线性回归分析教案
数学建模——线性回归分析实用精品教案
数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。
详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。
2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。
3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。
教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。
2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。
（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。
3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。
六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。
2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。
线性回归分析教案
线性回归分析教案线性回归分析管理中经常要研究变量与变量之间的关系，并据以做出决策。
前⾯介绍的检验可以确定两个变量之间是否存在着某种统计关系，但是如果检验说明两个变量之间存在着某种关系，我们还是不能说明它们之间究竟存在什么样的关系。
本章介绍的回归分析能够确定两个变量之间的具体关系和这种关系的强度。
回归分析以对⼀种变量同其他变量相互关系的过去的观察值为基础，并在某种精确度下，预测未知变量的值。
社会经济现象中的许多变量之间存在着因果关系。
这些变量之间的关系⼀般可以分为两类：⼀类是变量之间存在着完全确定的关系，即⼀个变量能被⼀个或若⼲个其他变量按某种规律唯⼀地确定，例如，在价格P确定的条件下，销售收⼊Y与所销售的产品数量之间的关系就是⼀种确定性的关系：Y＝P·X。
另⼀类是变量之间存在着某种程度的不确定关系。
例如，粮⾷产量与施肥量之间的关系就属于这种关系。
⼀般地说，施肥多产量就⾼，但是，即使是在相邻的地块，采⽤同样的种⼦，施相同的肥料，粮⾷产量仍会有所差异。
统计上我们把这种不确定关系称为相关关系。
确定性关系和相关关系之间往往没有严格的界限。
由于测量误差等原因，确定性关系在实际中往往通过相关关系表现出来；另⼀⽅⾯，通过对事物内部发展变化规律的更深刻的认识，相关关系⼜可能转化为确定性关系。
两个相关的变量之间的相关关系尽管是不确定的，但是我们可以通过对现象的不断观察，探索出它们之间的统计规律性。
对这类统计规律性的研究就称为回归分析。
回归分析研究的主要内容有：确定变量之间的相关关系和相关程度，建⽴回归模型，检验变量之间的相关程度，应⽤回归模型进⾏估计和预测等。
第⼀节⼀元线性回归分析⼀、问题的由来和⼀元线性回归模型例7-1。
某地区的⼈均⽉收⼊与同期某种耐⽤消费品的销售额之间的统计资料如表7-1所⽰。
现要求确定两者之间是否存在相关关系。
表7-1如果作⼀直⾓坐标系，以⼈均收⼊x i为横轴，销售额y i为纵轴，把表7-1中的数据画在这个坐标系上，我们可以看出两者的变化有近似于直线的关系，因此，可以⽤⼀元线性回归⽅程，以⼈均收⼊为⾃变量，以销售额为因变量来描述它们之间的关系。
线性回归分析教案
线性回归分析教案一、引言线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个连续型变量之间的线性关系。
在实际应用中，线性回归广泛用于经济学、社会学、医学等领域，用于预测和解释变量之间的关系。
本教案将介绍线性回归的基本原理、模型设定和参数估计方法，以帮助学生深入理解线性回归的概念和应用。
二、教学目标1.了解线性回归的基本原理和假设。
2.学习线性回归模型的设定和参数估计方法。
3.能够使用统计软件实现线性回归模型的计算。
4.掌握线性回归模型的解释和预测能力。
5.理解线性回归模型的运用场景和限制条件。
三、教学内容1.线性回归的基本原理1.1 线性关系的定义1.2 线性回归模型的基本假设1.3 线性回归模型的优点和局限性2.线性回归模型的设定2.1 简单线性回归模型及其参数估计2.2 多元线性回归模型及其参数估计2.3 线性回归模型的变量选择方法3.线性回归模型的参数估计3.1 最小二乘法估计3.2 参数估计的性质和假设检验3.3 模型评估和诊断4.线性回归模型的解释和预测4.1 理解回归系数的含义4.2 判断模型对观测数据的拟合程度4.3 利用回归模型进行预测五、教学方法1.理论讲解与示范通过讲解线性回归的基本原理和模型设定，带领学生了解线性回归模型的概念和应用。
同时，通过实例演示和统计软件的使用展示线性回归模型的计算过程。
2.实践操作与练习在课堂上，安排学生利用统计软件进行线性回归模型的实际计算，并结合具体数据集进行模型拟合和预测操作。
通过实际操作提高学生对线性回归模型的应用能力。
3.案例分析与讨论将一些实际问题、经济数据或社会调查数据与线性回归模型结合，引导学生对模型结果进行解读和讨论，提高学生对模型解释和应用的理解。
六、教学评估1.课堂小测验在课程结束前进行一次小测验，考察学生对线性回归的理解程度和应用能力。
2.作业和项目布置线性回归相关的作业和项目，要求学生独立完成线性回归模型的建立和分析，以检验学生对所学知识的掌握程度。
高中数学回归讲解教案
高中数学回归讲解教案
教案主题：回归分析
教学目标：
1. 了解回归分析的基本概念和原理
2. 掌握简单线性回归分析和多元线性回归分析的计算方法
3. 能够应用回归分析方法解决实际问题
4. 培养学生的数理统计思维和分析能力
教学内容：
1. 回归分析的概念和基本原理
2. 简单线性回归分析
3. 多元线性回归分析
4. 实际问题的回归分析方法应用
教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
介绍回归分析的基本概念和作用，引起学生对回归分析的兴趣和重要性。
第二步：简单线性回归分析（20分钟）
1. 讲解简单线性回归的定义和公式
2. 演示简单线性回归的计算方法
3. 给出一个简单线性回归的实例，让学生自行计算
第三步：多元线性回归分析（20分钟）
1. 讲解多元线性回归的定义和公式
2. 演示多元线性回归的计算方法
3. 给出一个多元线性回归的实例，让学生自行计算
第四步：实际问题应用（15分钟）
1. 给出一个实际问题，让学生利用回归分析方法进行分析
2. 引导学生思考回归分析在实际问题中的应用价值
第五步：总结（10分钟）
1. 总结回归分析的基本原理和方法
2. 强调回归分析在实际问题中的重要性和应用价值
3. 解答学生的问题并进行互动交流
教学反思：
通过本节课的教学，学生了解了回归分析的基本概念和原理，掌握了简单线性回归和多元线性回归的计算方法，并通过实际问题的应用进行了综合训练。
同时，也培养了学生的数理统计思维和分析能力，提高了他们解决实际问题的能力。
希望学生能够在今后的学习和工作中，充分运用回归分析方法，发挥其应用价值。
高中数学线性回归概念教案
