机械振动二自由度
机械振动二自由度讲解
动能、势能和能量耗散函 数均是非负的。也就是说， 对任意的位移，任意的速 度，必然有
ET
1 {x'}T [M ]{x'} 0 2
U 1 {x}T [K ]{x} 0
2
D 1 {x'}T [C]{x'} 0
2
由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，
工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩
U
1 2
k1x12
1 2
k2 (x2
x1 ) 2
1 2
k3 x22
1 2 {x1,
x2}T
k1 k2
k2
k2 k2 k3
xx12
1 2
{x}T
[K
]{x}
系统的能量 耗散函数
D
1 2
c1x'12
1 2
c2
(x'2
x'1
)2
1 2
c3 x'22
U
1 2
[k1
y
2 A
k2( yA
Lq )2 ]
1 2
{
y
A
,q
}k1k2 Lk2
mL1 mL12
Ic
y'
q
A
'
k2L k2 L2
yA
q
yA和q下的运动微分方程为
示例：
10二自由度系统的各阶固有频率与主振型
实验10 二自由度系统的各阶固有频率与主振型一、实验目的1．学会用共振法确定二自由度系统的各阶固有频率。
2．观察二自由度系统的各阶振型。
3．将实验测得的各阶固有频率和振型与理论结果进行比较。
二、实验装置与仪器1．机械振动与控制实验台。
2．磁电式非接触激振器（JZF-1型）。
3．激振信号源（SJF-3型）。
4．重锤两个（1kg 与2kg 各一个），磁性表座，两质量块的钢丝绳一根，螺丝刀。
图4-12-1 二自由度横向振动系统的装置简图三、实验原理二自由度系统的装置示意如图4-12-1所示，两个质量块、m 的质量均为m （集中质量），钢丝绳的张力可以通过改变重锤的重量来调节，从而构成一个弦上有集中质量的横向振动系统，不计钢丝绳的质量，便将无限自由度系统简化为二自由度系统的模型，具有两个固有频率。
在激振力作用下，系统发生振动，该振动是两个主振型的叠加。
当激振频率等于某一阶固有频率时，系统的振动形态就是该阶固有频率的主振型，而另一阶振型的影响可以忽略不计。
A mB 在测定系统的固有频率时，需要连续调节激振频率，使系统出现某阶振型且振幅值达到最大，这时的激振频率就是该阶的固有频率。
由振动理论，两个集中质量的运动系统可由以下方程描述：0=+KX XM &&其中质量矩阵为：mm 00=M 刚度矩阵为：21123/6/3/3/6−−=−−=L T L T L T L T L T K 位移矩阵为：21x x X =系统的一阶固有频率为：mLT 31=ω 或者 mL T f 3π211= 系统的二阶固有频率为：mLT 92=ω 或者 mL T f 9π212= 在以上各式中， =0.0045kg 为集中质量， m T 为弦丝张力（N ）， =L 0.625m 为弦丝长度。
各阶主振型分别为()111++=A 以及()112−+=A ，参见图4-12-2。
（a ） （b ）图4-12-2 二自由度系统的一阶主振型（a ）和二阶主振型（b ）四、实验方法1．将磁电式非接触激振器接入激振信号源输出端，把激振器对准其中任一个质量块，保持一定的间隙（8—10mm ），使得振动时激振器与质量块不会发生碰撞。
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
第十一讲—二自由度系统强迫振动
机械与运载工程学院第十一讲二自由度系统强迫振动2机械与运载工程学院运动方程m 1m 2k 3k 1k 2x 1x 2P 1(t )P 2(t )k 1x 1k 2(x 1-x 2)11x m m 1P 2(t )k 2(x 1-x 2)22xm m 2k 3x 2⎩⎨⎧=+−−=−++)()()()(2332122212121111t P x k x x k x m t P x x k x k x m 运动方程：矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t P x x k k k k k k x x m m3机械与运载工程学院1θk 1I 2θ2I 2θk 3θk )(1t M )(2t M 1θ11θθk 11θ I )(1t M )(212θθθ−k 22θ I )(2t M 33θθk )(122θθθ−k 1111121212222332()()()()I k k M t I k k M t θθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪⎨+−+=⎪⎩运动方程：矩阵形式：122111122322220()0()k k k I M t k k k I M t θθθθθθθθθθ+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4机械与运载工程学院⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t Px x k k k k k k x x m m⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t M t M k k k k k k I I θθθθθθθθθθ 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
