6最简二次根式
数学最简二次根式教案(精选7篇)
数学最简二次根式教案（精选7篇）最简二次根式篇一教学建议1.教材分析本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法。
本小节内容比较少（求学生了解的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接。
(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ.概念Ⅰ.利用二次根式的性质把二次根式化简为。
重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算。
二次根式化简的最终目标就是；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为的基础上进行的。
因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步。
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧。
难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用。
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。
所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题。
熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
③重难点的解决办法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断。
因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时教学中应充分对概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧。
二次根式讲解大全
【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b ba a=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式 1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x ya （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。
二次根式的定义和概念
二次根式1、定义：一般形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式。
其中，a 叫做被开方数。
2、√ā的简单性质和几何意义（1）双重非负性：a≥0 且a ≥0（2）（a ）2=a （a≥0），任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式。
3、二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有)0(,3,2≥x x ；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有31,9,4，2)(y x +最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽的因式；（3）被开方数不含分母。
4、二次根式的乘法和除法（1）积的算数平方根的性质b a ab ⋅=（a≥0，b≥0）（2）乘法法则b a ⋅=ab （a≥0，b≥0）（3）除法法则b a ba =（a≥0，b>0） （4）根式有理化如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
对根式进行有理化处理，其实就是进行根式分母有理化。
5、二次根式的加法和减法（1）同类二次根式概念一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
如：25355=+6、二次根式的混合运算（1）确定运算顺序（2）灵活运用运算定律（3）正确使用乘法公式（4）大多数分母有理化要及时（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化7.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式，进行通分即可b ab bb b a b a =⨯⨯= II.分母是多项式，一般为根式的加减多数时间利用平方差公式形如b a b a b a b a b a b a --=-+-=+))((1根式中分母不能含有根号，且要变为最简，运算才会更加直接简便。
《二次根式》的知识要点和习题
《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。
注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。
当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。
538是二次根式，不能写成2532。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。
（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。
6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
第13讲 二次根式的概念与运算
中考培优课程13二次根式的概念与运算模块一二次根式的概念 知识导航二次根式的定义：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式． 二次根式存在的意义：被开方数大于等于0，即a 存在，则a ≥0 二次根式的三大性质： (1)双重非负性：a ≥0且a ≥0 (2)(a )2＝a (a ≥0)(3)a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)－a (a ＜0)例11．当x 取何值时，下列式子有意义? (1)3x －1；(2)x 2＋1；(3)1－x 2＋x ；(4)x ＋32－x； 2．化简(1)(－3)2；(2)(2－5)2；(3)(a －3)2． 练习1．下列命题中，正确的是( )A ．若a ＞0，则a 2＝a B ．若a 2＝a ，则a ＞0C ．若a 为任意实数，则a 2＝±a D ．若a 为任意实数，则(a )2＝±a 2．当x 取何值时，下列式子有意义?(1)－x 2；(2)12－x ；(3)x －1＋2－x ；(4)|x |．拓展1．当0＜a ＜1，化简：⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－4．2．当－2≤a ≤12，化简：1－4a ＋4a 2＋a 2＋4a ＋4．模块二二次根式的乘除 知识导航例2计算(1)35×210；(2)32÷118；(3)212×34÷52；(4)45÷315×32223． 练习 计算．(1)212×143÷52；(2)27×50÷6；(3)b 5÷b 20a 2(其中a ＞0)；(4)ab ⋅131a． 例3把下列各式中根号外的因式移入根号内： (1)23；(2)－2114；(3)a －1a． 练习把下列各式中根号外的因式移入根号内： ⑴－32；⑵a－a ＋1a2；⑶(a －1)11－a．模块三最简二次根式 知识导航1、最简二次根式二次根式a (a ≥0)中的a 称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： (1)被开方数不含分母；(2)被开放数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 2、分母有理化把分母中的根号去掉叫做分母有理化． 例如，12－1＝1×(2＋1)(2－1)(2＋1)＝2＋1(2)2－12＝2＋1，这个过程就是分母有理化．