高中数学线性回归概念教案1. 理解线性回归的基本概念和原理2. 掌握线性回归的计算方法和应用技巧3. 能够通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学重点：1. 线性回归的定义和特点2. 最小二乘法求解线性回归方程3. 线性回归在实际问题中的应用教学难点：1. 线性回归的计算方法和应用技巧2. 如何通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学准备：1. 教学课件2. 实例数据3. 计算工具、软件教学内容：一、线性回归的定义和特点1. 线性回归是一种用于分析变量之间线性关系的统计方法2. 线性回归模型可以表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε3. 线性回归的基本假设包括线性关系、正态分布、独立性等二、最小二乘法求解线性回归方程1. 最小二乘法是一种常见的求解线性回归方程的方法2. 最小二乘法的核心思想是使残差平方和最小化来求解回归系数3. 求解线性回归方程的步骤包括建立模型、计算回归系数、评估模型等三、线性回归在实际问题中的应用1. 线性回归可以用于预测和控制变量之间的关系2. 实际问题中的线性回归应用包括销售预测、市场分析等3. 通过实例数据进行线性回归分析，可以更好地理解线性回归的应用技巧和方法教学步骤：1. 引入线性回归的基本概念和原理，并进行概念讲解2. 通过实例数据演示最小二乘法求解线性回归方程的方法3. 分组讨论，学生分析实际问题中的线性回归应用4. 带领学生进行实例数据分析和线性回归计算5. 总结课程内容，答疑解惑教学评估：1. 学生课堂表现2. 课后作业完成情况3. 学生对线性回归应用的理解和运用能力教学反思：1. 教学内容是否贴近实际应用2. 学生对线性回归的理解程度和应用能力3. 教学方法和手段是否合理有效。
回归分析教案
回归分析教案教案标题：回归分析教案教学目标：1. 理解回归分析的基本概念和原理。
2. 掌握回归分析的基本步骤和方法。
3. 能够运用回归分析解决实际问题。
教学内容：1. 回归分析的概念和基本原理a. 线性回归和非线性回归的区别b. 回归方程和回归系数的含义c. 最小二乘法和最大似然估计方法2. 回归分析的步骤和方法a. 数据的收集和整理b. 模型的选择和建立c. 参数的估计和检验d. 模型的诊断和改进3. 回归分析的应用a. 实际问题的转化为回归模型b. 利用回归模型进行预测和解释c. 利用回归模型进行因果推断教学步骤：第一课时：1. 引入回归分析的概念和应用背景，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解线性回归和非线性回归的区别，引导学生理解回归方程和回归系数的含义。
3. 通过示例演示最小二乘法和最大似然估计方法的应用过程。
第二课时：1. 复习上节课的内容，解答学生的疑问。
2. 讲解回归分析的步骤和方法，强调数据的收集和整理的重要性。
3. 指导学生选择适当的回归模型，解释模型的建立过程。
第三课时：1. 复习上节课的内容，进行小组讨论，让学生分享自己的模型选择和建立过程。
2. 讲解参数的估计和检验方法，引导学生理解参数的含义和可靠性。
3. 指导学生进行模型的诊断和改进，解释常见的模型诊断方法。
第四课时：1. 复习上节课的内容，解答学生的疑问。
2. 引导学生将实际问题转化为回归模型，进行模型的预测和解释。
3. 指导学生利用回归模型进行因果推断，引导学生思考相关问题。
教学评估：1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，检查学生对回归分析的理解和应用能力。
2. 布置回归分析的实践作业，要求学生选择合适的数据集进行回归分析，并撰写实验报告。
3. 对学生的实验报告进行评估，评价学生对回归分析的掌握程度和解决实际问题的能力。
教学资源：1. PowerPoint幻灯片，用于展示回归分析的概念、原理和应用。
2. 实际数据集，用于学生进行回归分析的实践。
数学建模——线性回归分析实用教案
数学建模——线性回归分析实用教案一、教学内容二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的求解方法。
2. 能够运用最小二乘法建立线性回归模型，并解释模型的实际意义。
3. 学会分析线性回归方程的拟合效果，评价模型的准确性。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和运用，线性回归方程的求解。
教学重点：线性回归模型的理解，线性回归方程的建立和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
2. 学具：直尺，圆规，计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示一些实际数据，如身高与体重的关系，引导学生观察数据之间的关系。
2. 知识讲解（10分钟）介绍线性回归分析的基本概念，讲解最小二乘法的原理，推导线性回归方程的求解方法。
3. 例题讲解（15分钟）选取一道典型例题，演示如何利用最小二乘法建立线性回归模型，求解线性回归方程，并分析拟合效果。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成一道类似的练习题，巩固所学知识。
5. 学生互动（5分钟）学生之间相互讨论，分享解题心得，教师点评并解答疑问。
概括本节课所学内容，布置课后作业，并提出一个拓展问题。
六、板书设计1. 黑板左侧：线性回归分析的基本概念，最小二乘法公式。
2. 黑板右侧：例题及解答过程，线性回归方程的求解步骤。
七、作业设计1. 作业题目：请利用最小二乘法求解下列数据的线性回归方程，并分析拟合效果。
数据如下：（x1, y1）, (x2, y2), , (xn, yn)2. 答案：根据最小二乘法，求解线性回归方程为：y = ax + b。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解程度，以及对最小二乘法的掌握情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考非线性回归模型及其求解方法，为后续课程打下基础。
重点和难点解析1. 最小二乘法的推导和运用2. 线性回归方程的求解3. 线性回归模型的实践应用4. 作业设计中的数据分析和拟合效果评价一、最小二乘法的推导和运用1. 确保数据的线性关系：在实际应用中，需先判断数据之间是否存在线性关系，若不存在，则不适用最小二乘法。
数学建模——线性回归分析实用教案
数学建模——线性回归分析实用教案一、教学内容本节课选自《数学建模与数学实验》教材第十章“回归分析”中的第一节“线性回归分析”。
具体内容包括线性回归模型的建立、参数估计、模型的检验及运用，重点探讨变量间线性关系的量化表达和预测分析。
二、教学目标1. 理解线性回归模型的基本概念，掌握线性回归方程的建立和求解方法。
2. 学会运用最小二乘法进行线性回归参数的估计，并能解释其实际意义。
3. 能够对线性回归模型进行显著性检验，评估模型的可靠性。
三、教学难点与重点难点：线性回归方程的求解方法，最小二乘法的原理及运用，模型的显著性检验。