动力学-二自由度系统的自由振动
x1 x2
0
MX KX 0
求如下形式的解：
X
c c '
cost
特征方程
2M K 0
(k2 m22 )(k1 k2 m12 ) k22 0
方程有正实根： 1,2
特征向量：
i2 MKຫໍສະໝຸດ c c '0,
i
1,2
如果
X
c c '
cost
是解,
方程的通解：
则
X
c c '
sin
第七章 机械振动基础
• 当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变 化时，称之为振动。
•力学和机械系统中的振动称为机械振动。
研究振动的目的： 1. 振动的性质与特性 2. 利用振动 3. 消除振动
§7-4、二自由度系统的自由振动
一、运动微分方程的建立
取静平衡位置为坐标原点：
k1
m1
x1
T
1 2
m1x12
m122
c4
振型： 第一振型
第二振型
1
u(1)
k1
k2 m112
k2
1
u(2)
k1
k2
m1
2 2
k2
二、二自由度系统自由振动的特性
系统的固有频率、振型与初始条 件无关，仅与系统的参数有关。
三、一般的二自由度系统
二自由度系统的动力学方程
m11 m21
m12 m22
x1 x2
k11 k21
k12 k22
x1 x2
0
MX KX 0
M：广义质量矩阵，K：广义刚度矩阵
1 2
m2 x22
k2
m2
机械振动二自由度
k2 L y A {0} 2 k2 L q
3. 取广义坐标为yA，yB
m L2 I c 2 1 L2 ET y A ', y B ' 2 1 m L L2 I c L2 m L L2 I c 1 yA ' L2 2 m L I c yB ' 1 L2
这个方程不存在惯性耦合
k2 L2 k1L1 0
时方程存在弹性耦合
对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
k2 L2 k1L1 0
2．取广义坐标为yA，q
m L y' A m 1 1 1 2 2 ET [m( y' A L1q ' ) I cq ' ] { y' A ,q '} q ' 2 系统 2 2 1 1 m L m L I c
L2 变换矩 [u ] L 1 阵为 L
L1 L 1 L
m L2 I c 2 在yA和yB下 m 0 T L2 的质量矩阵 [u ] 0 I c [u ] m L L2 I c 1 为 L2
m L L2 I c 1 L2 m L2 I c 1 L2
m1 x"1 (c1 c2 ) x'1 c2 x'2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 (t ) m2 x"2 c2 x'1 (c2 c3 ) x'2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 F2 (t )
设： {x} {x1, x2}T
的动 能和 势能 为：
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
1 1 x x 为加速度向量； 为速度向量； 2 2 x x f1 (t ) f (t ) 为激振力向量 2
x1 x 为位移向量； 2
根据以上，式（2-2）可写为以下更为一般的简化形式，即:
CX KX F (t ) MX
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
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三、二Байду номын сангаас由度系统的振动
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3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
二自由度系统
d L L D Lagrange方程： ( ) 0 i qi q i dt q
其中：
q为广义坐标
或 Qi
L＝T-U，即动能与势能表达式之差 D为耗散能表达式 Qi ：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力
第3章 二自由度系统
振动微分方程的建立 方法五举例：
•建立广义坐标x和θ，坐标x的原点 在系统静平衡位置，方向向右 。 θ 为摆杆转角，逆时针为正。 •对系统作速度分析 。
22
第3章 二自由度系统 l
l1
l2
D C e k2 a2 l B
A
k1 a1
l1
l2 D C e B a2 k2
23
简化形式
A k1
a1
第3章 二自由度系统 l
l1 l2 D C e a1 a2 B k2
车体所受外力可以向D点简 A 化为合力 PD 和合力矩 MD 由于微振动，杆质心的垂直 k1 位移、杆绕质心的角位移： xC xD e D C D 首先采用拉格朗日方程建 立系统的运动微分方程 A 系统的动能：
MD
PD
D C
B
1 2 1 2 C I c C T mx 2 2
D
xD
xC
k2 ( xD a2 D )