3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 同类二次根式可以合并， 例如，a x ＋b x ＝(a ＋b )x ．例41．把下列式子化成最简二次根式①75x 2y 3(其中x ＞0)；②9x 3－18x 2(其中x ＞2) 2．把下列式子分母有理化 ①33＋1；②12－1．③32533253+-yx y xy +--23. 已知最简二次根式a b b -3和22+-a b 是同类二次根式，则=a ，=b .练习1. 把下列式子化成最简二次根式.①318a ②323625b x （其中0＞x ）2. 把下列式子分母有理化 ①21 ②1212+-③23341+ ④233232--拓展①a1 ②ba +1 ③ba -1④xx x x ++-+11 ⑤35141563514156+++-+-模块四 二次根式的加减 知识导航一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如，()252322322188=+=+=+在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.例5计算：（1）a a 259+ （2）46932x x +（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+6815.024 （4）7581227148+-+（5）5022145.0821+-- （6）xx x x 1246932-+例6计算：（1）12323242731⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- （2）3511289504921894÷-⨯（3）a a a ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-2233 （4）ab ab ab b a ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-333（00＞，＞b a ）例7计算： （1）()223+ （2）()183421648-⎪⎪⎭⎫⎝⎛- （2）()()22322232--- （4）()()171611321132+-（5）已知32-=x ，求代数式()()3323472++++x x 的值.刻意练习计算： ①2543122+⨯ ②2731612+-③32483316122÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- ④483316122+-⑤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6812124 ⑥27127316122+-⑦求xxx x 22183852÷-的值，其中10=x .⑧已知5=xy ，求yx y x y x +的值.第13讲 二次根式的概念与运算A 基础巩固1. 若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A. 0=mB. 1=mC. 2=mD. 3=m 2. 当0＜a ，0＜b 时，化简b a 2-的值是（ ）A. b aB. b a -C. b a -D. b a -- 3. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）A. 12+aB.y 1.0 C.42bD. 12+x4. 使式子2x -有意义的x 是 .5. 若y x ，为实数，且211441+-+-=x x y ，则xyy x x y y x +--++22的值为 . 6. 把()aa --111根号外的因式移入根号内，其结果是 . 7. 下面四组二次根式：（1）23x 和x 91；（2）32a 和a 24；（3）x 2和x 2.0；（4）n m n m -+和nm n m +-（0＞＞n m ），其中是同类二次根式的是 .B 综合训练8. 计算： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-81412435.0343 （2）2160200215.1221+-+（3）a a a a 13961643-+ （4）46932xx + （6）()03362262---⨯+π （6）()21631526-⨯- （7）()()131381672-+-- （8）()()2223322332--+（9）3732177---数学故事数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等．2300年前，古希腊数学家欧几里得就己证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2P－1”的形式，这里的指数P也是一个素数．这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等）和无数的业余数学爱好者对它进行究．而17世纪法国数学家、法兰西科学院莫基人马林梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p－1”型的素数称为“梅森素数”.迄今为止，人类仅发现47个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”．梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探素的热点和难点之一．梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
八年级数学下册二次根式之化简
八年级数学下册二次根式之化简知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。
①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。
知识点2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。
知识点3、二次根式的性质（1）非负性√a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a （a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4、最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
二次根式知识点梳理及经典练习(超详细)
二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
二次根式
3、二次根式的双重非负性
例7 已知实数 x、y、a 满足：
x y 8 8 x y 3x y a x 2 y a 3
x、y、a .问：
以 为三边长的线段能否组成一个三角形？如果能，请 求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
3、二次根式的双重非负性
1 x 2 x
的图像上，
变式：如果代数式 m
有意义，那么在平面直角坐
象限.
x2 6 x m
标系中，点 P m, n 的位置在第 例4 无论x取任何实数，代数式 取值范围为 .
都有意义，则m的
2、二次根式有意义的条件
例5 设 a 8 x , b 3x 4, c x .2 a、b、c 都有意义？ （1）当x取什么实数时， （2）若a、b、c 为Rt△ABC的三边长，求x的值.
a a a 0, b 0 b b
n
3、二次根式的加减： 先化简，再求值 4、根式运算法则： a b ab ,
n n n
a na n b b
最简二次根式：
0.2 x ,
12 x 12 y ,
x2 y2 ,
5ab 2
同类二次根式：
在
ab b 1 b , , , 3 中，与 a3b是同类二次根式的是 2 a ab a
a、b、c ，且 a、b、c 例8 已知△ABC的三边长分别为 满足a 2 6a 9 a b 1 c 2 5 0 .试判断△ABC的形 状.
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 初中常见的三大非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）算术平方根.