重点：线性回归模型的建立，参数估计，模型的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，黑板。
2. 学具：计算器，教材，《数学建模与数学实验》。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示一组数据，如某商品的需求量与价格之间的关系，引导学生思考如何量化这种关系。
2. 理论讲解（15分钟）介绍线性回归模型的基本概念，引导学生了解线性关系的量化表达。
讲解线性回归方程的建立，参数估计方法，强调最小二乘法的作用。
3. 例题讲解（15分钟）选取一个实际例子，演示如何建立线性回归模型，求解参数，并进行模型检验。
4. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，根据给出的数据，建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
六、板书设计1. 黑板左侧：线性回归模型的基本概念，参数估计方法。
2. 黑板右侧：例题解答过程，模型检验步骤。
七、作业设计1. 作业题目：给出一组数据，要求学生建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
讨论线性回归分析在实际问题中的应用。
2. 答案：线性回归模型参数的求解过程及结果。
模型检验的统计量及结论。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握线性回归分析的基本方法，但部分学生对最小二乘法的理解仍需加强。
2. 拓展延伸：探讨非线性回归模型的建立和应用。
引导学生了解其他数学建模方法，如时间序列分析、主成分分析等。
高中数学线性回归教案
高中数学线性回归教案教学目标：
1. 了解线性回归的基本概念和原理；
2. 学会使用最小二乘法进行线性回归分析；
3. 掌握线性回归模型的建立和应用。
教学重点：
1. 理解线性回归的意义；
2. 学会求解线性回归模型中的系数；
3. 掌握线性回归模型的应用。
教学难点：
1. 学会使用最小二乘法求解线性回归系数；
2. 理解线性回归模型的推导过程。
教学准备：
1. 教师准备PPT讲解线性回归的基本概念和原理；
2. 课堂上需要使用电脑进行实例演示；
3. 学生需要准备笔记本记录重要知识点。
教学过程：
1. 引入：通过实例引入线性回归的概念；
2. 讲解线性回归模型的建立和求解过程；
3. 使用最小二乘法进行线性回归模型的求解；
4. 通过实例演示线性回归模型的应用；
5. 总结线性回归的主要知识点。
教学延伸：
1. 学生可以通过实际数据进行线性回归分析；
2. 学生可以进一步了解多元线性回归和非线性回归。
课堂反馈：
1. 学生通过实例演示线性回归的能力；
2. 学生通过习题练习线性回归的应用。
教学资源：
1. 电脑和投影仪；
2. 练习题目和实例数据。
教学评价：
1. 通过课堂表现评价学生对线性回归的掌握情况；
2. 通过作业评价学生对线性回归的应用能力。
2024年数学建模——线性回归分析实用精彩教案
2024年数学建模——线性回归分析实用精彩教案一、教学目标1.让学生理解线性回归分析的基本概念和方法。
2.培养学生运用线性回归分析解决实际问题的能力。
3.培养学生的团队协作精神和创新意识。
二、教学内容1.线性回归分析的基本概念2.线性回归方程的求解3.线性回归模型的检验4.实际案例分析与讨论三、教学过程1.导入同学们，大家好！今天我们要学习的是数学建模中的一种重要方法——线性回归分析。
在实际生活中，我们经常会遇到一些变量之间的关系，如何用数学的方法来描述这些关系呢？让我们一起学习线性回归分析的基本概念和方法。
2.线性回归分析的基本概念（1）线性回归模型：描述两个变量之间关系的数学模型，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
（2）线性回归方程：描述线性回归模型的数学方程，形式为y=a+bx，其中a是常数项，b是回归系数。
3.线性回归方程的求解（1）最小二乘法：求解线性回归方程的一种方法，通过使实际观测点到回归直线的距离平方和最小来确定回归系数。
（2）计算步骤：a.收集数据，绘制散点图。
b.根据散点图，初步判断变量之间是否存在线性关系。
c.利用最小二乘法求解回归系数。
d.写出线性回归方程。
4.线性回归模型的检验（1）拟合优度检验：通过计算判定系数R²来评估回归模型的拟合程度。
（2）假设检验：利用t检验和F检验来评估回归系数的显著性。
5.实际案例分析与讨论案例1：某地区房价与收入关系的研究（1）收集数据：收集某地区近年来的房价和收入数据。
（2）绘制散点图：观察房价和收入之间的关系。
（3）求解线性回归方程：利用最小二乘法求解回归系数。
（4）模型检验：计算判定系数R²，进行假设检验。
（5）结论：根据线性回归方程和模型检验结果，分析房价与收入之间的关系。
案例2：某企业产量与广告费用关系的研究（1）收集数据：收集某企业近年来的产量和广告费用数据。
（2）绘制散点图：观察产量和广告费用之间的关系。
大学回归分析教案模板范文
---课程名称：统计学与应用授课对象：大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 知识与能力：使学生理解回归分析的基本概念，掌握线性回归模型的建立、参数估计和假设检验。
2. 过程与方法：通过实例分析和计算，培养学生运用回归分析解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生严谨的科学态度和团队合作精神。
教学重点：1. 线性回归模型的建立。
2. 回归系数的估计与假设检验。
教学难点：1. 线性回归模型的适用条件。
2. 多重共线性问题及其解决方法。
教学方法：1. 讲授法：系统讲解回归分析的基本概念和理论。
2. 案例分析法：通过实际案例，引导学生分析问题、解决问题。
3. 讨论法：鼓励学生积极参与讨论，发表自己的见解。
教学手段：1. 多媒体教学：利用PPT展示教学内容。
2. 实践操作：使用统计软件进行回归分析操作。
教时安排：- 课时1：线性回归模型的基本概念和参数估计- 课时2：回归系数的假设检验、模型诊断及多重共线性问题参考资料：1. 《统计学与应用》教材2. 《SPSS统计分析与应用》教材3. 相关学术论文和研究报告---教学过程课时1：线性回归模型的基本概念和参数估计一、引言- 简要介绍回归分析在各个领域的应用。
- 阐述线性回归模型的基本概念和假设。
二、线性回归模型的建立1. 回归方程的建立2. 模型参数的估计方法（最小二乘法）三、实例分析- 选择一个实际案例，展示线性回归模型的应用过程。
- 引导学生分析数据，建立回归模型，并进行参数估计。
四、课堂练习- 提供一组数据，要求学生独立完成线性回归模型的建立和参数估计。
课时2：回归系数的假设检验、模型诊断及多重共线性问题一、回归系数的假设检验1. 回归系数的显著性检验2. 方差分析二、模型诊断1. 异常值检测2. 残差分析三、多重共线性问题1. 共线性问题的定义和表现2. 多重共线性的检测方法3. 解决多重共线性的方法四、实例分析- 分析上一节课的案例，探讨回归系数的假设检验、模型诊断和多重共线性问题。