24
k1 ( xD a1 D )
1 1 2 2 D e D ) I c D m( x 2 2
第3章 二自由度系统l
xC xD e D C D 系统的动能：
振动微分方程的建立 方法四： 利用mij,kij,cij 的物理意义
如： kij称为弹性系数，表示第j个坐标处发生单位位移， 其余各广义坐标保持不动时， 为了保持平衡需要在i坐标处施加的力（平动）或力矩（转动）。
3两自由度系统振动2
解方程，进一步可得如下的两个根：
ac ac c a b n 21,2 2 2
ac ac bc 2 2
2
n2
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的特征 方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率 ，这两个固有频率只与振动系统的质量和刚度 等参数有关，而与振动的初始条件无关。 n1 n2 将所求得的 和 代入（3.7）式中可得： 2 1 a n A 2 c 1 1 1 c n 21 b A1
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
1x 10x 20 2 1 (2x10x20) ( 2 A(1) 1 2 1 n1 )
利用主坐标解耦的方法求解系统响应
的基本步骤为： （1）求出原振动方程的固有频率和振幅 比，得到振型矩阵；
（2）求出主坐标下的响应；
（3）利用反变换式得出原广义坐标下的 响应； （4）利用初始条件确定常系数。
上式为两自由度系统振动的微分方程。
图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中 包含 bx 2 项，第二个方程中则包含 cx 1 项，统称为 “耦合项”。
以上表明，质量 m1同不仅受到弹簧 k1的恢复力的作用，而 且受到弹簧k2 的恢复力的作用； m2只受一个弹簧 k2恢复力 的作用，还受到第一质点m1 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
,
2
2
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos x 0.4cos 2
（1）运动规律
k t 0.8cos1.581 m k t 0.4cos1.581 m
k t m k t m
二自由度振动系统的简单主动控制【文献综述】 (2)
文献综述二自由度振动系统的简单主动控制摘要：为了改善车辆的平顺性，本文建立了车辆的二自由度振动模型。
并阐述了振动主动控制中主要控制方法和策略及应用中存在的问题。
同时，介绍了国内的部分学者对振动主动控制方面的研究。
最后，并对其进行了相应的总结。
关键词：二自由度振动主动控制1引言振动主动控制主要应用主动闭环控制，其基本思想是通过适当的系统状态或输出反馈，产生一定的控制作用来主动改变被控制结构的闭环零、极点配置或结构参数，从而使系统满足预定的动态特性要求。
控制规律的设计几乎涉及到控制理论的所有分支，如极点配置、最优控制、自适应控制、鲁棒控制、智能控制以及遗传算法等。
本材料主要参考了《振动主动控制技术的研究进展》、《基于MATLAB的自整定模糊PID控制系统》等论文的相关方法。
21/4单轮车辆模型它是由车身质量ms、车轮质量mt、悬架弹簧刚度ks、车轮刚度系数kt、作动器组成。
其中，xg路面位移，Xb车身位移，Xw车轮位移。
3控制系统简介3.1独立模态空间法独立模态空间法的基本思想是利用模态坐标变换把整个结构的振动控制转化为对各阶主模态控制，目的在于直接改变结构的特定振型和刚度。
这种方法直观简便，充分利用模态分析技术的特点，但先决条件是被控系统完全可控和可观，且必须预先知道应该控制的特定模态。
3.2极点配置法极点配置法也称特征结构配置，包括特征值配置和特征向量配置两部分。
系统的特征值决定系统的动态特性，特征向量影响系统的稳定性。
根据对被控系统动态品质的要求，确定系统的特征值与特征向量的分布，通过反馈或输出反馈来改变极点位置，从而实现规定要求。
3.3最优控制最优控制方法就是利用极值原理、最优滤波或动态规划等最优化方法来求解结构振动最优控制输入的一种设计方法。
由于最优控制规律是建立在系统理想数学模型基础之上的，而实际结构控制中往往采用降阶模型且存在多种约束条件，因此基于最优控制规律设计的控制器作用于实际的受控结构时，大都只能实现次最优控制。
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l x x y -==）（223max43x l lx y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。
此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。
这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。
这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。
机械振动知识总结
