均为正,问a的取值范围,并请按此要求将此a分解
第2章 线性代数方程组
3
6
8,
1 6 ,19601 6930
3 8
8,
1
19601 6930
8
第1章 绪论
例.证明在浮点数系F ( ,t, L,U )中,浮点数的相对误差
数值分析常微分方程数值解法
第8页/共105页
➢ 数值积分方法(Euler公式)
设将方程 y=f (x, y)的两端从 xn 到xn+1 求积分, 得
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx :
xn
xn1 F ( x)dx
xn
用不同的数值积分方法近似上式右端积分, 可以得到计算 y(xn+1)的不同的差分格 式.
h2 2
y''( )
Rn1
:
y( xn1)
yn1
h2 2
y''( )
h2 2
y''( xn ) O(h3 ).
局部截断误差主项
19
第20页/共105页
➢ 向后Euler法的局部截断误差
向后Euler法的计算公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ), n 0, 1, 2,
定义其局部截断误差为
y 计算 的n递1 推公式，此类计算格式统称为差分格式.
3
第4页/共105页
数值求解一阶常微分方程初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0
难点: 如何离散 y ?
➢ 常见离散方法
差商近似导数 数值积分方法 Taylor展开方法
4
第5页/共105页
➢ 差商近似导数(Euler公式)
(0 x 1)
y(0) 1.
解 计算公式为
yn1
yn
hfn
yn
h( yn
2xn ), yn
y0 1.0
n 0, 1, 2,
取步长h=0.1, 计算结果见下表
13
如何求解常微分方程
如何求解常微分方程求解常微分方程是微积分中的重要内容，常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
常微分方程的求解方法有多种，下面我将从多个角度进行全面的回答。
1. 分离变量法，对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离并进行积分来求解。
首先将方程中的未知函数和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的移项和积分，最后得到未知函数的表达式。
2. 齐次方程法，对于一阶常微分方程，如果可以通过变量的替换将其转化为齐次方程，即方程中的未知函数和导数的比值只与自变量有关，可以使用齐次方程法求解。
通过引入新的变量替换和代换，将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后进行求解。
3. 线性方程法，对于一阶线性常微分方程，可以使用线性方程法求解。
线性方程的特点是未知函数和其导数的一次项系数是常数，通过引入一个积分因子，将线性方程转化为可积分的形式，然后进行求解。
4. 变量替换法，对于某些形式复杂的常微分方程，可以通过引入新的变量替换，将其转化为更简单的形式，然后进行求解。
常见的变量替换包括令导数等于新的变量，令未知函数等于新的变量的幂函数等。
5. 微分方程的特殊解法，对于一些特殊的常微分方程，可以使用特殊解法求解。
例如，对于一些常见的一阶常微分方程，如指数函数、对数函数、三角函数等形式，可以直接猜测其特殊解，然后验证是否满足原方程。
6. 数值解法，对于一些无法通过解析方法求解的常微分方程，可以使用数值解法进行近似求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
总结起来，求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、特殊解法和数值解法。
根据不同的常微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。
希望这些解答对你有帮助。
Chapt-5 数值微积分的值解法
Comp f(x) T=T+f(x) END DO i
T=T*h END subroutine （3）梯形积分子程序框图
§5.2 梯形积分法
10C 主控程序 20 PROGRAM main 30 read(5,*) a,b,n 40 call SUBRPUTINE 50 &txjf(a,b,n,T) 60 write(6,*) T 70 END 80C 函数子程序 90 FUNCTION f(x) 100 f=expr(x) 110 END FUNCTION f 120C 梯形积分子程序
§5.2 梯形积分法
第i个区间：
Ti=(f(xi)+f(xi+1))*h/2 第i-1个区间：
Ti-1=(f(xi-1)+f(xi))*h/2
求和得到：
n1
Tn h[(f(a)f(b))/2 f(xi)]
i1
x0 a, xi1xi h, i1,2,3, ,n-1 定步长梯形积分法的截断误差为:
用p(x)=c*x+d直线近似代替f(x)(参见图5-2）
§5.2 梯形积分法
(xi1, f (xi1))
(xi , f (xi ))
p(x)cxd
用插值的方法，我们可求得 p(x)xx i 1 xx ii f(xi 1)x xi x xii 1 1f(xi)
将其代入积分公式有
Bx0 Bx1
C C
求出系数A, B, C
y2
Ax22
Bx2
C
S 1 x x 0 2 ( A x 2 B x C ) d x ( y 0 4 y 1 y 2 ) h /3
常微分方程数值解法5262115页PPT文档
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
50 0 0
30 20 10