变式1：若 a b+1 与 a 2b 4 互为相反数
第16章二次根式知识点
第十六章 二次根式1、二次根式的概念： 一般地，形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 是被开方数。
2、二次根式成立的条件：被开方数是非负数，即a ≥03、二次根式的性质：（1）二次根式具有双非负性，即 a ≥0且a ≥0（2）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即（ a ）2=a （a ≥0）此性质正用可进行二次根式的平方运算，逆用可以将一个非负数变形为平方形式，进而利于在实数范围内分解因式（3）一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，即 a (a ＞0)=0(a=0)= |a| -a(a ＜0)4、代数式定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
5、二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
（系数和系数相乘做积的系数）符号语言：0,0)a b =≥≥也可以简单记成：非负数的算术平方根的积等于积的算术平方根。
6、法则推广：0,0,0,,0)a b c n ⋅⋅⋅=≥≥≥⋅⋅⋅≥7、积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
符号语言：0,0)a b =≥≥8、公式的推广：0,0,0,0)a b c d=≥≥≥≥9、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
（系数和系数相除做商的系数）符号语言：0,0)=≥>a b10、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
符号语言：0,0)=≥>a b11、最简二次根式：进行二次根式的计算，结果要化为整式或最简二次根式。
即运算结果要满足：①被开方数不含分母；（被开方数不含小数；）②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含二次根式。
12、化简二次根式一般方法：（重难点）。
①如果被开方数是分数（小数）或分式，运用商的算术平方根性质将其化成②如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先把被开方数分解因式，运用积的算术平方根性质把能开得尽方的因数或因式开出来。
最简二次根式／二次根式
[文件] sxc2dja0024.doc[科目] 数学[年级] 初二[章节][关键词] 最简二次根式/二次根式[标题] 最简二次根式(1)[内容]最简二次根式(1)教学目标1.使学生理解最简二次根式的概念；2.掌握把二次根式化为最简二次根式的方法；教学重点和难点重点：化二次根式为最简二次根式的方法.难点：最简二次根式概念的理解.教学过程设计一、导入新课计算：(1)3a· 6a2; (2)8a5÷6a2.解 (1)3a·6a2=3a×6a2=3×3×2a×a2=32·a2·2a=3a 2a;(2)8a5÷6a2=8a56a2=4a33=4a2·a 3=2aa 3=2aa·33·3=2a3a3.我们再看下面的问题：如果已知3≈1.732，能不能求出13与27的近似值呢?答：直接求13及27的近似值比较麻烦.若先把13及27分别化简，得到13=13=1×3 3×3=33.27=32×3=32×3=33.再利用3≈1.732来计算就简便了.从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行简化，会对解决问题带来方便.二、新课观察上面的计算题，得到结果3a2a及2a3a3都具有什么特点呢?答：1.被开方数的因数是整数或整式；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式.例1 试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是?为什么?(1)3a3b; (2)3ab2; (3)x2+y2;(4)a－b(a>b); (5)5x3; (6)8xy.解 (1)不是最简二次根式.因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开方数中有开得尽方的因式.(2)不是最简二次根式.因为被开方数的因数是分数32，不是整数.(3)是最简二次根式.因为被开方数的因式x2+y2开不尽方，而且是整式.(4)是最简二次根式.因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整式.(5)是最简二次根式.因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整式.(6)不是最简二次根式.因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得尽方的因数22.指出：从(1)，(2)，(6)题可以看到如下两个结论.1.在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；2.在二次根式的被开方数中每一个因式(或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.例2 把下列各式化为最简二次根式：(1)12；(2)45a2b; (3)8(x+y)3.分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质及a2=a(a≥0)进行化简.解 (1)12=22×3=22×3=23;(2)45a2b=32×5a2b=32a25b=3a5b;(3)8(x+y)3=22×2(x+y)2(x+y)=22(x+y)22(x+y)=2(x+y)2(x+y).例3 把下列各式化成最简二次根式：(1)4112; (2)x2yx; (3)328n3 3m.分析：题(1)的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分母有理化，把原式化成最简二次根式.题(2)及题(3)的被开方数是分式，先应用题商的算术平方根的性质把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简二次根式.解 (1)4112=432=432=42×2 2×2=462=26;(2)x2yx=x2yx=x2yx xx=x2xy x=xxy;(3)328n3 3m=38n323m=322·2n2·n 23m=3×2n 2n 23m=3n2n3m 3m3m=3n 6mn 3m=n 6mn m.通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式的方法.