一、单自由度系统的振动2()()0()(nmx t kx t x t w x t +=⇔+120)cos sin cos n n A w t A w t x =+=2()()()0()2()()0n n mx t cx t kx t x t w x t w x t ξ++=++= 211)(nn w t w t e X e ξξ--=+自然频率 阻尼率 22n c c mw mkξ==w 2()2()(()cos(n n nw td x t w x t w x t t C ew t ξξψ-++=-：尼激0 ()cos(n x t C w t =-幅频曲线及其特性 ()H w 1：此时力与位移相位相反sin nwt c =/2/22T T T -=⎰周期函数将失去周期性，而离散频谱将转化为连续谱，此时傅里()()(mx t cx t kx t ++21)[1(/)n n c k w w ∞==-∑00sin n dx x ξωω+0sin n n x t ωω +自由振动是强迫振动的基础，任一时刻的强迫振动响应其实只是该时刻前被激起的一系列自由振动的叠加。
2()2()()n nx t w x t w x t ξ++=1()()()2iwtt H w F w e dw π+∞-∞=⎰()()()mx t cx t kx t ++=拉普拉斯变换：()(0)(()()()F s mx ms X s D s D s ++=+拉氏反变换：11()[()]2jw jwx t L X s j γγπ+--==⎰牛顿第二定律、定轴转动方程、能量原理、拉格朗日方程一般情况采用解析法求解，对于非线性方程，常采用数值方法求解振动系统反作用力近似为位移和速度的函数：)x 泰勒展开并取cx 结论：弹簧刚度与阻尼系数实际上是泰勒展开式中定义：单位位移所需要的力。
弹簧串联、并联，关键在于共力还是共位移用积分计算结构运动时的动能，得到某结构的等效质量/d m ；经变形法；能量法：max V不变，响应振幅与激振力振幅正比，为滞后激励多少，Ψ初相位微小的阻尼就可以限制振幅的无限扩大共振需要一个较长的建立过程，机器需有足够的加速功率顺利通过共振区。
大学机械振动学教案
课程名称：机械振动学授课对象：机械工程专业本科生授课学时：16学时教学目标：1. 理解机械振动的概念、分类及其基本特性；2. 掌握单自由度、两自由度和多自由度系统的振动分析；3. 了解机械振动在工程中的应用及其危害；4. 能够运用振动学原理解决实际振动问题。
教学内容：一、绪论1. 机械振动的定义及分类2. 机械振动的基本特性3. 机械振动学的研究内容二、单自由度系统的振动1. 简谐振动及其表示2. 单自由度系统的自由振动3. 单自由度系统的受迫振动4. 系统的响应分析三、两自由度系统的振动1. 两自由度系统的自由振动2. 两自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析四、多自由度系统的振动1. 多自由度系统的自由振动2. 多自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析五、弹性体的振动1. 弹性体的自由振动2. 弹性体的受迫振动3. 系统的响应分析六、机械振动在工程中的应用1. 机械振动在机械设计中的应用2. 机械振动在结构工程中的应用3. 机械振动在噪声控制中的应用七、机械振动的危害及控制1. 机械振动的危害2. 机械振动的控制方法3. 振动监测与故障诊断教学方法和手段：1. 讲授法：结合实例，深入浅出地讲解机械振动学的基本概念、原理和方法；2. 讨论法：组织学生讨论机械振动在工程中的应用及其危害，培养学生的分析和解决问题的能力；3. 案例分析法：选取典型工程案例，引导学生分析振动问题，提高学生的实际应用能力；4. 多媒体教学：利用PPT、视频等媒体，形象生动地展示振动现象和振动分析方法。
教学进度安排：第1-2学时：绪论第3-4学时：单自由度系统的振动第5-6学时：两自由度系统的振动第7-8学时：多自由度系统的振动第9-10学时：弹性体的振动第11-12学时：机械振动在工程中的应用第13-14学时：机械振动的危害及控制第15-16学时：总结与复习考核方式：1. 平时成绩：占30%，包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：占30%，测试学生对机械振动学基本概念、原理和方法的掌握程度；3. 期末考试：占40%，测试学生对振动学知识的综合运用能力。
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
机械振动理论：具有粘性阻尼二自由度系统的自由振动
（4-60）
将式(4—60) sij 代入式(4-62)中，并利用以下数学关系式
eir1t cos r1t i sin r1t eir2t cosr2t i sin r2t
eir1t cosr1t i sin r1t （4-63）
eir2t cos r 2t i sin r 2 t
M
s2
22 11
R22 s11
K22
R21s11 K21
12
A112 A212
R12s12 K12 M11s122 R11s12 K11
M 22s122 R22s12 K22 R21s12 K21
21
A121 A221
R12s21 K12 M11s221 R11s21 K11
M
s2
A222
,
[进行第一次变量代换]
8
利用相角形式，方程的解可以写成：【幅角形式】