苏教版高中数学选修2-3线性回归分析教案
线性回归分析教学目标：通过对典型案例的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
教学重点：通过对典型案例的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
教学过程一、变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系,设随机变量与变量之间存在线性相关关系,则由试验数据得到的点(,)将散布在某一直线周围,因此,可以认为关于的回归函数的类型为线性函数,即,下面用最小二乘法估计参数、b,设服从正态分布,分别求对、b的偏导数,并令它们等于零，得方程组解得其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差.二、现在讨论线性相关的显著性检验中最简便、最常用的一种方法，即相关系数的显著性检验法.我们早在前面的学习中知道，变量与的相关系数是表示与之间线性相关关系的一个数字特征，因此，要检验随机变量与变量之间的线性相关关系是否显著，自然想到考察相关系数的大小，若相关系数的绝对值很小，则表明与之间的线性相关关系不显著，或者它们之间根本不存在线性相关关系；当且仅当相关系数的绝对值接近1时，才表明与之间的线性相关关系显著，这时求关于的线性回归方程才有意义.在相关系数未知的情况下，可用样本相关系数r作为相关系数的估计值，参照相关系数的定义，并用样本均值与样本方差分别作为数学期望与方差的估计值，定义与的样本相关系数如下:因此，根据试验数据(,)，得到的值后可进一步算出样本相关系数r的值. 若使用的是具有线性回归计算功能的电子计算器时，把所有试验数据(,)逐对存入计算器中，则可直接算出r的值.由于样本相关系数r 是相关系数的估计值，所以，r的绝对值越接近1，与之间的线性相关关系越显著. 当r>0时，称与正相关；当r<0时，称与负相关. 而当r的绝对值接近0时，则可认为与之间不存在线性相关关系.三、例1．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影1x2）检验相关系数r的显著性水平：r=∑∑∑===---7171222271)7)(7(7i i i i i ii y y x x yx yx =)3.39971132725)(3077000(3.3993078717522⨯-⨯-⨯⨯-≈0.9733，在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度7-2=5相应的相关数临界值r 0 05=0.754＜0.9733，这说明水稻产量与施化肥量之间存在线性相关关系.3）设回归直线方程a bx y +=ˆ，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 71227177 计算a ，b ， 得b=75.430770005.399307871752≈⨯-⨯⨯-a=399.3-4.75×30≈257，则回归直线方程25775.4ˆ+=x yx例2．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：之间的回归直线方程.x2）r=∑∑∑===---1211212222121)12)(12(12i i i i i ii y y x x yx yx18.534.1754.243120.997891-⨯⨯=在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r 0 05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间存在线性相关关系.3）设回归直线方程a bx y+=ˆ， 利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=x b y -≈0.974，∴回归直线方程为：974.0215.1ˆ+=x y课堂小节：本节课学习了回归的基本思想、方法及其初步应用 课堂练习：略。
线性回归教学设计
线性回归教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）体会最小二乘法和回归分析的思想；（2）能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 2、过程与方法目标（1）经历代数法寻求回归直线方程的过程；（2）体验用计算器或工作表软件得出回归直线方程的过程． 3、情感态度与价值观通过对数据的分析和处理，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，体会数学应用的广泛性．二、重点难点重点：了解最小二乘法思想，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 难点：体会最小二乘法和回归分析的思想．三、教学方法：问题探究式和启发式教学方法四、教学工具：科学计算器、Excle 工作表软件以及多媒体电脑展示设备五、教学过程：1．复习引入首先展示学生上节课得出的不同直线． 然后呈现问题组一问题1： 如何评价这些直线拟合的优劣程度以及标准的合理性？ 问题2：试文字语言概括最优拟合直线的标准．说明：学生可能在对得出的不同直线评价其优劣性以及标准的合理性时会提出很多不同的标准，为了防止漫无目的，教师对直线优劣性的判断提出一些基本要求，如尽可能考虑到全部数据，体现整体性，尽可能便于数学计算等，并通过对标准的逐步修正，引导学生得出最优直线的标准：从整体上看，各点与此直线最贴近． 2．探求新知给出概念：我们把整体上最贴近已知数据点的直线叫做回归直线．设回归直线方程为bx a y +=ˆ，其中b 叫做回归系数．坐标点),(i i y x 表示第i 个样本点，坐标点)ˆ,(y x i 表示回归直线方程bx a y +=ˆ上的点，点),(i i y x 和点)ˆ,(y x i 的偏离差记作)ˆ(y y i -，问题组二问题1：如何从代数的角度刻画“从整体上看，各点与此直线最贴近”？问题2：∑=-ni iyy1)ˆ(能反映这些数据点与直线的贴近程度吗？，该怎么规避呢？问题3：比较∑=-ni iyy1|ˆ|和∑=-ni iyy12)ˆ(，在“使各点与此直线的总偏离差最小”的判断上可以等同吗？我们一般选择哪一个代数式作为我们研究的对象，为什么？说明：1、学生可能会把“从整体上看，各点与此直线最贴近”理解为：“各点与此直线的离差之和最小”，这样既是求代数式∑=-ni iyy1)ˆ(的最小值．这时我们给出问题2，学生可能会想到加绝对值，也可能会想到平方．此时给出问题3．因为学生在初二下学期的统计学中的“数据的波动分析”中学习了方差的概念，并在课后的阅读与思考：“数据波动的几种度量”中了解了差的绝对值的和∑=-ni iyy1|ˆ|与差的平方和∑=-ni iyy12)ˆ(．所以在这里学生不难理解其等同性，这时可以给学生说明：为了计算方便，我们通常选择差的平方和∑=-ni iyy12)ˆ(作为研究对象来求最小值．通过三个问题的设置，逐步引导学生利用最小二乘法来求回归直线方程．