答：如果被开方数是分式或分数(包括小数)先利用商的算术平方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.如果被开方数是整式或整式，先把它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式事或因数开出来，从而将式子化简.三、课堂练习1.在下列各式中，是最简二次根式的式子为( ).A.16aB.m－n5C.a18D.6x4y32.在式子18，13，0.5m, x2+4,2a,a－ba+b中，是最简二次根式的式子有( )个.A.2B.3C.1D.03.把下列各式化成最简二次根式：(1)32；(2)2a3b3; (3)1.5;(4)43; (5)20a2b c; (6)x218x30.四、小结1.最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2.把一个式子化为最简二次根式的方法是：(1)如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式(或因数)的积的形式，把开得尽方的因式(或因数)移到根号外；(2)如果被开方数含有字母，应去掉分母的根号.五、作业1.把下列各式化成最简二次根式：(1)618; (2)10145; (3)xy; (4)16a; (5)32; (6)0.2.2.把下列各式化成最简二次根式：(1)0.4m2n; (2)2a2 148a; (3)1xx3;(4)1467a; (5)5672ab3; (6)456a.答案：1.(1)322; (2)65; (3)xyy; (4)6a6a; (5)42; (6)55.2.(2)m10n5; (2)a63a; (3)x; (4)2a7ab; (5)5b2ab; (6)23a30a.。
二次根式知识点
二次根式知识点知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。
如√52可以写作√5。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。
其中a≥0是√a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如83√2可写成8√23，但不能写成223√2。
二、二次根式的性质：=｜a｜=a （a≥0）或=｜a｜= - a（a＜0）★(√a)2（a≥0）与√a2的区别与联系：典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？；（3）√x−3+√3+x（1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1√1−x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：√a2+√b2+√(a−b)2+√(b−1)2-√(a−1)2题型五：√a2=｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简√(a−b+c)2-2｜c-a-b｜题型六：逆用(√a)2= a（a≥0）在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式：（1）x-4；（2）x-4√x+4三、二次根式的乘除：1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
最简二次根式
2 2, 30 10 , 2 a 7 等都是最简二次根式。
ab a b a 0 , b 0
积的算术平方根等于积中各因式的绝 对值的算术平方根之积．
特别提醒
• 公式可以推广到多个 非负因式的情况。例 如，
abcd
a
b
c
d
( a 0 , b 0 , c o , d o ).
例2
1 2
200 ; 14 112 ;
解题思路：先将被开方数进行因式分解， 然后化简
知识点2二次根式的除法法则
a b a b 被开方数相除，根指数 81 9， 不变 (a 0, b 0)
两个二次根式相除，把 举例 243 3 243 3
0 . 36 0 . 12
0 . 36 0 . 12
3
提别提醒二次根式的运算结果要化到最
例1 计算:
(1) 1 2 32 ;
( 2 ) 4 xy
1 y;(3) 来自 8 ( 3) 2 .解 : (1)
1 2
32
1 2
32 16 4 .
（ 2） xy 4
1 y
4 xy
1 y
4 x.
(3) 6 8 ( 3 2 ) 6 ( 3) 8 2 18 4 72
最简二次根式
知识点1二次根式的乘法法则
a b ab ( a 0, b 0)
文字语言：两个二次根式相乘，把
被开方数相乘，根指数不变。
特别提醒
八年级数学下册二次根式化简
八年级数学下册二次根式化简知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。
①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。
知识点2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。
知识点3、二次根式的性质（1）非负性√a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a（a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4、最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
最简二次根式
23
（2）1 1 1 26
（3） 40 45
（4） m5n4 5 m4n3
3
22 3
1 mn 5
1、 a = a bb
a= a bb
2、最简二次根式的特点：
1、被开方数中不含分母； 2、被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
3.化简二次根式的方法. 注意点: (1)当二次根式的被开方数中含有字母时,
（3）2a3b × （4） 0.5ab ×
（5） a ×
3
（7） 48 x ×
（6） 5x √ （8）3 2 ×
1、最简二次根式的特点是：
1、被开方数中不含分母； 2、被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
2、总结：判断最简二次根式的方法是： （1）首先看是否有分母或小数，若有则不是 最简二次根式； （2）遇多项式时要先因式分解，再进行判断。 （3）分母不能含有根号
即次数都小于2
例1：判断下列哪些是最简二次根式？
若不是，请说明理由。
（1） 3n 是
（2） 5 是 3
（3） 32 x 不是 （4） x2-y2 是 （5） 2 xy 不是 （6） 0.5x 不是
5
（7） a2+2a+1(a 1) 不是
练习：下列根式哪些是最简二次根式
（1） 5 a
× （2） m2 +n2 √
应充分注意式子中所含字母的取值范围. (2)进行二次根式的乘除运算或化简,最终结果定要尽可能化简.