x1
C e (1) n1t 1
sin(r1t
1) C1(2)e n2t
s in( r 2 t
2 )
x2
C e (1) n1t 2
sin(r1t
1) C2(2)en2t
sin(r 2t
2 )
(4 65)
其中
C (1) 1
1)
C e (2) n2t 2
sin(r 2t
2
)
(4 65)
比较式(65)及无阻尼自由振动响应式(42)可以看出——
有粘性阻尼自由振动与无阻尼自由振动 其解在形式上相似，
但二者又有区别，如：
(1) 在有阻尼情况下，质体振幅随 e n1t 和 e n2t而减小，
直至最后完全消失；
机械振动二自由度系统例题解答3
1 1 k 3k φ1 , φ2 1 , 2 m m 1 1
m 0 u1 2k 0 m u k 2 k u1 0 u f (t ) 2k 2 0
u1 (t ) 1 1 q1 (t ) u (t ) 1 1 q (t ) 2 2
m 0 1 1 q1 2k 0 m 1 1 q k 2
k 1 1 q1 0 1 1 q f (t ) 2k 2 0
3k 2 m k 2 K M 2 3k m k
3k 2 m H11 ( ) ( )
H 21 ( )
k ( )
u1 (t ) H11 ( ) u (t ) H ( ) 2ku0 sin t 2 21
f0 f0 u1 (t ) sin 1t sin 2t 2m1 2m2
f0 f0 u2 (t ) sin 1t sin 2t 2m1 2m2
P140,3-7: 图示系统左端基础作简谐激励u0 (t ) u0 sin t , 试求两集中质量的稳态位移响应并讨论其 反共振现象。
解法1：
0 m 0 u1 2k k u1 f1 0 m u k k u sin t f cos t 2 2 0 2
m 0 2k 0 m u k k f1 u sin t k 0
1i N
M 1 K Φ diag[i2 ]Φ 1
1i N
其中：Φ [φ1 φN ]
机械振动理论：具有粘性阻尼二自由度系统的受迫振动
1
4.7 具有粘性阻尼二自由度系统的受迫振动
4.7.1 受迫振动方程及其通解
图4-13为 具有粘性阻尼的二自由度受迫振动系统。 该系统的受迫振动方程有以下形式：
M11x R11x1 R12 x2 K11x1 K12 x2 Q1 sin t
M 22 x2 R21x1 R22 x2 K21x1 K22 x2 0
由
B2
p1 k2
计算出 k 2
，
K1
再由
k2 2
m2
计算出 m2 。
动力减振器只适用于激振力的频率不变的条件， 如果激振力是变频的，则此减振器无效。
ω
m1 x
1
K2
x
m
2
2
变速运转的发动机，由于其频率的变化，
可采用减振器的固有频率随转速自动调节的办法来自动调节。
例如离心摆式减速振器。
###
12
M 22 x2 R21x1 R22 x2 K21x1 K22 x2 0
(4-67)
非齐次振动方程(67)式的解应包括两部分——
（4-64）
即齐次方程的通解 + 非齐次方程的特解。
通解即自由振动部分，它的表达式与前一节相同，见式(4-64)；
特解即受迫振动部分，它的频率等于激振力的频率。
当阻尼很小时，受迫振动方程的全解可表示为：
带入（69）式， x1 B1c cost B1s sin t x2 B2c cost B2s sin t (69)
并利用三角公式合并成位移表示式：
x1 B1 sin t 1 x2 B2 sin t 2 (4 72)
其中：
B1 B12c B12s
B2 B22c B22s
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m mL1
mL1 mL12
I
C
y"
q "
k1 k2
k2L
k2L k2 L2
yA
q
{0}
这个方程存在弹性耦合和惯性耦合
3. 取广义坐标为yA，yB
系统 的动
ET
1 2
y
A
',
yB '
mL22 I L2
mL1L2
c
I
c
mL1L2 L2
mL12 I
I
c
c
yA' yB '
k2
k2 k2 k3
x1 x2
1 {x}T 2
[ K ]{x}
系统的能量 耗散函数
D
1 2
c1x'12
1 2
c2
(x'2
x'1
)2
1 2
c3 x'22
1 2
{x'1
,
x'2
}c1c2c2
c2 c2 c3
xx''12
1 2
{x'}T
[C]{x'}
利用这三个函数可以分别求出三 个矩阵的各个元素
工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩
阵也是正定矩阵。
上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自
由度系统和n自由度系统。
[M
]
m1
0
0
m2
[C
]
c1 c2
c2
c2
c2
c3
[K
]
k1 k2
k2
k2
k2
k3
将m1，m2联结在一起的弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影 响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。一般来说，多自由度系统的运动微分 方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在 耦合。如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角 矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。