0 0
10
20
50
30
20
10
0
30
0
10
8
6
4
2
100
0
50
100
150
50
100
高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
matlab课程设计
-问题抽象与数学描述
- Matlab工具箱在工程问题中的应用
2.案例一：振动分析
-振动系统的建模
-振动信号的时频域分析
3.案例二：电力系统稳定性分析
-电力系统模型的建立
-系统稳定性的时域仿真
4.案例三：金融市场模拟
-股票价格模拟
-期权定价模型（Black-Scholes模型）的Matlab实现
5.案例四：数字通信系统设计
-信号调制与解调
-误码率性能分析
-基于Matlab的通信系统仿真设计
5、教学内容
《Matlab课程设计》
章节：第九章课程实践项目
1.项目一：数据可视化与分析
-数据预处理与清洗
-利用Matlab进行数据可视化
-数据分析报告撰写
2.项目二：优化算法实践
-选择合适的优化算法解决实际问题
matlab课程设计
一、教学内容
《Matlab课程设计》
章节：第五章数值计算
1.数值微积分
-数值积分的应用与实现
-数值微分的应用与实现
2.线性方程组求解
-高斯消元法
-矩阵分解法（LU分解、QR分解）
3.非线性方程求解
-二分法
-牛顿法
4.常微分方程数值解
-欧拉法
-龙格-库塔法
பைடு நூலகம்5.数据插值与拟合
-插值方法（拉格朗日插值、牛顿插值）
-数字滤波器设计
3.仿真与模拟
-随机过程的模拟
-蒙特卡洛方法在数值计算中的应用
4.机器学习初步
-数据预处理
-线性回归与逻辑回归的Matlab实现
5.控制系统设计与分析
-控制系统的时域分析
数值分析第五章常微分方程数值解法讲解
? ? ?
? ?
yn+1
?
1 2
yp ? yc
§1 欧拉方法 /* Euler's Method */
y( xn?1) ? y(xn ) ? hy?( xn ) ? y(xn ) ? yn
y( xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f ( xn , yn )
§1 Euler's Method
Taylor 展开法
yn?1 ? yn ? h f (xn , yn ) n ? 0, 1,...
?
y??xn?1 ??
y??xn ??
hy???xn ??
h2 2
y????xn ??
?
yn?1
?
? hf
?
y
xn ? 1 ,?
??? yn ? 1
?
y ?xn?1 ??? ?
y ?xn ?
?
hy??xn ??
h2 y???xn ??
h3 2
y????xn ??
而
y ?xn?1 ??
y ?xn ??
就是用差商近似导数
在xn点用一阶向前差 商近似一阶导数
y ?( xn ) ?
y(xn?1) ? h
y(xn )
y(xn?1) ? y(xn ) ? hy?(xn )
Euler's method
? y(xn ) ? yn y(xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f (xn , yn )
? 欧拉公式的改进 ：
式。隐式公式不能直接求解，一般需要用 Euler 显式公式
得到初值，然后用Euler 隐式公式迭代求解。因此隐式公
式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程微分方程是描述自然现象中变化的数学模型，它是数学和科学研究中的重要工具。
然而，许多微分方程并没有精确的解析解，因此需要使用数值方法来近似求解。
本文将介绍一些常用的数值方法来求解微分方程，包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单、最基础的数值方法之一。
它基于微分方程解的定义，通过离散化自变量和因变量来逼近解析解。
假设我们要求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0。
将自变量x分割成若干个小区间，步长为h，得到x0, x1, x2, ..., xn。
根据微分方程的定义，我们可以得到递推公式 yn+1 = yn + h*f(xn, yn)。
用代码表示即为：```def euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*fnx.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```二、改进的欧拉方法欧拉方法存在着局部截断误差，即在每个小区间上的误差。
改进的欧拉方法是对欧拉方法的改进，可以减小截断误差。
它的递推公式为yn+1 = yn + h*(f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1))/2。
用代码表示即为：```def improved_euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*(fn + f(xn1, yn + h*fn))/2x.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种更加精确的数值方法，它通过计算多个递推式的加权平均值来逼近解析解。
常微分方程的数值求解
常微分方程的数值求解在数学中，常微分方程是一类重要的数学模型，通常用来描述物理、化学、生物等自然现象中的变化规律。
对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法进行求解，这时候就需要借助数值方法来近似求解。
本文将介绍常微分方程的数值求解方法及其应用。