2、如果有学生在问题1中把“从整体上看，各点与此直线最贴近”理解为“各点与此直线的距离之和最小”，这样既是求距离和∑=ni id1的最小值．在这里可以给学生从形的角度来解释一下（PPT ），通过图形我们看到，距离和∑=ni id1与差的绝对值的和∑=-ni iyy1|ˆ|成比例关系，所以二者在判断“整体上各点与此直线最贴近”上是等同的，为了计算方便，我们通常选择差的平方和∑=-ni iyy12)ˆ(作为研究对象来求最小值．这时给学生指出：这种使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法．这样就把学生从定性的观察引导到了定量的分析，不仅完成了几何问题代数化的过程，而且在三个问题的引导下体会到了最小二乘法的思想． 问题组三问题1：怎样用最小二乘法求回归直线方程中的b a ,？问题2：回归直线方程中的b a ,的公式为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==x b y a x n x y x n y x b ni i ni i i ˆˆˆ1221如何更好的认识和应用公式求出回归直线方程？说明：1、教材没有给出公式的具体推导过程，在这里我们通过一个具体的例子来推导一下： 以教材74页例1为例，即：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的量x 的前3个值带入待定的直线方程bx a y +=ˆ,得到相应的3个ˆy 的值:b a b a b a 13,18,26+++，这3个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和2132156278811431169)1334()1824()2620()ˆ()ˆ()ˆ(22222233222211+--++=--+--+--=-+-+-=a b ab a b b a b a b a y y y y yy Q先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当1169571394ab -=时, Q 取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当b a 1926-=时, Q 取得最小值.因此,当558.6,023.1≈-≈a b 时，Q 取的最小值,此时回归直线方程为x y023.1558.6ˆ-=． 这是根据具体实例，利用二次函数求最值的方法来求得了Q 取最小值时b a ,的值，通过这个特例，让学生简单了解了用最小二乘法求得回归直线方程中b a ,的值的过程，既避免了直接给出公式的唐突，又不用花费大量的时间进行冗繁的推理，而对于一般情况下的推导可以鼓励学生在课后自己尝试推导．并告诉学生，在选修2-3的相关章节中，我们会给出另外一种推导方式．2、通过特例了解了如何用最小二乘法求得回归直线方程中b a ,的值后，我们直接给出一般情况下的系数公式， 由于公式比较复杂，因此在运用这个公式求b a ,时，必须要有条理，先求什么，再求什么．这里可以分析b 中分式的各个组成部分，让学生熟悉每一个数据，以便求解．3、引导学生再观察回归直线方程，发现回归直线一定通过样本点中心),(y x ，在不确定问题探讨中出现的确定性的性质，再次激发学生的探究欲望，而此问题的探究，使得学生在“回归直线是两个变量具有相关关系的代表”的理解上，上升到“回归直线过双变量样本点的中心”这一高度，深化对回归直线和回归思想的理解，完成学生认知结构的再次建构． 3．应用新知：例1 在某种产品表面进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度Y 与腐蚀时间x 之间相应的一组观察值如下表：（1）画出表中数据的散点图；（2）试求Y 对x 的回归直线方程；（结果保留到小数点后3位数字） （3）试预测腐蚀时间为100s 时腐蚀深度是多少？ 问题组四：问题1、回归系数b ˆ的意义是什么？问题2、预测腐蚀时间为100s 时的腐蚀深度准确吗？你怎么理解回归方程的预测功能？ 说明：1、这是教材的一个例题，在求回归直线方程时，我们采用的方法是：把数据列成表格，代入公式分别计算b a ,的值，进而求出回归直线方程．通过本例，教师带领学生一起来应用公式，求出回归直线方程．不仅让学生在学以致用中加深对公式结构的理解和认识，而且通过第三问的预测，体现了回归直线方程的应用价值．2、通过问题1，让学生在具体实例中对回归系数b ˆ再认识，强化了学生对数据的实际意义的认识．问题2的设置，让学生在实例中正确认识回归方程的预测功能，体会到了回归直线的应用价值．3、在学生通过具体实例，掌握了根据给出的系数公式建立回归直线方程的方法后，鼓励学生尝试使用函数型计算器（参考教材例3）和Excle 工作表软件（详细过程参见附录）来处理数据求得回归方程．需要说明的是，课标的要求是：能根据给出的线性回归方程系数公式求出线性回归方程．所以必须要让学生掌握方法一．方法二和方法三并没有用到课本所给出的公式．但是方法二和三的介绍会给学生在处理实际问题时带了很大的方便，为下一节课作好铺垫．4．小结和作业：小结：了解最小二乘法思想，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 作业：课本第79页练习A第1题；习题2-3第1题．说明：通过小结和作业，进一步明确本节课的目标，突出了教学重点． 六、教学反思1、关于本单元的教学设计是2个课时还是4个课时的思考．在进行本单元的教学设计时，我们遇到了到底安排几个课时进行教学的问题，如果把统计理解为了解概念、会使用公式解题，那么2个课时就足够了．但是课标要求通过实际问题学习统计知识，强调让学生通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，本节虽然知识内容不多，但引入新知识的过程中承载着新的数学方法，再加上这节内容是统计必修内容的最后一节，实际上需要综合运用前面的知识，为了让学生真正动起来，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，正确理解统计推断的结论，在实际的教学中我安排了4个课时进行教学．2、关于如何通过几何问题代数化的过程让学生体会最小二乘法的思想的思考．如何把“从整体上看，各点与此直线最贴近”用合适的代数式刻画并化简，化几何问题为代数问题，是顺利了解“最小二乘法思想”的前提；要了解“最小二乘法思想”，还必须要求对给出的系数公式的来源进行一定的说明．而如何化简复杂的代数式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也很高．知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课遇到的最大矛盾．在教学中，我认为要防止两种倾向：一是直接套用公式求解回归方程而回避说理过程；二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行推导．这两种倾向，都脱离了课标的要求，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标；后者人为拔高教材要求，偏离了本节课教学的重难点．基于此，我在教学中通过问题组的设置一步步引导学生完成几何问题代数化，并通过特例，利用二次函数求最值的方法来求得了Q 取最小值时b a ,的值，突破了本节课的难点． 3、关于合理使用计算器的意义的思考．使用计算器降低了计算的难度，就可以给学生安排更多的动手操作的机会，从而使学生的活动集中于解决问题之中，这样就会使学生淡化回归直线系数公式的记忆，更多的思考如何处理数据，以及对回归方程的推断作用进行更多的全面的思考，这也符合课标对学习统计学的要求．。