示例：
不同坐标系下的运动微分方程
四个广义坐标yA，yB，yC，q，
1．取广义坐标为yc，q
系统的动能 和势能为：
ET
1 2
my'c2
1 2
Icq
'2
1 2
{y'c
,q
m
'}
0
0 Ic
y'c
q'
U
1 2
{
yc
,q
}k2
k1 L2
k2 k1
L1
k2 L2 k1L12
k1L1 k2 L22
能和
L2
L2
势能
为：
U
1 2
k1
y
2 A
1 2
k2 yB2
1 2{yA,
yB}k01
0 k2
yA yB
yA和yB 下的运动微分方程为
mL22 I L2
mL1L2
c
I
c
mL1L2 Ic L2
mL12 Ic
y
" A
yB"
k1
0
L2
L2
2．取广义坐标为yA，q
系统 的动
ET
1 2
[m(
y'A
L1q
'
)2
Icq
'2
]
1 2
{y'
A
,q
m '}mL1
能和
势能
为：
U
1 2
[k1
y
2 A
k2( yA
Lq )2 ]
1 2
{
y
A
,q
}k1k2 Lk2
mL1 mL12
Ic
y'
q
A
'
k2L k2 L2
yA
q
yA和q下的运动微分方程为
mij m ji cij c ji kij k ji
系统的动 能为
ET
1 2
m1x'12
1 2
m2
x'22
1 2
{x'1
,
x'2
}m01
0 m2
xx''12
1 {x'}T 2
[M
]{x'}
系统的势 能为
U
1 2
k1x12
1 2
k2
(
x2
x1)2
1 2
k3
x22
1 2
{x1,
x2}T
k1 k2ycqຫໍສະໝຸດ yc和q下的运动 微分方程为
m
0
0 Ic
y
q
k2
k1 L2
k2 k1L1
k2 L2 k1L12
k1L1 k2L22
yc
q
{0}
这个方程不存在惯性耦合
k2L2 k1L1 0 时方程存在弹性耦合 k2L2 k1L1 0 对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
x'2 ) c3 x ' 2
mm21xx""21
(c1 c2 )x'1c2 x'2 c2 x'1(c2 c3 )x'2
(k1 k2 )x1 k2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2
F1 (t ) F2 (t)
设： {x} {x1, x2}T {x'} {x'1 , x'2 }T {x"} {x"1 , x"2 }T {F(t)} {F1(t), F2(t)}T
[M
]
m1
0
0
m2
[C]
c1 c2
c2
c2
c2
c3
[K
]
k1 k2
k2
k2
k2
k3
[M ]{x"}[C]{x'}[K]{x} {F(t)}
矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将 数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了
多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵
定理
实二次型
f
xT
Ax
为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证
设可逆变换
x
Cy使
n
f ( x) f (Cy) kyi2 . i 1 上页 下页 返回
如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分
方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单 独求解。因此，如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关 键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一 坐标系下同时成为对角矩阵。
第三章 二自由度系统
常见的二自由 度系统模型 注意：自由度 的概念
模型－－单元体分离－－力平衡关系－－运动微分方程
运动微 分方程
mm21xx""21
F1(t) F2 (t)
k1x1 k2 (x2
c1x'1 x1)
k2 c2
(x1 x2 (x'2 x
)
' 1
c2 (x'1 ) k3x2
mij
2ET , xixj
2U kij xix j ,
2D cij xixj
动能、势能和能量耗散函 数均是非负的。也就是说， 对任意的位移，任意的速 度，必然有
ET
1 {x'}T [M ]{x'} 0 2
U 1 {x}T [K ]{x} 0
2
D 1 {x'}T [C]{x'} 0
2
由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，
定义
设有实二次型
f
xT
Ax,
如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。