一、数值求解方法常微分方程的数值求解方法主要包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法是最简单也是最常用的数值求解方法，其基本思想是根据微分方程的导数近似求解下一个时间步上的解，并通过逐步迭代来得到整个解的数值近似。
改进的欧拉法在欧拉法的基础上做出了一定的修正，提高了数值求解的精度。
而龙格-库塔法则是一种更加精确的数值求解方法，通过考虑多个点的斜率来进行求解，从而减小误差。
二、应用领域常微分方程的数值求解方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在物理学中，通过数值求解微分方程可以模拟天体运动、粒子运动等现象；在生物学领域，可以模拟生物种群的增长和变化规律；在工程领域，可以通过数值求解微分方程来设计控制系统、优化结构等。
三、实例分析以一个简单的一阶常微分方程为例：dy/dx = -y，初始条件为y(0) = 1。
我们可以用欧拉法来进行数值求解。
将时间间隔取为0.1，通过迭代计算可以得到y(1)的近似值为0.367。
而利用改进的欧拉法或者龙格-库塔法可以得到更加精确的数值近似。
这个例子展示了数值方法在解决微分方程问题上的有效性。
四、总结常微分方程是求解自然界中变化规律的重要数学工具，而数值方法则是解决一些难以解析求解的微分方程的有效途径。
通过本文的介绍，读者可以了解常微分方程的数值求解方法及其应用，希望可以对相关领域的研究和实践有所帮助。
至此，关于常微分方程的数值求解的文章正文部分结束。
常微分方程与数值解法
常微分方程与数值解法数学是自然界中最美丽的语言之一，常微分方程是数学中的一个重要分支。
常微分方程是研究随着时间推移而发生的连续变化的数学模型，是许多科学领域的数学基础，如物理学、天文学、生物学、化学、经济学等。
通过对微分方程的求解，我们可以预测未来的变化和趋势，制定相应的政策措施和科学研究方向。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中y为未知函数，x为自变量，f(x,y)是已知函数，称为方程的右端函数。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是指求解微分方程时需要给出一个特定的初值y(x)=y0，边值问题是指给出方程在一些点的值，而求出未知函数在整个区间上的值。
二、常微分方程的解法常微分方程有许多解法，例如分离变量法、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程、变量分离法等。
其中，变量分离法是最基本和最重要的方法之一。
变量分离法的基本思想是将微分方程的未知函数y和自变量x分开，变成dy/g(y)=f(x)dx的形式，然后对两边进行积分。
三、数值解法的发展与应用数值解法是通过数值计算来求解微分方程的，它主要包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法最简单、最基本，但精度较低，适用于解决一些简单的微分方程。
改进欧拉法和龙格-库塔法则精度更高，适用于解决较为复杂的微分方程。
数值解法在科学技术中的应用广泛，如气象学、环境保护、物理学、化学等。
以生态学为例，许多生态系统的动态变化可以用微分方程描述，如种群增长、捕食捕获、竞争关系等。
数值解法可以在一定程度上预测未来的生态状态，有助于制定相应的生态保护措施。
四、结论在现代科学技术中，微分方程和数值解法已经成为不可或缺的工具之一。
通过微分方程的求解，可以预测未来的变化和趋势，制定相应的政策措施和科学研究方向。
数值解法则更加精细和灵活，能够解决更为复杂的微分方程，广泛应用于各个领域。
因此，学习微分方程和数值解法，不仅是数学爱好者的追求，更是科学技术工作者不可或缺的技能。
数值微分计算方法
数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。
它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。
数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。
常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。
设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。
后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。
后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。
除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。
它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。
常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。
牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。
插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。
总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。
不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。
数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。
《数值分析》第5讲：常微分方程数值解
1 2
y(3) ( xn )2 p2h3