线性回归分析法讲课教案
线性回归分析法讲课教案一、引言线性回归是一种常用的统计学方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系模型。
通过分析已有数据集，可以预测与解释因变量的变化。
本讲课教案旨在介绍线性回归的原理、应用场景以及模型建立和评估方法。
二、教学目标1. 理解线性回归的概念和基本原理；2. 掌握线性回归模型的建立和求解过程；3. 熟悉线性回归模型的评估方法，并能够解释模型的准确性和可信度。
三、教学内容与教学步骤1. 线性回归的基本原理- 介绍线性回归的定义和概念；- 解释线性回归中的自变量、因变量和回归系数的含义；- 探讨线性回归的假设条件和限制。
2. 线性回归模型的建立与求解- 讲解线性回归模型的数学表达式；- 介绍最小二乘法求解线性回归模型的步骤；- 引导学生通过实例理解模型的建立和求解过程。
3. 线性回归模型的评估方法- 介绍线性回归模型的拟合优度和假设检验；- 讲解常见的评估指标，如均方根误差（RMSE）、决定系数（R²）等；- 引导学生通过案例分析和计算实践掌握评估方法的应用。
四、教学资源1. PowerPoint演示文稿：详细讲解线性回归的基本原理、模型建立和评估方法；2. 数据集和案例分析资料：用于实际操作和练；3. 计算工具软件（如Python、R等）：用于模型求解和评估；4. 投影仪、白板、笔等教学设备。
五、教学方法1. 讲授法：通过PPT演示文稿结合实例讲解线性回归的基本原理和模型建立方法；2. 互动式教学：引导学生参与实例分析和计算练，加深对线性回归的理解；3. 小组讨论：组织学生在小组内分享并讨论案例分析，促进合作和思维碰撞；4. 实践操作：让学生使用计算工具软件进行数据分析练，提高实际应用能力。
六、教学评估1. 课堂测验：对学生对线性回归的概念和原理进行测试；2. 练和作业：布置相关练和实验任务，检验学生对模型建立和评估方法的掌握程度；3. 小组讨论和个人演讲：通过小组讨论和个人演讲，评估学生对线性回归应用的理解和表达能力。
数学建模——线性回归分析实用教案
数学建模——线性回归分析实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模与数学探究》第四章“数据的分析与处理”中的第二节“线性回归分析”。
具体内容包括：线性回归模型的建立与求解，残差分析，线性回归方程的应用。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的求解方法。
2. 能够运用线性回归分析方法对实际问题进行模型建立，并进行预测。
3. 培养学生的数据分析能力、逻辑思维能力和实际应用能力。
三、教学难点与重点难点：线性回归方程的求解及残差分析。
重点：线性回归模型的建立与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：计算机、投影仪、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、计算器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入利用计算机展示一组实际数据，如某城市近10年来的汽车销量与人均GDP的变化情况。
引导学生观察数据，发现数据之间的潜在关系。
2. 理论讲解（1）介绍线性回归分析的基本概念，如自变量、因变量、线性关系等。
（2）讲解线性回归方程的求解方法，如最小二乘法。
（3）阐述残差分析的意义，介绍残差的计算方法。
3. 例题讲解（1）求解一组给定数据的线性回归方程。
（2）利用线性回归方程对实际问题进行预测。
4. 随堂练习让学生根据所学知识，对给出的实际问题建立线性回归模型，并进行预测。
六、板书设计1. 线性回归分析的基本概念2. 线性回归方程的求解方法3. 残差分析4. 线性回归模型的应用七、作业设计1. 作业题目（1）求下列数据的线性回归方程：自变量：1, 2, 3, 4, 5因变量：2, 4, 5, 6, 7（2）某商店的月销售额与广告费之间的关系如下表：广告费（万元）：1, 2, 3, 4, 5销售额（万元）：2.5, 3.2, 3.9, 4.6, 5.3建立线性回归模型，预测广告费为6万元时的销售额。
答案：（1）线性回归方程：y = 1.4x + 0.6（2）线性回归方程：y = 0.7x + 2.08预测销售额：5.78万元八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际问题的引入，让学生了解了线性回归分析的基本概念和应用，掌握了线性回归方程的求解方法。
高二数学“线性回归”教案
高二数学“线性回归”教案【篇一】教学目标【知识和技能】1．能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。
2．会画散点图,并能利用散点图判断是否存在回归直线。
3．知道如何系统地处理数据。
掌握回归分析的一般步骤。
4．能运用Excel表格处理数据,求解线性回归直线方程。
5．了解最小二乘法的思想,会根据给出的公式求线性回归方程。
6．培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。
【过程和方法】1．使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。
2．提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。
【情感、态度和价值观】1．认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值,感受生活离不开数学。
2．体验信息技术在数学探究中的优越性。
3．增强自主探究数学知识的态度。
4．发展学生的数学应用意识和创新意识。
5．培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。
【教学重点、难点】线性回归分析的基本思想；运用Excel表格处理数据,求解回归直线方程。
【教学课型】多媒体课件,网络课型教学内容学生已经学习了初步的统计知识,如抽样方法,对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。
线性回归问题涉及的知识有:描点画散点图,一次函数、二次函数的知识,最小二乘法的思想及其算法问题,运用Exc el表格处理数据等。
教学资源教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题）,这个问题必须应用所预期的学科知识才能解决,又与学生的先前经验密切相关。