1、把下列各式化为最简二次根式
（1）18 30 （2） 3 2 75）a2 ab b b
9b2
a
a
2、先化简在求值：
x2 6x 9 ( x 3), 其中x
根号1到100最简二次根式表
最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母。
以下是根号1到100的最简二次根式表：1√2 (已是最简)√3 (已是最简)√4 = 2√5 (已是最简)√6 (已是最简)√7 (已是最简)√8 = 2√2√9 = 3√10 (已是最简)√11 (已是最简)√12 = 2√3√13 (已是最简)√14 (已是最简)√15 (已是最简)√16 = 4√17 (已是最简)√19 (已是最简)√20 = 2√5√21 (已是最简)√22 (已是最简)√23 (已是最简)√24 = 2√6√25 = 5√26 (已是最简)√27 = 3√3√28 = 2√7√29 (已是最简)√30 = √(2×3×5) = √2 × √3 × √5√31 (已是最简)√32 = 4√2√33 (已是最简)√34 (已是最简)√35 (已是最简)√36 = 6√37 (已是最简)√38 (已是最简)√39 (已是最简)√41 (已是最简)√42 = √(2×3×7) = √2 × √3 × √7√43 (已是最简)√44 = 2√11√45 = 3√5√46 (已是最简)√47 (已是最简)√48 = 4√3√49 = 7√50 = √(2×5×5) = √2 × 5√51 (已是最简)√52 = 2√13√53 (已是最简)√54 = 3√6√55 (已是最简)√56 = 2√14√57 (已是最简)√58 (已是最简)√59 (已是最简)√60 = 2√15√61 (已是最简)√62 (已是最简)√63 = 3√7√64 = 8√65 (已是最简)√66 = √(2×3×11) = √2 × √3 × √11√67 (已是最简)√68 = 2√17√69 (已是最简)√70 = √(2×5×7) = √2 × √5 × √7√71 (已是最简)√72 = 6√2√73 (已是最简)√74 (已是最简)√75 = 5√3√76 = 2√19√77 (已是最简)√78 = √(2×3×13) = √2 × √3 × √13√79 (已是最简)√80 = 4√5√81 = 9√82 (已是最简)√83 (已是最简)√84 = 2√21√85 (已是最简)√86 (已是最简)√87 (已是最简)√88 = 2√22√89 (已是最简)√90 = 3√10√91 (已是最简)√92 = 2√23√93 (已是最简)√94 (已是最简)√95 (已是最简)√96 = 4√6√97 (已是最简)√98 = 7√2√99 = 3√11√100 = 10请注意，这里列出的最简二次根式是根据被。
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课题名称： 16.2 最简二次根式
班别 姓名
【学习目标】掌握最简二次根式的概念，并懂得把一个根式化为最简二次根式。
【自学提要】 阅读教材 P 9 页（关键处、疑难处做好标记）
【学习过程】
1. 最简二次根式:观察下面的式子，了解最简二次根式应满足的条件。
22、 103、 a
a 2 （1）被开方数 分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的 或______ 符合上述两个条件的根式叫做最简二次根式。
2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．
32 B 。
x
1
C 。
y x +
D 。
3x 3、指出下列各根式中哪些是最简二次根式。
（1
（2 （
3
（4
（5最简二次根式有（填代号）_______________________________________________________
4、把下列各式化成最简二次根式。
8)1( 12)2( 18)3(
（4
32)5(
（6 54)7(
（8
5、把下列各式化成最简二次根式。
（1
（2 （
3 （4）
6、设长方形的面积为S
，相邻两边分别为a,b 已知S=b=10，求a 。
【巩固练习】
7、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（
） A
B
C
D 8、下列二次根式中，最简二次根式是（
） A
B
C
D
9
【课堂小结】最简二次根式应满足的两个条件：
①被开方数 分母；
②被开方数中不含能开得尽方的 或______
注：在进行二次根式的化简与计算时，其结果必须化成最简二次根式。
【课外作业】《南方新课堂》P12必做题：课时达标
选做题：能力展示、尝试提高【拓展提高】
10、
能化简吗？请同学们试试看。
11、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫
做同类二次根式
（1
）
1
（2
）
A
B
C
D
（3
a的值可以是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【课堂检测】6
班别：姓名：
1
）
Ａ．2Ｂ．4
Ｃ．
Ｄ．±
2、下列根式中是最简二次根式的是（）．
A
B
C
D
3、下列根式中不是最简二次根式的是（）．
A．2B．6C．8D．10
4、把下列各式化成最简二次根式。
（1）
（2
（3
（4。