o(h4 )
对照
y( xn1 )
yn
y'( xn )h
1 2
y''( xn )h2
第五章：常微分方程数值解
得
212 p2
1
1
可解得
yn1 yn h(1K1
K1 f ( xn , yn )
2
K
2
)
K
2
f ( xn p , yn
phK1 )
12
第五章：常微分方程数值解
§5.3 Lunge-Kutta方法
依据精度要求的待定系数法
x xn
x n p n1
1、二阶Lunge-Kutta方法（P114-P116)
令 xn p xn ph( xn, xn1), 0 p 1 yn1 yn h(1K1 2 K2 ) 加权平均斜率
K1 f ( xn , yn ) y(x) 在点 ( xn , 的yn斜) 率
例 P107
初值问题
y' y 2x / y
y(0)
1
0 x 1
补 充 ： 一 阶 线 性 方 程dy P( x) y Q( x)的 解
dx
常数变易法
y e p( x)dx
Q( x)e
p( x )dx
dx
C
非线性方程 dy P( x) y Q( x) yn Bernoulli型方程 dx
yn1 yn h(1K1 2 K 2 )
yn h[1 y'( xn ) 2 y'( xn p )]
yn
h1 y'( xn ) 2h
1 y'( xn ) 1
常微分方程通解
常微分方程通解随着科学技术的不断发展，微积分成为了现代科学的基础，其中常微分方程是微积分的重要分支之一。
常微分方程在物理、化学、生物学等领域中都有广泛的应用，因此其研究具有重要的理论和实际意义。
一、常微分方程的定义常微分方程是指一个未知函数与其导数之间的关系式，其中未知函数是一个自变量的函数，而其导数是该函数的导数。
通常情况下，我们用y表示未知函数，x表示自变量，y'表示y关于x的一阶导数，y''表示y关于x的二阶导数，以此类推。
因此，常微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', …, y^(n)) = 0其中，F是一个给定的函数，n是方程的阶数。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程两种。
1. 线性常微分方程线性常微分方程是指未知函数y及其导数y'、y''、…、y^(n)之间的关系式为线性关系。
其一般形式为：a_0(x)y + a_1(x)y' + a_2(x)y'' + … + a_n(x)y^(n) = f(x) 其中，a_0(x)、a_1(x)、a_2(x)、…、a_n(x)是已知函数，f(x)是已知函数或常数。
2. 非线性常微分方程非线性常微分方程是指未知函数y及其导数y'、y''、…、y^(n)之间的关系式为非线性关系。
其一般形式为：F(x, y, y', y'', …, y^(n)) = 0其中，F是已知函数。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法很多，常见的有解析解法和数值解法。
1. 解析解法解析解法是指通过解析方法求得方程的解析解，即用已知的函数表达式表示出未知函数y。
解析解法需要有一定的数学基础，但是其解法具有一定的普遍性和通用性，可以解决许多常见的常微分方程。
例如，对于一阶线性常微分方程：y' + p(x)y = q(x)可以通过求出其通解：y = e^(-∫p(x)dx)(∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx + C)其中，C为任意常数。
数值方法常微分方程
数值方法常微分方程数值方法是一种近似求解常微分方程（ODEs）的方法，它是通过将连续问题离散化为离散问题来实现的。
常微分方程是数学中常见的用于描述动态系统的工具，它描述了未知函数与其导数之间的关系。
求解常微分方程对于预测系统的行为和发展非常重要。
在许多现实问题中，解析求解常微分方程是非常困难甚至不可能的。
而数值方法则提供了一种近似求解常微分方程的有效和可行的途径。
数值方法基于将微分方程中的函数在离散的点上进行近似，通过计算函数的离散解来预测函数在给定时间和空间范围内的行为。
常用的数值方法包括欧拉方法、隐式欧拉方法、梯形规则、龙格-库塔方法（RK4）、多步法等。
在数值方法中，最简单的方法是欧拉方法（Euler method）。
该方法将微分方程中的导数用差分代替，通过迭代逼近函数的解。
该方法的基本思想是通过将微分方程近似为差分方程，在离散的时间点上计算函数的值。
欧拉方法的计算公式是：y[i+1]=y[i]+h*f(t[i],y[i])其中，y[i]是在时间点t[i]处的函数的近似值，h是时间步长，f(t[i],y[i])是在时间t[i]和函数y[i]处的导数值。
尽管欧拉方法是最简单的数值方法之一，但它有一些局限性。
首先，它对步长的选择非常敏感，步长选择过大或过小都可能导致数值解的不稳定性。
其次，欧拉方法的精度较低，由于使用了一阶近似，所以在一些情况下可能会产生较大的误差。
因此，为了提高数值解的精度和稳定性，我们需要使用更高阶的数值方法。
龙格-库塔方法（RK方法）是一种常用的、高阶的数值方法。
它是一系列积分方法的集合，其中RK4是最常用的方法之一、RK4可以通过使用连续的斜率来计算函数值的改变量，在四个时间点上进行计算。
该方法的计算公式为：k1=h*f(t[i],y[i])k2=h*f(t[i]+h/2,y[i]+k1/2)k3=h*f(t[i]+h/2,y[i]+k2/2)k4=h*f(t[i]+h,y[i]+k3)y[i+1]=y[i]+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)与欧拉方法相比，RK4方法具有更高的精度。
第5章 数值微积分与常微分方程求解
数值微分