教师准备四个教学课件:学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。
每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。
学案主要包括设计的引入问题,教学过程中所遇到的主要问题,推导回归直线方程的公式的计算表格,运用Exc el表格处理数据的操作步骤,课堂练习以及作业,教学评价等。
数学线性回归分析PPT学习教案
2. 简单相关分析
➢ 3. 创建图形对象操作 ➢ graph graph01. scat(m) qmg mob pmg
pop gnp
第15页/共47页
CAR
200,000,000
160,000,000
120,000,000
80,000,000
40,000,000 40,000,000
第21页/共47页
➢ 3．创建方程对象 ➢ Object/New Object ➢ equation eq01 .ls Qmg c car pmg pop rgnp
第22页/共47页
2.4 自变量的选择
➢ 1 t检验法: 通过回归系数的显著性检验来决定自变量的取舍。方法： 检查输出的参数估计结果，如果某些变量t检验的尾概率大于给定 的显著性水平alpha，则检验未通过，可以考虑删除相应的自变量。
260,000 240,000 220,000 200,000 180,000 160,000 140,000
40,000,000
80,000,000 QMG
120,000,000
80,000,000 QMG
120,000,000
POP
RGNP
PMG
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 40,000,000
EViews计算R 2 的公式为：
R2
1
y
ˆˆ
y y
y
ˆ y Xb,
T
y yt T t 1
其中，ˆ 是残差， y 是因变量的均值。
第1页/共47页
2
2、调整R 2
使用 R2 作为衡量工具存在的一个问题，即在增加新的自变量时R 2不会
回归分析教学教学教案
E[((X X )1 X ( XB U ) B)((X X )1 X ( XB U ) B)]
E[(X X )1 X UU X ( X X )1]
( X X )1 X E(UU ) X ( X X )1
E(UU )(X X )1 X X ( X X )1
2 ( X X )1
C = + Y+
(2.2.2)
其中： 是一个随机误差项，是其他影响因素的
“综合体”。
• 线性回归模型的特征：
⑴ 通过引入随机误差项，将变量之间的关系用一个 线性随机方程来描述，并用随机数学的方法来估计 方程中的参数；
⑵ 在线性回归模型中，被解释变量的特征由解释变 量与随机误差项共同决定。
2、模型的理论方程中为什么必须包含随机 误差项？
线性回归模型
• §1 回归分析概述 • §2 线性回归模型的参数估计 • §3 线性回归模型的统计检验 • §4 回 归 预 测 • §5 极大似然估计 • §6 有约束回归
§1 回归分析概述
一、线性回归模型的特征 二、线性回归模型的普遍性 三、线性回归模型的基本假设
1、线性回归模型的特征
• 一个例子
E Y Yˆ Y X Bˆ
Q (Y Bˆ X )( Y X Bˆ )
( Y Y Y X Bˆ Bˆ X Y Bˆ X X Bˆ ) 为什么 Y X Bˆ Bˆ X Y ？
Y Y 2 Bˆ X Y Bˆ X X Bˆ
Q Bˆ
0
X Y X X Bˆ 0
Bˆ X X 1 X Y
变量置换得到
Z 0 1 X 1 2 X 2 3 X 3
结论：
• 实际中的许多问题，都可以最终化为线性问题， 所以，线性回归模型有其普遍意义。
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线性回归分析管理中经常要研究变量与变量之间的关系，并据以做出决策。
前面介绍的检验可以确定两个变量之间是否存在着某种统计关系，但是如果检验说明两个变量之间存在着某种关系，我们还是不能说明它们之间究竟存在什么样的关系。
本章介绍的回归分析能够确定两个变量之间的具体关系和这种关系的强度。
回归分析以对一种变量同其他变量相互关系的过去的观察值为基础，并在某种精确度下，预测未知变量的值。
社会经济现象中的许多变量之间存在着因果关系。
这些变量之间的关系一般可以分为两类：一类是变量之间存在着完全确定的关系，即一个变量能被一个或若干个其他变量按某种规律唯一地确定，例如，在价格P确定的条件下，销售收入Y与所销售的产品数量之间的关系就是一种确定性的关系：Y＝P·X。
另一类是变量之间存在着某种程度的不确定关系。
例如，粮食产量与施肥量之间的关系就属于这种关系。
一般地说，施肥多产量就高，但是，即使是在相邻的地块，采用同样的种子，施相同的肥料，粮食产量仍会有所差异。
统计上我们把这种不确定关系称为相关关系。
确定性关系和相关关系之间往往没有严格的界限。
由于测量误差等原因，确定性关系在实际中往往通过相关关系表现出来；另一方面，通过对事物内部发展变化规律的更深刻的认识，相关关系又可能转化为确定性关系。
两个相关的变量之间的相关关系尽管是不确定的，但是我们可以通过对现象的不断观察，探索出它们之间的统计规律性。
对这类统计规律性的研究就称为回归分析。
回归分析研究的主要内容有：确定变量之间的相关关系和相关程度，建立回归模型，检验变量之间的相关程度，应用回归模型进行估计和预测等。
第一节一元线性回归分析一、问题的由来和一元线性回归模型例7-1。
某地区的人均月收入与同期某种耐用消费品的销售额之间的统计资料如表7-1所示。
现要求确定两者之间是否存在相关关系。
表7-1如果作一直角坐标系，以人均收入x i为横轴，销售额y i为纵轴，把表7-1中的数据画在这个坐标系上，我们可以看出两者的变化有近似于直线的关系，因此，可以用一元线性回归方程，以人均收入为自变量，以销售额为因变量来描述它们之间的关系。
即：y i =a+b x i+e i()i n=12,,,其中：yi是因变量Y的第i个观察值，xi是自变量X的第i个观察值a与b是回归系数，n是样本容量，ei为对应于Y的第i个观察值的随机误差，这是一个随机变量。
在上述线性模型中，自变量X是个非随机变量，对于X的第i个观察值xi ，Y的观察值yi是由两个部分所组成的：b x i和e i，前者是一个常数，后者是一个随机变量，所以也是一个随机变量。
对于上述回归模型中的随机误差e i要求满足如下的假设条件：1、应当是服从正态分布的随机变量，即ei满足“正态性”的假设。
2、ei 的均值为零，即E(ei)＝0，我们称e i满足“无偏性”的假设。
3、ei 的方差等于()σ2ei=e i2，这就是说，所有的e i分布的方差都相同，即满足“共方差性”的假设。
4、各个ei 间相互独立，即对于任何两个随机误差ei和e j()i j≠其协方差等于零，即，Cov(ei,e j)=0,()i j≠)这称之为满足“独立性”的假设。
综上所述，随机误差必须服从独立的相同分布。
基于上述假定，随机变量的数学期望和方差分别是：E(y i)=a+b x i()σ2ei=e i2由此：yi～N(a+b x i,e i2)这就意味着，当X=x i时，y i是一个服从正态分布的随机变量的某一个取值。