diff函数：用f(x)在点x处得某种差商做为其导数。 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的 函数，
只有计算向前差分的函数diff，调用格式
• •
DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i) DX=diff(X)：计算向量X的n阶向前差分，例如， diff(X,2)=diff(diff(X)) DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认
[I, err]=quadgk[@fname,a,b]
其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义与
用法与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或
Inf，也可以是复数（在复平面上求积分）
梯形积分法：对由表格形式定义的函数关系的求
定积分问题用梯形积分函数trapz，调用格式为 trapz(Y)：若Y是向量，则从1开始取单位步长， 以Y为函数值计算积分值；若Y是一矩阵，则计算 Y的每一列的积分
2阶Rosebrock算法，低精度 梯形算法，低初值问题，试求其数值解，并与精确
p 解相比较，精确解为( x) = ( x + ) / cos x y 2 p ¢= ytgx + sec x, 0 ＃x 1, y y = x =0 2
(1)
建立函数文件
(2)
求解微分方程
例：用trapz函数计算定积分
2 .5
1
1 dx 2 1 x
多重积分的数值求解：二重积分和三重积分函
数的调用格式为
dblquad (fun,a,b,c,d,tol)
triplequad (fun,a,b,c,d,e,f,tol)
数值分析常微分方程数值解法
（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）
中心差商近似导数
y( x1 )
y( x2 ) y( x0 ) 2h
y( x2 ) y( x0 ) 2h f ( x1 , y( x1 ))
x0
x1
x2
yi1 yi1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
假设 yi1 y( xi1 ), yi y( xi ) ,则可以导出 Ri y( xi1 ) yi1 O(h3 ) 即中点公式具有 2 阶精度。
只要f (x, y)在a,b R1上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 x, y无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
对任意定义在 a,b上的 y1 x, y2 x都成立，
则上述IVP存在唯一解。
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
的方法称为微分方程的数值解法。 y1,L , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
三、初值问题的离散化方法
离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 按节点从左至右的顺序依次求出y(xi )的近似 yi 值(i 1, ... , n),取 y0。
数值求解常微分方程PPT课件
程叫做微分方程,求解微分方程必须附加某种
定解条件.微分方程和定解条件一起组成定解
问题,定解条件分为初始条件(初值问题)和边
界条件(边值问题)两种.未知函数为一元的微
分方程叫做常微分方程,未知函数为多元函数,
叫做偏微分方程.微分方程中导数的最高阶叫
做微分方程的阶.本章主要讨论一阶常微分方
程.
1
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36
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4. 阿达姆斯方法
我们已经知道，初值问题等价于积分方程， 即
y(xn1) y(xn )
xn1 xn
f (x, y(x))dx
对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到 欧拉公式和改进的欧拉公式，截断误差分别为 O(h2)和O(h3)。
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为此，我们自然可以想到，若用更高次的 插值多项式来代替f(x，y)，则所得公式的精 度会更高。这就是线性多步法的起源思想。
本章前面介绍的方法称为单步法，因为 在计算yi+1时，只用到前面yi的值。而对于线 性多步法是要利用前面已经算出的若干个值yik，…，yi-1，yi来求yi+1。
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现 用 k 次 多 项 式 Pk(x)
来代替f(x，y(x))
y(xi1) y(xi )
xi 1 xi
Pk (x)dx
为 了 改 善 精 度 , 将 函 数 y(x) 在 点 xi 处 的 导 数 y’(xi) 用 中 心 差 商 来 表示，即
欧
拉
公
式y变'
为( x:i误)
差
正y比( x于i h13), xi1
是
二y(阶x精i1度) xi1
【MATLAB】实验五：数值微积分与方程数值求解
实验五 数值微积分与方程数值求解一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。
2. 掌握代数方程数值求解的方法。
3. 掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容要求：命令手工 ( )输入1. 求函数在指定点的数值导数。
232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==2. 用数值方法求定积分。
(1) 210I π=⎰的近似值。
(2) 2220ln(1)1x I dt xπ+=+⎰3. 分别用三种不同的数值方法解线性方程组。
6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩4. 求非齐次线性方程组的通解。
1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解：先建立M 函数文件,然后命令窗口中写命令。
121/119/112/115/111/1110/11100010X k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 为任意常数。
5. 求代数方程的数值解。
(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ans =1289/6826. 求函数在指定区间的极值。
(1) 3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
（以下选作题，是微分方程的数值解）7. 求微分方程的数值解。
x 在[1.0e-9,20]2250(0)0'(0)0xd y dy y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩解：M 文件：运行结果：8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线。
微积分中的微分方程与常微分方程
微积分中的微分方程与常微分方程微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化与极限，是应用广泛的数学工具。
微分方程是微积分的一个重要应用领域，它研究的是函数与其导数之间的关系。
在微积分中，我们常常会遇到微分方程与常微分方程的概念。
本文将介绍微积分中的微分方程与常微分方程的基本概念和应用。
一、微分方程的概念与基本形式微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。
常微分方程可以用一般形式表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$其中，$x$是自变量，$y$是未知函数，$y', y'', ..., y^{(n)}$是$y$的一阶、二阶、...、$n$阶导数。
常微分方程的解是指满足方程的函数。
常微分方程的解可以通过积分、分离变量、变量代换等方法求得。
二、微分方程的应用领域微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
它可以用于描述物理过程、生物现象、经济模型等各种实际问题。
1. 物理应用：微分方程在物理学中有着重要的应用。
例如，牛顿第二定律$F=ma$可以通过微分方程形式表示为$m\frac{d^2x}{dt^2}=F$，其中$x$是物体的位移，$t$是时间，$m$是物体的质量，$F$是作用在物体上的力。
2. 生物学应用：微分方程在生物学中的应用非常广泛。
例如，人口增长模型可以用微分方程来描述。
假设一个人口的增长率与当前人口数成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dP}{dt}=kP$，其中$P$是人口数，$t$是时间，$k$是增长率常数。
3. 经济学应用：微分方程在经济学中也有着重要的应用。
例如，经济增长模型可以用微分方程来描述。
假设一个国家的经济增长率与当前经济规模成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dE}{dt}=kE$，其中$E$是经济规模，$t$是时间，$k$是增长率常数。
数值计算中的常微分方程求解和数值积分
数值计算中的常微分方程求解和数值积分数值计算是一门非常重要的学科，它在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
在数值计算中，常微分方程求解和数值积分是两个基础性的问题，它们的解法对于数值计算的其他问题具有重要的指导意义。
本文将就这两个问题进行探讨。
一、常微分方程求解常微分方程是描述自然界中许多过程的重要工具，它们由一个或多个未知函数及其一定数量的导数组成。
例如，牛顿第二定律和斯托克斯方程等经典物理学方程中均包含了一阶常微分方程。
近年来，生物过程的数学建模也成为常微分方程的热点研究领域，例如病毒扩散、癌症生长和人口增长等都可以用常微分方程来描述。
在解常微分方程的过程中，我们通常会使用数值方法。
常用的数值方法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
以欧拉法为例，令 $y\left( t_0 \right) = y_0$，则在 $t_0$ 到 $t_1$ 的时间段内，有：$y_{n+1} = y_n + hf\left( t_n,y_n \right)$，其中 $y_{n+1}$ 表示 $t=T_{n+1}$ 时的函数值，$f\left( t_n,y_n \right)$ 表示 $t_n$ 时刻的导数值，$h$ 表示步长。
欧拉法是一种一阶方法，即误差的大小与步长成线性关系，因此需要选择足够小的步长以确保精度。
对于高阶常微分方程，我们通常需要将其转化为等价的一阶方程组进行求解。