如果不考虑式中的误差项，我们就得到简单的式子：yi=a+b x i这一式子称为Y对X的回归方程。
依据这一方程在直角坐标系中所作的直线就称为回归直线。
二、模型参数的估计和估计平均误差1、回归参数的估计回归模型中的参数a 与b 在一般情况下都是未知数，必须根据样本数据(x i ，y i )来估计。
确定参数a 与b 值的原则是要使得样本的回归直线同观察值的拟合状态最好，即要使得偏差最小。
为此，可以采用“最小二乘法”的办法来解决。
对应于每一个x i ，根据回归直线方程(7-1)可以求出一个 yi ，它就是y i 的一个估计值。
估计值和观察值之间的偏差()e y yi i i =- 。
有n 个观察值就有相应的n 个偏差。
要使模型的拟合状态最好，就是说要使n 个偏差的总和最小。
但为了计算方便起见，我们以误差的平方和最小为标准来确定回归模型。
这就要求()()Q y yy a bx i i n i i i n=-=--==∑∑ 1212是个极小值。
根据微积分中的极值定理，要使上式取极值，其对a 与b 所求的偏导数应为0，即()()∂∂∂∂Qa y a bx Qby a bx x i i i i i =---==---=∑∑2020经整理后可得：y na b x x y a x b xiii iii∑∑∑∑∑=+=+2解上式，可得：()()()b x y nx y x n x a ynbxni i ii iiii=--=-∑∑∑∑∑∑∑1122记 ()()X x n Y y n ii==∑∑,。
()()()()()()()()S x xx nx S x x y y x y nx y S y yy ny XX i i iXY i i i i iiYY i i i=-=-=--=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑222222111于是，得到参数a 与b 的简单表达形式如下：b S S a y bxXY XX ==-求出参数a 与b 以后，就可以得到回归模型ya bx =+ 由此，只要给定了一个x i 值，就可以根据回归模型求得一个 y i 来作为实际值y i 的预测值。
2、估计平均误差的计算对于给定的x i ，根据回归模型就可以求出y i 的预测值。
但是用 yi 来预测y 的精度如何，产生的误差有多大是统计上所关心的。
统计上用估计平均误差这个指标来度量回归方程的可靠性，对回归方程进行评价。
估计平均误差可以用第一章中所述的度量一组观察值的离差的方法来度量。
但是这次估计平均误差是根据观察值与回归直线的偏离来计算的。
一个回归模型的估计平均误差或剩余标准离差由下式定义： ()S n y y e i i i n =--=∑1221值得注意的是上式中分母是用()n -2而不是()n -1或n 去除，这是因为n 个观察值的数据点用于计算参数a 与b 时失去了2个自由度，还余下()n -2个自由度。
运用估计平均误差可以对回归方程的预测结果进行区间估计。
若观察值围绕回归直线服从正态分布，且方差相等，则有68.27%的点落在±S e 的范围内，有95.45%的点落在±2S e 的范围内，有99.73% 的点落在±3S e 的范围内。
三、回归模型的检验回归方程建立以后还需要检验变量之间是否确实存在线性相关关系，因为对回归参数的求解过程并不需要事先知道两个变量一定存在相关关系。
对一元线性回归模型的统计检验包括两个内容：一是线性回归方程的显著性检验，二是对回归系数进行统计推断。
下面我们分别讨论这两个问题。
（一）线性回归方程的显著性检验1、方差分解回归分析中需要分析使用Y 与X 之间的线性相关关系的估计模型 ya bx =+来估计y 时所产生的误差和所减少的误差，这称为回归中的方差分析。
若没有利用Y 与X 之间的相关关系来估计总体的均值，我们就会选择y i 的平均值y 作为总体的估计值。
由此而产生的误差是()y y i i -∑ 2，我们称之为“总离差平方和”，记为SST 。
若利用Y 与X 之间的线性相关关系的估计模型去估计总体均值，则所产生的误差是:()y yi i -∑ 2，我们称之为残差平方和，记为SSE 。
为了说明SST 与SSE 之间的关系，我们对SST 进行分解。
()()()[]()()()()()()()()SST y yyy y y yy y y y y y y y y y y yy y yi i i i i iii i i iiiiii=-=-+-=-+-+--=-+-+=-+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑2222222220若记 SSR=()y yi i -∑ 2SSE=()y y i i -∑ 2则 SST = SSR + SSE图7-1：三种误差之间的关系SSR 反映了由于利用Y 和X 之间的线性回归模型 yi 来估计Y 的均值时，而不是简单地利用y 来估计Y 的均值时，使得总误差SST 减少的部分，因此统计上称之为“可解释误差”。
SSE 是利用Y 与X 之间的线性回归模型来估计Y 的均值时仍然存在的误差，因此称之为“不可解释误差”。
于是，上式实际上就表示：总误差＝可解释误差＋不可解释误差图7-1直观地表示了三种误差之间的相互关系。
2、相关分析对于任何给定的一组样本(xi yi)( i =1,2,…n )都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型，相应地就可以得到一条回归直线。
但是，这样的一条回归直线并不是总有意义的。
只有当变量X与Y之间确实存在某种因果关系时，其回归直线才有意义。
统计学中要确定变量X和Y之间是否确实存在线性相关，通常利用相关系数来检验。
相关系数记作r或r2，它能够较精确地描述两个变量之间线性相关的密切程度。
相关系数可以定义为可解释误差SSR 和总误差SST之比，即：r2= SSR／SST=1 - SSE／SST它反映了由于使用了Y与X之间线性回归模型来估计yi的均值而使离差平方和SST 减少的程度，从而表明Y与X之间线性相关程度及拟合模型的优良程度。
r2与SSR 成正比。
r2越大，说明Y与X之间的线性相关程度越高，也就说明模型的拟合性能较优；r2越小，说明Y与X之间的线性相关程度越低，说明模型的拟合性能较差。
当相关系数用r来表示时不仅可以测定Y与X之间的相关程度，而且也可以表示相关的方向。
事实上，相关系数r也可以定义为：r S S SXY XX YY=⋅从上述两个公式计算所得到的结果完全相同，意义也相同。
但从r2计算r时为：r r=±2要确定r的符号，就需要利用以下的关系：rSS SbSSXYXX YYXXYY =⋅=由此可见，r与b同号，可以根据b的符号来决定r的符号。
从r2的计算公式可以看出：r2总是界于0与1之间的，即0≤r2≤1。
如果 y yi i=，则SST=SSR，SSE=0，此时，r2=1。
这时称为完全线性相关，模型的拟合程度最优。
用Y与X之间的线性回归模型来估计yi时的总离差和完全可以用SSR来解释。
如果y yi=，则SST=SSE，SSR=0，因此，r2=0。
这时，使用Y与X之间的线性回归模型没有能对任何的总离差平方和SST作出任何解释，说明Y与X之间事实上无线性相关，模型的拟合程度最差。