例如，二阶常微分方程 $y'' + q\left( t \right)y' +p\left( t \right)y = g\left( t \right)$ 可以转化为以下一阶方程组：$z_1^\prime = z_2$$z_2^\prime = -q\left( t \right)z_2 - p\left( t \right)z_1 + g\left( t\right)$其中 $y = z_1$，$y' = z_2$。
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求解函数 ode23 oder45 oder113 ode23t
采用方法 2-3阶Runge-Kutta算法，低精度 4-5阶Runge-Kutta算法，中精度 Adam算法，精度可到10-3~10-6 梯形算法
使用场合 非刚性 非刚性 非刚性 适度刚性
Ode15s
Ode23s ode23tb
Gear’s反向数值微分算法，中精度 刚性
[I, err]=quadgk[@fname,a,b]
其中，errΒιβλιοθήκη 回近似误差范围，其他参数的含义与用法与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或
Inf，也可以是复数（在复平面上求积分）
梯形积分法：对由表格形式定义的函数关系的求
定积分问题用梯形积分函数trapz，调用格式为 trapz(Y)：若Y是向量，则从1开始取单位步长， 以Y为函数值计算积分值；若Y是一矩阵，则计算 Y的每一列的积分
•
状态），按列计算差分；dim=2时，按行计算差分
注：对于向量的微分，函数diff计算的是向量元素间的差分
例：设f(x)=sin(x)，用不同的方法求函数f(x)的数值
导数，并在同一坐标系中作出f’(x)的图像
解：为确定计算数值导数的点，假设在[0,20]区间
内以pi为步长求数值导数。两种方法分别为
其中t和y分别给出时间向量和相应的状态向量；solver为求
常微分方程数值解的函数（下表函数之一）；fname是定义
f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量； tspan形式为[t0,tf]表示求解区间；y0是初始状态列向量；
options设置求解属性，常用的属性包括相对误差
值’RelTol’(默认为10-3)与绝对误差向量’AbsTol’(默认为 10-6)
• •
用diff函数直接求f(x)在假设点的数值导数 先求出导函数f’(x)=cos(x)，然后直接求f’(x)在假设点的导数
数值积分
利用牛顿-莱布尼兹公式可以精确地计算定积分的 值，但仅适用于被积函数的原函数能用初等函数 表达出来的情形，大多数实际问题的积分需要用 数值方法求出近似结果
定积分的数值求解：在MATLAB中可以用quad或quad1来 进行数值积分 自适应simpson法，调用格式 [I, n]=quad(@fname, a,b,tol,trace) [I, n]=quadl(@fname, a,b,tol,trace) 其中，fname是被积函数名；a,b是定积分的上限和下限； tol用来控制积分精度，默认是取10-6; trace控制是否展现 积分过程，若取非0则展现，若取0则不展现，默认时取0； 返回参数I即定积分值；n为被积函数的调用次数
数值微积分与常微分方程求解
数值微分
diff函数：用f(x)在点x处得某种差商做为其导数。 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的 函数，
只有计算向前差分的函数diff，调用格式
• •
DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i) DX=diff(X)：计算向量X的n阶向前差分，例如， diff(X,2)=diff(diff(X)) DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认
2阶Rosebrock算法，低精度 梯形算法，低精度 刚性 刚性
例：设有如下初值问题，试求其数值解，并与精确
p 解相比较，精确解为( x) = ( x + ) / cos x y 2 p ¢= ytgx + sec x, 0 ＃x 1, y y = x =0 2
(1)
建立函数文件
(2)
求解微分方程
例：用trapz函数计算定积分
2 .5
1
1 dx 2 1 x
多重积分的数值求解：二重积分和三重积分函
数的调用格式为
dblquad (fun,a,b,c,d,tol)
triplequad (fun,a,b,c,d,e,f,tol)
其中，fun为被积函数，[a,b]为x的积分区域， [c,d]为y的积分区域，[e,f]为z的积分区域，参 数tol，trace的用法与函数quad完全相同
例：计算二重积分
1
2
1 2
e
x2 / 2
sin(x y)dxdy
2
例：计算三重积分
0 0
1
0
4 xze
z 2 y x2
dxdydz
常微分方程的数值求解
MATLAB提供了多个求解常微分方程数值解的函数， 一般调用格式为
[t,y]=solver(fname,tspan,y0[,options])
例：求
S
0
x sin(x) dx 1 cos(x)
(1)建立被积函数
(2)调用数值积分函数quad求定积分
例：分别用quad函数和quadl函数求椭圆如下积 分的近似值，并在相同的积分精度下，比较两个 函数的调用次数
1
1 1 x
4
0
dx
Gauss-Kronrod法：用来求震荡函数的定积分，调 用格式
例：某非刚性物体的运动方程为
x x yz y ( y z ) z xy y z
初始条件为x(0)=0, y(0)=0, z(0)=ε;取β =8/3, ρ =28, σ =10, 试绘制系统相平面图
(1)
建立模型的函数文件
(2)
解微分方程 绘制系统相平面图
(3)